工程流體力學 二

1、主講主講: 馮馮 進進 長江大學機械工程學院長江大學機械工程學院 流體靜止包括兩種情況：一是流體對絕流體靜止包括兩種情況：一是流體對絕 對坐標系（地球）整體是靜止的；另一種情況對坐標系（地球）整體是靜止的；另一種情況 是流體整體對絕對坐標系是運動的，但流體內(nèi)是流體整體對絕對坐標系是運動的，但流體內(nèi) 部沒有相對運動，稱為相對靜止。研究絕對靜部沒有相對運動，稱為相對靜止。研究絕對靜 止和相對靜止液體的平衡狀況，這是本章討論止和相對靜止液體的平衡狀況，這是本章討論 的內(nèi)容。的內(nèi)容。 一、壓強一、壓強 在靜止或相對靜止的流體中，單位面積上沿在靜止或相對靜止的流體中，單位面積上沿 內(nèi)法線方向的表面力稱為

2、壓強。從靜止液體中，內(nèi)法線方向的表面力稱為壓強。從靜止液體中， 取一微元體（如圖），作用于取一微元體（如圖），作用于 上沿的內(nèi)法上沿的內(nèi)法 線方向的作用力為線方向的作用力為 ，則根據(jù)定義，則根據(jù)定義 A P A P p A 0 lim 1)靜壓強的方向永遠沿著作用面的內(nèi)法線方靜壓強的方向永遠沿著作用面的內(nèi)法線方 向，理由如下：向，理由如下： (1)如果靜壓強不垂直于作用面，則可分解為正如果靜壓強不垂直于作用面，則可分解為正 應力和切應力。根據(jù)流體的特點，切應力存在必然應力和切應力。根據(jù)流體的特點，切應力存在必然 引起相對運動，這與靜止液體假設矛盾，故切應力引起相對運動，這與靜止液體假設矛盾，故

3、切應力 必須為零。壓強垂直于作用面。必須為零。壓強垂直于作用面。 (2)正應力有拉應力和壓應力之分，假如壓正應力有拉應力和壓應力之分，假如壓 強方向與作用面外法線方向一致，那么流體受強方向與作用面外法線方向一致，那么流體受 到拉力，根據(jù)流體特性，流體不能承受拉應力，到拉力，根據(jù)流體特性，流體不能承受拉應力， 只能承受壓應力，故壓強方向與作用面內(nèi)法線只能承受壓應力，故壓強方向與作用面內(nèi)法線 方向一致。方向一致。 2). 2).靜止流體的某一點壓強大小與作用面靜止流體的某一點壓強大小與作用面 的方位無關，任意一點的靜壓強在各個方向上的方位無關，任意一點的靜壓強在各個方向上 相等。相等。 在靜止流體

4、中，任取一四面體，則各面受在靜止流體中，任取一四面體，則各面受 力情況如圖示：力情況如圖示： zyxx ddpP 2 1 zxyy ddpP 2 1 yxzz ddpP 2 1 斜面斜面BCD的壓力的壓力 ，如果質(zhì)量力，如果質(zhì)量力 它它 在三個方向上的分量為在三個方向上的分量為 : , 。根據(jù)立體幾何知道，四面體的體。根據(jù)立體幾何知道，四面體的體 積為積為: : ，若流體的密度為，若流體的密度為，根據(jù)理論，根據(jù)理論 力學可以寫出四面體上諸力對各坐標軸的平衡力學可以寫出四面體上諸力對各坐標軸的平衡 方程式為：方程式為： aMF x aMFx y aMFy z aMFz dxdydz 6 1 0)

5、,cos( 6 1 xnPadxdydzP nxx 0),cos( 6 1 ynPadxdydzP nyy 0),cos( 6 1 znPadxdydzP nzz （1) （2) （3) 將將 、 代入方程式（代入方程式（1），整理得：），整理得： 其中其中 ，故：，故： x P n P 11 cos( , )0 26 xyzxyzxn p d dd d d apBCDn x zyd dxnBCD 2 1 ),cos( 0 3 1 nxxx pdap 同理：同理： 當當 趨于零時，有：趨于零時，有： 即即 ，這說明靜止流體中任意一點的靜壓強，這說明靜止流體中任意一點的靜壓強 在各個方向上都相等

6、。在各個方向上都相等。 0 3 1 nyyy pdap 0 3 1 nzzz pdap zyx ddd 和、 0 nx pp0 ny pp0 nz pp nzyx pppp 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 在靜止流體中圍繞某一點在靜止流體中圍繞某一點A A取一六面體，取一六面體，A A 點的壓強為點的壓強為p p ，表面力中只有沿內(nèi)法線方向作，表面力中只有沿內(nèi)法線方向作 用在六個面上的壓力，各個面上的壓強如圖示。用在六個面上的壓力，各個面上的壓強如圖示。 六面體的質(zhì)量在坐標上的分量為：六面體的質(zhì)量在坐標上的分量為： xzyxX adddF yzyxY adddF zzyxZ adddF 首先

7、，沿首先，沿X X方向建立平衡方程，即：方向建立平衡方程，即： 整理得：整理得： (4)(4) 0) 2 1 () 2 1 ( zyxxzyxzyx dddaddd x p pddd x p p 0 x p a x 同理同理 在在Y Y和和Z Z方向上分別有：方向上分別有： (5) (5) (6) (6) 因此，用矢量表示因此，用矢量表示 ： 0 y p a y 0 z p a z 0 0 pa k z p j y p i x p kajaia zyx r 靜止流體的平衡微分方程可以寫成：靜止流體的平衡微分方程可以寫成： 兩邊取旋度，有：兩邊取旋度，有： p a z p y p x p zyx

8、 kji p a 111 k x p yy p x j z p xx p z i y p zz p y 11 11 11 p k x p yy p x j z p xx p z i y p zz p y 1 11 11 11 0 111 111 111 1 z p x p yy p x y p z p xx p z x p y p zz p y p p aa 故：故： 對于靜止的不可壓縮均值流體，其密度對于靜止的不可壓縮均值流體，其密度等等 于常數(shù)，于常數(shù)，靜止流體的平衡微分方程靜止流體的平衡微分方程可寫成：可寫成： 兩邊取旋度，有：兩邊取旋度，有： p a p a 上式說明上式說明對于靜止的

9、不可壓縮均值流體，對于靜止的不可壓縮均值流體， 質(zhì)量力有勢。質(zhì)量力有勢。 0 p z p y p x zyx kji p a 1.等壓面定義等壓面定義 若某連續(xù)曲面上各點的壓強相等，則稱為該若某連續(xù)曲面上各點的壓強相等，則稱為該 曲面為等壓面。不同流體的分界面等皆為等壓面，曲面為等壓面。不同流體的分界面等皆為等壓面， 如自由界面、不同液體的分界面。如自由界面、不同液體的分界面。 2.等壓面方程等壓面方程 dx) 4(dy)5(dz)6( )( zzyyxXzyx dadadad z p d y p d x p 按照多元函數(shù)全微分的定義，有：按照多元函數(shù)全微分的定義，有： 故：故： 當某個面上壓

10、強等于常數(shù)時，當某個面上壓強等于常數(shù)時，dpdp=0=0。這時可以。這時可以 得到等壓面方程：得到等壓面方程： dz z p dy y p dx x p dp )( zzyyxX dadadadp 0) (0 dladadada zzyyxX 上式表明質(zhì)量力沿等壓面移動上式表明質(zhì)量力沿等壓面移動 ，其做功為零，其做功為零， 也說明質(zhì)量力垂直于等壓面，這是等壓面重要也說明質(zhì)量力垂直于等壓面，這是等壓面重要 的性質(zhì)。如果已知質(zhì)量力方向，可求等壓面的的性質(zhì)。如果已知質(zhì)量力方向，可求等壓面的 幾何形狀。當質(zhì)量力僅為重力時，等壓面必定幾何形狀。當質(zhì)量力僅為重力時，等壓面必定 為水平面。互不摻混的兩種流體

11、的分界面也是為水平面?；ゲ粨交斓膬煞N流體的分界面也是 等壓面。等壓面。 一、絕對靜止流體的壓強基本方程一、絕對靜止流體的壓強基本方程 1.1.不可壓縮均值流體不可壓縮均值流體 絕對靜止液體所受到的質(zhì)量力只有重力，絕對靜止液體所受到的質(zhì)量力只有重力， 取坐標軸如下圖所示，則單位質(zhì)量流體的質(zhì)量取坐標軸如下圖所示，則單位質(zhì)量流體的質(zhì)量 力為：力為： 0 X a 0 Y a g m mg aZ 根據(jù)平衡微分方程，有：根據(jù)平衡微分方程，有： 解得：解得： 對于點對于點1 1和和2 2的關系，則有：的關系，則有： g dz dp Cgzp 2211 pgZpgZ g p Z g p Z 2 2 1 1 若

12、質(zhì)量力僅為重力，根據(jù)等壓面方程：若質(zhì)量力僅為重力，根據(jù)等壓面方程： 則有：則有： 這說明絕對靜止流體的等壓面為水平面，自由這說明絕對靜止流體的等壓面為水平面，自由 界面上各點的壓力相等，所以自由面為等壓面。界面上各點的壓力相等，所以自由面為等壓面。 0 zzyyxx dadada constZ 0 zzd a 可壓縮流體的密度是隨壓強變化的，故不能可壓縮流體的密度是隨壓強變化的，故不能 象不可壓縮流體那樣進行簡單積分，只有知道密象不可壓縮流體那樣進行簡單積分，只有知道密 度變化關系后才能積分。假設可壓縮流體為氣體，度變化關系后才能積分。假設可壓縮流體為氣體， 對完全氣體的等溫過程，有：對完全氣

13、體的等溫過程，有： p p0 0為等壓面為等壓面Z=ZZ=Z0 0面上的壓強。面上的壓強。 RT p RT p dz RT g dp p 1 )(ln 0 0 ZZ RT g p p )( 0 0 ZZ RT g epp 壓強的度量有兩種壓強的度量有兩種 標準，一是絕對壓強標準，標準，一是絕對壓強標準， 它以真空為起點，物理真它以真空為起點，物理真 空情況下壓強為零。另一空情況下壓強為零。另一 個是表壓強，它是以大氣個是表壓強，它是以大氣 壓強為起點，把壓強等于壓強為起點，把壓強等于 一個大氣壓作為零。正值一個大氣壓作為零。正值 叫表壓強，負值叫真空度叫表壓強，負值叫真空度。 壓強除了用壓強除

14、了用pa的單位表示外，也常用液柱的單位表示外，也常用液柱 高度來表示，即：高度來表示，即： 代表某點的壓強所對應的液柱高度。常見有水代表某點的壓強所對應的液柱高度。常見有水 銀柱壓力表和酒精柱壓力表。銀柱壓力表和酒精柱壓力表。 g p h 測量壓強的儀表叫壓力表，利用液柱高度測量壓強的儀表叫壓力表，利用液柱高度 測量壓強稱為液柱壓力表。之間的作用力在作測量壓強稱為液柱壓力表。之間的作用力在作 用面上的表現(xiàn)。用面上的表現(xiàn)。 1.1.氣壓計氣壓計 故故 ， 。因此，。因此， ghpp AB aCB ppp ghpp Aa aA pp 16. 0 ghp a 2.測壓管測壓管 ghpp aA 3.U

15、 形管壓力表形管壓力表 建立等壓面建立等壓面1-1， 在等壓面上建立平衡在等壓面上建立平衡 方程：方程： ghpghp a 111 111 ghghpp a 4.U 4.U 形管差壓計形管差壓計 建立等壓面建立等壓面1-11-1， 在等壓面上建立平在等壓面上建立平 衡方程：衡方程： )( 2211 hzghgpgzp hzzghgpp 1221 相對靜止是指流體整體對絕對坐標系（地相對靜止是指流體整體對絕對坐標系（地 球）有相對運動，但液體內(nèi)部各部分彼此間沒球）有相對運動，但液體內(nèi)部各部分彼此間沒 有相對運動。對于這樣的相對靜止流體，其壓有相對運動。對于這樣的相對靜止流體，其壓 強和等壓面又是

16、怎樣的呢？現(xiàn)在我們討論這個強和等壓面又是怎樣的呢？現(xiàn)在我們討論這個 問題。問題。 1.1.任意點的壓強任意點的壓強 設盛有液體的容器設盛有液體的容器 沿水平面以加速度沿水平面以加速度a a 作作 等加速直線運動，除受等加速直線運動，除受 到垂直向下的重力外，到垂直向下的重力外， 還受到慣性力的影響。還受到慣性力的影響。 慣性力大小等于液體的慣性力大小等于液體的 質(zhì)量乘以運動加速度，質(zhì)量乘以運動加速度， 方向與運動方向相反。方向與運動方向相反。 即有：即有： gaaaa ZYX 0 此時，壓強增量的全微分方程為：此時，壓強增量的全微分方程為： 積分得：積分得： 積分常數(shù)積分常數(shù)C 這樣選定，取坐

17、標點（這樣選定，取坐標點（0，H），即：），即： gdzadxdp cgzaxp)( gHpCppHzx 00 , , , 0 axzHgpp)( 0 2.等壓面等壓面方程方程 根據(jù)等壓面方程，積分得：根據(jù)等壓面方程，積分得： 由上式可見，由上式可見， C取不同的常數(shù)，代表不同的取不同的常數(shù)，代表不同的等等 壓面。等壓面很多，但我們最關心的是自由面，壓面。等壓面很多，但我們最關心的是自由面， 即。自由面方程為：即。自由面方程為： caxgz 0)(axZHg x g a HZ 二、等角速度旋轉(zhuǎn)容器中二、等角速度旋轉(zhuǎn)容器中 的液體的液體 1.任意一點的壓強任意一點的壓強 設容器以等角速度繞設容器

18、以等角速度繞Z 軸旋轉(zhuǎn)，此時流體相對于軸旋轉(zhuǎn)，此時流體相對于 容器沒有相對運動，同時容器沒有相對運動，同時 流體之間也沒有相對運動，流體之間也沒有相對運動， 因此，作用于流體上的力因此，作用于流體上的力 有重力和水平離心力。有重力和水平離心力。 xax 2 yay 2 gaz )( 22 gdzydyxdxdp cgz yx p) 22 ( 2222 cgzrp) 2 1 ( 22 質(zhì)量力：質(zhì)量力： 則壓強增量的全微分方程：則壓強增量的全微分方程： 積分壓強增量的全微分方程，得：積分壓強增量的全微分方程，得： 積分常數(shù)積分常數(shù)C 這樣確定：設這樣確定：設r=0r=0時，時，z=zz=z0 0

19、，p=pp=p0 0 。則。則： 00 gzpC )( 2 1 0 22 0 ZZgrpp 2.等壓面等壓面方程方程 根據(jù)等壓面方程，積分得：根據(jù)等壓面方程，積分得： 當當r=0r=0時，時，z=zz=z0, 0,p=p0，為自由界面，故： ，為自由界面，故： cgZr 22 2 1 2 2 2 1 r g ZoZ 0)( 2 1 22 ZoZgr 0 gZc 例：例： 如圖示，有一圓柱形敞口容器，半如圖示，有一圓柱形敞口容器，半 盛以水，若已知盛以水，若已知D300mm，H500mm， h300mm。當此容器繞其立軸等角速旋轉(zhuǎn)時，。當此容器繞其立軸等角速旋轉(zhuǎn)時， 問當轉(zhuǎn)速問當轉(zhuǎn)速n多大時，水

20、面恰好達到容器的邊緣多大時，水面恰好達到容器的邊緣? 作用在容器底面上的靜水總壓力與旋轉(zhuǎn)前相比作用在容器底面上的靜水總壓力與旋轉(zhuǎn)前相比 有什么不同？為什么？有什么不同？為什么？ 2 2 2 1 r g ZoZ 解：根據(jù)題意，解：根據(jù)題意，圓柱形敞口容器繞其中心立軸圓柱形敞口容器繞其中心立軸 等角速旋轉(zhuǎn)，其自由界面的方程為：等角速旋轉(zhuǎn)，其自由界面的方程為： 由于靜止和旋轉(zhuǎn)時液體的體積沒有發(fā)生由于靜止和旋轉(zhuǎn)時液體的體積沒有發(fā)生 變化，因此存在以下關系：變化，因此存在以下關系： 4 22 2/ 0 2 2 2/ 0 2 64 1 4 2 1 2 2 4 D g Zo D drr g Zor rZdr

21、hD D D 2 2 4 2 22 16 1 64 1 4 1 4 1 D g hZo D g hDZoD 在上式中，要求在上式中，要求 ，故：，故：0Zo sradgh D D g h /8619.223 . 08 . 9 3 . 0 44 0 16 1 2 2 當當r=D/2時，時，Z=H，故：，故： 2 222 8 1 42 1 D g HZo D g ZoH 8619.226667.183 . 05 . 0 3 . 0 8 . 91616 16 1 22 2 2 hH D g D g Hh 因此，有：因此，有： 2 2 2 2 8 1 16 1 D g HD g h min/25.17

22、8 2 6667.1860 2 60 rn 工程上進行結構設計時，如果這些工程上進行結構設計時，如果這些 結構與液體相接觸，常常需要計算作用結構與液體相接觸，常常需要計算作用 在面上的總壓力及其位置，總壓力的作在面上的總壓力及其位置，總壓力的作 用點在流體力學中稱為壓力中心?，F(xiàn)在用點在流體力學中稱為壓力中心。現(xiàn)在 通過下例來說明計算液體作用在平面上通過下例來說明計算液體作用在平面上 的總壓力的一般原理。的總壓力的一般原理。 如圖，平面如圖，平面 AB 是一個垂是一個垂 直于紙面并與水平面成的直于紙面并與水平面成的 斜面，其面積為斜面，其面積為S ，根據(jù)，根據(jù) 靜壓強的物理性質(zhì)。靜壓強的物理性質(zhì)

23、。 某某 點的壓強在各個方向上相點的壓強在各個方向上相 等，等，作用方向與作用面作用方向與作用面 的內(nèi)法線方向一致。故作的內(nèi)法線方向一致。故作 用在平面上各點的力的方用在平面上各點的力的方 向是相同的，屬于平行力向是相同的，屬于平行力 系。因此，可根據(jù)力學原系。因此，可根據(jù)力學原 理來求液體的總壓力的大理來求液體的總壓力的大 小和作用點。小和作用點。 1.總壓力的大小總壓力的大小 設液面上受到的大氣壓強為設液面上受到的大氣壓強為p pa a，平面的一側(cè)，平面的一側(cè) 與液體接觸，另側(cè)與大氣接觸或不接觸。當另側(cè)與液體接觸，另側(cè)與大氣接觸或不接觸。當另側(cè) 與大氣接觸時也受到大氣壓強的作用?，F(xiàn)在討論與

24、大氣接觸時也受到大氣壓強的作用?，F(xiàn)在討論 與液體接觸側(cè)斜面上的壓力。在點與液體接觸側(cè)斜面上的壓力。在點(0,y)(0,y) 處，壓處，壓 強有：強有： singypghpp aa S a A S dSgyppdP)sin( 內(nèi) S a ydSgSpsin 與液體接觸側(cè)斜面上的總壓力與液體接觸側(cè)斜面上的總壓力P P內(nèi) 內(nèi)： ： 其中其中 表示面積對表示面積對X軸的面積矩，根據(jù)圖形形軸的面積矩，根據(jù)圖形形 心求解原理，可知：心求解原理，可知： 。故：。故： S ydS S d S c ydSSy SgySpP ca sin 內(nèi) SghSp ca 2.2.總壓力的作用點（壓力中心）總壓力的作用點（壓

25、力中心） 總壓力的作用點在流體力學上稱為壓力中總壓力的作用點在流體力學上稱為壓力中 心。根據(jù)力學上平行力系的力矩原理，諸分力心。根據(jù)力學上平行力系的力矩原理，諸分力 對某軸的力矩之和等于合力對該軸的力矩。對對某軸的力矩之和等于合力對該軸的力矩。對 X X 軸求力矩有：軸求力矩有： S aD dSgypyYP)sin( 內(nèi)內(nèi) SS a dSygydSp 2 sin S X dsyJ 2 其中：其中： 上式表示面積對上式表示面積對X X軸的慣性矩。當坐標原軸的慣性矩。當坐標原 點移到點移到 時時，有，有 ，故：，故： ),( c yo yyy c S Sc S SX dyydyJ 22 ) ( S

26、 Scc dyyyy) 2( 22 S c S S S Sc dsyydydy22 2 由于形心坐標為由于形心坐標為(0，0) ，故：，故： 因此：圖形對因此：圖形對X軸的慣性矩為：軸的慣性矩為： A s cx dyJ 2 0 Sydy c A S cxC S SX JSydyJ 22 圖形對形心軸的軸慣性矩圖形對形心軸的軸慣性矩: SygSp JSygSyp Y ca cxcca D sin )(sin 2 內(nèi) SygSp JgSygSyp ca cxcca sin sinsin 2 SygSp Jg y ca cx c sin sin 那么總壓力的作用點：那么總壓力的作用點： 當平面的另一

27、側(cè)與大氣接觸時，作用于該當平面的另一側(cè)與大氣接觸時，作用于該 側(cè)面的總壓力為側(cè)面的總壓力為: 對對X 軸的力矩。軸的力矩。 當平面的另一側(cè)與大氣不接當平面的另一側(cè)與大氣不接 ，有：，有： SpP a 外 SypydpYP caSaD 外外 0 外 P0 外D Y 當平面另一側(cè)未受到大氣作用時，總壓力當平面另一側(cè)未受到大氣作用時，總壓力 P=PP=P內(nèi) 內(nèi)，壓力中心 ，壓力中心Y YD D=Y=YD D內(nèi) 內(nèi) 。當平面外側(cè)受到大氣 。當平面外側(cè)受到大氣 壓作用時，總壓力為：壓作用時，總壓力為： 壓力中心為：壓力中心為： sinsingYcSSpgYcSSpPPP aa 外內(nèi) 外外內(nèi)內(nèi)DDD YP

28、YPPY CXc JgSygsinsin 2 sin )(sin 2 Sgy JSyg Y c CXc D Sy Jcx y c c 例例1 1：如圖示：如圖示, ,一直徑為一直徑為1m1m的園形平板閘閥的園形平板閘閥 與水平面成與水平面成 夾角夾角=30=300 0，用鉸鏈連于，用鉸鏈連于O點，點， H H0 0=5m,=5m,閘門質(zhì)量閘門質(zhì)量m m1 1=1000kg=1000kg。背面暴露在大氣。背面暴露在大氣 中，求中，求閘閥受到的液體總壓力和壓力中心；閘閥受到的液體總壓力和壓力中心； 為保持閘門關閉，水平力為保持閘門關閉，水平力 F 應為多大？應為多大？ 解解 1）求作用在閘門上的總

29、壓力）求作用在閘門上的總壓力 液面上作用有大氣壓，閘門背面也液面上作用有大氣壓，閘門背面也 作用有大氣壓，故在計算時可以不考慮作用有大氣壓，故在計算時可以不考慮 大氣壓強的影響?？倝毫椋捍髿鈮簭姷挠绊憽？倝毫椋?sin sin )sin( SgySgH ydSgSgH gdSyHP cO S O S O 2）求壓力中心）求壓力中心 Sy H J y SySH J y SgySgH SyJgSygH ydyHog P Y c cx c c cx c c ccxc S SD sin sin sin sin sin )sin( 1 0 0 0 2 0 3）求）求F F 根據(jù)力矩平衡原理，作用在閘

30、板的諸力對鉸根據(jù)力矩平衡原理，作用在閘板的諸力對鉸 結點的力矩和為零。結點的力矩和為零。 故：故： 對于圓來說形心必在圓心，對于圓來說形心必在圓心，y yc c=R =R ，S=RS=R2 2。對通。對通 過形心的過形心的X X軸的慣性矩軸的慣性矩 。 0sin2cos 1 FRgRmPY D ctg gm R PY F D 2sin2 1 4 4 RJcx 例例2：如圖示，有一圓柱形容器，直徑：如圖示，有一圓柱形容器，直徑D1.2m， 頂蓋上在頂蓋上在r00.43m處開一小孔，安裝敞口測處開一小孔，安裝敞口測 壓管。完全充滿水，當此容器繞其立軸旋轉(zhuǎn)時壓管。完全充滿水，當此容器繞其立軸旋轉(zhuǎn)時

31、測壓管中的水位測壓管中的水位y0.5m。問多大轉(zhuǎn)速。問多大轉(zhuǎn)速n下使下使 頂蓋受到的靜水總壓力為零？頂蓋受到的靜水總壓力為零？ crpgy a 2 0 2 2 1 解：將解：將Z坐標建在坐標建在頂蓋軸心，這時頂蓋軸心，這時Z=0，頂蓋，頂蓋 上的壓強為：上的壓強為： 2 0 222 2 1 2 1 rrgypp a crp 22 2 1 根據(jù)已知條件，根據(jù)已知條件， 處壓強：處壓強： 0 rr 頂蓋上的壓強分布為：頂蓋上的壓強分布為： 頂蓋底面受到向上的作用力，其總壓力頂蓋底面受到向上的作用力，其總壓力FZ1為：為： 2 0 2 0 222 2 0 1 2 1 2 1 22 D a D Z d

32、rrrgyprrpdrF 4 2 2 2 0 2 2422 1 DD rgypa 頂蓋頂面受到向下的作用力，其總壓力頂蓋頂面受到向下的作用力，其總壓力FZ2為：為： 2 2 2 D pF aZ 根據(jù)已知條件，頂蓋受到的總作用力為零，即根據(jù)已知條件，頂蓋受到的總作用力為零，即： 24 2 2 2 0 2 22422 1 D p DD rgyp aa 24 2 2 2 0 2 22422 1 D p DD rgyp aa gyDr 22 0 2 8 16 1 721.44 2 . 143. 08 5 . 08 . 9 4 8 4 2222 0 Dr gy 在平面上由于各點的壓強方向相互平行且在平面

33、上由于各點的壓強方向相互平行且 成線性變化，因此，求解總壓力是比較容易的。成線性變化，因此，求解總壓力是比較容易的。 而在曲面上，由于各點隨深度的變化不是直線而在曲面上，由于各點隨深度的變化不是直線 變化，且方向也不相同，這樣就增加了分析問變化，且方向也不相同，這樣就增加了分析問 題的復雜性。為了方便起見，以題的復雜性。為了方便起見，以1/41/4園柱面為園柱面為 例來分析，所得結論將同樣適合于空間曲面。例來分析，所得結論將同樣適合于空間曲面。 這里僅研究液體與曲面接觸側(cè)的壓力。這里僅研究液體與曲面接觸側(cè)的壓力。 singRgyp dSgRdPsin 如上圖所示，曲面上某點處有：如上圖所示，曲

34、面上某點處有： 顯然，顯然，dPdP的壓力方向隨積分位置的不同而不同，的壓力方向隨積分位置的不同而不同， 故故dPdP可分解為可分解為dPdPz z 和和dPdPx x ，這樣有：，這樣有： dSgRdP x .cossin dSgRdP Z .sinsin 顯然顯然 為曲面在為曲面在YOZ平面上的投平面上的投 影；影； 為曲面在為曲面在XOY平面上的投影。平面上的投影。 所以，總壓力的水平分力為：所以，總壓力的水平分力為： dSxdS.cos dSzdS .sin Sx Sx Sx Sx gZddgRPx.sin Sz Sz Sz Sz gZddgRPz.sin 總壓力的垂直分量：總壓力的垂

35、直分量： 這樣根據(jù)合力求解法，有：這樣根據(jù)合力求解法，有： 反映了總壓在反映了總壓在X 方向的分量，方向的分量， 等于曲面在等于曲面在YOZ平面上的投影面積所受到的平面上的投影面積所受到的 平面總壓力。平面總壓力。 它相當于從曲面算起它相當于從曲面算起 向上引至液面的若干小柱體的液體重量之總向上引至液面的若干小柱體的液體重量之總 和，由于重度不變即不變，則令：和，由于重度不變即不變，則令： 在流體力學中，稱在流體力學中，稱V 為壓力體。為壓力體。 22 zx PPP X Z P P tg Sx Sx gzdPx Sz Sz gzdPz SZ SZ ZdV 現(xiàn)在我們進一步討論壓力體的求法：現(xiàn)在我

36、們進一步討論壓力體的求法： （a）表示的壓力體充滿流體，我們稱為實）表示的壓力體充滿流體，我們稱為實 壓力體，用（壓力體，用（+）表示，在）表示，在Z方向的壓力向下方向的壓力向下 。 （b）表示曲面引至液面的柱體中，無流體）表示曲面引至液面的柱體中，無流體 ，這樣的壓力體稱為虛壓力體，用（，這樣的壓力體稱為虛壓力體，用（-）號表）號表 示，在示，在Z方向的壓力向上。方向的壓力向上。 （c）表示一種比較復雜的情況，）表示一種比較復雜的情況， ab和和de兩段都表示流體在曲面上，兩段都表示流體在曲面上， 仿照（仿照（a）壓力體）壓力體abf和和aedg 用用( (+) ) 表示。表示。bc和和cd

37、段液體在曲面以下，段液體在曲面以下， 相應壓力體為相應壓力體為( (-) )，把壓力體中，把壓力體中( (+) ) 號和號和( (-) )號重疊部分除去，只剩下號重疊部分除去，只剩下 兩塊壓力體，一塊是兩塊壓力體，一塊是abc 是是( (-) ) ； 另一塊是另一塊是cde 是是( (+) ) 。然后求出這。然后求出這 兩個兩個Z方向的力，一個向上，一個方向的力，一個向上，一個 向下，各自通過其體積的形心。再向下，各自通過其體積的形心。再 進一步按照力矩原理求總的進一步按照力矩原理求總的 。 例：貯水容器上有三個半球形的蓋，設例：貯水容器上有三個半球形的蓋，設 D=0.5mD=0.5m，h=1

38、.5mh=1.5m ，H=2.5mH=2.5m。試求作用在每個。試求作用在每個 蓋上的總壓力的大小。蓋上的總壓力的大小。 一、浮體和潛體一、浮體和潛體 在靜止流體中的物體存在兩種狀態(tài)，一種在靜止流體中的物體存在兩種狀態(tài)，一種 情況是物體部分淹沒在液體中，另一部分暴露情況是物體部分淹沒在液體中，另一部分暴露 在氣體中，這時把物體稱為浮體。另一種情況在氣體中，這時把物體稱為浮體。另一種情況 是物體完全淹沒在液體中，這時把物體稱為潛是物體完全淹沒在液體中，這時把物體稱為潛 體。無論是浮體或潛體，要受到液體對它的作體。無論是浮體或潛體，要受到液體對它的作 用力，其合力稱之為浮力，方向與重力方向相用力，

39、其合力稱之為浮力，方向與重力方向相 反。反。 1.1.絕對靜止液體中任意點的壓強絕對靜止液體中任意點的壓強 2.2.物體在絕對靜止液體中受到的作用力物體在絕對靜止液體中受到的作用力 zzgpp 00 S dsnpF r r dsnpdPn kgdvkdF dvkgjikdFjdFidF dvk z p j y p i x p kdFjdFidF dskznjynixnpkdFjdFidF dsnpFd z zyx zyx zyx 00 ,cos,cos,cos kgVkgdvkF V Z 0 yx FF 上式表明物體在絕對靜止液體中受到的浮力方上式表明物體在絕對靜止液體中受到的浮力方 向向上，其大小等于被物體排開的液體的重量向向上，其大小等于被物體排開的液體的重量。 三、物體在絕對靜止液體中受到的浮力矩三、物體在絕對靜止液體中受到的浮力矩 浮力對坐標原點的力矩可表示為：浮力對坐標原點的力矩可表示為： S dsnprM dskynxxnypdsjxnzznxp dsiznyynzpkdMjdMidM dsnprMd zyx ,cos,cos,cos,cos ,cos,cos dvkpx y py x dvjp