復合材料力學

1、 簡單層板：層合纖維增強復合材料的基本單元件簡單層板：層合纖維增強復合材料的基本單元件 宏觀力學性能：只考慮簡單層板的平均表觀力學性能，宏觀力學性能：只考慮簡單層板的平均表觀力學性能， 不討論復合材料組分之間的相互作用不討論復合材料組分之間的相互作用 對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小， 因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析，只考慮單層板面內(nèi)因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析，只考慮單層板面內(nèi) 應(yīng)力，不考慮面上應(yīng)力，即認為它們很小，可忽略應(yīng)力，不考慮面上應(yīng)力，即認為它們很小，可忽略 在線彈性范圍內(nèi)在線彈性范圍內(nèi) nAnisotropic nIs

2、otropy nOrthotropy nFailure Criterion 對各向同性材料來說，表征他們剛度性能的工對各向同性材料來說，表征他們剛度性能的工 程彈性常數(shù)有：程彈性常數(shù)有：E,G,vE,G,v nE E：拉伸模量：拉伸模量 nG G：剪切模量：剪切模量 nV V：泊松比：泊松比 n其中其中 )1 (2/EG 獨立常數(shù)只有獨立常數(shù)只有2 2個個 應(yīng)力應(yīng)變的廣義虎克定律應(yīng)力應(yīng)變的廣義虎克定律 n對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小， 因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析 n只考慮單層面內(nèi)應(yīng)力，不考慮單層

3、面上應(yīng)力只考慮單層面內(nèi)應(yīng)力，不考慮單層面上應(yīng)力 6,.,2 , 1j , iC jiji 應(yīng)力分量，剛度矩陣，應(yīng)變分量應(yīng)力分量，剛度矩陣，應(yīng)變分量 6,.,2 , 1j , iS jiji 柔度矩陣柔度矩陣 12 31 23 3 2 1 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 12 31 23 3 2 1 CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC z w y v x u 321 x v y u z u x w z v y w 123123

4、 簡寫了表簡寫了表 達符號達符號 幾何方程幾何方程 x y z xz yz x y xy xyzxyzzyx , 六個應(yīng)力分量六個應(yīng)力分量 主應(yīng)力和主方向主應(yīng)力和主方向 材料往往在受力最大的面發(fā)生破壞，材料往往在受力最大的面發(fā)生破壞， 物體內(nèi)每一點都有無窮多個微面通物體內(nèi)每一點都有無窮多個微面通 過，斜面上剪應(yīng)力為零的面為主平過，斜面上剪應(yīng)力為零的面為主平 面，其法線方向為主方向，應(yīng)力為面，其法線方向為主方向，應(yīng)力為 主應(yīng)力，三個主應(yīng)力，包括最大和主應(yīng)力，三個主應(yīng)力，包括最大和 最小應(yīng)力最小應(yīng)力 z 0 zyx 0 zyx 0 zyx z yz zx yzyxy xz xy x xy zx y

5、z z y x 666464636261 51 41 31 21 161514131211 xy zx yz z y x SSSSSS S S S S SSSSSS jiji C 柔度分量、模量分量柔度分量、模量分量 各向異性體彈性各向異性體彈性 力學基本方程力學基本方程 彈性體受力變形的彈性體受力變形的 位移與應(yīng)變關(guān)系位移與應(yīng)變關(guān)系 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 3 6 zyxzyx 2 zyxyxz 2 zyxxzy 2 xy zx yz z 2 xy zx yzy 2 xy zx yz x 2 2 z 2 2 y 2 yz 2 2 z 2 2 x 2 zx 2 2 y 2 2 x 2 xy 2 yz

6、zy xzzx xyyx z w y v x u 321 x v y u z u x w z v y w 123123 連續(xù)性方程或連續(xù)性方程或 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 6 彈性力學問題的一般解法彈性力學問題的一般解法 六個應(yīng)力分量六個應(yīng)力分量 六個應(yīng)變分量六個應(yīng)變分量 三個位移分量三個位移分量 w, v,u , , xyzxyzzyx xyzxyzzyx 幾何關(guān)系（位移和應(yīng)變關(guān)系）幾何關(guān)系（位移和應(yīng)變關(guān)系） 物理關(guān)系（應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系）物理關(guān)系（應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系） 平衡方程平衡方程 15個方程求個方程求15個未知數(shù)個未知數(shù)可解可解 難以實現(xiàn)難以實現(xiàn) 簡化或數(shù)值解法簡化或數(shù)值解法 12 31 2

7、3 3 2 1 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 12 31 23 3 2 1 CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC 回來繼續(xù)關(guān)注剛度矩陣回來繼續(xù)關(guān)注剛度矩陣 3636個分量個分量 在剛度矩陣在剛度矩陣C Cij ij中有中有3636個常數(shù)，但在材料中，實際常數(shù)個常數(shù)，但在材料中，實際常數(shù) 小于小于3636個。首先證明個。首先證明C Cij ij的對稱性：的對稱性： 當應(yīng)力當應(yīng)力 ii作用產(chǎn)生作用產(chǎn)生d d ii的增量時，單位體

8、積的功的增量的增量時，單位體積的功的增量 為：為：dwdw= = i i d d i i 由由 ii= = C Cij ij d d j j得：得：dwdw= = C Cij ij d d j j d d i i 積分得：積分得：w=1/2 w=1/2 C Cij ij j j i i ij ji 2 jij i C w C w ji ij 2 C w C Cij ij的腳標與微分次序無關(guān)：的腳標與微分次序無關(guān)： C Cij ij=C=Cji ji 剛度矩陣是對稱的，只有剛度矩陣是對稱的，只有2121個常數(shù)是獨立的個常數(shù)是獨立的 同理 12 31 23 3 2 1 665646362616 5

9、65545352515 464544342414 363534332313 262524232212 161514131211 12 31 23 3 2 1 CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC 各向異性的、全不對稱材料各向異性的、全不對稱材料2121個常數(shù)個常數(shù) 單對稱材料單對稱材料 如果材料存在對稱面，則彈性常數(shù)將會減少，例如如果材料存在對稱面，則彈性常數(shù)將會減少，例如z=0z=0 平面為對稱面，則所有與平面為對稱面，則所有與Z Z軸或軸或3 3正方向有關(guān)的常數(shù)，正方向有關(guān)的常數(shù)， 必須與必須與Z Z軸負方向有關(guān)的常數(shù)相同軸負方向有關(guān)的常數(shù)相同

10、 剪應(yīng)變分量剪應(yīng)變分量 yz yz和 和 xz xz僅與剪應(yīng)力分量 僅與剪應(yīng)力分量 yz yz xzxz有關(guān)，則彈性 有關(guān)，則彈性 常數(shù)可變?yōu)槌?shù)可變?yōu)?313個，單對稱材料個，單對稱材料 12 31 23 3 2 1 66362616 5545 4544 36332313 26232212 16131211 12 31 23 3 2 1 C00CCC 0CC000 0CC000 C00CCC C00CCC C00CCC 單對稱材料單對稱材料 12 31 23 3 2 1 6646 55352515 4644 35332313 25232212 15131211 12 31 23 3 2 1

11、C0C000 0C0CCC C0C000 0C0CCC 0C0CCC 0C0CCC y=0y=0 正交各向異性材料正交各向異性材料 隨著材料對稱性的提高，獨立常數(shù)的數(shù)目逐步減少隨著材料對稱性的提高，獨立常數(shù)的數(shù)目逐步減少 如果材料有兩個正交的材料性能對稱面，則對于和這如果材料有兩個正交的材料性能對稱面，則對于和這 兩個相垂直的平面也有對稱面（第三個）兩個相垂直的平面也有對稱面（第三個）正交各正交各 向異性向異性9個獨立常數(shù)個獨立常數(shù) 12 31 23 3 2 1 66 55 44 332331 232221 131211 12 31 23 3 2 1 C00000 0C0000 00C000

12、000CCC 000CCC 000CCC 正應(yīng)力與剪應(yīng)變之間沒有耦合，剪應(yīng)力與正應(yīng)變之間沒有耦合正應(yīng)力與剪應(yīng)變之間沒有耦合，剪應(yīng)力與正應(yīng)變之間沒有耦合 不同平面內(nèi)的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間也沒有相互作用不同平面內(nèi)的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間也沒有相互作用 橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料 如果材料中每一點有一個方向的力學性能都相同，那么如果材料中每一點有一個方向的力學性能都相同，那么 為橫觀各向同性材料為橫觀各向同性材料5個獨立常數(shù)個獨立常數(shù) 常常用來描述各向異性纖維和單向復合材料的彈性常數(shù)常常用來描述各向異性纖維和單向復合材料的彈性常數(shù) 12 31 23 3 2 1 1211 44 44 331313 1

13、31112 131211 12 31 23 3 2 1 2 CC 00000 0C0000 00C000 000CCC 000CCC 000CCC 2 CC C 1211 66 根據(jù)純剪切和拉伸與壓縮組合之間的等效推導而出根據(jù)純剪切和拉伸與壓縮組合之間的等效推導而出 1-21-2平面平面 1 1，2 2可互換可互換 各向同性材料各向同性材料 如果材料完全是各向同性的，則如果材料完全是各向同性的，則2個獨立常數(shù)個獨立常數(shù) 2/ )CC(CCC CCC CCC 1211665544 312312 332211 12 31 23 3 2 1 1211 1211 1211 111212 121112

14、121211 12 31 23 3 2 1 2 CC 00000 0 2 CC 0000 00 2 CC 000 000CCC 000CCC 000CCC 應(yīng)變應(yīng)變- -應(yīng)力關(guān)系（柔度矩陣）應(yīng)力關(guān)系（柔度矩陣） 12 31 23 3 2 1 665646362616 565545352515 464544342414 363534332313 262524232212 161514131211 12 31 23 3 2 1 SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS 與剛度矩陣一樣有相似的性質(zhì)與剛度矩陣一樣有相似的性質(zhì) 剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣剛度矩

15、陣與柔度矩陣互為逆矩陣 正軸、偏軸和一般情況正軸、偏軸和一般情況 總結(jié)總結(jié) 材料對稱性材料對稱性 的類型的類型 獨立常獨立常 數(shù)數(shù)量數(shù)數(shù)量 非零分量非零分量 個數(shù)個數(shù) （正軸）（正軸） 非零分量非零分量 個數(shù)個數(shù) （偏軸）（偏軸） 非零分量非零分量 個數(shù)個數(shù) （一般）（一般） 三斜軸系三斜軸系 21363636 單斜軸系單斜軸系 13203636 正交各向異性正交各向異性 9122036 橫觀各向同性橫觀各向同性 5122036 各向同性各向同性 2121212 各向異性材料的性質(zhì)更多地取決于非零分量的個數(shù)各向異性材料的性質(zhì)更多地取決于非零分量的個數(shù) 工程常數(shù)：工程常數(shù)： n可以用簡單試驗如拉

16、伸、壓縮、剪切、彎曲可以用簡單試驗如拉伸、壓縮、剪切、彎曲 等獲得等獲得 n具有很明顯的物理解釋具有很明顯的物理解釋 n這些常數(shù)比這些常數(shù)比C Cij ij或 或S Sij ij中的各分量具有更明顯 中的各分量具有更明顯 的物理意義、更直觀的物理意義、更直觀 n最簡單的試驗是在已知載荷或應(yīng)力的條件下最簡單的試驗是在已知載荷或應(yīng)力的條件下 測量相應(yīng)的位移或應(yīng)變，因此柔度矩陣比剛測量相應(yīng)的位移或應(yīng)變，因此柔度矩陣比剛 度矩陣更能直接測定度矩陣更能直接測定 12 31 23 3 2 1 665646362616 565545352515 464544342414 363534332313 26252

17、4232212 161514131211 12 31 23 3 2 1 SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS 正交各向異性材料用工程常數(shù)表正交各向異性材料用工程常數(shù)表 示的柔度矩陣示的柔度矩陣 12 31 23 32 23 1 13 3 32 21 12 3 31 2 21 1 ij G 1 00000 0 G 1 0000 00 G 1 000 000 E 1 EE 000 EE 1 E 000 EEE 1 S E1、E2、E3為為1，2，3方向上的彈性模量方向上的彈性模量 ij為應(yīng)力在為應(yīng)力在i方向上作用時方向上作用時j方向的橫向應(yīng)變的泊松比方

18、向的橫向應(yīng)變的泊松比 G23,G31,G12為為2-3，3-1，1-2平面的剪切應(yīng)變平面的剪切應(yīng)變 i j ij 3 , 2 , 1j , i EE j ji i ij ij為應(yīng)力在為應(yīng)力在i方向上作用時方向上作用時j方向的橫向應(yīng)變的泊松比方向的橫向應(yīng)變的泊松比 正交各向異性材料只有九個獨立常數(shù)，現(xiàn)在有正交各向異性材料只有九個獨立常數(shù)，現(xiàn)在有1212個常數(shù)個常數(shù) 根據(jù)根據(jù)S S矩陣的對稱性，有：矩陣的對稱性，有： 12和和 21 (讀音讀音: /nu:/) 1 2 L L L EE L 1 12 2 1 1 1 1 1 2 L L 應(yīng)力作用在應(yīng)力作用在2 2方向引起的橫向變形和應(yīng)力作用在方向引

19、起的橫向變形和應(yīng)力作用在1 1方方 向引起的相同向引起的相同 L EE L 2 21 1 2 2 2 2 232312 2 1233 2 1322 2 2311332211 66 66 55 55 44 44 11231312 23 2 122211 33 22132312 13 2 131133 22 33122313 12 2 233322 11 SSS2SSSSSSSSS S 1 C S 1 C S 1 C SSSS C SSS C SSSS C SSS C SSSS C SSS C 剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣 321 133221311332232112

20、21 2112 33 21 132123 31 311232 23 31 3113 22 21 231213 32 322131 13 31 133212 32 233121 12 32 3223 11 EEE 21 EE 1 C EEEE C EE 1 C EEEE C EEEE C EE 1 C 12 31 23 32 23 1 13 3 32 21 12 3 31 2 21 1 ij G 1 00000 0 G 1 0000 00 G 1 000 000 E 1 EE 000 EE 1 E 000 EEE 1 S 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制各向同性材料各向同性材料 )1(2/EG 1

21、213/EK 為保證為保證E E和和G G為正值，即正應(yīng)力或剪應(yīng)力乘以正應(yīng)變或剪為正值，即正應(yīng)力或剪應(yīng)力乘以正應(yīng)變或剪 應(yīng)變產(chǎn)生正功應(yīng)變產(chǎn)生正功 對于各向同性體承受靜壓力對于各向同性體承受靜壓力P P的作用，體積應(yīng)變可定義為：的作用，體積應(yīng)變可定義為： K P 213/E P zyx )21( E P EEE )21( E P EEE )21( E P EEE P xy z z zx y y zy x x zyx 2/11 2/1 如果如果K K為負，靜壓力將引為負，靜壓力將引 起體積膨脹起體積膨脹 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制 正交各向異性材料正交各向異性材料 0S,S,S,S,S,S 66

22、5544332211 0G,G,G,E,E,E 121323321 0C,C,C,C,C,C 665544332211 0)1(),1(),1( 211231133223 021 133221311332232112 情況很復雜，從熱力學角度來講，所有應(yīng)力做功的和情況很復雜，從熱力學角度來講，所有應(yīng)力做功的和 應(yīng)為正值，聯(lián)系應(yīng)力應(yīng)變的矩陣應(yīng)該是正定的應(yīng)為正值，聯(lián)系應(yīng)力應(yīng)變的矩陣應(yīng)該是正定的 321 133221311332232112 21 2112 33 21 132123 31 311232 23 31 3113 22 21 231213 32 322131 13 31 133212 32

23、 233121 12 32 3223 11 EEE 21 EE 1 C EEEE C EE 1 C EEEE C EEEE C EE 1 C 正定矩陣的行列式為正正定矩陣的行列式為正 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制 正交各向異性材料正交各向異性材料 2/1 121112 2/1 331113 2/1 332223 )SS(S )SS(S )SS(S 3 , 2 , 1j , i EE j ji i ij 2/1 1 3 31 2/1 3 1 13 2/1 3 2 23 2/1 2 3 32 2/1 2 1 12 2/1 1 2 21 E E E E E E E E E E E E 66 66 5

24、5 55 44 44 11231312 23 2 122211 33 22132312 13 2 131133 22 33122313 12 2 233322 11 S 1 C S 1 C S 1 C SSSS C SSS C SSSS C SSS C SSSS C SSS C C C為正為正 0)1(),1(),1( 211231133223 也可得到也可得到 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制 正交各向異性材料正交各向異性材料 2/1 2 E E E E E E 1 1 3 2 13 3 2 2 32 2 1 2 21 133221 021 133221311332232112 0 E E E

25、E E E 1 E E 1 2 2/1 1 3 2132 2/1 1 3 21 1 32 13 3 22 32 2/1 1 2 2/1 1 32 13 2/1 3 22 32 1 2 1332 21 2/1 1 2 2/1 1 32 13 2/1 3 22 32 1 2 1332 E E E E 1 E E 1 E E E E E E 1 E E 1 E E 為了用另外兩個泊松比表達為了用另外兩個泊松比表達 21 21的界限，繼續(xù)轉(zhuǎn)化 的界限，繼續(xù)轉(zhuǎn)化 對對 32 32 1313可得 可得 相似的表達相似的表達 式式 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制作用作用 突破傳統(tǒng)材料的概念，大膽設(shè)計復合材突破

26、傳統(tǒng)材料的概念，大膽設(shè)計復合材 料料 可以用來檢驗試驗數(shù)據(jù)，看他們在數(shù)學可以用來檢驗試驗數(shù)據(jù)，看他們在數(shù)學 彈性模型的范圍內(nèi)是否與實際一致彈性模型的范圍內(nèi)是否與實際一致 解微分方程時，確定合適的工程實用解解微分方程時，確定合適的工程實用解 0 23133 1 3 2 3 1 2 0 23133 00 SS 3123 2231133 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 S00 0SS 0SS 1 2 3 只有三個應(yīng)力分量只有三個應(yīng)力分量 1 1 2 2 12 12不為零 不為零 柔度矩陣可簡化為：柔度矩陣可簡化為： 0 23133 12 66 2 22 2 21 1 12 12

27、 1 11 G 1 S E 1 S EE S E 1 S 如果想求如果想求 3 3的話，還必須知的話，還必須知 道道 13 13 2323工程常數(shù) 工程常數(shù) 1 2 12 12 12 2 2 )2( 22 1 12)2( 1 1 1 12)1( 21 1 )1( 1 G 1 E 1 E EE 1 1 2 12 1 2 12 引起的引起的 推導推導 利用疊加原理：利用疊加原理： 12 12 12 2 2 1 1 12)2( 2 )1( 22 2 1 12 1 1 )2( 1 )1( 11 G 1 E 1 E EE 1 12 2 1 12 21 12 2 21 1 12 2 1 G 1 00 0

28、E 1 E 0 EE 1 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 S00 0SS 0SS 12 66 2 22 2 21 1 12 12 1 11 G 1 S E 1 S EE S E 1 S 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 Q00 0QQ 0QQ 66 66 2 122211 11 22 2 122211 12 12 2 122211 22 11 S 1 Q SSS S Q SSS S Q SSS S Q 1266 2112 2 22 2112 121 2112 212 12 2112 1 11 GQ 1 E Q 1 E 1 E Q 1 E Q 2 21

29、1 12 EE E S E 1 S )SS(200 0SS 0SS 1211 12 2 1 1211 1112 1211 12 2 1 12 2 1 66 1112 1211 12 2 1 Q00 0QQ 0QQ G )1(2 E Q 1 E Q 1 E Q 66 2 12 2 11 4 4個獨立的常數(shù)，個獨立的常數(shù)，E E1 1,E,E2 2, , 12 12和 和G G12 12 對于各向同性材料對于各向同性材料 已知已知T300/648T300/648單層板的工程彈性常數(shù)為單層板的工程彈性常數(shù)為 34. 0,GPa80. 5G,GPa50. 8E,GPa3 .134E 121221 試求

30、它的正軸柔量和正軸模量。試求它的正軸柔量和正軸模量。 GPa80. 5GQ GPa91. 2EmQQ GPa56. 8mEQ,GPa3 .135mEQ 0074. 1) E E 1(m,TPa4 .172G/1S TPa53. 2E/SS TPa6 .117E/1S,TPa45. 7E/1S 1266 2122112 222111 1 1 2 2 121 1266 1 1122112 1 222 1 111 1 1 2 2 121 2112 ) E E 1()1(m 令令 例題例題 上述的是定義在正交各向異性材料的主方向上上述的是定義在正交各向異性材料的主方向上 的，但材料的主方向往往和幾何上

31、適應(yīng)解題要的，但材料的主方向往往和幾何上適應(yīng)解題要 求的坐標軸方向不一致求的坐標軸方向不一致 n斜鋪或纏繞斜鋪或纏繞 1 2y x + 12 2 1 22 22 22 xy y x sincoscossincossin cossin2cossin cossin2sincos 2sincoscossincossin cossin2cossin cossin2sincos 2 12 1 1 22 22 22 xy y x 用用1-21-2坐標系中的應(yīng)力來表示坐標系中的應(yīng)力來表示x-yx-y坐標系中的應(yīng)力的轉(zhuǎn)換方程為坐標系中的應(yīng)力的轉(zhuǎn)換方程為 轉(zhuǎn)換的只是應(yīng)力，而與材料的性質(zhì)無關(guān)，同樣：轉(zhuǎn)換的只是應(yīng)力

32、，而與材料的性質(zhì)無關(guān)，同樣： 很麻煩！很麻煩！ 22 22 22 sincoscossincossin cossin2cossin cossin2sincos T 200 010 001 R 2 R xy y x xy y x 2 R 12 1 1 12 2 1 12 2 1 1 xy y x T 2 T 2 12 1 1 1 xy y x 我們引入我們引入RouterRouter矩陣矩陣 方便！方便！ 12 2 1 66 1112 1211 12 2 1 xy y x Q00 0QQ 0QQ 12 2 1 12 2 1 Q xy y x 11 12 2 1 1 xy y x RTRQTT 1

33、T RTRT T1 TQTQ 對于材料主軸和坐標系一致的特殊的正交各向異性簡單層板對于材料主軸和坐標系一致的特殊的正交各向異性簡單層板 不一致時不一致時 可簡寫可簡寫 QQ的轉(zhuǎn)換矩陣的轉(zhuǎn)換矩陣 xy y x 662616 262212 161211 xy y x xy y x QQQ QQQ QQQ Q )sin(cosQcossin)Q2Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cosQcossin)Q2Q(2sinQQ )sin(cosQcossin)Q4QQ(Q sinQcossin)Q2Q(2cosQQ 44

34、66 22 6612221166 3 662212 3 66121126 3 662212 3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4 1111 九個非零分量，四個獨立常數(shù)，但是廣義的正交各向異性層板九個非零分量，四個獨立常數(shù)，但是廣義的正交各向異性層板 剪應(yīng)變和正應(yīng)力，剪應(yīng)力和正應(yīng)變存在耦合剪應(yīng)變和正應(yīng)力，剪應(yīng)力和正應(yīng)變存在耦合 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 S00 0SS 0SS xy y x 662616 262212 161211 xy y x T xy y x SSS SSS

35、SSS TST )sin(cosScossin)SS4S2S2(2S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S cosScossin)S2S2(sinSS )sin(cosScossin)SSS(S sinScossin)SS2(cosSS 44 66 22 6612221166 3 661222 3 66121126 3 661222 3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4 1111 我們也可以用應(yīng)力來表示應(yīng)變我們也可以用應(yīng)力來表示應(yīng)變

36、 12 2 1 662616 261112 161211 12 2 1 QQQ QQQ QQQ 12 2 1 662616 262212 161211 12 2 1 SSS SSS SSS 12 12,2 2 3,12 26 12 12,1 1 1,12 16 12 66 2 22 2 21 1 12 12 1 11 GE S GE S G 1 S E 1 S EE S E 1 S i ij i ,ij ij i ij, i 對各向異性簡單層板，同廣義正交各向同性簡單層板相類似對各向異性簡單層板，同廣義正交各向同性簡單層板相類似 新的工程常數(shù)新的工程常數(shù)相互影響系數(shù)相互影響系數(shù) 第一類相互影響

37、系數(shù)：表示由第一類相互影響系數(shù)：表示由ijij平面內(nèi)的剪平面內(nèi)的剪 切引起切引起i i方向上的伸長方向上的伸長 第二類相互影響系數(shù)：表示由第二類相互影響系數(shù)：表示由i i方向上的正方向上的正 應(yīng)力引起應(yīng)力引起ijij平面內(nèi)的剪切平面內(nèi)的剪切 復合材料的偏軸向（非材料主方向）拉伸引起復合材料的偏軸向（非材料主方向）拉伸引起 軸向伸長和剪切變形軸向伸長和剪切變形 kl ij kl,ij ij ij,kl kl kl,ij GG 其他的各向異性彈性關(guān)系可以用來定義其他的各向異性彈性關(guān)系可以用來定義欽卓夫系數(shù)欽卓夫系數(shù)， 其定義為：其定義為： 系數(shù)滿足互等關(guān)系：系數(shù)滿足互等關(guān)系： 該系數(shù)是對剪應(yīng)力和剪

38、應(yīng)變的，而泊松比是對正該系數(shù)是對剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的，而泊松比是對正 應(yīng)力和正應(yīng)變的，在平面應(yīng)力情況下，欽卓夫系數(shù)不應(yīng)力和正應(yīng)變的，在平面應(yīng)力情況下，欽卓夫系數(shù)不 影響簡單層板的面內(nèi)性能。影響簡單層板的面內(nèi)性能。 2 22 2 21 1 12 12 1 11 E 1 S EE S E 1 S )sin(cosScossin)SS4S2S2(2S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S cosScossin)S2S2(sinSS )sin(cosScossin)SSS(S sinScossin)SS2(cosSS 44 66 2

39、2 6612221166 3 661222 3 66121126 3 661222 3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4 1111 12 12, 2 2 3,12 26 12 12, 1 1 1 ,12 16 12 66 GE S GE S G 1 S 3 121 12 2 3 121 12 1 yy ,xy 3 121 12 2 3 121 12 1 xx ,xy 44 12 22 121 12 21xy 4 2 22 1 12 12 4 1y 22 1221 44 1 12 xxy 4 2 22 1

40、12 12 4 1x cossin G 1 E 2 E 2 cossin G 1 E 2 E 2 E cossin G 1 E 2 E 2 cossin G 1 E 2 E 2 E )cos(sin G 1 cossin G 1 E 2 E 2 E 2 2 G 1 cos E 1 cossin E 2 G 1 sin E 1 E 1 cossin G 1 E 1 E 1 )cos(sin E E sin E 1 cossin E 2 G 1 cos E 1 E 1 非主方向的非主方向的xyxy坐標系下受力的正交各向異性簡單層板的表觀工程常數(shù)坐標系下受力的正交各向異性簡單層板的表觀工程常數(shù) 為：

41、為： 通過上述分析可見：通過上述分析可見： n正交各向異性簡單層板在與材料主方向成一正交各向異性簡單層板在與材料主方向成一 定角度方向上受力時，表觀各向異性彈性模定角度方向上受力時，表觀各向異性彈性模 量是隨角度變化的量是隨角度變化的 n瓊斯法則：材料性能的極值（最大值或最小瓊斯法則：材料性能的極值（最大值或最小 值）并不一定發(fā)生在材料主方向值）并不一定發(fā)生在材料主方向 n設(shè)計材料設(shè)計材料 剛度矩陣分量是四個獨立常數(shù)和角度的復雜函數(shù)剛度矩陣分量是四個獨立常數(shù)和角度的復雜函數(shù) Tsai & Pagano利用三角恒等式對剛度變換進行了有創(chuàng)造性的改造利用三角恒等式對剛度變換進行了有創(chuàng)造性的改造 S.

42、W.Tsai, N.J.Pagano. Invariant properties of composite materials. Composite materials workshop, ed S.W.Tsai, H.C.Halpin, N.J.Pagano, Technomic (1968), p.233 )sin(cosQcossin)Q2Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cosQcossin)Q2Q(2sinQQ )sin(cosQcossin)Q4QQ(Q sinQcossin)Q2Q(2cosQQ

43、44 66 22 6612221166 3 662212 3 66121126 3 662212 3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4 1111 66 12 22 11 333333 333333 222222222 22442222 222244 222244 26 16 66 12 22 11 Q Q Q Q mnnm2mnnmnmmn )nmmn(2nmmnmnnm )nm(nm2nmnm nm4nmnmnm nm4nm2mn nm4nm2nm Q Q Q Q Q Q sinncosm 利用三角恒等

44、式：利用三角恒等式： )4cos2cos43( 8 1 sinn )4sin2sin2( 8 1 sincosmn )4cos1( 8 1 sincosnm )4sin2sin2( 8 1 sincosnm )4cos2cos43( 8 1 cosm 44 33 2222 33 44 3 2 22 5 44 4 1 1 26 16 66 12 22 11 U U 1 sin2sin 2 1 0 4sin2sin 2 1 0 nm20U nm0U 4cos2cosU 4cos2cosU Q Q Q Q Q Q 8/ )Q4Q2QQ(U 8/ )Q4Q6QQ(U 8/ )Q4Q2QQ(U 2/ )

45、QQ(U 8/ )Q4Q2Q3Q3(U 661222115 661222114 661222113 22112 661222111 4cosUUQ 4sinU2sinU 2 1 Q 4sinU2sinU 2 1 Q 4cosU2cosUUQ 4cosUUQ 4cosU2cosUUQ 3566 3226 3216 32122 3412 32111 在繞垂直于簡單層板的軸旋轉(zhuǎn)時，其剛度分量的在繞垂直于簡單層板的軸旋轉(zhuǎn)時，其剛度分量的 部分值是不變的，部分值是不變的，U1 U2 U5為常數(shù)項，不隨角度變化，為常數(shù)項，不隨角度變化， 有一定的含義，如拉伸模量，剪切模量等有一定的含義，如拉伸模量，剪切模

46、量等 4cosU2cosUUQ 32111 舉例： 0 /2 0 /2 0 /2 0 /2 Q11 11 Q 1 U 1 U 2cosU2 2 U 4cosU3 3 U 常數(shù)常數(shù) 低頻變量低頻變量高頻變量高頻變量 不隨角度的變化，是剛度的有效量值不隨角度的變化，是剛度的有效量值 1 U 2/ )QQ(U 2/ )QQ(U 26167 26166 Tsai & Pagano還提出：還提出：以后還要介紹以后還要介紹 強度：重要概念強度：重要概念 n復雜，在實際應(yīng)用中，幾乎沒有單純使用單層板的，復雜，在實際應(yīng)用中，幾乎沒有單純使用單層板的， 主要是因為它們的橫向拉伸與剪切強度和剛度太弱，主要是因為它

47、們的橫向拉伸與剪切強度和剛度太弱， 尤其是強度，因此，多一層合板的的形式應(yīng)用，即尤其是強度，因此，多一層合板的的形式應(yīng)用，即 需要不同角度鋪層的單層板，簡單層板的強度分析需要不同角度鋪層的單層板，簡單層板的強度分析 是基礎(chǔ)。是基礎(chǔ)。 n目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的 特征（不同于傳統(tǒng)材料的方法）特征（不同于傳統(tǒng)材料的方法） n實際應(yīng)力場和許用應(yīng)力場實際應(yīng)力場和許用應(yīng)力場 w剛度方面的研究工作可以用來計算實際應(yīng)力場剛度方面的研究工作可以用來計算實際應(yīng)力場 w現(xiàn)在要研究確定許用應(yīng)力場現(xiàn)在要研究確定許用應(yīng)力場 基本強度定義基本強度定義材料主方

48、向上材料主方向上 nX Xt t縱向拉伸強度縱向拉伸強度 nX Xc c縱向壓縮強度縱向壓縮強度 nY Yt t橫向拉伸強度橫向拉伸強度 nY Yc c橫向壓縮強度橫向壓縮強度 nS S面內(nèi)剪切強度面內(nèi)剪切強度 與與4 4個工程彈性常數(shù)一起，稱為復合材料的個工程彈性常數(shù)一起，稱為復合材料的9 9個個 工程常數(shù)工程常數(shù) 強度是應(yīng)力方向上的函數(shù)強度是應(yīng)力方向上的函數(shù) 各向同性材料的強度指標用于表示材料在簡單各向同性材料的強度指標用于表示材料在簡單 應(yīng)力下的強度應(yīng)力下的強度 n塑性材料：屈服極限或條件屈服極限塑性材料：屈服極限或條件屈服極限 n脆性材料：強度極限脆性材料：強度極限 n剪切屈服極限剪切

49、屈服極限 n疲勞等疲勞等 正交各向異性材料正交各向異性材料 n強度隨方向不同變化強度隨方向不同變化 n拉伸和壓縮失效的機理不同拉伸和壓縮失效的機理不同 n面內(nèi)剪切強度也是獨立的面內(nèi)剪切強度也是獨立的 示例示例 1 2 X Y S 考慮單向纖維簡單層板，假設(shè)強度為：考慮單向纖維簡單層板，假設(shè)強度為： 2 2 2 cm/N2000S cm/N1000Y cm/N50000X 其應(yīng)力場為：其應(yīng)力場為： 2 12 2 2 2 1 cm/N1000 cm/N2000 cm/N45000 最大主應(yīng)力低于最大強度，但最大主應(yīng)力低于最大強度，但 2比比Y大，在大，在2方向上破壞方向上破壞 材料主方向上的剪切強

50、度和拉伸與壓縮性能的材料主方向上的剪切強度和拉伸與壓縮性能的 差別無關(guān)，對于拉伸和壓縮性能不同的材料，差別無關(guān)，對于拉伸和壓縮性能不同的材料， 不管剪應(yīng)力是正還是負，都具有相同的最大值不管剪應(yīng)力是正還是負，都具有相同的最大值 非材料主方向的剪應(yīng)力的最大值依賴于剪應(yīng)力非材料主方向的剪應(yīng)力的最大值依賴于剪應(yīng)力 的符號的符號 n對于作用在與材料主方向成對于作用在與材料主方向成45o的正和負的剪應(yīng)力的正和負的剪應(yīng)力 的表觀剪切強度和剛度是不同的的表觀剪切強度和剛度是不同的 材料主方向上的基本資料如何轉(zhuǎn)換到其他有用材料主方向上的基本資料如何轉(zhuǎn)換到其他有用 的依賴于所考慮的應(yīng)力場坐標的方向的依賴于所考慮的

51、應(yīng)力場坐標的方向 1 2 1 2 1 2 1 2 +- +- 材料主方向上的剪應(yīng)力材料主方向上的剪應(yīng)力 與材料主方向上成與材料主方向上成45度角的的剪應(yīng)力度角的的剪應(yīng)力 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 基本強度特性基本強度特性 nX Xt t縱向拉伸強度；縱向拉伸強度；X Xc c縱向壓縮強度縱向壓縮強度 nY Yt t橫向拉伸強度；橫向拉伸強度；Y Yc c橫向壓縮強度橫向壓縮強度 nS S面內(nèi)剪切強度面內(nèi)剪切強度 剛度特性為：剛度特性為： nE E1 11-1-方向上的彈性模量；方向上的彈性模量；E E2 22-2-方向上的彈性方向上的彈性 模量模量 n 12 12- - 2 2

52、/ / 1 1，當 ，當 1 1= = ，而其他應(yīng)力皆為零；，而其他應(yīng)力皆為零； n 21 21- - 1 1/ / 2 2，當 ，當 2 2= = ，而其他應(yīng)力皆為零；，而其他應(yīng)力皆為零； nG G12 12在 在1-21-2平面內(nèi)的剪切模量平面內(nèi)的剪切模量 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 試驗的基本原則試驗的基本原則 n當載荷從零增至極限載荷或破壞載荷時，材當載荷從零增至極限載荷或破壞載荷時，材 料的應(yīng)力料的應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系也應(yīng)該是線性的。應(yīng)變關(guān)系也應(yīng)該是線性的。 一般來講，拉伸試驗的線性保持很好，一般來講，拉伸試驗的線性保持很好， 而壓縮和剪切，尤其是剪切對大多數(shù)復而壓縮和剪

53、切，尤其是剪切對大多數(shù)復 合材料來說，合材料來說，是非線性的是非線性的 試驗中的關(guān)鍵，是使試件承受均勻的應(yīng)試驗中的關(guān)鍵，是使試件承受均勻的應(yīng) 力，這對各向同性材料是容易的力，這對各向同性材料是容易的 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 正應(yīng)力和剪應(yīng)變正應(yīng)力和剪應(yīng)變 剪應(yīng)力和正應(yīng)變剪應(yīng)力和正應(yīng)變 正應(yīng)力和彎曲曲率正應(yīng)力和彎曲曲率 彎曲應(yīng)力和正應(yīng)變彎曲應(yīng)力和正應(yīng)變 耦合影響耦合影響 對正交各向異性材料當載荷作用在非材料對正交各向異性材料當載荷作用在非材料 主方向時，正交各向異性性能常常導致：主方向時，正交各向異性性能常常導致： 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 單向增強簡單層板在單向

54、增強簡單層板在1-1-方向上的單向拉伸試驗方向上的單向拉伸試驗 1 2 P P 1 1 1 E1 1極限=X A/PX E A/P max 1 2 12 1 1 1 1 測量測量 1 1、 、 2 2 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 單向增強簡單層板在單向增強簡單層板在2-2-方向上的單向拉伸試驗方向上的單向拉伸試驗 A/PYEA/P max 2 1 21 2 2 22 2 1 PP 2 2 1 E2 2極限=Y 測量測量 1 1、 、 2 2 2 21 1 12 EE 剛度性能必須滿足互等關(guān)系式：剛度性能必須滿足互等關(guān)系式： 測量的數(shù)據(jù)不準確；測量的數(shù)據(jù)不準確； 進行的計算有錯誤進

55、行的計算有錯誤 材料不能用線彈性應(yīng)力材料不能用線彈性應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系式描述應(yīng)變關(guān)系式描述 如果不滿足如果不滿足 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 單向增強簡單層板在和單向增強簡單層板在和1-1-方向成方向成45450 0角的單向拉伸試驗角的單向拉伸試驗 45450 0 2 y 1 1 x P P x x 1 Ex 211 12 x 12 2121 12 1x x x E 1 E 1 E 2 E 4 1 G E 1 G 1 E 2 E 1 4 1 E 1 A/P E 測量測量 x x G G12 12是推導量 是推導量 根據(jù)根據(jù) 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 無端部效應(yīng)無端

56、部效應(yīng) 端部受到限制端部受到限制 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 對于剪切強度，不存在像剛度一樣的關(guān)系式對于剪切強度，不存在像剛度一樣的關(guān)系式 2121 12 1x E 1 G 1 E 2 E 1 4 1 E 1 不能依賴于本試驗來決定極限剪應(yīng)力不能依賴于本試驗來決定極限剪應(yīng)力S S，因為伴隨的剪，因為伴隨的剪 切破壞并不引起純剪切變形，要考慮其他方法切破壞并不引起純剪切變形，要考慮其他方法 測量剪切強測量剪切強 度的方法度的方法 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 惠特尼、帕加諾和派普斯描述的管子扭轉(zhuǎn)試驗惠特尼、帕加諾和派普斯描述的管子扭轉(zhuǎn)試驗 x y T T t xy 12

57、 12 12 2 max max12 2 12 G tr2 T S tr2 T 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 惠特尼、斯坦斯巴杰和豪厄爾（惠特尼、斯坦斯巴杰和豪厄爾（Whitney, Stansbarger,Idowell)所描述的軌道剪切試驗所描述的軌道剪切試驗 端部效應(yīng)端部效應(yīng) 比實際值低比實際值低 廣泛應(yīng)用廣泛應(yīng)用 軌道剪切試驗軌道剪切試驗-雙軌或三軌雙軌或三軌 強度和剛度的試驗確定強度和剛度的試驗確定 肖克提供的十字梁試驗肖克提供的十字梁試驗 中心局部有剪切中心局部有剪切 不太合適不太合適 IosipescuIosipescu剪切試驗剪切試驗 中間斷面剪應(yīng)力平均分布中間斷面

58、剪應(yīng)力平均分布 而不是拋物線分布而不是拋物線分布 缺口沒有應(yīng)力集中缺口沒有應(yīng)力集中 正交各向異性簡單層板的正交各向異性簡單層板的 二向強度理論二向強度理論 上述方法，多是在單向應(yīng)力狀態(tài)下上述方法，多是在單向應(yīng)力狀態(tài)下 實際使用過程中，物體所受三向或雙向載荷的實際使用過程中，物體所受三向或雙向載荷的 作用作用 通過聯(lián)合或多向加載試驗獲得強度包絡(luò)線，通通過聯(lián)合或多向加載試驗獲得強度包絡(luò)線，通 過變換，形成破壞準則過變換，形成破壞準則 破壞準則僅僅是預測破壞的破壞準則僅僅是預測破壞的 發(fā)生，而不是實發(fā)生，而不是實 際上的破壞模型，不能從機理上闡述破壞際上的破壞模型，不能從機理上闡述破壞 正交各向異性

59、簡單層板的正交各向異性簡單層板的 二向強度理論二向強度理論 x y 試驗破壞數(shù)據(jù)試驗破壞數(shù)據(jù) 破壞破壞 屈服屈服 最大應(yīng)力理論最大應(yīng)力理論 單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任 意一個分量達到極限應(yīng)力時，就發(fā)生破意一個分量達到極限應(yīng)力時，就發(fā)生破 壞或失效壞或失效 n失效準則有失效準則有3 3個相互不影響，各自獨立的表個相互不影響，各自獨立的表 達式組成的，實際上有三個分準則達式組成的，實際上有三個分準則 n必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)力必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)力 n理論預報與材料試驗值吻合的不好理論預報與材料試驗值吻合的不好 SYX 12t2t1 SYX 12

60、c2c1 cossin S sin Y cos X cossinsincos x 2 x 2 t x x12 2 x2 2 x1 最大應(yīng)力理論最大應(yīng)力理論 拉伸時拉伸時 壓縮時壓縮時 最大應(yīng)變理論最大應(yīng)變理論 單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任意單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任意 一個分量達到極限應(yīng)變時，就發(fā)生破壞或一個分量達到極限應(yīng)變時，就發(fā)生破壞或 失效失效 n失效準則有失效準則有3 3個相互不影響，各自獨立的表達個相互不影響，各自獨立的表達 式組成的，實際上有三個分準則式組成的，實際上有三個分準則 n必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)變必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)變 n和最大應(yīng)力理論相比和最大應(yīng)