二面角的求法(總結(jié))

1、 探究準(zhǔn)備：探究準(zhǔn)備： 一、憶一憶：一、憶一憶： 1、二面角的概念，二面角 的平面角的概念，二面角 的大小范圍； 2、三垂線定理、平面的 法向量。 答答：1、二面角是指從一條直線出發(fā)的兩 個(gè)半平面所組成的圖形； 平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為 端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱 的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫 做該二面角的平面角。 二面角的大小范圍： 00 ，1800; 2、三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線， 如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直， 那么它就和這條斜線垂直； 平面的法向量：直線L垂直平面， 取直線L的方向向量，則這個(gè)方向向量叫 做平面的法向量。 （顯然，一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，

2、 它們是共線向量） 探究準(zhǔn)備：探究準(zhǔn)備： 二、想一想： 1、怎樣做出二面 角的平面角？ 答：1、做二面角的平面角主 要有3種方法： （1）、定義法：在棱上取一 點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于 棱的2 條射線，這2條所夾 的 角； （2）、垂面法：做垂直于棱 的一個(gè)平面，這個(gè)平面與2個(gè) 半平面分別有一條交線，這2 條交線所成的角； （3）、三垂線法：過一個(gè)半 平面內(nèi)一點(diǎn)（記為A）做另一 個(gè)半平面的一條垂線，過這個(gè) 垂足（記為B）再做棱的垂線， 記垂足為C，連接AC，則 ACB即為該二面角的平面角。 A B C 2、兩個(gè)平面的法向量 的夾角與這兩個(gè)平面 所成的二面角的平面 角有怎樣的關(guān)系？ 探究準(zhǔn)備：

3、探究準(zhǔn)備： 答：相等或互補(bǔ) m 互補(bǔ)互補(bǔ) 相等相等 m 2 探究一： 試一試： 例1、如圖：在三棱錐S-ABC中， SA平面ABC，ABBC,DE垂直平 分SC,分別交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= a. 求：平面BDE和平面BDC所成的二 面角的大小。 S A E C B D 分析分析：1、根據(jù)已知條件提供的數(shù)量關(guān)系 通過計(jì)算證明有關(guān)線線垂直； 2、利用已得的垂直關(guān)系找出二面角的平 面角。 解：如圖： SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD; 于是SB= = a 又BC= a ， SB=BC; E為SC的中點(diǎn)，BESC 又DESC 故SC平面BDE 可得BDSC

4、又BDSA BD平面SAC CDE為平面BDE和平面BDC所成 二面 角的平面角。 ABBC，AC= = = a 在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ， CDE=900-SCA=600 解畢。 22 ABSA2 2 22 BCAB 22 2aa 3 AC SA 3 3 議一議：剛才的證明過 程中，是用什么方法找到 二面角的平面角的？ 請(qǐng)各小組討論交流一下。 S E C A B D 探究二： 試一試 例二：如圖：直四棱柱ABCD- A1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，DAB=600,F為棱AA1的中 點(diǎn)。 求：平面BFD1與平面ABCD所 成的二面角的大

5、小。 A1 D1C1 B1 A D C B F 要求要求：1、各人思考；2、小組討論； 3、小組交流展示；4、總結(jié)。 A1 D1C1 C B1 B D A P F 如圖：延長D1F交DA的延長線于點(diǎn)P，連 接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面 ABCD的交線。 F是AA1的中點(diǎn)，可得A也是PD的中 點(diǎn)，AP=AB, 又 DAB=600,且底面ABCD是菱形， 可得正三角形ABD, 故 DBA=600, P=ABP=300, DBP=900,即PBDB； 又因?yàn)槭侵崩庵珼D1 PB, PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面 角。 顯然BD=AD=DD1, DBD1=4

6、50。即為所 求. 解畢。 解法一：解法一： A1 D1 C1 B1 F A D C B P E 解法二：解法二： 如圖：延長D1F交DA的延長線于點(diǎn)P，連 接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面 ABCD的交線； 因?yàn)槭侵崩庵?，所以AA1 底面ABCD, 過A做AEPB,垂足為E,連接EF, 由三垂線定理可知，EFPB, AEF即為二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰APB, P=300， RtAPB中，可求得AE= 1 ，（設(shè)四棱柱 的棱長為2）又AF= 1, AEF=450，即 為所求。 思考思考：這種解法同解法一有什么異同？ 解法三：解法三： 法向量法：建系如圖： 設(shè)這

7、個(gè)四棱柱各棱長均為2. 則D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， ，0） F（-1， ，1） =（-2，0 ，1） =（1， ，-2） 顯然， 就是平面ABCD的法向量，再設(shè)平面 BDD1的一個(gè)法向量為向量 =(x0,y0,z0)。則 且 2x0+ 0y0-z0=0且x0+ y0-2z0=0 令x0=1可得z0= 2 , y0= , 即 =（ 1， ，2） 設(shè)所求二面角的平面角為，則COS = = ,所以所求二面角大小為450 解畢 A1 D1 C1 B1 A B CD x y z 3 3 3 3 F 1 1 DDu DDu 2 2 1 DD BF BD 1 u uFB uBD1 u

8、3 3 解法四：解法四： A1 D1 C1 B1 F C B D A 如圖：由題意可知，這是一個(gè)直四棱柱 ， BFD1在底面上的射影三角形就是 ABD, 故由射影面積關(guān)系可得COS= ABD B1 （是所求二面角的平面角） 以下求面積略。 點(diǎn)評(píng)：這種解法叫做“射影面積法” 在選擇和填空題中有時(shí)候用起來會(huì)很 好 總一總總一總：求二面角的方法你都 學(xué)會(huì)了哪些？每一種方法在使用 上要注意什么問題？ 請(qǐng)同學(xué)們先自己思考，然后小 組內(nèi)交流學(xué)習(xí)一下。 二面角的幾種主要常用的求法： 1 1、垂面法、垂面法。見例一和例二的解法一； 2 2、三垂線法。、三垂線法。見例二的解法二；見例二的解法二； 3 3、射影面

9、積法。、射影面積法。見例二的解法三； 4 4、法向量夾角法。、法向量夾角法。見例二的解法四。 其中垂面法和三垂線法也是直接找平面角的 方法 ，也稱為 直接法；射影面積法和法向量 法是沒有找出平面角而求之的方法，也稱之為 間接法。 這幾種方法是現(xiàn)在求二面角的常用 的方法，在高考中經(jīng)常被考查；尤其是 向量法，更有著廣泛的被考查性，在應(yīng) 用的時(shí)候主要注意以下兩點(diǎn)： 1、合理建系合理建系。本著“左右對(duì)稱左右對(duì)稱 就地取就地取 材材”的建系原則。 2、視圖取角視圖取角。由于法向量的取定有人為 的因素，其夾角不一定正好是二面角的 平面交的大小，我們要視原圖形的情況 和題意條件進(jìn)行正確的選擇大小，即要 么是

10、這個(gè)角，要么是它的補(bǔ)角。 點(diǎn)點(diǎn) 評(píng)評(píng) 2 試一試： 例1、如圖：在三棱錐S-ABC中， SA平面ABC，ABBC,DE垂直平 分SC,分別交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= a. 求：平面BDE和平面BDC所成的二 面角的大小。 S A E C B D 請(qǐng)同學(xué)們將剛才的例一用其他方法試一下： 規(guī)范訓(xùn)練一規(guī)范訓(xùn)練一 1、（本小題為2007年山東高考試卷理科 19題） 如圖，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， 已知：DC=DC1=2AD=2AB,ADDC, AB/DC （）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：D1E /平面 A1BD ； （）求二面角 A1-BD-C1余弦值。 規(guī)范訓(xùn)練二：規(guī)范訓(xùn)練二： 2、（本小題為2008年山東高考理科試卷 20題） 如圖，已知四棱錐P-A