第十二章能量法

1、第十二章第十二章 能能 量量 方方 法法 主講教師：余茜主講教師：余茜 12 12 1 1 概述概述 12 12 2 2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 12 12 3 3 卡氏定理卡氏定理 12 12 4 4 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理 12 12 5 5 莫爾定理莫爾定理 目目 錄錄 第十二章第十二章 能量方法能量方法 12-1 12-1 概述概述 基本概念基本概念 外力功外力功物體在外力作用下發(fā)生變形，外力在彈性體的變物體在外力作用下發(fā)生變形，外力在彈性體的變 形過程中所做的功，稱為形過程中所做的功，稱為外力功外力功，用用W表示表示 應(yīng)變能應(yīng)變能對于彈性體，因

2、為變形是可逆的，外力功將以一對于彈性體，因為變形是可逆的，外力功將以一 種能量形式積蓄在該彈性體內(nèi)部。通常把這種形式的能量稱為種能量形式積蓄在該彈性體內(nèi)部。通常把這種形式的能量稱為 應(yīng)變能應(yīng)變能，又稱為，又稱為變形能變形能，用用V 表示表示 功能原理功能原理當(dāng)外力由零開始緩慢增加時（不考慮變形過程當(dāng)外力由零開始緩慢增加時（不考慮變形過程 中的動力效應(yīng)和溫度效應(yīng)），根據(jù)能量守恒，外力功中的動力效應(yīng)和溫度效應(yīng)），根據(jù)能量守恒，外力功全部轉(zhuǎn)化全部轉(zhuǎn)化 為應(yīng)變能存儲于彈性體的內(nèi)部為應(yīng)變能存儲于彈性體的內(nèi)部，即，即 能量法能量法利用功能原理來解決彈性體的變形、內(nèi)力計算的利用功能原理來解決彈性體的變形、內(nèi)

3、力計算的 方法，稱為能量法方法，稱為能量法 WV 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 EA lF l N EA Fl l 0:軸向伸長軸向伸長 對應(yīng)于加載過程中某一個外力對應(yīng)于加載過程中某一個外力F1的微小的微小 增量增量d dF1，桿件伸長了，桿件伸長了 ，外力從，外力從F1增增 加到加到F1+ d dF1的過程中，外力功的增量為的過程中，外力功的增量為 1 ld F0:外力外力 11 ldFdW 外力從零開始到外力從零開始到F值時，外力功的總和為：值時，外力功的總和為： 1 0 1 0 ldFdWW lW

4、lF EA lF EA ldF F F 2 1 2 2 1 0 1 1 1、軸向拉伸（壓縮）、軸向拉伸（壓縮） l 圖12.1 (b) l d( l1) l1 O dF1F1 F B A F (a) ll F 圖12.1 (b) l d( l1) l1 O dF1F1 F B A F (a) ll F l 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 1 1、軸向拉伸（壓縮）、軸向拉伸（壓縮） 圖12.1 (b) l d( l1) l1 O dF1F1 F B A F (a) ll F l lFW 2 1 上式表明：在靜

5、荷載作用下，外力在線彈性體變形過程中所上式表明：在靜荷載作用下，外力在線彈性體變形過程中所 做的功，做的功，等于外力最終值與相應(yīng)位移最終值的乘積的一半等于外力最終值與相應(yīng)位移最終值的乘積的一半， 在數(shù)值上在數(shù)值上等于圖中三角形等于圖中三角形OAB的面積的面積 如果桿件的軸力如果桿件的軸力 FN分段為常量時分段為常量時 lFWV 2 1 EA lFN 2 2 2 N 12 n i i i ii F l V E A 如果如果FN =FN （x）時，時， 或或A =A （x）時）時 2 N ( ) d 2( ) l Fx Vx EA x 注意：本章所謂外注意：本章所謂外 力的功，是指靜荷力的功，是指

6、靜荷 載的功。它與在工載的功。它與在工 程動力學(xué)中，所謂程動力學(xué)中，所謂 “常力的功常力的功”不同。不同。 2 N ( ) dd 2( ) Fx Vx EA x 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 1 1、軸向拉伸（壓縮）、軸向拉伸（壓縮） 圖12.1 (b) l d( l1) l1 O dF1F1 F B A F (a) ll F l 如果桿件的軸力如果桿件的軸力 FN分段為常量時分段為常量時 2 N 12 n i i i ii F l V E A 如果如果FN =FN （x）時，時， 或或A =A （x）時

7、）時 2 N ( ) d 2( ) l Fx Vx EA x 應(yīng)變能密度（單位體積的應(yīng)變能）應(yīng)變能密度（單位體積的應(yīng)變能） 2 N ( ) dd 2( ) Fx Vx EA x 22 N d( ) d1 d2d22 VFxx v VEA A xE 2 11 0 1 d 22 v E 2 dd 2 VV Vv VV E O l (c) 1 d 1 1 d 1 a b O d( l1) B A 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 0:切應(yīng)變切應(yīng)變0:切應(yīng)力切應(yīng)力 應(yīng)變能密度在數(shù)值上應(yīng)變能密度在數(shù)值上 等于三角形等于

8、三角形OABOAB的面積的面積 2 2、剪切變形、剪切變形 (a) dy dz dx 11 d( d d ) ( d )d d d 22 Wx zyx y z 11 ddd d dd 22 VWx y zV 2 d1 d22 V v VG 2 ddd 2 VVV VVv VV G 2 d1 d22 V v VG (b) A B O 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 e MW 2 1 如果圓軸的扭矩如果圓軸的扭矩 MT分段為常量時分段為常量時 如果如果MT = MT （x）時，時， 或或I =I （x）時）時 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能

9、3 3、扭轉(zhuǎn)變形、扭轉(zhuǎn)變形 T O B A MT (b) P T GI lM 2 T e p 1 22 M l VM GI 2 T 1 p 2 n i i i ii M l V G I 2 T p ( ) d 2( ) l Mx Vx GIx 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 設(shè)實心圓桿的橫截面半徑為設(shè)實心圓桿的橫截面半徑為r1，桿長為，桿長為l，其應(yīng)變能為，其應(yīng)變能為 設(shè)薄壁圓筒壁中線半徑為設(shè)薄壁圓筒壁中線半徑為r2 ，壁厚為，壁厚為，則，則 筒的體積為筒的體積為 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 應(yīng)變能為應(yīng)變能為 例例12.2 12.2 材料、長度和截面面積均相同的薄壁圓筒和實心圓

10、桿，材料、長度和截面面積均相同的薄壁圓筒和實心圓桿， 若桿端受扭轉(zhuǎn)力偶后兩桿的最大切應(yīng)力相等。試求兩者的應(yīng)變?nèi)魲U端受扭轉(zhuǎn)力偶后兩桿的最大切應(yīng)力相等。試求兩者的應(yīng)變 能之比。能之比。 2 2 22 maxpmaxp 2 T1 1max 2 pp11 2224 II l M lr ll V GIGIrGrG 圖3.14 (a) max max max MT 2 2Vrl 2 0 / (2 )vG 2 20 2 20 dd 2 VV rl Vv VV GG 2 12 2rr max0 2 2202 222 1max1 /4 2 / (4 ) VrlGr Vr lGr 2 2 22 maxpmaxp

11、2 T1 1max 2 pp11 2224 II l M lr ll V GIGIrGrG 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 彎矩彎矩M M所做的功在數(shù)值上等所做的功在數(shù)值上等 于三角形于三角形OABOAB的面積的面積 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 4 4、彎曲變形、彎曲變形 純彎曲梁純彎曲梁 MM l (a) 圖12.5 l z 1M EI z Ml EI M A B O M (b) 圖12.5 1 2 WM 2 z 1 22 M l VM EI 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、

12、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 4 4、彎曲變形、彎曲變形 橫力彎曲梁橫力彎曲梁 彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能 1 d( )d 2 WM x x l x (a) y dx 2 F 1 F 2 z 1( ) d d( ) d 22 Mxx VM x EI 2 z ( ) d 2 l Mxx V EI 梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變 能與剪切應(yīng)變能之和。能與剪切應(yīng)變能之和。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 4 4、彎曲變形、彎曲變形 橫力彎曲梁橫力彎曲梁 彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能 剪切應(yīng)變能剪切應(yīng)變能 x l x

13、(a) y dx 2 F 1 F 2 z ( ) d 2 l Mxx V EI 梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變 能與剪切應(yīng)變能之和。能與剪切應(yīng)變能之和。 2 1 22 v G * Sz z F S bI 2 * Sz z 1 2 F S v GbI 2 * Sz z 1 ddd 2 VlA F S VvVAx GbI 2 * z 2 z d A SA kA Ib 令 2 S d 2 l kF Vx GA 剪切形狀系數(shù)剪切形狀系數(shù)（與截面（與截面 形狀有關(guān)的切應(yīng)力不均形狀有關(guān)的切應(yīng)力不均 勻分布修正系數(shù)）勻分布修正系數(shù)） 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在

14、各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 4 4、彎曲變形、彎曲變形 橫力彎曲梁橫力彎曲梁 彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能 剪切應(yīng)變能剪切應(yīng)變能 x l x (a) y dx 2 F 1 F 2 z ( ) d 2 l Mxx V EI 梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變 能與剪切應(yīng)變能之和。能與剪切應(yīng)變能之和。 2 * z 2 z d A SA kA Ib 令 2 S d 2 l kF Vx GA 剪切形狀系數(shù)剪切形狀系數(shù)（與截面（與截面 形狀有關(guān)的切應(yīng)力不均形狀有關(guān)的切應(yīng)力不均 勻分布修正系數(shù)）勻分布修正系數(shù)） 1.2k 10 9 k 2k 矩形截面矩形截面 圓形截面圓形截面 薄

15、壁圓環(huán)截面薄壁圓環(huán)截面 。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 4 4、彎曲變形、彎曲變形 橫力彎曲梁橫力彎曲梁 彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能 剪切應(yīng)變能剪切應(yīng)變能 x l x (a) y dx 2 F 1 F 2 z ( ) d 2 l Mxx V EI 梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變梁的應(yīng)變能是彎曲應(yīng)變 能與剪切應(yīng)變能之和。能與剪切應(yīng)變能之和。 2 S d 2 l kF Vx GA 橫力彎曲梁的應(yīng)變能橫力彎曲梁的應(yīng)變能 22 S ( )( ) d 22 l z kFxMx Vx EIGA 對于高跨比較小的細(xì)長梁，剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)

16、小于彎曲應(yīng)變能，對于高跨比較小的細(xì)長梁，剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)小于彎曲應(yīng)變能， 因此在工程結(jié)構(gòu)分析時，一般將剪切應(yīng)變能略去不計。因此在工程結(jié)構(gòu)分析時，一般將剪切應(yīng)變能略去不計。 如果廣義力是軸向力或橫向力，則廣義位移為對應(yīng)的線位移如果廣義力是軸向力或橫向力，則廣義位移為對應(yīng)的線位移 如果廣義力為力偶，則廣義位移為對應(yīng)的轉(zhuǎn)角如果廣義力為力偶，則廣義位移為對應(yīng)的轉(zhuǎn)角 如果廣義力是一對大小相等、方向相反的集中力，則廣義位移如果廣義力是一對大小相等、方向相反的集中力，則廣義位移 為對應(yīng)的相對線位移。為對應(yīng)的相對線位移。 桿件在線彈性范圍內(nèi)，靜荷載外力功的表達(dá)式可統(tǒng)一寫為：桿件在線彈性范圍內(nèi)，靜荷載外力功的表達(dá)式

17、可統(tǒng)一寫為： F廣義力（集中力或集中力偶）廣義力（集中力或集中力偶） FW 2 1 在廣義力作用點，與廣義力方位一致的位移（線位在廣義力作用點，與廣義力方位一致的位移（線位 移或角位移）移或角位移） 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 注意：注意： 對于非線性彈性問題，盡管是彈性變形，功能原理仍對于非線性彈性問題，盡管是彈性變形，功能原理仍 然成立，但是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是線性關(guān)系，其應(yīng)變能計然成立，但是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是線性關(guān)系，其應(yīng)變能計 算公式為算公式為 由于非線性彈性問題，由于非線性彈性問題， F - -

18、曲線不再是直線，因此由上式曲線不再是直線，因此由上式 計算所得應(yīng)變能的系數(shù)不再是計算所得應(yīng)變能的系數(shù)不再是1/21/2。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能一、桿件在各種基本變形時的應(yīng)變能 d l VWF 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 例例12.3 12.3 簡支梁簡支梁AB在在C處作用集中力處作用集中力F，如圖，如圖12.712.7所示。已知梁的所示。已知梁的 抗彎剛度抗彎剛度EI為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能 V ，并且計算，并且計算C點的撓度點的撓度yC。 ab x1 2 x l C F BA 圖1

19、2.7 1111 ()(0) Ay Fb M xF xxxa l 2222 ()(0) By Fa M xF xxxb l 222 12 12 00 22 1122 00 222 ()()( ) ddd 222 1 dd 2 6 ab l ab MxMxMx Vxxx EIEIEI FbFa xxxx EIll F a b EIl 1 2 C WF y 22 3 C Fa b y EIl 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 例例12.4 12.4 試求圖試求圖12.812.8所示變截面懸臂梁自由端所示變截面懸臂梁自由端B B點的撓度點的撓度 yB。 b b(x) h x l

20、M(x) F B A 圖12.8 由于能量原理應(yīng)用不涉及變形的具體過程，因此可以不采用由于能量原理應(yīng)用不涉及變形的具體過程，因此可以不采用 統(tǒng)一坐標(biāo)系；能量原理對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的變形分析具有優(yōu)越性。統(tǒng)一坐標(biāo)系；能量原理對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的變形分析具有優(yōu)越性。 圖示微段是從處于拉、彎、扭組合變形下的圓截面桿件中取圖示微段是從處于拉、彎、扭組合變形下的圓截面桿件中取 出的出的 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 二、桿件在組合變形時的應(yīng)變能二、桿件在組合變形時的應(yīng)變能 dx FN (x) )x ( N F 圖12.9 MT(x) MT(x) M(x) M(x) 各廣義位各廣義位 移相互正交

21、，移相互正交， 因此各個外力因此各個外力 所做的功是相所做的功是相 對獨立的，互對獨立的，互 不影響。不影響。 拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲組合變形的桿件，當(dāng)彎曲變形為對稱彎曲拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲組合變形的桿件，當(dāng)彎曲變形為對稱彎曲 時，其中任一種內(nèi)力并不在其他內(nèi)力產(chǎn)生的變形上作功，而分時，其中任一種內(nèi)力并不在其他內(nèi)力產(chǎn)生的變形上作功，而分 別只在各自的相應(yīng)位移上作功，忽略剪力的影響，則別只在各自的相應(yīng)位移上作功，忽略剪力的影響，則 注：應(yīng)變能是荷載的二次函數(shù)，因此應(yīng)變能的計算一般不能采注：應(yīng)變能是荷載的二次函數(shù)，因此應(yīng)變能的計算一般不能采 用疊加法。只有當(dāng)各內(nèi)力不在非自身引起的廣義位移上作功，用疊加法。只有

22、當(dāng)各內(nèi)力不在非自身引起的廣義位移上作功， 桿件的應(yīng)變能才可以用疊加法計算。桿件的應(yīng)變能才可以用疊加法計算。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 二、桿件在組合變形時的應(yīng)變能二、桿件在組合變形時的應(yīng)變能 NT 111 d( )d()( )d( )d 222 WFxlMxM x T NT 2 22 N p 111 dd( )d()( )d( )d 222 ( ) ( )( ) ddd 222 VWFxlMxM x Mx FxMx xxx EAGIEI 222 NT p ( )( )( ) ddd 222 lll FxMxMx Vxxx EAGIEI 拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲組合變形的桿件

23、，當(dāng)彎曲變形為對稱彎曲拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲組合變形的桿件，當(dāng)彎曲變形為對稱彎曲 時，其中任一種內(nèi)力并不在其他內(nèi)力產(chǎn)生的變形上作功，而分時，其中任一種內(nèi)力并不在其他內(nèi)力產(chǎn)生的變形上作功，而分 別只在各自的相應(yīng)位移上作功，忽略剪力的影響，則別只在各自的相應(yīng)位移上作功，忽略剪力的影響，則 對于非圓截面桿件，應(yīng)變能的普遍表達(dá)形式為對于非圓截面桿件，應(yīng)變能的普遍表達(dá)形式為 注：變形能是荷載的二次函數(shù)，因此變形能的計算一般不能采注：變形能是荷載的二次函數(shù)，因此變形能的計算一般不能采 用疊加法。只有當(dāng)各內(nèi)力不在非自身引起的廣義位移上作功，用疊加法。只有當(dāng)各內(nèi)力不在非自身引起的廣義位移上作功， 桿件的變形能才可以

24、用疊加法計算。桿件的變形能才可以用疊加法計算。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 二、桿件在組合變形時的應(yīng)變能二、桿件在組合變形時的應(yīng)變能 222 NT p ( )( )( ) ddd 222 lll FxMxMx Vxxx EAGIEI 2 222 y NTz tyz ( ) ( )( )( ) dddd 2222 llll Mx FxMxMx Vxxxx EAGIEIEI 彈性體受多個外力作用時，由于變形使各外力作用點產(chǎn)彈性體受多個外力作用時，由于變形使各外力作用點產(chǎn) 生位移，則各外力在對應(yīng)位移上做功之代數(shù)和，其數(shù)值等于彈生位移，則各外力在對應(yīng)位移上做功之代數(shù)和，其數(shù)值

25、等于彈 性體內(nèi)部存儲的應(yīng)變能。性體內(nèi)部存儲的應(yīng)變能。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 三、應(yīng)變能的普遍表達(dá)式三、應(yīng)變能的普遍表達(dá)式 當(dāng)線彈性體上作用有多個廣義力當(dāng)線彈性體上作用有多個廣義力Fi，每個廣義力的相應(yīng)位移，每個廣義力的相應(yīng)位移 為為i，對于，對于小變形、線彈性范圍內(nèi)、且彈性體的位移與外力之小變形、線彈性范圍內(nèi)、且彈性體的位移與外力之 間滿足線性關(guān)系間滿足線性關(guān)系的桿件，所有外力在其相應(yīng)位移上所做功的總的桿件，所有外力在其相應(yīng)位移上所做功的總 和為：和為： n i ii FW 1 2 1 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 三、應(yīng)變能的普遍表達(dá)式

26、三、應(yīng)變能的普遍表達(dá)式 當(dāng)線彈性體上作用有多個廣義力當(dāng)線彈性體上作用有多個廣義力Fi，每個廣義力的相應(yīng)位移，每個廣義力的相應(yīng)位移 為為i，對于，對于小變形、線彈性范圍內(nèi)、且彈性體的位移與外力之小變形、線彈性范圍內(nèi)、且彈性體的位移與外力之 間滿足線性關(guān)系間滿足線性關(guān)系的桿件，所有外力在其相應(yīng)位移上所做功的總的桿件，所有外力在其相應(yīng)位移上所做功的總 和為：和為： n i ii FW 1 2 1 1122 1111 2222 iinn VWFFFF 線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力與其對應(yīng)位移乘積的二分線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力與其對應(yīng)位移乘積的二分 之一的總和。這一結(jié)論也稱為之一的總和。這一結(jié)論也稱

27、為克拉貝依隆克拉貝依隆原理。原理。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 例例12.5 12.5 如圖如圖12.1112.11所示圓截面折桿，荷載所示圓截面折桿，荷載F沿豎向作用，已知桿沿豎向作用，已知桿 的抗彎剛度為的抗彎剛度為EI，抗扭剛度為，抗扭剛度為GIP。試求折桿的應(yīng)變能。（略去。試求折桿的應(yīng)變能。（略去 剪力的影響）。剪力的影響）。 C z a l x 圖12.11 B z y x A F 1 1、應(yīng)變能恒為正值、應(yīng)變能恒為正值 2 2、應(yīng)變能的大小只與荷載的終值有關(guān)，而與加載、應(yīng)變能的大小只與荷載的終值有關(guān)，而與加載 的次序無關(guān)的次序無關(guān) 3 3、若各廣義力在非自

28、身引起的廣義位移上作功時，、若各廣義力在非自身引起的廣義位移上作功時， 則不能用疊加法計算桿件的應(yīng)變能則不能用疊加法計算桿件的應(yīng)變能 因為應(yīng)變能是內(nèi)力的二次函數(shù)，所以各廣義力因為應(yīng)變能是內(nèi)力的二次函數(shù)，所以各廣義力 共同作用下桿件的應(yīng)變能，并不等于每個廣義力共同作用下桿件的應(yīng)變能，并不等于每個廣義力 單獨作用下的應(yīng)變能之和。只有當(dāng)各廣義力并不單獨作用下的應(yīng)變能之和。只有當(dāng)各廣義力并不 在非自身引起的廣義位移上作功，桿件的應(yīng)變能在非自身引起的廣義位移上作功，桿件的應(yīng)變能 才可以用疊加法計算。才可以用疊加法計算。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 四、計算應(yīng)變能應(yīng)注意的問題四、

29、計算應(yīng)變能應(yīng)注意的問題 若各廣義力在非自身引起的廣義位移上作功時，若各廣義力在非自身引起的廣義位移上作功時， 則不能用疊加法計算桿件的應(yīng)變能則不能用疊加法計算桿件的應(yīng)變能 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 例例12.6 12.6 求圖求圖12.1212.12所示懸臂梁的應(yīng)變能。所示懸臂梁的應(yīng)變能。 x l Me F 圖12.12 e ( )M xMFx 2222 3 2ee e 0 ( )1 d() d 22262 l l M lM FlMxF l VxMFxx EIEIEIEIEI e 2 2 e M l V EI 2 3 6 F F l V EI e F VVV 222

30、2 3 2ee e 0 ( )1 d() d 22262 l l M lM FlMxF l VxMFxx EIEIEIEIEI 因為這時的力因為這時的力F產(chǎn)生的內(nèi)力為軸力，力偶產(chǎn)生的內(nèi)力為軸力，力偶Me作用作用 產(chǎn)生的內(nèi)力為扭矩，而軸力和扭矩不屬于同一類型產(chǎn)生的內(nèi)力為扭矩，而軸力和扭矩不屬于同一類型 的內(nèi)力，因此，在計算應(yīng)變能時，可以應(yīng)用疊加法的內(nèi)力，因此，在計算應(yīng)變能時，可以應(yīng)用疊加法 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 例例12.7 12.7 試計算圖試計算圖12.1312.13所示圓桿的應(yīng)變能。所示圓桿的應(yīng)變能。 l x 圖12.13 F Me 22 e p 22 M

31、lF l V EAGI e 2 e 2 M p M l V GI 2 2 F F l V EA e MF VVV 如左圖，兩種屬于同一類型，應(yīng)變能不能疊加；如左圖，兩種屬于同一類型，應(yīng)變能不能疊加； 如右圖，兩種荷載屬于不同類型，應(yīng)變能可以采用疊加法計算。如右圖，兩種荷載屬于不同類型，應(yīng)變能可以采用疊加法計算。 12-2 12-2 桿件的應(yīng)變能計算桿件的應(yīng)變能計算 四、計算應(yīng)變能應(yīng)注意的問題四、計算應(yīng)變能應(yīng)注意的問題 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 一、卡氏第一定理一、卡氏第一定理 若彈性體上作用有若彈性體上作用有n個已知的廣義個已知的廣義 力力F1 ， F2 ， Fi ， Fn，在它，

32、在它 們的共同作用下，沿每個廣義力方向們的共同作用下，沿每個廣義力方向 的廣義位移分別為的廣義位移分別為1 ， 2 ， i ， n ，則，則由廣義位移表示的應(yīng)由廣義位移表示的應(yīng) 變能變能V （ 1 ， 2 ， n ）對某個）對某個 廣義位移廣義位移i的偏導(dǎo)數(shù)，等于與廣義位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與廣義位移 i相對應(yīng)的廣義力相對應(yīng)的廣義力Fi ，即，即 卡氏第一定理對線性彈性體或非線性彈性體都適用?？ㄊ系谝欢ɡ韺€性彈性體或非線性彈性體都適用。 Fi nF i 2 F 1 2 n 圖12.10 F1 i i V F （i =1，2，n） 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 一、卡氏第一定理一、卡氏第一

33、定理 證明：設(shè)彈性體上的已知廣義力如圖證明：設(shè)彈性體上的已知廣義力如圖 所示所示 應(yīng)變能的應(yīng)變能的 增量增量 外力功的增量外力功的增量由功能原理由功能原理 彈性體的應(yīng)變能彈性體的應(yīng)變能 Fi nF i 2 F 1 2 n 圖12.10 F1 12 0 1 d, i n in i VWFV 當(dāng)廣義力當(dāng)廣義力Fi 對應(yīng)的位移對應(yīng)的位移i 有微小增量有微小增量 di，而其他位移均保持不變時，而其他位移均保持不變時， 12 12 ddddd d in in i i VVVV V V dd ii WF i i V F 例例 求圖示超靜定桿求圖示超靜定桿C C處的位移處的位移 ala 21 a EA EA

34、F N 1 111 al EA EAF N 2 222 al EA a EA EA lF V i iNi i 222 2 2 2 1 22 1 應(yīng)變能為應(yīng)變能為 解：首先，采用解：首先，采用C C截面的位移作為基本未知量，表達(dá)各桿段截面的位移作為基本未知量，表達(dá)各桿段 的應(yīng)變、軸力和變形能的應(yīng)變、軸力和變形能 al EA a EAV F 21 1 21 al EA a EA F 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 若彈性體上作用有若彈性體上作用有n個已知的廣義個已知的廣義 力力F1 ， F2 ， Fi ， Fn，在它，在

35、它 們的共同作用下，沿每個廣義力方向們的共同作用下，沿每個廣義力方向 的廣義位移分別為的廣義位移分別為1 ， 2 ， i ， n ，則，則由廣義力表示的應(yīng)變由廣義力表示的應(yīng)變 能能V （ F1 ， F2 ， Fn ）對某個廣）對某個廣 義力義力Fi的偏導(dǎo)數(shù)，等于與廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，等于與廣義力 Fi相對相對 應(yīng)的廣義位移應(yīng)的廣義位移i ，即，即 卡氏第二定理僅適用于線性彈性體?？ㄊ系诙ɡ韮H適用于線性彈性體。 Fi nF i 2 F 1 2 n 圖12.10 F1 （i =1，2，n） i i V F 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 證明：設(shè)線彈性體上作用

36、一組相互獨證明：設(shè)線彈性體上作用一組相互獨 立的廣義力，如圖所示立的廣義力，如圖所示 應(yīng)變能的增量應(yīng)變能的增量 彈性體的應(yīng)變能彈性體的應(yīng)變能 當(dāng)廣義力當(dāng)廣義力Fi有微小增量有微小增量dFi (a) (b) i F2F1FiFn F1F2 Fi Fn d i 1 2i n F d 12 , in VVF FFF 1 1 2 n ii i F d i i V F F 總應(yīng)變能總應(yīng)變能 1 1 dd 2 n iii i i V VVFF F 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 將上述兩組荷載的作用次序顛倒，將上述兩組荷載的作用次序顛倒， 首先在彈性體上作用第一組力

37、首先在彈性體上作用第一組力dFi， 然后再作用第二組外力然后再作用第二組外力F1 ， F2 ， Fi ， Fn 略去高階微量，得略去高階微量，得 第一組力作用下彈性體的應(yīng)變能第一組力作用下彈性體的應(yīng)變能 再作用第二組外力再作用第二組外力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)i，F(xiàn)n (a) (b) i F2F1FiFn F1F2 Fi Fn d i 1 2i n F d (c) 圖12.16 n i2 1 i Fn Fi F2F1 Fid d 12 , in VVF FFF 總應(yīng)變能總應(yīng)變能 1 d d 2 ii F 1 11 d dd 22 n iiiiii i FFF 總應(yīng)變能總應(yīng)變能 1 1 dd 2 n ii

38、i i i V VVFF F 1 dd dd 2 iiiii i V VFFVF F i i V F 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 若彈性體上作用有若彈性體上作用有n個已知的廣義個已知的廣義 力力F1 ， F2 ， Fi ， Fn，在它，在它 們的共同作用下，沿每個廣義力方向們的共同作用下，沿每個廣義力方向 的廣義位移分別為的廣義位移分別為1 ， 2 ， i ， n ，則，則由廣義力表示的應(yīng)變由廣義力表示的應(yīng)變 能能V （ F1 ， F2 ， Fn ）對某個廣）對某個廣 義力義力Fi的偏導(dǎo)數(shù)，等于與廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，等于與廣義力 Fi相對相對 應(yīng)的廣義位

39、移應(yīng)的廣義位移i ，即，即 Fi nF i 2 F 1 2 n 圖12.10 F1 （i =1，2，n） i i V F 注意：如果在欲求廣義位移的點處，沒有與之相應(yīng)的廣義力作注意：如果在欲求廣義位移的點處，沒有與之相應(yīng)的廣義力作 用時，則需要在該點處施加一個虛擬的廣義力用時，則需要在該點處施加一個虛擬的廣義力Fi，并計算結(jié)構(gòu)，并計算結(jié)構(gòu) 在包括在包括Fi在內(nèi)的所有外力作用下的應(yīng)變能，將應(yīng)變能對虛擬的在內(nèi)的所有外力作用下的應(yīng)變能，將應(yīng)變能對虛擬的 廣義力求偏導(dǎo)數(shù)后，再令廣義力求偏導(dǎo)數(shù)后，再令Fi為零，即可求得該點的位移。為零，即可求得該點的位移。 二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 卡氏第二定理

40、的應(yīng)用卡氏第二定理的應(yīng)用 （1 1） 軸向拉壓桿件軸向拉壓桿件 dx F xF EA xF EA dxxF F l i NN l N i i 2 )( 2 dx EA xF V l N 2 )( 2 ),2,1(ni F V i i （2 2） 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn) dx F xM GI xM GI dxxM F l i T P T l P T i i 2 )( 2 dx GI xM V l P T 2 )( 2 （3 3） 梁的彎曲梁的彎曲 dx F xM EI xM EI dxxM F l i l i i 2 )( 2 dx EI xM V l 2 )( 2 （4 4） 組合變形組合變形 dx

41、 F xM EI xM dx F xM GI xM dx F xF EA xF l i l i T P T l i NN i lll P TN dx EI xM dx GI xM dx EA xF V 2 )( 2 )( 2 )( 222 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 例例12.9 12.9 懸臂梁懸臂梁AB作用荷載如圖作用荷載如圖12.1712.17所示。已知梁的抗彎剛度所示。已知梁的抗彎剛度 為為EI，試用卡氏第二定理求，試用卡氏第二定理求A截面的撓度截面的撓度yA和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角A。 解：（解：（1 1）首先求）首先求A截面的撓度截面的撓度yA 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理

42、F A B (a) q x l 2 1 ( ) 2 M xFxqx 0 xl ( )M x x F 2 0 34 ( )( ) d 11 ()() d 2 111 38 A l l VM xM x yx FEIF Fxqxxx EI Flql EI 2 0 34 ( )( ) d 11 ()() d 2 111 38 A l l VM xM x yx FEIF Fxqxxx EI Flql EI 例例12.9 12.9 懸臂梁懸臂梁AB作用荷載如圖作用荷載如圖12.1712.17所示。已知梁的抗彎剛度所示。已知梁的抗彎剛度 為為EI，試用卡氏第二定理求，試用卡氏第二定理求A截面的撓度截面的撓度

43、yA和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角A。 （2 2）求）求A截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角A 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 B A Fq (b) l x 注意：如果在欲求廣義位移的點處，沒有與之相應(yīng)的廣義力作注意：如果在欲求廣義位移的點處，沒有與之相應(yīng)的廣義力作 用時，則需要在該點處施加一個虛擬的廣義力用時，則需要在該點處施加一個虛擬的廣義力Fi，并計算結(jié)構(gòu)，并計算結(jié)構(gòu) 在包括在包括Fi在內(nèi)的所有外力作用下的應(yīng)變能，將應(yīng)變能對虛擬的在內(nèi)的所有外力作用下的應(yīng)變能，將應(yīng)變能對虛擬的 廣義力求偏導(dǎo)數(shù)后，再令廣義力求偏導(dǎo)數(shù)后，再令Fi為零，即可求得該點的位移。為零，即可求得該點的位移。 B A Fq (b) l x Me

44、2 e 1 ( ) 2 M xMFxqx0 xl e ( ) 1 M x M 2 e 0 ee 23 e ( )( )11 d() d 2 1 () 26 l A l VM xM x xMFxqxx MEIMEI Flql M l EI e 0M令 23 26 A Flql EIEI 例例12.10 12.10 求圖求圖12.1812.18（a a）所示簡支梁）所示簡支梁A端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角A。 由卡氏第二定理，應(yīng)該是變形能對由卡氏第二定理，應(yīng)該是變形能對A點的力偶點的力偶Me求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)， 而不是對而不是對B點的力偶點的力偶Me求偏導(dǎo)數(shù)，兩者不可混淆。故在求支座反求偏導(dǎo)數(shù)，兩者不可混淆。

45、故在求支座反 力、列彎矩方程及彎矩方程求偏導(dǎo)數(shù)時應(yīng)使兩個力偶有所區(qū)別。力、列彎矩方程及彎矩方程求偏導(dǎo)數(shù)時應(yīng)使兩個力偶有所區(qū)別。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 l (a) Me Me A B x l (b) B A Me1 Me ee1 Ay MM F l ee1 e1 ( ) MM M xMx l e1 ( ) 1 M xx Ml e1e MM令 e e 0 e1 ( )( )1 d(1)d 2 l A l M lM xM xx xMx EIMEIlEI e ( ) 1 M x M e e 0 e ( )( )1 dd l l M lM xM x xMx EIMEIEI 0 xl e

46、e 0 e1 ( )( )1 d(1)d 2 l A l M lM xM xx xMx EIMEIlEI 如果不對兩端力偶予以區(qū)分，則如果不對兩端力偶予以區(qū)分，則 e ( )M xM 例例12.11 12.11 圖圖12.1912.19所示正方形鉸接體系，由五根材料相同截面相所示正方形鉸接體系，由五根材料相同截面相 同的桿件組成，在節(jié)點同的桿件組成，在節(jié)點A、B受一對力受一對力F作用。已知：作用。已知：F、l、 E、A，試求，試求AB兩點間的水平相對位移兩點間的水平相對位移AB和和C、D間的豎直間的豎直 相對位移相對位移CD 。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 l F (a) F F D

47、 B A C NNNN 2 2 ACCBBDDA FFFFF NCD FF 2 2 2 421 ()2 222 2 1 2 F VlFl EAEA F l EA (22) AB VFl FEA 例例12.11 12.11 圖圖12.1912.19所示正方形鉸接體系，由五根材料相同截面相所示正方形鉸接體系，由五根材料相同截面相 同的桿件組成，在節(jié)點同的桿件組成，在節(jié)點A、B受一對力受一對力F作用。已知：作用。已知：F、l、 E、A，試求，試求AB兩點間的水平相對位移兩點間的水平相對位移AB和和C、D間的豎直間的豎直 相對位移相對位移CD 。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 l F (a)

48、F F D B A C F1 1 F C A B D F F (b) F N1CD FFF NNNN 2 2 ACCBBDDA FFFFF 2 2 1 ()42 ()2 222 FFF Vll EAEA 1 1 0 2 CD F VFa FEA 例例12.12 12.12 求圖求圖12.2012.20所示的超靜定梁的支座反力所示的超靜定梁的支座反力 FA 。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 l x A B q 圖12.20 二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 關(guān)于卡氏第二定理的說明關(guān)于卡氏第二定理的說明 （1 1）力和位移均有廣義性；）力和位移均有廣義性； （2 2）所求位移處有無相應(yīng)的廣

49、義力，有則直接對它求偏導(dǎo)，）所求位移處有無相應(yīng)的廣義力，有則直接對它求偏導(dǎo)， 無則需要虛設(shè)一個相應(yīng)的廣義力無則需要虛設(shè)一個相應(yīng)的廣義力； （3 3）要注意所求位移處相應(yīng)的廣義力，是否與所求位移不）要注意所求位移處相應(yīng)的廣義力，是否與所求位移不 對應(yīng)的其它荷載具有相同的名稱。對應(yīng)的其它荷載具有相同的名稱。如果是，需要先將與所如果是，需要先將與所 求位移相應(yīng)的廣義力換個名稱，以避免求偏導(dǎo)發(fā)生概念上求位移相應(yīng)的廣義力換個名稱，以避免求偏導(dǎo)發(fā)生概念上 的錯誤的錯誤； （4 4）在運算時，一般不要將體系的應(yīng)變能求出來后再求偏）在運算時，一般不要將體系的應(yīng)變能求出來后再求偏 導(dǎo)數(shù)，應(yīng)當(dāng)先求偏導(dǎo)數(shù)再進(jìn)行積分

50、運算（簡稱導(dǎo)數(shù)，應(yīng)當(dāng)先求偏導(dǎo)數(shù)再進(jìn)行積分運算（簡稱“先求導(dǎo)后先求導(dǎo)后 積分積分”）；）； （5 5）區(qū)分不同的荷載類型，分別應(yīng)用有關(guān)公式，還需要弄）區(qū)分不同的荷載類型，分別應(yīng)用有關(guān)公式，還需要弄 清楚，寫內(nèi)力方程需要將桿件（或簡單結(jié)構(gòu)）分為幾段來清楚，寫內(nèi)力方程需要將桿件（或簡單結(jié)構(gòu)）分為幾段來 進(jìn)行正確的描述，變形能的計算同樣需要分為幾段來計算。進(jìn)行正確的描述，變形能的計算同樣需要分為幾段來計算。 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理 ),2,1(ni F V i i 12-4 12-4 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理 一、功的互等定理（貝蒂一、功的互等定理（貝蒂- -瑞利互等功定理）瑞利互等功定