9.2多邊形的內(nèi)角和與外角和教案

1、9.2多邊形的內(nèi)角和與外角和教學(xué)目的 1使學(xué)生了解多邊形及多邊形的內(nèi)角、外角等概念. 2使學(xué)生通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會(huì)利用它們實(shí)行相關(guān)計(jì)算. 重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和與外角和定理. 2難點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和，外角和定理的推導(dǎo). 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)提問1什么叫三角形? 2三角形的內(nèi)角和是多少? 3什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1多邊形的概念， 三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，我們也能夠把三角形稱為三邊形(但習(xí)慣稱三角形).我們知道：不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫三角形. 你能說出什么叫四邊形、五邊形嗎?如圖(1)

2、它是由不在同一直線上的4條線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為四邊形ABCD.(按順時(shí)針或逆時(shí)針方向書寫) D D CA C E A B B 圖(2)是由不在同一直線上的5條線段首尾顧次連結(jié)組成的平面圖形，記為五邊形ABCDE. 一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為n邊形，又稱多邊形.與三角形類似如圖，A、D、C、ABC是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角，延長(zhǎng) AB、CB得四邊形ABCD的兩個(gè)外角CBE和ABF，這兩個(gè)外角是對(duì)頂角.一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角，有2n個(gè)外角.如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，則稱為正多邊形，如正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形等等.連結(jié)

3、多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線，如圖1，線段AC是四邊形 ABCD的對(duì)角線，如圖2，線段AD、AC是四邊形ABCDE的對(duì)角線，如圖3中線段AC、AD、AE是六邊形ABCDEF的對(duì)角線.問：(1)四邊形有幾條對(duì)角線?(兩條AC、BD) (2)五邊形有幾條對(duì)角線? 以A為端點(diǎn)的對(duì)角線有兩條AC、AD，同樣以月為端點(diǎn)的對(duì)角線也有2條，以C為端點(diǎn)也有2條，但AC與CA是同一條線段，以D為端點(diǎn)的兩條DA、DB與AD、BD都分別表示同一條線段.所以只有5條. (3)六邊形有幾條對(duì)角線?n邊形呢? 六邊形有9條對(duì)角線. 從以上分析可知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，能夠引(n-3)條， (除本身

4、這個(gè)點(diǎn)以及和這點(diǎn)相鄰的兩點(diǎn)外)，那么n個(gè)頂點(diǎn)，就有n(n- 3)條，但其中每一條都重復(fù)計(jì)算一次，如AB與BA，所以n邊形一共有條對(duì)角線. 大家能夠加以驗(yàn)證：當(dāng)n=3時(shí)，沒有對(duì)角線，當(dāng)n=4時(shí)，有2條；當(dāng)n=5時(shí)，有5條：當(dāng)n=6時(shí)，有9條 2多邊形的內(nèi)角和公式. 三角形是邊數(shù)最少的多邊形，它的內(nèi)角和等于180，那么一般n邊形是否也有內(nèi)角和公式呢?讓我們先從四邊形，正邊形，六邊形開始. 從上面對(duì)角線的研究可知，一條對(duì)角線把四邊形分成2個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和的和就是四邊形的內(nèi)角和，五邊形的內(nèi)角和就是圖中3個(gè)三角表內(nèi)角和的和. 讓學(xué)生填寫教科書表8.3.1由此，你能夠得到”邊形的內(nèi)角和公式嗎

5、?n邊形的內(nèi)角和(n-2)180知道一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)公式也能夠求邊數(shù)n.例1一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于2340，求它的邊數(shù). 問題：一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為150，你知道它是幾邊形?分析：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等. 多邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180，還能夠用以下的劃分來說明，即在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P，連結(jié)點(diǎn)P與多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)，可得幾個(gè)三角形?這幾個(gè)三角形的各內(nèi)角與這個(gè)多邊的各內(nèi)角之間有什么關(guān)系?請(qǐng)你試一試. 對(duì)有困難的學(xué)生教師能夠加以引導(dǎo). 如圖(教科書圖9.2.5)每一個(gè)三角形都有一條邊就是多邊形的邊，所以n邊形就可劃分成n個(gè)三角形，這n個(gè)三角形的內(nèi)角和減去以 P為頂點(diǎn)的周角所得的差就

6、是”邊形的內(nèi)角和.所以，n邊形的內(nèi)角和為： n180-360n180-2180=(n-2)180 問：還有其他方法嗎?讓學(xué)生自主探索，對(duì)不同方法給予鼓勵(lì). 3多邊形的外角和. 什么叫多邊形的外角和. 與三角形的外角和一樣，與多邊形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的外角有兩個(gè)，這兩個(gè)角是對(duì)頂角，從與每個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加， 得到的和稱為多邊形的外角和，如教科書圖9.2.6，1+2+3+4就是四邊形的外角和. 多邊形的外角和是否也能夠用公式表示呢?下面我們也來探討. 因?yàn)閚邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的相鄰的外角互為補(bǔ)角，所以可先求出多邊形的內(nèi)角與外角的總和，再減去內(nèi)角和，就可得到外角和. 讓學(xué)生填寫填教科寫

7、表9.2.2 n邊形的內(nèi)角與外角的總和為n180 n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180 那么n邊形的外角和為n180(n2)180=n180-n180+360=360 這就是說多邊形的9L角和與邊數(shù)無關(guān)，都等于360. 例2一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù). 分析：正多邊形的各個(gè)內(nèi)角都相等，那么各個(gè)外角也都相等，而多邊形的外角和是360，所以只要求出每個(gè)外角度數(shù)，就可知是幾邊形了. 點(diǎn)撥；多邊形的外角和等于360，與邊數(shù)無關(guān)，故常把多邊形內(nèi)角的問題轉(zhuǎn)化為外角和來處理. 三、鞏固練習(xí) 1教科書第70頁(yè)練習(xí)1、2. 第2題引導(dǎo)學(xué)生從外角考慮，多邊形的內(nèi)角是銳角，那么和這個(gè)內(nèi)角相鄰的外角是什么樣的角?鈍角 多邊形的外角和是360，那么在這些外角中鈍角的個(gè)數(shù)最多能夠是幾個(gè)?3個(gè)能夠嗎?4個(gè)呢?讓學(xué)生動(dòng)手算一算，由他們自己得出結(jié)論 從而得到最多能夠有3個(gè)外角是鈍角，即多邊形的內(nèi)角中最多能夠有3個(gè)是銳角. 四、小結(jié) 本節(jié)課我們通過把多邊形劃分成若干個(gè)三角形，用三角形內(nèi)角和去求多邊形的內(nèi)角和，