第八章__槽道內(nèi)層流流動與換熱

1、第八章第八章 槽道內(nèi)層流流動與換熱槽道內(nèi)層流流動與換熱 4本章將討論由壁面形成的槽道內(nèi)的流動摩擦和流體與 槽道壁面間的傳熱問題，即槽道內(nèi)的流動阻力或壓降 如何？垂直于流動方向的傳熱系數(shù)或熱阻的確定。 4本章值得特別指出的一個重要問題是充分發(fā)展流動與 換熱。傳統(tǒng)的充分發(fā)展流概念，總是與自維持相關(guān)， 用于處理N-S方程，然而這并不能明確地說明這一概念。 本質(zhì)上，充分發(fā)展流是外部流動問題的邊界層理論的 發(fā)展或延續(xù)。其目的是相同的，均將流動的研究限于 局部區(qū)域(分為兩個區(qū)域)，使問題的分析簡化。 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 48-1-1 進口段進口段 4將積分方法應(yīng)用于槽道內(nèi)。如圖8

2、-1 所示，兩個平行平板形成一 個二維槽道，流體進口速度為U。討論的重點是壁面摩擦力及槽 道內(nèi)的速度分布。Sparrow給出了該問題較詳細的積分求解過程。 4前已說明，邊界層理論是討論在有限細長區(qū)域內(nèi)的粘性流動，因 而可以預(yù)測，速度邊界層在距離槽道入口不遠處形成。在入口處 與外部流動完全相似，邊界層厚度的增長只能達到D/2。之后，上、 下邊界層將相遇，這樣槽道內(nèi)的流動可以分為兩個明顯不同的區(qū) 域。第一個區(qū)域稱為入口段或發(fā)展段，在壁面附近存在邊界層， 兩個邊界層之間為無粘流動，與外部流動問題十分接近；邊界層 閉合之后的區(qū)域為第二個區(qū)域，槽道內(nèi)不存在無粘區(qū)，粘性區(qū)域 充滿整個通道，已不再是邊界層流

3、動。由布勞修斯解可以估算入 口段長度： 4 (8 -l-l) 0.01 ReD x D 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 圖8-1 兩平行平板間層流流動邊界層的形成與發(fā)展 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 4與外掠平板不同的是，由于邊界層的排擠，部分流體進入核心區(qū) 使之加速。這種加速使進口段邊界層的增厚減緩，但每個流動斷 面的質(zhì)量流量UD是相同的。 4在入口段的核心區(qū)域，壓力與速度的關(guān)系可以由伯努利方程得到， 即 4 (8-1-2) 4其中Uc為核心無粘區(qū)的流速。值得注意的是，UcUc (x)，與外掠 平板狀況有所不同。 4同樣，采用積分方程可以得到 4 (8-l -3

4、) 4由質(zhì)量守恒得到 4 (8-l-4) 1 0 c c dUdp U dxdx 2 00 ()()() c ccy D dUdu Uu udyUu dy dxdxy 2 0 2 D c D udyU dyU 4假設(shè)邊界層內(nèi)充分發(fā)展流速度分布為二次方多項式 4 (8-l-5) 4求解式(8-1-3)和式(8-1-4) 得到 4 (8-l-6) 4即 (8-1-7) 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 2 2( ) c uyy U 3 (1) 2 c U D U ( ) 3(1) 2 c xU DU 4令 4得到 4 (8-l-8) 4和 4與式(8-1-1)比較不難看出，無論積分方程

5、，還是相似解，得到的 流動入口段長度屬同一數(shù)量級，它與DReD之比均在10-2數(shù)量級。 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 ( )2xD 3 ( ) 2 c UxU 0.026 ReD x D 4流動入口段與充分發(fā)展段的根本區(qū)別，可以進一步用壁面摩擦切 應(yīng)力沿流動方向x的變化來解釋。局部摩擦系數(shù)的定義為 4 (8-1-9) 4其中 4代入式(8-l-6)，(8-l-8)，得到 4 (8-l-10) 4在入口段區(qū)域，局部摩擦系數(shù)Cf,x隨x增加而減小，原因是隨邊界 層加厚，速度分布趨緩，在壁面處的速度梯度逐步減小。但需要 強調(diào)的是，核心速度Uc隨x增大。對于充分發(fā)展段，由于速度分布 已

6、定型，與x無關(guān)，因而Cf,x也不隨x 變化。 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 , 2 ( ) 1 2 w f x x C U 2 () wD y u y , 8 (1)Re 3 t c f xD c UU C UU 48-1-2 充分發(fā)展流動 4考慮圖8-1所示的二維穩(wěn)態(tài)流動的連續(xù)性方程與動量方程 4 (8-1-11) 4 (8-l-12) 4 (8-l-13) 4假定充分發(fā)展流區(qū)域距離進口足夠遠，在流道截面上只有沿流動 方向的速度。在斷面上變化，法向速度v可以忽略。由方程(8-1-11) 得到 4 (8-1-14) 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 0 uv xy

7、22 22 1 () uupuu uv xyxxy 22 22 1 () vvpvv uv xyyxy 0,0 u v x 4通常，上式被認為是充分發(fā)展流的定義和起始點，但更主要的是 式(8-l-14)的量級基礎(chǔ)。充分發(fā)展流區(qū)域中，y方向的數(shù)量級是槽 道寬度D。由連續(xù)性方程可知。vDU/L，而LD，可以忽略。 而對于流動入口段，y的數(shù)量級是 (隨x變化)，因而v和u/x均不 能忽略。 4將式(8-1-l4)代入式(8-l-13)，得到 4 (8-l-15) 4表明壓力p只是流動方向x的函數(shù)，這一點與外掠平板的邊界層分 析是類似的，即在流道斷面上壓力是均勻一致的。進一步，由式 (8-1-14)得

8、到 4 (8-l -16) 4上式左、右側(cè)分別是x和y的函數(shù)，因而只能等于一個常數(shù)。 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 0 p y 2 2 2 D y dpu dxy 常數(shù) 4考慮壁面處非滑移條件和軸對稱條件： 4 (8-1-17) 4求解式(8-1-16 )即得到著名的二平行平板間流動的哈根-泊肅葉速 度分布 4 (8-1-18) 4速度分布是拋物線型。 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 0 ,0 2 u y D yu y=0, 2 2 3 1 () 22 () 14 y uU D Ddp U dx 4一般式(8-1-16)可以表示為 4 (8-l-19) 4式中，

9、4對于圓管內(nèi)充分發(fā)展流動，壁面處速度u=0時，得到速度分布為 4 (8-l-20) 8-l 進口段和充分發(fā)展流進口段和充分發(fā)展流 2 dp u dx 常數(shù) 2 2 0 u x 2 0 2 0 21 () () 8 r uU r rdp U dx 48-2-1 充分發(fā)展流的速度分布和摩擦系數(shù)充分發(fā)展流的速度分布和摩擦系數(shù) 4當流體的物性不隨溫度、壓力變化時，速度場與溫度場是非藕合 的。求解速度場時不需考慮溫度分布，可以單獨求解。 4上一節(jié)已求出的平均速度U表示的圓管內(nèi)充分發(fā)展流動的速度分 布(8-1-20 )，即 4進一步可以得到壁面處的摩擦應(yīng)力當量 4 (8-2-l) 4由壁面摩擦系數(shù)定義 8

10、-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 2 0 21 () r uU r 0 0 4 w r r duU drr 2 1 2 w f C U 4得到 4 (8-2-2) 4通常，在討論槽道流時經(jīng)常使用阻力系數(shù)，并定義為 4 (8-2-3) 4考慮平均速度定義式(8-1-20)，即 4得到 4 (8-2-4) 4因而 4 (8-2-5) 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 0 2 0 4816 1 Re 2 f U r C Ur U 2 () 1 2 dp dx D f U 2 0 8 rdp U dx 64 Re f 4 f f C 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱

11、充分發(fā)展流的流動與換熱 48-2-2 充分發(fā)展管內(nèi)層流的換熱充分發(fā)展管內(nèi)層流的換熱 41. 平均溫度平均溫度 4管流換熱的基本問題是流體與壁面間的溫差和流體與壁面間的傳 熱速率。為不失一般性，考慮如圖8-2所示的管內(nèi)流動，其平均速 度為U, 半徑為r0。 4根據(jù)熱力學第一定律,穩(wěn)態(tài)時壁面對流體的加熱率等于流體焓的增 加，即 4 (8-2-6) 4假定流體為理想氣體， ，或為不可壓縮流體，dh cdtm，上式轉(zhuǎn)化為 4 (8-2-7) 0 2() mx dxx qr dxqhh pm dhc dt 0 2 m p dtq dxrc U 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 圖8-

12、2 管內(nèi)流動換熱 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 4式中，控制體的溫度tm是流體的截面平均溫度，但流動斷面上的流 體溫度并非均勻一致。某一斷面上任一點的溫度t(x, r)一定與截面 平均溫度tm(x)存在一定關(guān)系，但tm不是任何其它形式的平均，而是 熱力學定義的主體流動的平均溫度?？紤]某一斷面的熱力學第一 定律 4 (8-2-8) 4將式(8-2-7)代入式(8-2-8)，得 4 (8-2-9) 4常物性時 4 (8-2-10) 4本節(jié)開始已述，管流的基本問題是流體與壁面間溫差與傳熱速率 的關(guān)系，牛頓冷卻公式中采用ttwtm，感興趣的是得到對流換 熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) 4 (8

13、-2-11) 0 2 p A qr dxduc tdA mpp A tc UAduc tdA 0 2 2 00 0 1 r m tutrdrd r U 0 ()r r wmwm tr q h tttt 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 42. 充分發(fā)展的溫度分布充分發(fā)展的溫度分布 4從上式可以看出，欲得到傳熱速率，首先要確定流體的溫度場。 通常的方法是求解能量方程。二維管流的能量方程為 4 (8-2-12) 4由充分發(fā)展流的定義知，v0，uu(r)，則上式簡化為 4 (8-2-13) 4上式表明了能量的平衡，它包括軸向?qū)α鳌较驅(qū)岷洼S向?qū)幔?由式(8-2-7)知 4 (

14、8-2-14) 4相對應(yīng)項的數(shù)量級為 4對流項導(dǎo)熱項 徑向軸向 4 (8-2-15) 22 22 1 () ttttt uva xrrrrx 22 22 1 () tttt ua xrrrx () p t qD c U x () p Uq a D c U 2 t D 1 () p q x D c U 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 4考慮流體與壁面的傳熱是依靠壁面處的導(dǎo)熱，因而軸向?qū)?不 能忽略。對流項可應(yīng)用牛頓冷卻公式，簡化為 ，軸向?qū)?為 。 4對于 的情況，軸向?qū)峥梢院雎?，得?， 即Nu1。注意，1是指 的數(shù)量級。 4不難推出， 時能量方程簡化為 4 (8-

15、2-16) 2 t D hD 22 () () hDa UD 1 D UD Pe a ? 1hD 2 t D 1 D UD Pe a ? 2 2 1uttt a xrrr 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 4對于充分發(fā)展流，U=U(r)與x無關(guān)。 的數(shù)量級為 ，即 熱擴散的影響到達中心，這一點不適用于熱進口段。因為，此 時 ，而thin (hin/r0)時，tw逼近外側(cè)流體 溫度t，t= tw=常數(shù)，即前面介紹的常壁溫情況。若h0hin，外側(cè) 熱阻很大，管內(nèi)流體平均溫差twtm與x無關(guān), tw和tm均隨x線性變化， 如圖8-4所示，與前面討論的常熱流情形類似。 0( ) w

16、 qh tt 1 1212 0 10 (ln) w rrr r h rh 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 圖8-4 第二類邊界條件下充分發(fā)展流的換熱 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 4當是有限值時，twtm和q在x方向的變化為指數(shù)形式，這屬更一般 的狀況。為分析方便，引入整體Nu數(shù)概念： 4 (8-2-42a) 4管內(nèi)側(cè)Nu數(shù)為 4 (8-2-42b) 4兩者的關(guān)系是 4 (8-2-43) 4其中畢握數(shù) 4 (8-2-44) m qD Nu tt wm qD Nu tt 101 212 NuBiNu 0 2 h D Bi 8-2 充分發(fā)展流的流動與換

17、熱充分發(fā)展流的流動與換熱 4由無量綱溫度 ，得到 4 (8-2-45) 4于是能量方程( 8-2-16 )可以寫為 4 (8-2-46) 4邊界條件是 4 (8-2-47) m tt tt () m tttt 2 2 2 1 2(1) tot dd Nur drr dx 0,0 1 d r dr d rBi dr 軸對稱 ， 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 4壁面處的能量平衡 4 (8-2-48) 4考慮式(8-2-42)中Nutot的定義，有 4 (8-2-49) 4圖8-5給出了式(8-2- 4)的的解，當Bi由時，Nu數(shù)由4.363.66。 0( ) w t qh

18、tt r 1 2 tot Nud r dr ， 8-2 充分發(fā)展流的流動與換熱充分發(fā)展流的流動與換熱 圖8-5 第三類邊界條件下充分發(fā)展流換熱的Nu數(shù) 8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 4上一節(jié)討論的換熱局限于速度與溫度均進入充分發(fā)展的層流狀況， 即當用x描述距離入口的距離時 4 (8-3-l) 4其中L和Lt分別為流動入口段與熱入口段的長度。 48-3-1 熱入口段換熱分析熱入口段換熱分析 4由入口段與充分發(fā)展流分析可知， 。流動入口段長度 L 與熱人口段長度Lt的關(guān)系與流體的Pr數(shù)直接相關(guān)。對于外部流 動 ，可以推測 一定隨Pr數(shù)增大而減少。 4Pr1時與外部邊界層問題不同，在溫度

19、邊界層t 內(nèi)，速度分布不用簡化，因而對于Pr1，仍然是 4這與Pr1的情況是相同的，因此式(8-3-4)也適用于Pr1的情況。 比較式(8-3-4)，(8-3-5)得到 4 (8-3-6) 4因此，對于熱入口段(xLt),有 4 (8-3-7) 1111 2222 RePrRePr txx xx : Pr t L L 12 () Re()Pr hhhb tb hDDDx Dq Nu tD 8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 48 -3-2 熱充分發(fā)展的均勻流 4當Pr1時，流動入口段遠大于熱入口段，可以近似認為在x遠大于熱入口 段，而又遠小于流動入口段，即與Lt x1 的要求不一致。但當

20、考慮一固體在一個加熱的套筒中運動時，可以出現(xiàn) 速度均勻一致的現(xiàn)象，將前面均勻溫度流體加熱圓管的速度分布調(diào)整為 無量綱速度為1，可得到貝塞爾方程為 4 (8-3-8) 4式中Nutot數(shù)由下式隱含給出： 4 (8-3-9) 4考慮極限情況(見圖8-4) 4 (8-3-10) 4可見，當溫度分布充分發(fā)展以后，未充分發(fā)展的速度分布可以增大Nu數(shù)， 即進口效應(yīng)。 1 21 2 0 1 2 () () tottot tot NuJr Nu LJ Nu 1 21 21 2 10 ()() tottottot NuJ NuBiJNu lim2 lim5.783 tot Bi tot Bi NuBi Nu 8

21、-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 48-3-3 具有泊肅葉流動的熱入口段換熱具有泊肅葉流動的熱入口段換熱 4當Pr1 時，熱入口段長度Lt遠大于流動入口段長度L，在L x Lt范圍內(nèi)，流動已充分發(fā)展，而溫度分布正在發(fā)展之中，忽略 軸向?qū)?Pex 1)，考慮條件： 4 常壁溫 tw=常數(shù) 4 中心軸對稱 r=0, 4均勻入口溫度 ， 4引入無量綱溫度 0 t r xL m tt w mw tt tt 8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 4無量綱尺寸 (8 -3-11) 4代入管內(nèi)流動能量方程(8-2-16 ) ，得到 4 (8-3-12) 4對應(yīng)的邊界條件為 4 (8-3-13)

22、0 Re Pr D r r r x D x 2 2 11 2rrr 2 （1-r ） x 1,0 0,0 0,1 r r r x 8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 4采用分離變量方法求解上面的線性齊次方程。設(shè) 4 (8-3-14) 4將其代入式(8-3-12)得到對應(yīng)的R和E方程： 4 (8-3-15) 4 (8-3-16) 4由線性疊加原理得到的最終解的形式為 4 (8-3-17a) ( )R r E x （ ） 22 1 (1)0RRrR r 2 20EE 2 0 exp( 2) nnn n C Rx 8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 4其中Rn為特征函數(shù)，n為特征值，Cn

23、是常數(shù)，并可根據(jù)x*=0的條 件來確定。最終換熱的結(jié)果是 4 (8-3-17b) 4 (8-3-18) 4 (8-3-19) 4當x0.1 時，無窮級數(shù)迅速收斂，取第一項即可，則 4 (8-3-20) 2 2 0 8exp() n mn n n G x 2 0 22 0 exp( 2) 2exp( 2) nn n x nnn n Gx Nu Gx 0 22 0 11 2 8exp() x nnn n Nu x Gx 2 000 2 00 exp( 2) 3.66 2exp()2 x n Gx Nu Gx 8-3 熱入口段層流換熱熱入口段層流換熱 4表明x*1時的Nux數(shù)與熱充分發(fā)展時的Nux數(shù)的值相等。因此認為 進口段的無量綱長度，即 4 (8-3-21) 4前面給出的Nux和Nu0 x的計算式較為繁瑣，文獻5推薦了近似的 準則關(guān)系式，偏差為士3% : 4 (8-3-22) 4適用范圍為 ，定性溫度