第六講 時間序列

1、v第一章第一章 時間序列分析簡介時間序列分析簡介 v第二章第二章 時間序列的預處理時間序列的預處理 v第三章第三章 平穩(wěn)時間序列分析平穩(wěn)時間序列分析 v第四章第四章 非平穩(wěn)序列的確定性分析非平穩(wěn)序列的確定性分析 v第五章第五章 非平穩(wěn)序列的隨機分析非平穩(wěn)序列的隨機分析 應用時間序列分析應用時間序列分析 第一章第一章 時間序列分析簡介時間序列分析簡介 1.1 1.1 引言引言 v按照按照時間的順序時間的順序把隨機事件變化發(fā)展的過程把隨機事件變化發(fā)展的過程 記錄下來就構成了一個時間序列。對時間序記錄下來就構成了一個時間序列。對時間序 列進行觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，列進行觀察、研究，找尋它

2、變化發(fā)展的規(guī)律， 預測它將來的走勢就是時間序列分析。預測它將來的走勢就是時間序列分析。 1.2 1.2 時間序列的定義時間序列的定義 v隨機序列隨機序列: :按時間順序排列的一組隨機變量按時間順序排列的一組隨機變量 v觀察值序列觀察值序列: :隨機序列的隨機序列的 個有序觀察值，稱個有序觀察值，稱 之為序列長度為之為序列長度為 的觀察值序列的觀察值序列 , 21t XXX t xxx, 21 t t 1.3 時間序列分析方法時間序列分析方法 v描述性時序分析描述性時序分析 v統(tǒng)計時序分析統(tǒng)計時序分析 描述性時序分析描述性時序分析 v通過直觀的數(shù)據(jù)比較或繪圖觀測，尋找序列通過直觀的數(shù)據(jù)比較或繪圖

3、觀測，尋找序列 中蘊含的發(fā)展規(guī)律，這種分析方法就稱為中蘊含的發(fā)展規(guī)律，這種分析方法就稱為描描 述性時序分析述性時序分析 v描述性時序分析方法具有操作簡單、直觀有描述性時序分析方法具有操作簡單、直觀有 效的特點，它通常是人們進行統(tǒng)計時序分析效的特點，它通常是人們進行統(tǒng)計時序分析 的第一步。的第一步。 描述性時序分析案例描述性時序分析案例 v德國業(yè)余天文學家施瓦爾發(fā)現(xiàn)太陽黑子的活動具有德國業(yè)余天文學家施瓦爾發(fā)現(xiàn)太陽黑子的活動具有1111年左右的周期年左右的周期 統(tǒng)計時序分析統(tǒng)計時序分析 v頻域分析方法頻域分析方法 v時域分析方法時域分析方法 頻域分析方法頻域分析方法 v原理原理 假設任何一種無趨勢

4、的時間序列都可以分假設任何一種無趨勢的時間序列都可以分 解成若干不同頻率的周期波動解成若干不同頻率的周期波動 v特點特點 非常有用的動態(tài)數(shù)據(jù)分析方法，但是由于非常有用的動態(tài)數(shù)據(jù)分析方法，但是由于 分析方法復雜，結(jié)果抽象，有一定的使用分析方法復雜，結(jié)果抽象，有一定的使用 局限性局限性 時域分析方法時域分析方法 v原理原理 事件的發(fā)展通常都具有一定的慣性，這種慣性用統(tǒng)計的事件的發(fā)展通常都具有一定的慣性，這種慣性用統(tǒng)計的 語言來描述就是序列值之間存在著一定的相關關系，這語言來描述就是序列值之間存在著一定的相關關系，這 種相關關系通常具有某種統(tǒng)計規(guī)律。種相關關系通常具有某種統(tǒng)計規(guī)律。 v目的目的 尋找

5、出序列值之間相關關系的統(tǒng)計規(guī)律，并擬合出適當尋找出序列值之間相關關系的統(tǒng)計規(guī)律，并擬合出適當 的數(shù)學模型來描述這種規(guī)律，進而利用這個擬合模型預的數(shù)學模型來描述這種規(guī)律，進而利用這個擬合模型預 測序列未來的走勢測序列未來的走勢 v特點特點 操作步驟規(guī)范，分析結(jié)果易于解釋，是時間序列分析的操作步驟規(guī)范，分析結(jié)果易于解釋，是時間序列分析的 主流方法主流方法 時域分析方法的分析步驟時域分析方法的分析步驟 v考察觀察值序列的特征考察觀察值序列的特征 v根據(jù)序列的特征選擇適當?shù)臄M合模型根據(jù)序列的特征選擇適當?shù)臄M合模型 v根據(jù)序列的觀察數(shù)據(jù)確定模型的口徑根據(jù)序列的觀察數(shù)據(jù)確定模型的口徑 v檢驗模型，優(yōu)化模型

6、檢驗模型，優(yōu)化模型 v利用擬合好的模型來推斷序列其它的統(tǒng)利用擬合好的模型來推斷序列其它的統(tǒng) 計性質(zhì)或預測序列將來的發(fā)展計性質(zhì)或預測序列將來的發(fā)展 1.4 1.4 時間序列分析軟件時間序列分析軟件 v常用軟件常用軟件 SPSSSPSS， MatlabMatlab， EviewsEviews ，SASSAS， S-plus/RS-plus/R和和TSPTSP， 第二章第二章 時間序列的預處理時間序列的預處理 2.12.1平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗 v特征統(tǒng)計量特征統(tǒng)計量 v平穩(wěn)時間序列的定義平穩(wěn)時間序列的定義 v平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì) v平穩(wěn)時間序列的意義平穩(wěn)時間序列的意義 v平穩(wěn)

7、性的檢驗平穩(wěn)性的檢驗 概率分布概率分布 v概率分布的意義概率分布的意義 隨機變量族的統(tǒng)計特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)隨機變量族的統(tǒng)計特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián) 合密度函數(shù)合密度函數(shù)決定決定 v時間序列概率分布族的定義時間序列概率分布族的定義 Ttttmm xxxF m mttt m ,), 2 , 1 ( ),( 21 21, 21 特征統(tǒng)計量特征統(tǒng)計量 v均值均值 v方差方差 v自協(xié)方差自協(xié)方差 v自相關系數(shù)自相關系數(shù) )(xxdFEX ttt )()()( 2 2 xdFxXEDX ttttt )(),( sstt XXEst st DXDX st st ),( ),( 平穩(wěn)時間

8、序列的定義 v嚴平穩(wěn)嚴平穩(wěn) 嚴平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認為只有嚴平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認為只有 當序列所有的當序列所有的統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時間的推移而發(fā)生變統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時間的推移而發(fā)生變 化化時，該序列才能被認為平穩(wěn)。時，該序列才能被認為平穩(wěn)。 v寬平穩(wěn)寬平穩(wěn) 寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。 它認為序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只它認為序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只 要保證序列低階矩平穩(wěn)要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要（二階），就能保證序列的主要 性質(zhì)近似

9、穩(wěn)定。性質(zhì)近似穩(wěn)定。 平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計定義平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計定義 v滿足如下條件的序列稱為嚴平穩(wěn)序列滿足如下條件的序列稱為嚴平穩(wěn)序列 v滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列 ),(),( 21,21, 2121 mtttmttt xxxFxxxF mm 有，正整數(shù)，正整數(shù)Ttttm m , 21 Ttskksttskkst TtEX TtEX t t 且， 為常數(shù)， ,),(),()3 ,)2 ,) 1 2 嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系 v一般關系一般關系 嚴平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴平穩(wěn)嚴平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴平穩(wěn) （

10、低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能 反推嚴平穩(wěn)成立反推嚴平穩(wěn)成立 v特例特例 不存在低階矩的嚴平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服不存在低階矩的嚴平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服 從柯西分布的嚴平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列從柯西分布的嚴平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列 當序列服從多元正態(tài)分布時，寬平穩(wěn)可以推出嚴平穩(wěn)當序列服從多元正態(tài)分布時，寬平穩(wěn)可以推出嚴平穩(wěn) 平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì) v常數(shù)均值常數(shù)均值 v自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)只依賴于時間的自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)只依賴于時間的 平移長度而與時間的起止點無關平移長度而與時間的

11、起止點無關 延遲延遲k k自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù) 延遲延遲k k自相關系數(shù)自相關系數(shù) )0( )( k k 為整數(shù)kkttk),()( 平穩(wěn)時間序列的意義平穩(wěn)時間序列的意義 v時間序列數(shù)據(jù)結(jié)構的特殊性時間序列數(shù)據(jù)結(jié)構的特殊性 可列多個隨機變量，而每個變量只有一個樣本觀可列多個隨機變量，而每個變量只有一個樣本觀 察值察值 v平穩(wěn)性的重大意義平穩(wěn)性的重大意義 極大地減少了隨機變量的個數(shù)，并增加了待估變極大地減少了隨機變量的個數(shù)，并增加了待估變 量的樣本容量量的樣本容量 極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了對極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了對 特征統(tǒng)計量的估計精度特征統(tǒng)計量的估計精度

12、平穩(wěn)性的檢驗（圖檢驗方法）平穩(wěn)性的檢驗（圖檢驗方法） v時序圖檢驗時序圖檢驗 根據(jù)根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平，平 穩(wěn)序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常穩(wěn)序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常 數(shù)值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明數(shù)值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明 顯趨勢及周期特征顯趨勢及周期特征 v自相關圖檢驗自相關圖檢驗 平穩(wěn)序列通常具有短期相關性平穩(wěn)序列通常具有短期相關性。該性質(zhì)用自相關。該性質(zhì)用自相關 系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列 的自相關系數(shù)會很快地衰減向零的

13、自相關系數(shù)會很快地衰減向零 例題例題 v例例2.1 檢驗檢驗1964年年1999年中國紗年年中國紗年 產(chǎn)量序列產(chǎn)量序列的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性 例例2.12.1時序圖時序圖 例例2.12.1自相關圖自相關圖 v例例2.22.2 檢驗檢驗19621962年年1 1月月19751975年年1212 月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列的的 平穩(wěn)性平穩(wěn)性 例例2.22.2時序圖時序圖 例例2.2 2.2 自相關圖自相關圖 v例例2.32.3 檢驗檢驗19491949年年19981998年北京市年北京市 每年最高氣溫序列的平穩(wěn)性每年最高氣溫序列的平穩(wěn)性 例例2.32.3時序圖時序圖 例例2.3

14、2.3自相關圖自相關圖 2.2 2.2 純隨機性檢驗純隨機性檢驗 v純隨機序列的定義純隨機序列的定義 v純隨機性的性質(zhì)純隨機性的性質(zhì) v純隨機性檢驗純隨機性檢驗 純隨機序列的定義純隨機序列的定義 v純隨機序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下純隨機序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下 兩條性質(zhì)兩條性質(zhì) Tst st st st TtEX t , , 0 , ),()2( ,) 1 ( 2 標準正態(tài)白噪聲序列時序圖標準正態(tài)白噪聲序列時序圖 白噪聲序列的性質(zhì)白噪聲序列的性質(zhì) v純隨機性純隨機性 各序列值之間沒有任何相關關系，即為各序列值之間沒有任何相關關系，即為 “ “沒有記憶沒有記憶”的的 序列序列 v方

15、差齊性方差齊性 根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，用最小根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，用最小 二乘法得到的未知參數(shù)估計值才是準確的、有效的二乘法得到的未知參數(shù)估計值才是準確的、有效的 00k(k)， )0( 2 t DX 純隨機性檢驗純隨機性檢驗 v檢驗原理檢驗原理 v假設條件假設條件 v檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 v判別原則判別原則 BarlettBarlett定理定理 v如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀 察期數(shù)為察期數(shù)為 的觀察序列，那么該序列的延遲的觀察序列，那么該序列的延遲 非零期的非零期的樣本自相關系數(shù)樣本自相關系數(shù)將近似服從

16、均值為將近似服從均值為 零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布 0, ) 1 , 0(k n N k n 假設條件假設條件 v原假設：延遲期數(shù)小于或等于原假設：延遲期數(shù)小于或等于 期的序列值期的序列值 之間相互獨立之間相互獨立 v備擇假設：延遲期數(shù)小于或等于備擇假設：延遲期數(shù)小于或等于 期的序列值期的序列值 之間有相關性之間有相關性 1, 0 210 mH m ： mkmH k ，：至少存在某個1, 0 1 m m 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 vQQ統(tǒng)計量統(tǒng)計量 vLBLB統(tǒng)計量統(tǒng)計量 )( 2 1 2 mnQ m k k )() ()2( 2 1 2 m kn n

17、nLB m k k 判別原則判別原則 v拒絕原假設拒絕原假設 當統(tǒng)計量的當統(tǒng)計量的P P值小于值小于 時，則可以以時，則可以以 的的 置信水平拒絕原假設，置信水平拒絕原假設，認為該序列為非白噪認為該序列為非白噪 聲序列聲序列 v接受原假設接受原假設 當該統(tǒng)計量的當該統(tǒng)計量的P P值大于值大于 時，時，則認為在則認為在 的置信水平下無法拒絕原假設，即不能顯著的置信水平下無法拒絕原假設，即不能顯著 拒絕序列為純隨機序列的假定拒絕序列為純隨機序列的假定 1 1 例例2.42.4： 標準正態(tài)白噪聲序列純隨機性檢驗標準正態(tài)白噪聲序列純隨機性檢驗 樣本自相關圖樣本自相關圖 檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果 LB Q LB

18、 Q 延遲 統(tǒng)計量檢驗 統(tǒng)計量值P值 延遲6期2.360.8838 延遲12期5.350.9454 由于由于P P值顯著大于顯著性水平值顯著大于顯著性水平 ，所以該序列不能拒絕，所以該序列不能拒絕 純隨機的原假設。純隨機的原假設。 例例2.52.5 v對對19501950年年19981998年北京市城鄉(xiāng)居民定期年北京市城鄉(xiāng)居民定期 儲蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純隨機性進行儲蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純隨機性進行 檢驗檢驗 例例2.52.5時序圖時序圖 例例2.52.5自相關圖自相關圖 例例2.52.5白噪聲檢驗結(jié)果白噪聲檢驗結(jié)果 延遲階數(shù) LB統(tǒng)計量檢驗 LB檢驗統(tǒng)計 量的值 P值 675.460

19、.0001 1282.570.0001 第三章第三章 平穩(wěn)時間序列分析平穩(wěn)時間序列分析 3.1 3.1 方法性工具方法性工具 v差分運算差分運算 v延遲算子延遲算子 v線性差分方程線性差分方程 差分運算差分運算 v一階差分一階差分 v 階差分階差分 v 步差分步差分 p k 1 ttt xxx 1 11 t p t p t p xxx kttk xx 延遲算子延遲算子 v延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值 乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值 的時間向過去撥了一個時刻的時間向過去撥了一個時刻 v記記B B為延遲算

20、子，有為延遲算子，有 1, pxBx t p pt 延遲算子的性質(zhì)延遲算子的性質(zhì) v v v v v ，其中 1 0 B 為任意常數(shù)cxcxBcxcB ttt ,)()( 1 11 )( tttt ByBxyxB ntt n xxB i n i i n nn BCB 0 ) 1()1 ( )!( ! ! ini n C i n 用延遲算子表示差分運算用延遲算子表示差分運算 v 階差分階差分 v 步差分步差分 p k it p i i p p t p t p xCxBx 0 ) 1()1 ( t k kttk xBxx)1 ( 線性差分方程線性差分方程 v線性差分方程線性差分方程 v齊次線性差分

21、方程齊次線性差分方程 )( 2211 thzazazaz ptpttt 0 2211 ptpttt zazazaz 齊次線性差分方程的解齊次線性差分方程的解 v特征方程特征方程 v特征方程的根稱為特征根，記作特征方程的根稱為特征根，記作 v齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的通解 不相等實數(shù)根場合不相等實數(shù)根場合 有相等實根場合有相等實根場合 復根場合復根場合 0 2 2 1 1 p ppp aaa p , 21 t pp tt t cccz 2211 t pp t dd td dt cctctccz 111 1 21 )( t pp tititt t ccececrz 3321 )( 非

22、齊次線性差分方程的解非齊次線性差分方程的解 v非齊次線性差分方程的非齊次線性差分方程的特解特解 使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解 v非齊次線性差分方程的通解非齊次線性差分方程的通解 齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的 特解之和特解之和 ttt zzz t z )( 2211 thzazazaz ptpttt t z 3.2 ARMA模型的性質(zhì)模型的性質(zhì) vARAR模型（模型（Auto Regression ModelAuto Regression Model） vMAMA模型（模型（Moving

23、Average ModelMoving Average Model） vARMAARMA模型（模型（Auto Regression Auto Regression Moving Moving Average modelAverage model） ARAR模型的定義模型的定義 v具有如下結(jié)構的模型稱為具有如下結(jié)構的模型稱為 階自回歸模型，階自回歸模型， 簡記為簡記為 v特別當特別當 時，稱為中心化時，稱為中心化 模型模型 tsEx tsEVarE xxxx ts sttt p tptpttt , 0 , 0)(,)(0)( 0 2 22110 ， p )(pAR 0 0 )(pAR AR(P)

24、AR(P)序列中心化變換序列中心化變換 v稱稱 為為 的中心化序列的中心化序列 ，令，令 p 1 0 1 tt xy t y t x 自回歸系數(shù)多項式自回歸系數(shù)多項式 v引進延遲算子，中心化引進延遲算子，中心化 模型又可以簡模型又可以簡 記為記為 v自回歸系數(shù)多項式自回歸系數(shù)多項式 )(pAR tt xB)( p p BBBB 2 21 1)( v自回歸模型自回歸模型平穩(wěn)的充分必要條件是： 的根在單位圓外； 或者 的根在單位圓內(nèi) 23 123 10 p p 123 123 0 pppp p 例例3.1:3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性考察如下四個模型的平穩(wěn)性 1 (1)0.8 ttt xx 1

25、 (2)1.1 ttt xx 12 (3)0.5 tttt xxx tttt xxx 21 5 . 0)4( 例例3.13.1平穩(wěn)序列時序圖平穩(wěn)序列時序圖 1 (1)0.8 ttt xx 12 (3)0.5 tttt xxx 例例3.13.1非平穩(wěn)序列時序圖非平穩(wěn)序列時序圖 1 (2)1.1 ttt xx tttt xxx 21 5 . 0)4( 例例3.13.1平穩(wěn)性判別平穩(wěn)性判別 8 . 0 1 1 . 1 1 2 1 1 i 2 1 2 i 2 31 1 2 31 2 模 型 特征根判別 結(jié) 論 (1)平穩(wěn) (2) 非 平穩(wěn) (3)平穩(wěn) (4) 非 平穩(wěn) 平穩(wěn)平穩(wěn)ARAR模型的統(tǒng)計性質(zhì)模

26、型的統(tǒng)計性質(zhì) v均值均值 v方差方差 v協(xié)方差協(xié)方差 v自相關系數(shù)自相關系數(shù) v偏自相關系數(shù)偏自相關系數(shù) 均值均值 v如果如果AR(p)AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有模型滿足平穩(wěn)性條件，則有 v根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有為白噪聲序列，有 v推導出推導出 p 1 0 1 )( 110tptptt xxEEx TtEEx tt ,0)(, t Green函數(shù)定義函數(shù)定義 vARAR模型的傳遞形式模型的傳遞形式 v其中系數(shù)其中系數(shù) 稱為稱為GreenGreen函數(shù)函數(shù) , 2 , 1,jG j jt j j j p i jt j ii p ij t j

27、 ii p i t i it t Gk Bk B k B x 001 101 )( 1)( p p BBBB 2 21 1)( GreenGreen函數(shù)遞推公式函數(shù)遞推公式 v原理原理 v方法方法 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 v遞推公式遞推公式 pk pk jGG G k k kj j k kj , 0 , , , 2 , 1 1 1 0 其中 ， tt tt tt BGB BGx xB )()( )( )( 方差 v平穩(wěn)平穩(wěn)ARAR模型的傳遞形式模型的傳遞形式 v兩邊求方差得兩邊求方差得 函數(shù)為GreenGGxVar j j jt ,)( 2 0 2 jt j jt Gx 0 例例3.2:3.2:

28、求平穩(wěn)求平穩(wěn)AR(1)AR(1)模型的方差模型的方差 v平穩(wěn)平穩(wěn)AR(1)AR(1)模型的傳遞形式為模型的傳遞形式為 vGreenGreen函數(shù)為函數(shù)為 v平穩(wěn)平穩(wěn)AR(1)AR(1)模型的方差模型的方差 it i i t i i t t B B x 0 1 0 1 1 )( 1 , 1 , 0, 1 jG j j 2 1 2 2 0 2 1 0 2 1 )()( j j t j jt VarGxVar 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù) v在平穩(wěn)在平穩(wěn)AR(p)AR(p)模型兩邊同乘模型兩邊同乘 ，再求期望，再求期望 v根據(jù)根據(jù) v得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式 )()()()( 11ktt

29、ktptpkttktt xExxExxExxE kt x 1,k 0)( ktt xE1,k pkpkkk 2211 例例3.3:3.3:求平穩(wěn)求平穩(wěn)AR(1)AR(1)模型的協(xié)方差模型的協(xié)方差 v遞推公式遞推公式 v平穩(wěn)平穩(wěn)AR(1)AR(1)模型的方差為模型的方差為 v協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為 0111 k kk 2 1 2 0 1 1, 1 2 1 2 1 k k k 例例3.4:3.4:求平穩(wěn)求平穩(wěn)AR(2)AR(2)模型的協(xié)方差模型的協(xié)方差 v平穩(wěn)平穩(wěn)AR(2)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為 2 1 )1)(1)(1 ( 1 221

30、1 2 01 1 2 21212 2 0 k kkk ， 自相關系數(shù)自相關系數(shù) v自相關系數(shù)的定義自相關系數(shù)的定義 v平穩(wěn)平穩(wěn)AR(P)AR(P)模型的自相關系數(shù)遞推公式模型的自相關系數(shù)遞推公式 0 k k 1122kkkpkp 常用常用ARAR模型自相關系數(shù)遞推公式模型自相關系數(shù)遞推公式 vAR(1)AR(1)模型模型 vAR(2)AR(2)模型模型 0, 1 k k k 2 1 1 0, 1 2211 2 1 k k k kk k ARAR模型自相關系數(shù)的性質(zhì)模型自相關系數(shù)的性質(zhì) v拖尾性拖尾性 v呈復指數(shù)衰減呈復指數(shù)衰減 1 ( ) p k ii i kc 不能恒等于零 p ccc, 2

31、1 1 ( ) p k ii i kc 0 例例3.5:3.5:考察如下考察如下ARAR模型的自相關圖模型的自相關圖 tttt tttt ttt ttt xxx xxx xx xx 21 21 1 1 5 . 0)4( 5 . 0)3( 8 . 0)2( 8 . 0) 1 ( 例例3.53.5 v自相關系數(shù)按復指數(shù)單調(diào)收斂到零自相關系數(shù)按復指數(shù)單調(diào)收斂到零 1 (1)0.8 ttt xx 例3.5: 1 (2)0.8 ttt xx 例3.5: v自相關系數(shù)呈現(xiàn)出自相關系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期偽周期”性性 12 (3)0.5 tttt xxx 例3.5: v自相關系數(shù)不規(guī)則衰減自相關系數(shù)不規(guī)則衰減 1

32、2 (4)0.5 tttt xxx 偏自相關系數(shù)偏自相關系數(shù) v定義定義 對于平穩(wěn)對于平穩(wěn)AR(p)AR(p)序列，所謂滯后序列，所謂滯后k k偏自相關系數(shù)就偏自相關系數(shù)就 是指在給定中間是指在給定中間k-1k-1個隨機變量個隨機變量 的條件下，或者說，在剔除了中間的條件下，或者說，在剔除了中間k-1k-1個隨機個隨機 變量的干擾之后，變量的干擾之后， 對對 影響的相關度量。用影響的相關度量。用 數(shù)學語言描述就是數(shù)學語言描述就是 121 , kttt xxx kt x t x 2 , ) ( ) )( ( 11 ktkt ktkttt xxxx xExE xExxExE kttktt 偏自相關

33、系數(shù)的計算偏自相關系數(shù)的計算P55 v滯后滯后k k偏自相關系數(shù)實際上就等于偏自相關系數(shù)實際上就等于k k階自回歸階自回歸 模型第個模型第個k k回歸系數(shù)的值?；貧w系數(shù)的值。 02211 202112 112011 kkkkkkk kkkkk kkkkk ) ( ) )( ( 2 ktkt ktkttt kk xExE xExxExE 偏自相關系數(shù)的截尾性偏自相關系數(shù)的截尾性 vAR(p)AR(p)模型偏自相關系數(shù)模型偏自相關系數(shù)P P階截尾階截尾 pk kk ,0 例例3.53.5續(xù)續(xù): :考察如下考察如下ARAR模型的偏自相關模型的偏自相關 圖圖 tttt tttt ttt ttt xxx

34、 xxx xx xx 21 21 1 1 5 . 0)4( 5 . 0)3( 8 . 0)2( 8 . 0) 1 ( 例例3.53.5 v理論偏自相關系數(shù)理論偏自相關系數(shù)v樣本偏自相關圖樣本偏自相關圖 1 (1)0.8 ttt xx 0.8,1 0,2 kk k k 例3.5: v理論偏自相關系數(shù)理論偏自相關系數(shù)v樣本偏自相關圖樣本偏自相關圖 1 (2)0.8 ttt xx 1 0.8,1 = 0,20 kk k k 例3.5: v理論偏自相關系數(shù)理論偏自相關系數(shù)v樣本偏自相關圖樣本偏自相關圖 12 (3)0.5 tttt xxx 1 2 2 2 =, 1 13 =0.5, 2 0, 3 kk

35、 k k k 例例3.5: v理論偏自相關系數(shù)理論偏自相關系數(shù)v樣本偏自相關系數(shù)圖樣本偏自相關系數(shù)圖 12 (4)0.5 tttt xxx 2 ,1 3 0.5,2 0,3 kk k k k MAMA模型的定義模型的定義 v具有如下結(jié)構的模型稱為具有如下結(jié)構的模型稱為 階自回歸模型，階自回歸模型， 簡記為簡記為 v特別當特別當 時，稱為中心化時，稱為中心化 模型模型 q )(qMA 0)(qMA 1122 2 0 ( )0( ),()0, ttttqt q q ttts x EVarEst ， 移動平均系數(shù)多項式移動平均系數(shù)多項式 v引進延遲算子，中心化引進延遲算子，中心化 模型又可以簡模型又

36、可以簡 記為記為 v 階移動平均系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式 )(qMA tt Bx)( q q q BBBB 2 21 1)( MAMA模型的統(tǒng)計性質(zhì)模型的統(tǒng)計性質(zhì) v常數(shù)均值常數(shù)均值 v常數(shù)方差常數(shù)方差 ）（ qtqtttt EEx 2211 222 1 2211 )1 ( )()( q qtqtttt VarxVar MAMA模型的統(tǒng)計性質(zhì)模型的統(tǒng)計性質(zhì) v自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)P P階截尾階截尾v自相關系數(shù)自相關系數(shù)P P階截尾階截尾 q k qk k kq i ikik q k , 0 1 ,)( 0 ,)1 ( 2 1 222 1 qk qk k q kq i ikik k ,

37、 0 1 , 1 0 , 1 22 1 1 常用常用MAMA模型的自相關系數(shù)模型的自相關系數(shù) v MA(1) MA(1)模型模型vMA(2)模型模型 2, 0 1, 1 0, 1 2 1 1 k k k k 3, 0 2, 1 1, 1 0, 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 211 k k k k k MAMA模型的統(tǒng)計性質(zhì)模型的統(tǒng)計性質(zhì) v偏自相關系數(shù)拖尾偏自相關系數(shù)拖尾 )( 11111 qktqktqtqtkk 零不會在有限階之后恒為不恒為零 kkq , 1 例例3.6:3.6:考察如下考察如下MAMA模型的相關性質(zhì)模型的相關性質(zhì) 21 21 1 1 16 25 4 5 )4(

38、25 16 5 4 )3( 5 . 0)2( 2) 1 ( tttt tttt ttt ttt x x x x MAMA模型的自相關系數(shù)截尾模型的自相關系數(shù)截尾 v v 1 12 ttt x （） 1 20.5 ttt x （ ） MAMA模型的自相關系數(shù)截尾模型的自相關系數(shù)截尾 v v 12 416 3 525 tttt x （ ） 12 525 4 416 tttt x （ ） MAMA模型的偏自相關系數(shù)拖尾模型的偏自相關系數(shù)拖尾 v v 1 12 ttt x （） 1 20.5 ttt x （ ） MAMA模型的偏自相關系數(shù)拖尾模型的偏自相關系數(shù)拖尾 v v 12 416 3 525 t

39、ttt x （ ） 12 525 4 416 tttt x （ ） MAMA模型的可逆性模型的可逆性 vMAMA模型自相關系數(shù)的不唯一性模型自相關系數(shù)的不唯一性 例例3.63.6中不同的中不同的MAMA模型具有完全相同的自相關系模型具有完全相同的自相關系 數(shù)和偏自相關系數(shù)數(shù)和偏自相關系數(shù) 2121 11 16 25 4 5 )4( 25 16 5 4 )3( 5 . 0)2(2) 1 ( tttttttt tttttt xx xx 可逆的定義可逆的定義 v可逆可逆MAMA模型定義模型定義 若一個若一個MAMA模型能夠表示稱為收斂的模型能夠表示稱為收斂的ARAR模型形模型形 式，那么該式，那么該

40、MAMA模型稱為可逆模型稱為可逆MAMA模型模型 v可逆概念的重要性可逆概念的重要性 一個自相關系數(shù)列唯一對應一個可逆一個自相關系數(shù)列唯一對應一個可逆MAMA模型。模型。 可逆可逆MA(1)模型模型 v v 1 ttt x 1 1 ttt x 2 1 t t B x 1 t t B x 1 1 可逆, 1 可逆, 1 MAMA模型的可逆條件模型的可逆條件 vMA(q)MA(q)模型的可逆條件是：模型的可逆條件是： MA(q)MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)模型的特征根都在單位圓內(nèi) 等價條件是移動平滑系數(shù)多項式的根都在單位圓等價條件是移動平滑系數(shù)多項式的根都在單位圓 外外 1 1 i 1 i

41、逆函數(shù)的遞推公式逆函數(shù)的遞推公式 v原理原理 v方法方法 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 v遞推公式遞推公式 qk qk jII I k k kj j k kj , 0 , , , 2 , 1 1 1 0 其中 ， tt tt tt xxBIB xBI Bx )()( )( )( 例例3.63.6續(xù)續(xù): :考察如下考察如下MAMA模型的可逆性模型的可逆性 21 21 1 1 16 25 4 5 )4( 25 16 5 4 )3( 5 . 0)2( 2) 1 ( tttt tttt ttt ttt x x x x (1)(2)(1)(2) v v v逆函數(shù)逆函數(shù) v逆轉(zhuǎn)形式逆轉(zhuǎn)形式 不可逆 122 1 t

42、tt x 可逆 15 . 05 . 0 1 ttt x 0 5 . 0 k kt k t x 1,5 . 0 1 k I k k (3)(4) v v v逆函數(shù)逆函數(shù) v逆轉(zhuǎn)形式逆轉(zhuǎn)形式 可逆 1, 1 25 16 5 4 12221 tttt x , 1 , 0, 23, 0 133,) 1( 1 n nk nnk I kn k 或 0 13 13 0 3 3 8 . 0) 1(8 . 0) 1( n nt nn n nt nn t xx 不可逆 1 16 25 16 25 4 5 221 tttt x ARMAARMA模型的定義模型的定義 v具有如下結(jié)構的模型稱為自回歸移動平具有如下結(jié)構的

43、模型稱為自回歸移動平 均模型，簡記為均模型，簡記為 v特別當特別當 時，稱為中心化時，稱為中心化 模型模型 ),(qpARMA tsEx tsEVarE xxx ts sttt qp qtqttptptt , 0 , 0)(,)(0)( 00 2 11110 ， ， 0 0 ),(qpARMA 系數(shù)多項式系數(shù)多項式 v引進延遲算子，中心化引進延遲算子，中心化 模型又可模型又可 以簡記為以簡記為 v 階自回歸系數(shù)多項式階自回歸系數(shù)多項式 v 階移動平均系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式 ),(qpARMA tt BxB)()( q q q BBBB 2 21 1)( p p pB BBB 2 21

44、1)( 平穩(wěn)條件與可逆條件平穩(wěn)條件與可逆條件 vARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件模型的平穩(wěn)條件 P P階自回歸系數(shù)多項式階自回歸系數(shù)多項式 的根都在單位圓外的根都在單位圓外 即即ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn) 性決定性決定 vARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的可逆條件模型的可逆條件 q q階移動平均系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式 的根都在單位圓外的根都在單位圓外 即即ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動平滑部分的可模型的可逆性完全由其移動平滑部分的可 逆性決定逆性決定

45、 0)( B 0)( B 傳遞形式與逆轉(zhuǎn)形式 v傳遞形式傳遞形式v逆轉(zhuǎn)形式逆轉(zhuǎn)形式 1 1 )()( j jtjt tt G BBx 1, 1 1 0 kGG G k j jjkjk 1 1 )()( j jtjt tt xIx xBB 1, 1 1 0 kII I k j jjkjk ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)模型的統(tǒng)計性質(zhì) v均值均值 v協(xié)方差協(xié)方差 v自相關系數(shù)自相關系數(shù) p t Ex 1 0 1 )( 0 2 i kiiG Gk 0 2 0 )0( )( )( j j j kjj G GG k k ARMAARMA模型的相關性模型的相關性 v自相關系數(shù)拖尾自相關

46、系數(shù)拖尾 v偏自相關系數(shù)拖尾偏自相關系數(shù)拖尾 例例3.7:3.7:考察考察ARMAARMA模型的相關性模型的相關性 v擬合模型擬合模型ARMA(1,1):ARMA(1,1): 并直觀地考察該模型自相關系數(shù)和偏自相關并直觀地考察該模型自相關系數(shù)和偏自相關 系數(shù)的性質(zhì)。系數(shù)的性質(zhì)。 1 0.50.8 tttt xx 自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)拖尾性自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)拖尾性 v樣本自相關圖樣本自相關圖v樣本偏自相關圖樣本偏自相關圖 ARMAARMA模型相關性特征模型相關性特征 模型模型自相關系數(shù)自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)偏自相關系數(shù) AR(P)AR(P)拖尾拖尾P P階截尾階截尾 MA(q)MA(q

47、)q q階截尾階截尾拖尾拖尾 ARMA(p,q)ARMA(p,q)拖尾拖尾拖尾拖尾 3.33.3平穩(wěn)序列建模平穩(wěn)序列建模 v建模步驟建模步驟 v模型識別模型識別 v參數(shù)估計參數(shù)估計 v模型檢驗模型檢驗 v模型優(yōu)化模型優(yōu)化 v序列預測序列預測 建模步驟建模步驟 平平 穩(wěn)穩(wěn) 非非 白白 噪噪 聲聲 序序 列列 計計 算算 樣樣 本本 相相 關關 系系 數(shù)數(shù) 模型模型 識別識別 參數(shù)參數(shù) 估計估計 模型模型 檢驗檢驗 模模 型型 優(yōu)優(yōu) 化化 序序 列列 預預 測測 Y N 計算樣本相關系數(shù)計算樣本相關系數(shù) v樣本自相關系數(shù)樣本自相關系數(shù)v樣本偏自相關系數(shù)樣本偏自相關系數(shù) n t t kn t ktt

48、 k xx xxxx 1 2 1 )( )( D Dk kk 11 12 12 1 1 1 k k kk D 11 12 12 1 1 k kkk D 模型識別模型識別 v基本原則基本原則 選擇模型選擇模型 拖尾拖尾P P階截尾階截尾AR(P)AR(P) q q階截尾階截尾拖尾拖尾MA(q)MA(q) 拖尾拖尾拖尾拖尾ARMA(p,q)ARMA(p,q) kk k 模型定階的困難模型定階的困難 v因為由于樣本的隨機性，樣本的相關系數(shù)不會呈現(xiàn)因為由于樣本的隨機性，樣本的相關系數(shù)不會呈現(xiàn) 出理論截尾的完美情況，本應截尾的出理論截尾的完美情況，本應截尾的 或或 仍會仍會 呈現(xiàn)出小值振蕩的情況呈現(xiàn)出小

49、值振蕩的情況 v由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關性，隨著延由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關性，隨著延 遲階數(shù)遲階數(shù) ， 與與 都會衰減至零值附近作小值都會衰減至零值附近作小值 波動波動 ？當當 或或 在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什 么情況下該看作為相關系數(shù)截尾，什么情況下該看么情況下該看作為相關系數(shù)截尾，什么情況下該看 作為相關系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附作為相關系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附 近作拖尾波動呢？近作拖尾波動呢？ k k kk k kk k kk 樣本相關系數(shù)的近似分布樣本相關系數(shù)的近似分布 vBarlett vQuen

50、ouilleQuenouille n n N k ,) 1 , 0( n n N kk ,) 1 , 0( 模型定階經(jīng)驗方法模型定階經(jīng)驗方法 v9595的置信區(qū)間的置信區(qū)間 v模型定階的經(jīng)驗方法模型定階的經(jīng)驗方法 如果樣本如果樣本( (偏偏) )自相關系數(shù)在最初的自相關系數(shù)在最初的d d階明顯大于兩倍標準階明顯大于兩倍標準 差范圍，而后幾乎差范圍，而后幾乎9595的自相關系數(shù)都落在的自相關系數(shù)都落在2 2倍標準差的倍標準差的 范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關系數(shù)衰減為小值波動范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關系數(shù)衰減為小值波動 的過程非常突然。這時，通常視為的過程非常突然。這時，通常視為( (偏偏)

51、 )自相關系數(shù)截尾。自相關系數(shù)截尾。 截尾階數(shù)為截尾階數(shù)為d d。 22 Pr0.95 22 Pr0.95 k kk nn nn 例例2.5續(xù)續(xù) v選擇合適的模型選擇合適的模型ARMAARMA擬合擬合19501950年年 19981998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。 序列自相關圖序列自相關圖 擬合模型識別擬合模型識別 v自相關圖顯示延遲自相關圖顯示延遲3 3階之后，階之后，自相關系數(shù)自相關系數(shù) 全部衰減到全部衰減到2 2倍標準差范圍內(nèi)波動，這表倍標準差范圍內(nèi)波動，這表 明序列明顯地短期相關。明序列明顯地短期相關。 v但序列由顯著非零的相關系數(shù)衰減為小值但

52、序列由顯著非零的相關系數(shù)衰減為小值 波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相 關系數(shù)可視為關系數(shù)可視為拖尾拖尾。 序列偏自相關圖序列偏自相關圖 v偏自相關圖顯示除了延遲偏自相關圖顯示除了延遲1 1階的偏自相關階的偏自相關 系數(shù)顯著大于系數(shù)顯著大于2 2倍標準差之外，其它的偏倍標準差之外，其它的偏 自相關系數(shù)都在自相關系數(shù)都在2 2倍標準差范圍內(nèi)作小值倍標準差范圍內(nèi)作小值 隨機波動，而且由非零相關系數(shù)衰減為小隨機波動，而且由非零相關系數(shù)衰減為小 值波動的過程非常突然，所以該值波動的過程非常突然，所以該偏自相關偏自相關 系數(shù)系數(shù)可視為可視為一階截尾一階截尾 v所以可

53、以考慮擬合模型為所以可以考慮擬合模型為AR(1)AR(1) 例例3.83.8 美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)5757天的天的OVERSHORTOVERSHORT序列序列 序列自相關圖序列自相關圖 序列偏自相關圖序列偏自相關圖 擬合模型識別擬合模型識別 v自相關圖顯示除了延遲自相關圖顯示除了延遲1 1階的自相關系數(shù)在階的自相關系數(shù)在2 2倍倍 標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關系數(shù)都在標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關系數(shù)都在2 2 倍標準差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷倍標準差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷 該序列具有短期相關性，進一步確定序列平穩(wěn)。該序列具有短期相關

54、性，進一步確定序列平穩(wěn)。 同時，可以認為該序列同時，可以認為該序列自相關系數(shù)自相關系數(shù)1 1階階截尾截尾 v偏自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)顯示出典型顯示出典型拖尾拖尾的性質(zhì)。的性質(zhì)。 v綜合該序列自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質(zhì)，綜合該序列自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質(zhì)， 為擬合模型定階為為擬合模型定階為MA(1) MA(1) 例例3.9 v1880-19851880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列全球氣表平均溫度改變值差分序列 序列自相關圖序列自相關圖 序列偏自相關圖序列偏自相關圖 擬合模型識別擬合模型識別 v自相關系數(shù)顯示出拖尾的性質(zhì)自相關系數(shù)顯示出拖尾的性質(zhì) v偏自相關系數(shù)也顯示出拖尾的

55、性質(zhì)偏自相關系數(shù)也顯示出拖尾的性質(zhì) v綜合該序列自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性綜合該序列自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性 質(zhì)，可以嘗試使用質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1)ARMA(1,1)模型擬合該序模型擬合該序 列列 參數(shù)估計參數(shù)估計 v待估參數(shù)待估參數(shù) 個未知參數(shù)個未知參數(shù) v常用估計方法常用估計方法 矩估計矩估計 極大似然估計極大似然估計 最小二乘估計最小二乘估計 2pq 2 11 , , pq 矩估計矩估計 v原理原理 樣本自相關系數(shù)估計總體自相關系數(shù)樣本自相關系數(shù)估計總體自相關系數(shù) 樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差 1111 1

56、1 ( ,) ( ,) pq p qpqp q 1 n i i x x n 2 22 1 22 1 2 1 1 x q p 例例3.10:3.10:求求AR(2)AR(2)模型系數(shù)的矩估計模型系數(shù)的矩估計 vAR(2)AR(2)模型模型 vYule-WalkerYule-Walker方程方程 v矩估計（矩估計（Yule-WalkerYule-Walker方程的解）方程的解） tttt xxx 2211 2112 1211 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 12 2 1 例例3.11:3.11:求求MA(1)MA(1)模型系數(shù)的矩估模型系數(shù)的矩估 計計 vMA(1)MA(1)模型模型 v方

57、程方程 v矩估計矩估計 11 ttt x 22 01 11 1 2 2 01 11 (1) 1 1 2 1 1 2 411 例例3.12:3.12:求求ARMA(1,1)ARMA(1,1)模型系數(shù)的矩估模型系數(shù)的矩估 計計 vARMA(1,1)ARMA(1,1)模型模型 v方程方程 v矩估計矩估計 1111 tttt xx 1111 1 1 2 011 1 211 ()(1) 12 11 2 2 1 2 2 1 1 2 1 21 , 2, 2 4 2, 2 4 , c c cc c cc 極大似然估計極大似然估計 v原理原理 在極大似然準則下，認為樣本來自使該樣本出現(xiàn)在極大似然準則下，認為樣本

58、來自使該樣本出現(xiàn) 概率最大的總體。因此未知參數(shù)的極大似然估計概率最大的總體。因此未知參數(shù)的極大似然估計 就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達到最大就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達到最大 的參數(shù)值的參數(shù)值 ,); (max) ,; , , ( 21121kk xpxxL 模型檢驗模型檢驗 v模型的顯著性檢驗模型的顯著性檢驗 整個模型對信息的提取是否充分整個模型對信息的提取是否充分 v參數(shù)的顯著性檢驗參數(shù)的顯著性檢驗 模型結(jié)構是否最簡模型結(jié)構是否最簡 模型的顯著性檢驗模型的顯著性檢驗 v目的目的 檢驗模型的有效性（對信息的提取是否充分）檢驗模型的有效性（對信息的提取是否充分） v檢驗對象檢驗對

59、象 殘差序列殘差序列 v判定原則判定原則 一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所 有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列 反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘 差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合 模型不夠有效模型不夠有效 假設條件假設條件 v原假設：殘差序列為白噪聲序列原假設：殘差序列為白噪聲序列 v備擇假設：殘差序列為非白噪聲序列備擇假設：殘差序列為非白噪聲序列 012 0,1

60、 m Hm： mkmH k ，：至少存在某個1, 0 1 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量 vLBLB統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2 2 1 (2)() ( ) m k k LBn nm nk 例例2.5續(xù)續(xù) v檢驗檢驗19501950年年19981998年北京市城鄉(xiāng)居民定年北京市城鄉(xiāng)居民定 期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性 v殘差白噪聲序列檢驗結(jié)果殘差白噪聲序列檢驗結(jié)果 延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值檢驗結(jié)論 65.830.3229 擬合模型 顯著有效 1210.280.5050 1811.380.8361 參數(shù)顯著性檢驗參數(shù)顯著性檢驗 v目的目的 檢驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著檢驗每