第二章2-單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)

1、單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng) 引言 慣性體由于任何外力原因離開平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢復(fù)力作用， 慣性體將在平衡位置附近按照其固有頻率 進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由于沒有能量耗散，系統(tǒng) 的機(jī)械能保持守恒。振動(dòng)無限期的進(jìn)行下 去。 引言 對(duì)于實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)，由于不可避免的存 在各種阻尼，振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化 為其他形式的能，造成振幅衰減，以致最 后振動(dòng)完全停止。 阻尼定義 阻尼是用來衡量系統(tǒng)自身消耗振動(dòng)能量能 力的物理量 。 線性阻尼 又稱粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小與相對(duì)速度成正比，方向與速 度方向相反。阻尼系數(shù)為常數(shù)。 為了研究方便，通常將阻尼進(jìn)行線

2、性化， 線性化的方法是等效原則。即在運(yùn)動(dòng)過程 中，線性阻尼和原非線性阻尼吸收的能量 一樣多。 車輛中廣泛存在的阻尼 在車輛當(dāng)中，廣泛存在的阻尼有，懸掛/懸 架系統(tǒng)的減振器，輪胎的橡膠和其他各種 橡膠支撐，液體（浸沒在液體中振動(dòng)物 體），摩擦表面（離合器），金屬橡膠等。 液壓減振器工作原理 活塞 活塞缸 液流方向 活塞運(yùn)動(dòng)方向 阻尼孔 輪胎的阻尼 輪胎變形量 輪 胎 恢 復(fù) 力 壓縮 復(fù)原 O 單自由度粘性阻尼的自由振動(dòng) 以物體的平衡位 置為原點(diǎn)，水平 方向?yàn)閤軸正向， 建立如圖所示的 坐標(biāo)系。 kx cx c k x m m x O 微分方程的建立 根據(jù)受力分析，和初始條件，可以得到下 面的微

3、分方程。 00 0 (0),(0) mxcxkx xxxx 方程求解 由于方程為齊次的，因此，方程的解具有 如下形式： 將解的形式帶入微分方程： st xe 2 0 st ck sse mm 特征方程及其解 由于 ，因此，要想方程成立； 必須：稱為微分方程 的特 征方程 可以解出它的兩個(gè)根： 0 st e 2 0 ck ss mm 2 1,2 22 cck s mmm 微分方程的通解 微分方程的通解為： 為任意常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。 而解的形式，決定于 。隨著阻尼系數(shù) 的不同，特征方程可以有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí) 根，相等的負(fù)實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根。 12 s ts t xBeDe ,B D 12

4、,s s 臨界阻尼系數(shù) 使特征方程有兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根的阻尼系數(shù) 值，稱為臨界阻尼系數(shù)（critical damping coefficient）記為 c c 22 cn ckmm 阻尼比 令 ，稱為阻尼比或者相 對(duì)阻尼系數(shù)。是一個(gè)無量綱的數(shù)， 是一個(gè)重要 振動(dòng)參數(shù)。 表征一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)阻尼的大小： 表示大阻尼， 表示臨界阻尼， 表示小阻尼。 22 cn ccc cmkm 1 1 1 微分方程和解的表達(dá)方式 由 ，和 原來的微分方程可以改寫成： 特征根： n k m 2 2 cn n c cc cm mc mm 2 20 nn xxx 2 1,2 1 n s 大阻尼情況的討論 當(dāng) ，方程的特征根 ，

5、 均為實(shí)數(shù)，方程的通解為： 與初始條件 有關(guān)， 1 2 1,2 1 n s 22 11 12 nnn ttt xeAeA e 12 ,A A 00 ,x x 00 1,20 2 1 2 1 n n xx Ax 大阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 可以證明， 越過平衡位置的次數(shù)至多有一次。 22 11 12 nnn ttt xeAeA e t xx t x t x0 x0 x0 x0 x0 x0 臨界阻尼情況的討論 當(dāng) ，特征方程的根 由微分方程的理論，方程的解為： 代入初始條件可得： 1 1,2n s 12 nn tt xAeA te 10200 , n AxAxx 臨界阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 可見，臨界阻尼下

6、的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)也不是振 動(dòng)，但在相同的條件下，臨界阻尼的系統(tǒng) 的自由運(yùn)動(dòng)最先停止，因此，儀表都將系 統(tǒng)的阻尼設(shè)置為臨界阻尼。 作業(yè) 有粘性阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，無阻尼振動(dòng) 的固有頻率為 ，從平衡位置拉開 后釋 放，初速度為零，求 和 時(shí)的 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況。 n 0 x 1.251 小阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 當(dāng) ，特征方程的根 令： 1 2 1,2 1 nn sj 2 1 dn 解的三角形式 方程可以寫成： 由初始條件， 12 cossincos() nn tt ddd xeCtCtAet 10 Cx ， 00 2 n d xx C 2 2 00 0 n d xx Ax ， 1 00 0 tan n d

7、xx x 小阻尼的運(yùn)動(dòng)曲線 如圖所示的為衰減振 動(dòng)。在 的時(shí)候，物體的運(yùn)動(dòng) 曲線和曲線： 相切， 在切點(diǎn)的x值的絕對(duì) 值 稱為振幅。 cos()1 dt nt xAe nt Ae 05101520 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 時(shí)間 振幅 小阻尼振動(dòng)曲線 阻尼振動(dòng)的特點(diǎn) 由于有衰減項(xiàng)的存在，因此阻尼振動(dòng)既不 是簡(jiǎn)諧的，也不是周期的。而是隨著時(shí)間t 趨于無窮時(shí)，振幅逐漸衰減為零，系統(tǒng)趨 于靜止。這是阻尼自由振動(dòng)和無阻尼自由 振動(dòng)的主要區(qū)別之一。 阻尼振動(dòng)的數(shù)字特征 習(xí)慣上，將函數(shù) 的周期稱為衰 減振動(dòng)的周期，故衰減振動(dòng)的周期和頻率 分別為： cos() dt 22 22

8、11 d d n T T 2 2 1 1 22 nd d ff 阻尼對(duì)頻率和周期的影響 可見，阻尼的存在，使系統(tǒng)的振動(dòng)頻率降 低，振動(dòng)周期延長(zhǎng)。但在的時(shí)候，阻尼的 存在對(duì)于周期和頻率的影響，可以略去不 計(jì)。 22 2 11 1() 2 1 xo x x 222 1 11() 2 xxo x ( ) 0 0 0 () ( ) () ! n n n fx f xxx n 忽略阻尼影響的條件 根據(jù)上述展開，大家可以口算當(dāng) 和 時(shí)，系統(tǒng)的周期和頻率變化幅度。 所以，當(dāng)時(shí) ，通常忽略阻尼對(duì)固 有頻率和周期的影響 0.05 0.3 0.3 阻尼對(duì)振幅的影響 阻尼對(duì)與振幅的影響非常大。設(shè) 和 分別 是相鄰兩

9、次的振幅，對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為： 和 ，則： 可得： 在一個(gè)周期后，幅值縮減到原來的 1 x 2 x 1 t 2 t 1 1 1 2 n n d nd t T tT xAe e xAe 1 n d T e d Ttt 12 衰減數(shù)據(jù) 在 的情況下，在一個(gè)周期振幅減小27%， 經(jīng)過10個(gè)周期，振幅減小到原來的4.3%。可見， 只要有微弱的阻尼，就可以使振動(dòng)迅速衰減。 從上式可以看出，如果兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率相 同，則阻尼比較大的系統(tǒng)自由振動(dòng)衰減的較快，這 也說明阻尼比表示了系統(tǒng)消耗振動(dòng)能量的能力。如 果兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比相同，則固有頻率比較大 的系統(tǒng)自由振動(dòng)衰減的較快，這也就是常說的； “高頻成

10、分衰減快”在單自由度系統(tǒng)時(shí)的情況。 0.05 對(duì)數(shù)縮減率 前后相鄰的任意兩次振動(dòng)的振幅之比的自 然對(duì)數(shù)，稱為對(duì)數(shù)縮減率，記為： 由于： 可得： 當(dāng)在 的時(shí)候，有 1 2 ln nd x T x 2 1 d T T 2 2 1 12 作業(yè)2 證明：第t次與第t+n次振動(dòng)的振幅對(duì)數(shù)縮減 率為 ，第t次與第t+1次振動(dòng)的振幅對(duì)數(shù) 縮減率為 ，則： n 1 n n 對(duì)數(shù)縮減率的作用 由 ，可以求出 當(dāng)在 的時(shí)候， ， 為了便于測(cè)量， 通常由 獲得 2 2 1 22 4 12 2 11 ln t n t n x nnx 例子 試證明：在衰減振動(dòng)中，在相鄰兩個(gè)位移 最大值消耗的機(jī)械能 ，與開始時(shí)的機(jī)械 能 之比為常量，在阻尼很小的時(shí)候， 有： U 1 U 1 2 U U 證明 設(shè)第一個(gè)位移最大值 ，相鄰的位移最大 值 ，則相應(yīng)的機(jī)械能為