第1節(jié) n階行列式的定義

1、線性代數線性代數 第一章第一章 行列式行列式 n內容提要內容提要 1 n1 n階行列式的定義階行列式的定義 2 2 行列式的性質行列式的性質 3 3 行列式按行行列式按行(列列)展開展開 4 4 克拉默法則克拉默法則 行列式是一個重要的工行列式是一個重要的工 具，它在數學的各個領具，它在數學的各個領 域及其它各學科都有著域及其它各學科都有著 廣泛的應用廣泛的應用 1 n n階行列式的定義階行列式的定義 二階與三階行列式二階與三階行列式 排列與逆序排列與逆序 n n階行列式的定義階行列式的定義 一、二階與三階行列式一、二階與三階行列式 二元線性方程組二元線性方程組 1111221 2112222

2、 a xa xb a xa xb 由消元法，得由消元法，得 211211221122211 )(abbaxaaaa 212221121122211 )(baabxaaaa 當當 時，該方程組有唯一解時，該方程組有唯一解 0 21122211 aaaa 21122211 212221 1 aaaa baab x 21122211 211211 2 aaaa abba x 1 1. .二階行列式二階行列式 求解公式求解公式為為 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aa b x a aa a a

3、bb a x a aa a 二元線性方程組二元線性方程組 請觀察，此公式有何特點？請觀察，此公式有何特點？ 分母相同，由方程組的四個系數確定分母相同，由方程組的四個系數確定. 分子、分母都是四個數分成兩對相乘再分子、分母都是四個數分成兩對相乘再 相減而得相減而得. 其求解公式為其求解公式為 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aa b x a aa a a bb a x a aa a 二元線性方程組二元線性方程組 我們引進新的符號來表示我們引進新的符號來表示“四個四個 數分成兩對相乘再相減數

4、分成兩對相乘再相減”. . 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 1112 2122 aa aa 記號記號 1112 2122 aa aa 數表數表 表達式表達式 稱為由該稱為由該 數表所確定的數表所確定的二階行列式二階行列式，即，即 11221221 a aa a 其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2) ij aij i 為為行標行標，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標列標，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. . 二元線性方程組二元線性方程組 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 若令若令 11

5、12 2122 aa D aa 12 1 1 222 b b a D a 1 2 2 11 21 ba D ab ( (方程組的系數行列式方程組的系數行列式) ) 則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為 1122122 1 11221221 D D b aa b x a aa a 1121212 2 11221221 a bb aD x a aa aD 2.2.三階行列式三階行列式 定義定義 對于有對于有9個元素個元素 排成排成3行行3列的式子列的式子 記記 稱為稱為三階行列式三階行列式. . 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 1122

6、33122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則二階行列式的對角線法則 并不適用！并不適用！ ij a 三階行列式的計算三階行列式的計算 對角線法則對角線法則 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 132132 a a a 112233 a a a 122331 a a a 132231 a a a 122133 a a a 112332 a a a 注意：注

7、意：對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. . 實線上的三個元素的乘積冠正號，實線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負號虛線上的三個元素的乘積冠負號. . 323 2-34 4-52 D 例例1 計算行列式計算行列式 解解 按對角線法則，有按對角線法則，有 D3 ( 3) 22 4 42 ( 5) 3 3 ( 3) 42 2 23 4 ( 5)72 方程左端方程左端解解 由由 得得 2 111 120. 64 x x 例例2 求解方程求解方程 22 264124Dxxxx 2 28,xx 2 280 xx 24.xx

8、或或 二、排列與逆序二、排列與逆序 定義定義 1, 2, n由正整數由正整數 組成的一個沒有重復數字組成的一個沒有重復數字 的的n元有序數組，稱為一個元有序數組，稱為一個n級排列，簡稱級排列，簡稱排排 列列，記為，記為 。 )( 21n iii 1 2n i ii 例如例如42314231 653412653412 15231523 是一個是一個4 4級排列級排列 是一個是一個6 6級排列級排列 不是一個排列不是一個排列 n 個不同的自然數，規(guī)定從小到大為標準次序個不同的自然數，規(guī)定從小到大為標準次序. 定義定義 在一個在一個n級排列級排列 中，如果數中，如果數 ， 則稱數則稱數 與與 構成一

9、個構成一個逆序逆序。在一個。在一個n級排列中，逆序級排列中，逆序 的總數稱為該排列的的總數稱為該排列的逆序數逆序數，記為，記為 例如例如 在排列在排列32514中，中， 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？ 答：答：2和和1，3和和1也構成逆序也構成逆序. )( 21nts iiiii st ii s i t i 1 2 () n i ii 計算排列的逆序數的方法計算排列的逆序數的方法 則此排列的逆序數為則此排列的逆序數為 12n tttt 設設 是是 1, 2, , n 這這n 個自然數的任一排列，并規(guī)個自然數的任一排列，

10、并規(guī) 定由小到大為標準次序。定由小到大為標準次序。 先看有多少個比先看有多少個比 大的數排在大的數排在 前面，記為前面，記為 ； 再看有多少個比再看有多少個比 大的數排在大的數排在 前面，記為前面，記為 ; 最后看有多少個比最后看有多少個比 大的數排在大的數排在 前面，記為前面，記為 ; 1 2n i ii 1 i 1 i 1 t 2 i 2 i 2 t n i n i n t 例例1： 求排列求排列 32514 的逆序數的逆序數. 解：解： (32514)010315 練習：練習： 求排列求排列 453162 的逆序數的逆序數. 9t 解：解： 因為因為3 3排在首位，故其逆序的個數為排在首

11、位，故其逆序的個數為0 0； 在在2 2的前面比的前面比2 2大的數有大的數有1 1個，故其逆序的個數為個，故其逆序的個數為1 1； 在在5 5的前面比的前面比5 5大的數有大的數有0 0個，故其逆序的個數為個，故其逆序的個數為0 0； 在在1 1的前面比的前面比1 1大的數有大的數有3 3個，故其逆序的個數為個，故其逆序的個數為3 3； 在在4 4的前面比的前面比4 4大的數有大的數有1 1個，故其逆序的個數為個，故其逆序的個數為1 1。 易見所求排列的逆序數為易見所求排列的逆序數為 定義定義逆序數為偶數的排列稱為逆序數為偶數的排列稱為偶排列偶排列；逆序數為奇數的排列；逆序數為奇數的排列 稱

12、為稱為奇排列奇排列。 定義定義把一個排列把一個排列 中某兩個數中某兩個數 ， 的位置互的位置互 換，而其余數不動，得到另一個排列換，而其余數不動，得到另一個排列 ， 這樣的變換稱為一個對換，記為這樣的變換稱為一個對換，記為 。 s i t i 1 2 () tsn i iiii 1 2 () stn i iiii , st ii 將兩個相鄰元素對換，稱為相鄰對換將兩個相鄰元素對換，稱為相鄰對換 定理定理1 1任意一個排列經過一個對換后，改變奇偶性。任意一個排列經過一個對換后，改變奇偶性。 即即經過一次對換，奇排列變?yōu)榕寂帕?，偶排列變?yōu)槠媾帕?。經過一次對換，奇排列變?yōu)榕寂帕?，偶排列變?yōu)槠媾帕小?

13、證明：證明：第一種情形。第一種情形。先看相鄰對換的情況先看相鄰對換的情況 設排列為設排列為 ，對換，對換 與與 ，變?yōu)?，變?yōu)?11lm aa abbbab 11lm aa babb 顯然，顯然， ， 這些元素的逆序數經過對換并不改變，這些元素的逆序數經過對換并不改變， 1l aa 1m bb 與與 兩元素的逆序數改變?yōu)椋簝稍氐哪嫘驍蹈淖優(yōu)椋?ab ab 當當 時，時，經對換后經對換后 的逆序數不變而的逆序數不變而 的逆序數減少的逆序數減少1 1；ab 當當 時，時，經對換后經對換后 的逆序數增加的逆序數增加1 1而而 的逆序數不變；的逆序數不變； ； ab ba 所以，所以，排列排列 與排列

14、與排列 的奇偶性改變。的奇偶性改變。 11lm aa abbb 11lm aa babb 第二種情形。第二種情形。 再看一般情況。再看一般情況。 設排列為設排列為 ，對它做，對它做 次相鄰對換，變成次相鄰對換，變成 111lmn aa abb bcc m 111lmn aa abbb cc 再做再做 次相鄰對換，變成次相鄰對換，變成 1m 111lmn aa bbb acc 總之，經總之，經 次相鄰對換，排列次相鄰對換，排列 變成變成 21m 111lmn aa abb bcc 111lmn aa bbb acc 所以這兩個排列的奇偶性改變。所以這兩個排列的奇偶性改變。 定理定理2 2 個自然

15、數個自然數 共有共有 個個 級排列，其中奇偶排列各級排列，其中奇偶排列各 占一半。占一半。 n 1n !n n 證明證明 級排列的總數為級排列的總數為 個。個。n!n 設其中奇排列為設其中奇排列為 個，偶排列為個，偶排列為 個。個。 pq 若對每個奇排列都做同一對換，則由定理若對每個奇排列都做同一對換，則由定理1 1， 個奇排列均變成偶排列，故個奇排列均變成偶排列，故 ； ppq 同理，對每個偶排列做同一變換，則同理，對每個偶排列做同一變換，則 個偶排列均變成奇排列，故個偶排列均變成奇排列，故 。 qqp 從而，從而， ! 2 n pq 三、三、n階行列式的定義階行列式的定義 111213 2

16、12223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 規(guī)律：規(guī)律： 1.1.三階行列式共有三階行列式共有3!項。項。 2.2.每項都是取自不同行、不同列的三個元素的乘積。每項都是取自不同行、不同列的三個元素的乘積。 3.3.每項的符號取決于：當該項元素的行標按自然數順序排列后，每項的符號取決于：當該項元素的行標按自然數順序排列后， 如果對應的列標構成的排列是偶排列則取正號，奇排列則取如果對應的列標構成的排列是偶排列則取正號，奇排列則取 負號。負號。 所以，三

17、階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 1 2 3 123 1 2 3 () 123 ( 1) j j j jjj j j j aaa 其中其中 表示對所有表示對所有3 3級排列求和級排列求和。 1 2 3 j j j 二階行列式有類似規(guī)律二階行列式有類似規(guī)律。下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形 111213 212223 313233 aaa Daaa aaa 112233122331132132 132231122133112332 a a aa a aa a a a a aa a aa a a 定義定義由由 個元素個元素 排成排成n行、行、n列構成列構成 的記號：

18、的記號： 2 n ,1, 2, ij ai jn 1 2 12 1 2 11121 21222() 12 12 ( 1) n n n n nj jj jjnj j jj nnnn aaa aaa Daaa aaa 簡記作簡記作 ， 其中其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元 det ij a ij a 稱為稱為n階行列式階行列式，其中，其中 表示對所有表示對所有n階排列階排列 求和。求和。 1 2n j jj 12n j jj 規(guī)律規(guī)律 1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項項 2.2.每項都是取自不同行不同列的每項都是取自不同行不同列的 n 個元素的乘積，個元素的乘積，每

19、項各元素每項各元素 行標按自然數順序排列后就是行列式的一般項形式：行標按自然數順序排列后就是行列式的一般項形式： 3.3.若行列式每項的行標都按自然數的順序排列，其中若行列式每項的行標都按自然數的順序排列，其中 是指項的符號，且列序構成是指項的符號，且列序構成 n 級排列級排列 ，若此排列為，若此排列為 奇排列則此項取負號，若此排列為偶排列則此項取正號，所奇排列則此項取負號，若此排列為偶排列則此項取正號，所 以行列式項的符號一半為正，一半為負。以行列式項的符號一半為正，一半為負。 1 2 12 () 12 ( 1) n n j jj jjnj aaa 1 2 () ( 1) n j jj 12

20、n j jj 思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？ 答：答：符號符號 可以有兩種理解：可以有兩種理解： 若理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ； 若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . . 11 1 11 11 注意：注意：當當n = 1時，一階行列式時，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與 絕對值的記號相混淆絕對值的記號相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 例如例如 所表示的代數和中有所表示的代數和中有4！=24項項。 行標排列為行標排列為12341234，元素取自不同行；列標排列，元素取自不同行；列標排列 為為12341234，元素取自不同列，且逆序數，

21、元素取自不同列，且逆序數 , ,即元素乘即元素乘 積積 前面應冠以正號，所以前面應冠以正號，所以 為為D的一項。的一項。 行標排列為行標排列為12341234，元素取自不同行；列標排列，元素取自不同行；列標排列 為為43124312，元素取自不同列，且逆序數，元素取自不同列，且逆序數 , ,即排列即排列 43124312為奇排列，所以元素乘積為奇排列，所以元素乘積 前面應冠以負號，所前面應冠以負號，所 以以 為為D的一項。的一項。 有兩個元素取自第四列，所以它不是有兩個元素取自第四列，所以它不是D的一項。的一項。 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa

22、 aaaa D aaaa aaaa 11223344 a a a a 12340 11223344 a a a a 11223344 a a a a 14233142 a a a a 43125 14233142 a a a a 14233142 a a a a 11243344 a a a a 定理定理3 3n階行列式也可以定義為階行列式也可以定義為 1 2 12 1 2 () 12 ( 1) n n n i ii iii n i ii Da aa 證明證明 按行列式定義有按行列式定義有 12 12 ( 1) n t jjnj Daaa 12 () n tj jj 記記 12 112 ( 1

23、) n s iii n Da aa 1 2 () n si ii 由上面討論知：由上面討論知：對于對于 中任一項中任一項 ，總有且僅，總有且僅D 12 12 ( 1) n t jjnj aaa 有有 中某一項中某一項 與之對應并相等與之對應并相等 1 D 12 12 ( 1) n s iii n a aa 于是，于是， 1 D 與與 中的項可以一一對應并相等。中的項可以一一對應并相等。D 從而，從而， 1 DD 例例1 1計算計算n階行列式階行列式 11 2122 313233 123 000 00 0 nnnnn a aa aaaD aaaa 的值，其中的值，其中0 ii a 1, 2,in

24、 解解記行列式的一般項為記行列式的一般項為 1 2 12 12 ( 1) n n j jj jjnj aaa D中有很多項為零，現(xiàn)在考察有哪些項不為零。中有很多項為零，現(xiàn)在考察有哪些項不為零。 一般項中第一個元素一般項中第一個元素 取自第一行，但第一行中只有取自第一行，但第一行中只有 不為零，因而不為零，因而 ，即，即 中只有含有中只有含有 的那些項可能不為的那些項可能不為 零，其他項均為零；零，其他項均為零； 一般項中第二個元素一般項中第二個元素 取自第二行，第二行中有取自第二行，第二行中有 和和 不為零，因第一個元素不為零，因第一個元素 已取自第一列，因此第二個元素不已取自第一列，因此第二

25、個元素不 能再取自第一列，即不能取能再取自第一列，即不能取 ，所以第二個元素只能取，所以第二個元素只能取 ， 從而從而 ，即，即 中只有含中只有含 的那些項可能不為零，其他的那些項可能不為零，其他 項均為零；項均為零； 這樣推下去，可得這樣推下去，可得 ， ， 。 因此，因此， 中只有中只有 這一項不為零，其他項均為這一項不為零，其他項均為 零。零。 由于由于 ，因此這一項應取正號，于是可得，因此這一項應取正號，于是可得 1 1 j a 11 a 1 1j D 11 a 2 2 j a 21 a 22 a 11 a 21 a22 a 2 2j D 1122nn a aa 3 3j 4 4j n

26、 jn D 120n 1122 a a 11 2122 3132331 12 23 3 123 000 00 0 n nnn n nn a a aa a aa aaaD aaaa 下三角形行列式下三角形行列式 同理同理 1112131 22232 331122333 0 00 000 n n nn nn n aaaa aaa aaDa a aa a 上三角形行列式上三角形行列式 特殊情況：特殊情況： (1)11 22 33112233 000 000 000 000 n nn n a a aDa a aaa 對角行列式對角行列式 行列式中從左上角到右下角的對角線稱為行列式中從左上角到右下角的對角線稱為主對角線主對角線 由行列式定義不難得出：一個行列式若有一行（或一列）中由行列式定義不難得出：一個行列式若有一行（或一列）中 的元素皆為零，則此行列式必為零的元素皆為零，則此行列式必為零 (2) 11121,11 21222,1 3132 1 0 00 000 nn n n aaaa aaa aaD a 1 2,12 3,13 12,1