2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)選擇性第一冊教案：第2章2.4　2.4.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教a版選擇性必修第一冊教案：第2章 2.42.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程含解析2。4圓的方程2。4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點（重點）2.會根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點、難點)3.能準(zhǔn)確判斷點與圓的位置關(guān)系（易錯點)通過對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).“南昌之星摩天輪2006年建成時是世界上最高的摩天輪，它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園，是南昌市標(biāo)志性建筑該摩天輪總高度為160米,轉(zhuǎn)盤直徑為153米 請問游客在摩天

2、輪轉(zhuǎn)動過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？若以摩天輪中心所在位置為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，游客在任一點（x，y)的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓,定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑（2）確定圓的基本要素是圓心和半徑,如圖所示（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為a（a，b）,半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（xa）2(yb）2r2.當(dāng)ab0時，方程為x2y2r2,表示以原點o為圓心、半徑為r的圓思考：平面內(nèi)確定圓的要素是什么？提示圓心坐標(biāo)和半徑2點與圓的位置關(guān)系（xa)2(yb）2r2(r0)，其圓心為c（a，b),半徑為r,點p(x0,y0），設(shè)dpc|.

3、位置關(guān)系d與r的大小圖示點p的坐標(biāo)的特點點在圓外dr(x0a)2（y0b）2r2點在圓上dr(x0a）2(y0b）2r2點在圓內(nèi)dr(x0a）2(y0b)2r21思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“)（1)方程（xa）2(yb）2m2表示圓(）（2）若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2（yb)2m2（m0)，則圓心為(a，b），半徑為m.()(3)圓心是原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y2r2(r0)（)提示（1）(2）(3)2圓(x2)2(y3)22的圓心和半徑分別是（）a(2,3)，1b(2，3）,3c（2，3)，d(2，3),d由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（2，3)，半徑為.3以原點為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程是()ax2y22bx2y24c(x2)2（y2)28dx2y2b以原點為圓心，2為半徑的圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y24.4已知點p（1，1）在圓(x2)2y2m的內(nèi)部,則實數(shù)m的取值范圍是_m10由條件知（12）2(1)2m,解得m10.點與圓的位置關(guān)系【例1】已知圓的圓心m是直線2xy10與直線x2y20的交點，且圓過點p(5,6)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點a(2,2)，b（1，8），c(6，5）是在圓上,在圓內(nèi),還是在圓外？思路探究先求出兩直線的交點坐標(biāo)即圓心坐標(biāo)，再求出半徑并寫出方程；求出a，b，c各點與圓心的距離，分別與半徑比較，判斷出點與圓的位置關(guān)系解解方程組得圓心m的坐標(biāo)為(0，1

5、)，半徑rmp5.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)250.|am|r，點a在圓內(nèi)bm|r，點b在圓上cm|r，點c在圓外圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（y1)250,且點a在圓內(nèi),點b在圓上，點c在圓外1。判斷點與圓的位置關(guān)系的方法(1）只需計算該點與圓的圓心距離,與半徑作比較即可；（2）把點的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷2靈活運用若已知點與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍跟進(jìn)訓(xùn)練1已知圓心為點c（3,4），且經(jīng)過原點，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點p1(1，0）,p2(1,1）,p3（3，4）和圓的位置關(guān)系解因為圓心是c(3,4),且經(jīng)過原點，所以圓的半徑r

6、5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2（y4）225。因為p1c|25，所以p3(3，4）在圓外。求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】求過點a（1，1),b（1,1),且圓心在直線xy20上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思路探究法一：利用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的方程，根據(jù)條件建立關(guān)于參數(shù)方程組求解；法二：利用圓心在直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件建立方程組求圓心坐標(biāo)和半徑，從而求圓的方程；法三：借助圓的幾何性質(zhì)，確定圓心坐標(biāo)和半徑,從而求方程解法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa）2(yb）2r2，由已知條件知解此方程組，得故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1）2（y1）24.法二：設(shè)點c為圓心，點c在直線xy20上，可設(shè)點c的坐標(biāo)為（a,2a）又

7、該圓經(jīng)過a，b兩點，ca|cb|。，解得a1.圓心坐標(biāo)為c（1，1），半徑長r|ca2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1）24.法三：由已知可得線段ab的中點坐標(biāo)為（0,0)，kab1，所以弦ab的垂直平分線的斜率為k1，所以ab的垂直平分線的方程為y01（x0)，即yx.則圓心是直線yx與xy20的交點，由得即圓心為(1，1)，圓的半徑為r2，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1）2(y1）24.確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2)待定系數(shù)法由三個獨立條件得到三個方程，解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

8、中三個參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：設(shè)-設(shè)所求圓的方程為（xa）2（yb)2r2；列-由已知條件，建立關(guān)于a,b，r的方程組；解解方程組，求出a，b,r；代-將a，b，r代入所設(shè)方程,得所求圓的方程跟進(jìn)訓(xùn)練2已知圓c經(jīng)過a（5，1）,b(1，3）兩點，圓心在x軸上,則c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_（x2）2y210由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在ab的垂直平分線上,結(jié)合題意知,ab的垂直平分線為y2x4，令y0，得x2，故圓心坐標(biāo)為（2，0)，所以圓的半徑r,故圓的方程為（x2）2y210.與圓有關(guān)的最值問題探究問題1怎樣求圓外一點到圓的最大距離和最小距離?提示可采用幾何法,先求

9、出該點到圓心的距離，再加上或減去圓的半徑,即可得距離的最大值和最小值2若點m是c內(nèi)一點，那么過點m的弦中,弦長最長和最短的弦分別是哪一條？提示弦長最長的弦是mc所在的直徑，弦長最短的弦是過m且與mc垂直的弦【例3】已知x和y滿足（x1)2y2，試求x2y2的最值思路探究首先觀察x、y滿足的條件,其次觀察所求式子的幾何意義,求出其最值解由題意知x2y2表示圓上的點到坐標(biāo)原點距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點與坐標(biāo)原點的距離取最大值和最小值時,其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值原點o(0，0)到圓心c（1，0)的距離d1,故圓上的點到坐標(biāo)原點的最大距離為1,最小距離為1.因此x2y2的最大值和最小值分別為和。

10、1變條件把本例中圓的方程變?yōu)椋▁1)2y24，則過(0，0)的弦中，最長弦長為_，最短弦長為_42點（0，0）在圓內(nèi)，最長的弦為過o的直徑，所以最大弦長為2r4.最短弦是過o且與過o的直徑垂直的弦，因為o（0，0)與圓的距離為1,所以最短弦長為22.2變結(jié)論本例條件不變，試求的取值范圍解設(shè)k，變形為k，此式表示圓上一點（x， y）與點(0， 0）連線的斜率，由k,可得ykx,此直線與圓有公共點，圓心到直線的距離dr,即,解得k。即的取值范圍是。與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解法（1)形如u形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x, y)和(a， b)的動直線斜率的最值問題（2）形如laxby形式的最值

11、問題,可轉(zhuǎn)化為動直線y x截距的最值問題(3）形如(xa）2（yb)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點(x, y)到定點（a, b）的距離的平方的最值問題1確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組求a，b,r或直接求出圓心(a，b)和半徑r。另依據(jù)題意適時運用圓的幾何性質(zhì)解題可以化繁為簡,提高解題效率2討論點與圓的位置關(guān)系可以從代數(shù)特征（點的坐標(biāo)是否滿足圓的方程)或幾何特征（點到圓心的距離與半徑的關(guān)系)去考慮,其中利用幾何特征較為直觀、簡捷3與圓有關(guān)的最值問題，常借助于所求式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題,滲透著直觀形象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)4幾種特殊的對稱(1）圓c關(guān)于點m對稱點m

12、就是圓心（2）圓c關(guān)于直線l對稱直線l經(jīng)過圓心(3)圓c1、c2關(guān)于點m對稱(4）圓c1、c2關(guān)于直線l對稱1圓心為（1，1)，且過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）a(x1）2（y1）21b（x1)2(y1）21c(x1)2（y1）22d(x1)2(y1)22d由圓過原點知r，故所求圓的方程為(x1）2（y1)22，選d.2兩個點m（2，4），n（2,1)與圓c：x2y22x4y40的位置關(guān)系是（)a點m在圓c外，點n在圓c外b點m在圓c內(nèi),點n在圓c內(nèi)c點m在圓c外，點n在圓c內(nèi)d點m在圓c內(nèi)，點n在圓c外d將點的坐標(biāo)代入方程左邊得22(4）2224(4)440，m點在圓內(nèi)，(2）2122(2)41490，n點在圓外故選d。3圓心為直線xy20與直線2xy80的交點，且過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_（x2)2（y4)220由可得，即圓心為（2，4),從而r2,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2（y4)220.4點(51，)在圓(x1)2y226的內(nèi)部，則a的取值范圍是_0，1)由于點在圓的內(nèi)部，所以(511)2（)226，即26a26，又a0，解得0a1。5已知某圓圓心在x軸