第5章彎曲應力

1、第六章第六章 彎彎 曲曲 應應 力力 0 0 0 const S F M 5-1 純彎曲時梁的正應力純彎曲時梁的正應力 0 0 0 const S F M 靜力學方程靜力學方程 dA Me M x y z o e N d 0d 0d MMAyM AzM AF A z A y A 伸長伸長 縮短縮短 dA cN,tN, ct ddFAAF AA 對稱于對稱于y 軸，軸，My=0自動滿足自動滿足 M 是是 dA 對對 z 軸的合力偶矩軸的合力偶矩 即即 分布規(guī)律分布規(guī)律分布規(guī)律分布規(guī)律 E ? 外部變形現(xiàn)象外部變形現(xiàn)象 （1）兩相鄰橫向線仍保）兩相鄰橫向線仍保 持為直線，只是相對轉持為直線，只是相

2、對轉 動了一個小角度；動了一個小角度； （2）兩縱向線段均變成）兩縱向線段均變成 弧段，并仍與轉動后的弧段，并仍與轉動后的 橫向線保持正交?？康讬M向線保持正交。靠底 部者伸長了，靠頂部者部者伸長了，靠頂部者 縮短了。由變形的連續(xù)縮短了。由變形的連續(xù) 性，側面上必有一條縱性，側面上必有一條縱 向線段變彎后既不伸長向線段變彎后既不伸長 也不縮短。也不縮短。 外部變形結論外部變形結論 側面上這兩條橫向線之間側面上這兩條橫向線之間 的所有縱向線段，它們的的所有縱向線段，它們的 伸長或縮短變形，沿梁高伸長或縮短變形，沿梁高 是線性變化的。是線性變化的。 純彎曲平面假設純彎曲平面假設 梁的橫截面在梁發(fā)生彎

3、曲梁的橫截面在梁發(fā)生彎曲 變形后仍保持為平面，只變形后仍保持為平面，只 是相鄰橫截面繞垂直于縱是相鄰橫截面繞垂直于縱 向對稱面的軸相對轉了一向對稱面的軸相對轉了一 個小角度，并均和彎曲后個小角度，并均和彎曲后 的軸線保持正交。的軸線保持正交。 以此為基礎的理論公式以此為基礎的理論公式 已為實驗結果所證實。已為實驗結果所證實。 內部變形的推論內部變形的推論 根據平面假設，兩相鄰橫根據平面假設，兩相鄰橫 截面之間所有縱向線段的截面之間所有縱向線段的 變形規(guī)律，與側面上觀察變形規(guī)律，與側面上觀察 到的情形相同。從下部纖到的情形相同。從下部纖 維的伸長逐漸過渡到上部維的伸長逐漸過渡到上部 纖維的縮短，

4、其中必有一纖維的縮短，其中必有一 層縱向纖維彎曲后長度不層縱向纖維彎曲后長度不 變，該層稱之為變，該層稱之為中性層中性層； 它與橫截面的交線稱為它與橫截面的交線稱為中中 性軸性軸。 對稱彎曲時，中性層與對稱彎曲時，中性層與 縱向對稱平面縱向對稱平面 x y 相垂相垂 直，即中性軸直，即中性軸 z 與橫截與橫截 面的對稱軸面的對稱軸 y 正交。相正交。相 鄰橫截面正是繞中性軸鄰橫截面正是繞中性軸 相對轉動的，可見在兩相對轉動的，可見在兩 相鄰橫截面之間與中性相鄰橫截面之間與中性 層平行的某層纖維，其層平行的某層纖維，其 伸長（或縮短）變形是伸長（或縮短）變形是 相同的，只隨該層纖維相同的，只隨該

5、層纖維 到中性層的距離不同而到中性層的距離不同而 變化。變化。 變形幾何方程變形幾何方程 dx 微分段；微分段； dq q 兩相鄰橫截面繞中兩相鄰橫截面繞中 性軸相對轉過的角度；性軸相對轉過的角度； 中性層的曲率半徑；中性層的曲率半徑； O y軸與中性軸的交點軸與中性軸的交點 （z 軸與中性軸重合）；軸與中性軸重合）； 處的縱向線段處的縱向線段距中性層為距中性層為 中性層中性層 yaa OO q qq yy d dd 即即 y 物理方程物理方程 y EE 層間無擠壓層間無擠壓單向拉壓單向拉壓 0，則則 0（下側受拉下側受拉）； y0，則則 0，則則 0 （下側受壓下側受壓）； y0 （上側受拉

6、上側受拉）。 若若M0 若若M 5 ），其結果仍足夠精確。），其結果仍足夠精確。 z I yxM)( z I yM maxmax max Fl 4 l F 雙軸對稱截面雙軸對稱截面：中性軸：中性軸 z 為橫截面的對稱軸為橫截面的對稱軸 z I yM maxmax max 彎曲截面系數彎曲截面系數 max max y I M z z W M max y z z y b h 單軸對稱截面單軸對稱截面：中性軸：中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時不是橫截面的對稱軸時 1 , max1max maxt, zz W M I yM 2, max2max maxc, zz W M I yM Oz y y1 y2

7、 簡單截面的彎曲截面系數簡單截面的彎曲截面系數 矩形截面矩形截面 12 3 bh I z 62/ 2 bh h I W z z 12 3h b I y 62/ 2 hb b I W y y 圓形截面圓形截面 64 4 d II yz 32 2/2/ 3 d d I d I WW y z yz z y b h y z d 空心圓截面空心圓截面 4 4 44 1 64 64 D dDII yz Dd / y z z W D D I W 4 3 1 32 2/ (4)(4) 型鋼截面型鋼截面：參見型鋼表：參見型鋼表 式中式中 D O d y z II. 梁的正應力強度條件梁的正應力強度條件 由于由于

8、max處處 =0或極小，并且不計由橫向力引或極小，并且不計由橫向力引 起的擠壓應力，因此梁的正應力強度條件可按起的擠壓應力，因此梁的正應力強度條件可按單單 向應力狀態(tài)向應力狀態(tài)來建立來建立 材料的許用彎曲正應力材料的許用彎曲正應力 max z W M max 中性軸為橫截面對稱軸的等直梁中性軸為橫截面對稱軸的等直梁 拉、壓強度不相等的脆性材料如鑄鐵等制成的梁拉、壓強度不相等的脆性材料如鑄鐵等制成的梁 t 1max maxt, z I yM c 2max maxc, z I yM c t 2 1 y y 為充分發(fā)揮材為充分發(fā)揮材 料的強度，合料的強度，合 理的設計應為理的設計應為 Oz y y1

9、 y2 FRFR 231.5231.5 1493 125125 F F d1 d2 例例 車輛輪軸受力如圖所示。已知軸的直徑車輛輪軸受力如圖所示。已知軸的直徑d1=170mm, , d2=130mm, ,荷載荷載F=103kN, ,材料為材料為40號車軸鋼，其號車軸鋼，其 = 60MPa。試校核車軸的強度。試校核車軸的強度。 解解中間段中間段mN23845 max M MPa4 .49 170mm mmN102384532 32 3 3 3 1 maxmax max d M W M z 伸臂靠近輪轂接合處，直徑較小伸臂靠近輪轂接合處，直徑較小 m12875Nm125. 0FM MPa7 .59

10、 130mm mmN101287532 32 3 3 3 1 max d M W M z C y z 120 86 134 40 180 2020 A B C D F（kN）2.5F 1m 1m 1m 分析分析 （1）F是由是由t確定，確定， 還是由還是由c確定？確定？ （2） t, max（或（或c, max） 所在橫截面。所在橫截面。 例例 槽型截面鑄鐵梁及其橫截面如圖所示。已知橫截槽型截面鑄鐵梁及其橫截面如圖所示。已知橫截 面對中性軸的慣性矩面對中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4, ,鑄鐵許用拉應鑄鐵許用拉應 力力t =30MPa, ,許用壓應力許用壓應力c =90MPa。試試求梁

11、的許求梁的許 用荷載用荷載F。 C y z 120 86 134 40 180 2020 解解 ,3333. 0 90 30 , 3 30 90 c t t c 6418. 0 134 86 ,5581. 1 86 134 1 2 2 1 y y y y c t2 2 1 t c 1 y y y y C y z 120 86 134 40 180 2020 max, t t c max, t t c max, c t c maxt, maxc, y y y y 得得 由由 即，若在最大拉應力截面上，即，若在最大拉應力截面上，t, max = t，則在同一，則在同一 橫截面上，橫截面上，c, m

12、axt，F(xiàn)不是由不是由c確定的。確定的。 tc c t c t2 2 1 t c 1 y y y y C y z 120 86 134 40 180 2020 FB=2.75F kN FD=0.75FkN F 0.75F x M（kNm） A B C D F（kN）2.5F 1m 1m 1m 2 2t, mkN086. 0FyFyM BB 2 1t, mkN10050 1340750750 F. .F.yF.yM CC t 4 9 t, max, t 105493 101005. 0 F I yM z CC kN397163054660 54660 1010050 5493 t 5 t . .

13、 . F 二、梁的合理截面二、梁的合理截面 MWM z max 魚腹梁魚腹梁 梁的合理外形梁的合理外形 減小最大彎矩的措施減小最大彎矩的措施 6-3 梁的切應力及其強度條件梁的切應力及其強度條件 推導思路：近似方法推導思路：近似方法 不同于前面章節(jié)各種應力計算公式的分析過程不同于前面章節(jié)各種應力計算公式的分析過程 分離體的平衡分離體的平衡 橫截面上切應力橫截面上切應力 分布規(guī)律的假設分布規(guī)律的假設 橫截面上彎曲切橫截面上彎曲切 應力的計算公式應力的計算公式 一一、梁的切應力梁的切應力 1. 矩形截面梁矩形截面梁 F q 橫向力作用在梁的縱向對稱平面內，剪力橫向力作用在梁的縱向對稱平面內，剪力F

14、s 位于位于 對稱軸上；（橫截面寬度）對稱軸上；（橫截面寬度）b h （橫截面高度（橫截面高度）。）。 切應力切應力 分布規(guī)律的假設：（分布規(guī)律的假設：（1） 的方向均與截的方向均與截 面?zhèn)冗叄ㄘQ直邊）平行；（面?zhèn)冗叄ㄘQ直邊）平行；（2） 沿截面寬度均勻分布沿截面寬度均勻分布 （其值只與坐標（其值只與坐標 y 有關）。有關）。 x x FS y dx Fs Fs M M+dM x dx x y h/2 x x b dx y h 2 F q x dx b dx dFs FN2* FN1* y x dx h/2 x x 0d, 0 s1N2N FFFFx z z A z A S I M A I M

15、 AF yy dd 1N x 同理同理 z z S I MM F d 2N xbFdd s z h/2 h/2 b y y Ay x x dA y h 2 由由dM/dx=Fs和和 = 得得 z z bI SF s h/2 h/2 b y y z Ay 代入化簡得代入化簡得 z z bI S x M d d 2 2 4222 1 , 2 y hb y h yASy h bA yzy 2 2 s 42 y h I F z 2 2 s 42 y h I F z dx x x x Ay FS A F bh F I hF y h y z ss 2 s max 2 3 2 3 8 , 0 0, 2 2.

16、 工字形截面梁工字形截面梁 I腹板上的切應力腹板上的切應力 dI SF z zS y yh dy hh bS z 2 2/ 222 2 2 222 y hd h b x y h z O d b y d A x z y O Ay dx 2 2 222 y hd h b S z 腹板與翼緣交界處（腹板與翼緣交界處（ ） 中性軸處（中性軸處（y =0） h b dI F z 2 S min 2 S max,S max 222 hd h b dI F dI SF z z z z y O max min max 2 h y II. 翼緣上的切應力翼緣上的切應力 a. 因為翼緣的上、下表面因為翼緣的上、下

17、表面 無切應力，所以翼緣上、下無切應力，所以翼緣上、下 邊緣處平行于邊緣處平行于y 軸的切應力軸的切應力 為零；為零； b. 計算表明，工字形截面計算表明，工字形截面 梁的腹板承擔的剪力梁的腹板承擔的剪力 (1) 平行于平行于y 軸的切應力軸的切應力 可見翼緣上平行于可見翼緣上平行于y 軸的切應力很小，工程上一般軸的切應力很小，工程上一般 不考慮。不考慮。 SR 9 . 0dFAF A x y h z O d b y (2) 垂直于垂直于y 軸的切應力軸的切應力 z z I SF S 1 * N1 * N2S dFFF z z I SF S 11 z z S I M x d d 1 x y h

18、 z O d b h 22 h h Sz h * N2 F * N1 F xFdd 1S 1 1 dx 通過類似的推導可以得知，薄壁工字剛梁上、通過類似的推導可以得知，薄壁工字剛梁上、 下翼緣與腹板橫截面上的切應力指向構成了下翼緣與腹板橫截面上的切應力指向構成了“切應切應 力流力流”。 z y O max max min 1,max 0, 0 1 h max, 11 , 22 h db 3. 薄壁圓環(huán)形截面薄壁圓環(huán)形截面梁梁 切應力分布特征切應力分布特征 (1) r0沿壁厚切應沿壁厚切應 力的大小不變；力的大小不變； (2) 內、外壁上無切應力內、外壁上無切應力 切應力的方向與圓周切應力的方向

19、與圓周 相切；相切； (3) y軸是對稱軸軸是對稱軸切應切應 力分布關于力分布關于 y軸對稱；軸對稱； y 軸上各點處切應力為零。軸上各點處切應力為零。 最大切應力最大切應力max 仍位于仍位于 在中性軸在中性軸z上。上。 z y O max r0 max 2 0 0 0 2 2 r r rS z 3 0 2 00 2 p 22drrrAI A zyz IIII2 p 3 0p 2 1 rII z )2( )2( 2 3 0 2 0SS max r rF I SF z z A F r F S 0 S 2 0 2rA z y O r0 y z 2r0 /p O C 最大切應力最大切應力計算計算

20、4. 圓截面梁圓截面梁 切應力切應力分布特征分布特征 邊緣各點切應力的方向與圓邊緣各點切應力的方向與圓 周相切；周相切；切應力分布關于切應力分布關于 y 軸對稱；軸對稱；y 軸上各點處的切軸上各點處的切 應力其方向與應力其方向與y 軸重合。軸重合。 )( S ybI SF z z y 切應力切應力分布假設分布假設 距離中性軸為距離中性軸為y 處處 的水平直的水平直 線段上各點處的切應力匯交線段上各點處的切應力匯交 于一點于一點 ；這些切應力沿；這些切應力沿y 方方 向的分量向的分量 y 沿寬度相等。沿寬度相等。 z y O max kk O d 最大切應力最大切應力 max 在中性軸在中性軸z處處 dI SF z zS max A F d F 3 4