第5章彎曲應(yīng)力

1、第六章第六章 彎彎 曲曲 應(yīng)應(yīng) 力力 0 0 0 const S F M 5-1 純彎曲時梁的正應(yīng)力純彎曲時梁的正應(yīng)力 0 0 0 const S F M 靜力學(xué)方程靜力學(xué)方程 dA Me M x y z o e N d 0d 0d MMAyM AzM AF A z A y A 伸長伸長 縮短縮短 dA cN,tN, ct ddFAAF AA 對稱于對稱于y 軸，軸，My=0自動滿足自動滿足 M 是是 dA 對對 z 軸的合力偶矩軸的合力偶矩 即即 分布規(guī)律分布規(guī)律分布規(guī)律分布規(guī)律 E ? 外部變形現(xiàn)象外部變形現(xiàn)象 （1）兩相鄰橫向線仍保）兩相鄰橫向線仍保 持為直線，只是相對轉(zhuǎn)持為直線，只是相

2、對轉(zhuǎn) 動了一個小角度；動了一個小角度； （2）兩縱向線段均變成）兩縱向線段均變成 弧段，并仍與轉(zhuǎn)動后的弧段，并仍與轉(zhuǎn)動后的 橫向線保持正交?？康讬M向線保持正交?？康?部者伸長了，靠頂部者部者伸長了，靠頂部者 縮短了。由變形的連續(xù)縮短了。由變形的連續(xù) 性，側(cè)面上必有一條縱性，側(cè)面上必有一條縱 向線段變彎后既不伸長向線段變彎后既不伸長 也不縮短。也不縮短。 外部變形結(jié)論外部變形結(jié)論 側(cè)面上這兩條橫向線之間側(cè)面上這兩條橫向線之間 的所有縱向線段，它們的的所有縱向線段，它們的 伸長或縮短變形，沿梁高伸長或縮短變形，沿梁高 是線性變化的。是線性變化的。 純彎曲平面假設(shè)純彎曲平面假設(shè) 梁的橫截面在梁發(fā)生彎

3、曲梁的橫截面在梁發(fā)生彎曲 變形后仍保持為平面，只變形后仍保持為平面，只 是相鄰橫截面繞垂直于縱是相鄰橫截面繞垂直于縱 向?qū)ΨQ面的軸相對轉(zhuǎn)了一向?qū)ΨQ面的軸相對轉(zhuǎn)了一 個小角度，并均和彎曲后個小角度，并均和彎曲后 的軸線保持正交。的軸線保持正交。 以此為基礎(chǔ)的理論公式以此為基礎(chǔ)的理論公式 已為實驗結(jié)果所證實。已為實驗結(jié)果所證實。 內(nèi)部變形的推論內(nèi)部變形的推論 根據(jù)平面假設(shè)，兩相鄰橫根據(jù)平面假設(shè)，兩相鄰橫 截面之間所有縱向線段的截面之間所有縱向線段的 變形規(guī)律，與側(cè)面上觀察變形規(guī)律，與側(cè)面上觀察 到的情形相同。從下部纖到的情形相同。從下部纖 維的伸長逐漸過渡到上部維的伸長逐漸過渡到上部 纖維的縮短，

4、其中必有一纖維的縮短，其中必有一 層縱向纖維彎曲后長度不層縱向纖維彎曲后長度不 變，該層稱之為變，該層稱之為中性層中性層； 它與橫截面的交線稱為它與橫截面的交線稱為中中 性軸性軸。 對稱彎曲時，中性層與對稱彎曲時，中性層與 縱向?qū)ΨQ平面縱向?qū)ΨQ平面 x y 相垂相垂 直，即中性軸直，即中性軸 z 與橫截與橫截 面的對稱軸面的對稱軸 y 正交。相正交。相 鄰橫截面正是繞中性軸鄰橫截面正是繞中性軸 相對轉(zhuǎn)動的，可見在兩相對轉(zhuǎn)動的，可見在兩 相鄰橫截面之間與中性相鄰橫截面之間與中性 層平行的某層纖維，其層平行的某層纖維，其 伸長（或縮短）變形是伸長（或縮短）變形是 相同的，只隨該層纖維相同的，只隨該

5、層纖維 到中性層的距離不同而到中性層的距離不同而 變化。變化。 變形幾何方程變形幾何方程 dx 微分段；微分段； dq q 兩相鄰橫截面繞中兩相鄰橫截面繞中 性軸相對轉(zhuǎn)過的角度；性軸相對轉(zhuǎn)過的角度； 中性層的曲率半徑；中性層的曲率半徑； O y軸與中性軸的交點軸與中性軸的交點 （z 軸與中性軸重合）；軸與中性軸重合）； 處的縱向線段處的縱向線段距中性層為距中性層為 中性層中性層 yaa OO q qq yy d dd 即即 y 物理方程物理方程 y EE 層間無擠壓層間無擠壓單向拉壓單向拉壓 0，則則 0（下側(cè)受拉下側(cè)受拉）； y0，則則 0，則則 0 （下側(cè)受壓下側(cè)受壓）； y0 （上側(cè)受拉

6、上側(cè)受拉）。 若若M0 若若M 5 ），其結(jié)果仍足夠精確。），其結(jié)果仍足夠精確。 z I yxM)( z I yM maxmax max Fl 4 l F 雙軸對稱截面雙軸對稱截面：中性軸：中性軸 z 為橫截面的對稱軸為橫截面的對稱軸 z I yM maxmax max 彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù) max max y I M z z W M max y z z y b h 單軸對稱截面單軸對稱截面：中性軸：中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時不是橫截面的對稱軸時 1 , max1max maxt, zz W M I yM 2, max2max maxc, zz W M I yM Oz y y1 y2

7、 簡單截面的彎曲截面系數(shù)簡單截面的彎曲截面系數(shù) 矩形截面矩形截面 12 3 bh I z 62/ 2 bh h I W z z 12 3h b I y 62/ 2 hb b I W y y 圓形截面圓形截面 64 4 d II yz 32 2/2/ 3 d d I d I WW y z yz z y b h y z d 空心圓截面空心圓截面 4 4 44 1 64 64 D dDII yz Dd / y z z W D D I W 4 3 1 32 2/ (4)(4) 型鋼截面型鋼截面：參見型鋼表：參見型鋼表 式中式中 D O d y z II. 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件 由于由于

8、max處處 =0或極小，并且不計由橫向力引或極小，并且不計由橫向力引 起的擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強度條件可按起的擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強度條件可按單單 向應(yīng)力狀態(tài)向應(yīng)力狀態(tài)來建立來建立 材料的許用彎曲正應(yīng)力材料的許用彎曲正應(yīng)力 max z W M max 中性軸為橫截面對稱軸的等直梁中性軸為橫截面對稱軸的等直梁 拉、壓強度不相等的脆性材料如鑄鐵等制成的梁拉、壓強度不相等的脆性材料如鑄鐵等制成的梁 t 1max maxt, z I yM c 2max maxc, z I yM c t 2 1 y y 為充分發(fā)揮材為充分發(fā)揮材 料的強度，合料的強度，合 理的設(shè)計應(yīng)為理的設(shè)計應(yīng)為 Oz y y1

9、 y2 FRFR 231.5231.5 1493 125125 F F d1 d2 例例 車輛輪軸受力如圖所示。已知軸的直徑車輛輪軸受力如圖所示。已知軸的直徑d1=170mm, , d2=130mm, ,荷載荷載F=103kN, ,材料為材料為40號車軸鋼，其號車軸鋼，其 = 60MPa。試校核車軸的強度。試校核車軸的強度。 解解中間段中間段mN23845 max M MPa4 .49 170mm mmN102384532 32 3 3 3 1 maxmax max d M W M z 伸臂靠近輪轂接合處，直徑較小伸臂靠近輪轂接合處，直徑較小 m12875Nm125. 0FM MPa7 .59

10、 130mm mmN101287532 32 3 3 3 1 max d M W M z C y z 120 86 134 40 180 2020 A B C D F（kN）2.5F 1m 1m 1m 分析分析 （1）F是由是由t確定，確定， 還是由還是由c確定？確定？ （2） t, max（或（或c, max） 所在橫截面。所在橫截面。 例例 槽型截面鑄鐵梁及其橫截面如圖所示。已知橫截槽型截面鑄鐵梁及其橫截面如圖所示。已知橫截 面對中性軸的慣性矩面對中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4, ,鑄鐵許用拉應(yīng)鑄鐵許用拉應(yīng) 力力t =30MPa, ,許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力c =90MPa。試試求梁

11、的許求梁的許 用荷載用荷載F。 C y z 120 86 134 40 180 2020 解解 ,3333. 0 90 30 , 3 30 90 c t t c 6418. 0 134 86 ,5581. 1 86 134 1 2 2 1 y y y y c t2 2 1 t c 1 y y y y C y z 120 86 134 40 180 2020 max, t t c max, t t c max, c t c maxt, maxc, y y y y 得得 由由 即，若在最大拉應(yīng)力截面上，即，若在最大拉應(yīng)力截面上，t, max = t，則在同一，則在同一 橫截面上，橫截面上，c, m

12、axt，F(xiàn)不是由不是由c確定的。確定的。 tc c t c t2 2 1 t c 1 y y y y C y z 120 86 134 40 180 2020 FB=2.75F kN FD=0.75FkN F 0.75F x M（kNm） A B C D F（kN）2.5F 1m 1m 1m 2 2t, mkN086. 0FyFyM BB 2 1t, mkN10050 1340750750 F. .F.yF.yM CC t 4 9 t, max, t 105493 101005. 0 F I yM z CC kN397163054660 54660 1010050 5493 t 5 t . .

13、 . F 二、梁的合理截面二、梁的合理截面 MWM z max 魚腹梁魚腹梁 梁的合理外形梁的合理外形 減小最大彎矩的措施減小最大彎矩的措施 6-3 梁的切應(yīng)力及其強度條件梁的切應(yīng)力及其強度條件 推導(dǎo)思路：近似方法推導(dǎo)思路：近似方法 不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計算公式的分析過程不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計算公式的分析過程 分離體的平衡分離體的平衡 橫截面上切應(yīng)力橫截面上切應(yīng)力 分布規(guī)律的假設(shè)分布規(guī)律的假設(shè) 橫截面上彎曲切橫截面上彎曲切 應(yīng)力的計算公式應(yīng)力的計算公式 一一、梁的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力 1. 矩形截面梁矩形截面梁 F q 橫向力作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，剪力橫向力作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，剪力F

14、s 位于位于 對稱軸上；（橫截面寬度）對稱軸上；（橫截面寬度）b h （橫截面高度（橫截面高度）。）。 切應(yīng)力切應(yīng)力 分布規(guī)律的假設(shè)：（分布規(guī)律的假設(shè)：（1） 的方向均與截的方向均與截 面?zhèn)冗叄ㄘQ直邊）平行；（面?zhèn)冗叄ㄘQ直邊）平行；（2） 沿截面寬度均勻分布沿截面寬度均勻分布 （其值只與坐標(biāo)（其值只與坐標(biāo) y 有關(guān)）。有關(guān)）。 x x FS y dx Fs Fs M M+dM x dx x y h/2 x x b dx y h 2 F q x dx b dx dFs FN2* FN1* y x dx h/2 x x 0d, 0 s1N2N FFFFx z z A z A S I M A I M

15、 AF yy dd 1N x 同理同理 z z S I MM F d 2N xbFdd s z h/2 h/2 b y y Ay x x dA y h 2 由由dM/dx=Fs和和 = 得得 z z bI SF s h/2 h/2 b y y z Ay 代入化簡得代入化簡得 z z bI S x M d d 2 2 4222 1 , 2 y hb y h yASy h bA yzy 2 2 s 42 y h I F z 2 2 s 42 y h I F z dx x x x Ay FS A F bh F I hF y h y z ss 2 s max 2 3 2 3 8 , 0 0, 2 2.

16、 工字形截面梁工字形截面梁 I腹板上的切應(yīng)力腹板上的切應(yīng)力 dI SF z zS y yh dy hh bS z 2 2/ 222 2 2 222 y hd h b x y h z O d b y d A x z y O Ay dx 2 2 222 y hd h b S z 腹板與翼緣交界處（腹板與翼緣交界處（ ） 中性軸處（中性軸處（y =0） h b dI F z 2 S min 2 S max,S max 222 hd h b dI F dI SF z z z z y O max min max 2 h y II. 翼緣上的切應(yīng)力翼緣上的切應(yīng)力 a. 因為翼緣的上、下表面因為翼緣的上、下

17、表面 無切應(yīng)力，所以翼緣上、下無切應(yīng)力，所以翼緣上、下 邊緣處平行于邊緣處平行于y 軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力 為零；為零； b. 計算表明，工字形截面計算表明，工字形截面 梁的腹板承擔(dān)的剪力梁的腹板承擔(dān)的剪力 (1) 平行于平行于y 軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力 可見翼緣上平行于可見翼緣上平行于y 軸的切應(yīng)力很小，工程上一般軸的切應(yīng)力很小，工程上一般 不考慮。不考慮。 SR 9 . 0dFAF A x y h z O d b y (2) 垂直于垂直于y 軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力 z z I SF S 1 * N1 * N2S dFFF z z I SF S 11 z z S I M x d d 1 x y h

18、 z O d b h 22 h h Sz h * N2 F * N1 F xFdd 1S 1 1 dx 通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、 下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)切應(yīng) 力流力流”。 z y O max max min 1,max 0, 0 1 h max, 11 , 22 h db 3. 薄壁圓環(huán)形截面薄壁圓環(huán)形截面梁梁 切應(yīng)力分布特征切應(yīng)力分布特征 (1) r0沿壁厚切應(yīng)沿壁厚切應(yīng) 力的大小不變；力的大小不變； (2) 內(nèi)、外壁上無切應(yīng)力內(nèi)、外壁上無切應(yīng)力 切應(yīng)力的方向與圓周切應(yīng)力的方向

19、與圓周 相切；相切； (3) y軸是對稱軸軸是對稱軸切應(yīng)切應(yīng) 力分布關(guān)于力分布關(guān)于 y軸對稱；軸對稱； y 軸上各點處切應(yīng)力為零。軸上各點處切應(yīng)力為零。 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力max 仍位于仍位于 在中性軸在中性軸z上。上。 z y O max r0 max 2 0 0 0 2 2 r r rS z 3 0 2 00 2 p 22drrrAI A zyz IIII2 p 3 0p 2 1 rII z )2( )2( 2 3 0 2 0SS max r rF I SF z z A F r F S 0 S 2 0 2rA z y O r0 y z 2r0 /p O C 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力計算計算

20、4. 圓截面梁圓截面梁 切應(yīng)力切應(yīng)力分布特征分布特征 邊緣各點切應(yīng)力的方向與圓邊緣各點切應(yīng)力的方向與圓 周相切；周相切；切應(yīng)力分布關(guān)于切應(yīng)力分布關(guān)于 y 軸對稱；軸對稱；y 軸上各點處的切軸上各點處的切 應(yīng)力其方向與應(yīng)力其方向與y 軸重合。軸重合。 )( S ybI SF z z y 切應(yīng)力切應(yīng)力分布假設(shè)分布假設(shè) 距離中性軸為距離中性軸為y 處處 的水平直的水平直 線段上各點處的切應(yīng)力匯交線段上各點處的切應(yīng)力匯交 于一點于一點 ；這些切應(yīng)力沿；這些切應(yīng)力沿y 方方 向的分量向的分量 y 沿寬度相等。沿寬度相等。 z y O max kk O d 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 max 在中性軸在中性軸z處處 dI SF z zS max A F d F 3 4