安工大第一章(復(fù)變函數(shù)1) 蘇變萍 第二版

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 課程介紹 課時(shí)與內(nèi)容 參考書 課程引入 復(fù)數(shù) 2 16世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時(shí)單純從形式上引 入了復(fù)數(shù)，后長期沒有認(rèn)識到其實(shí)際意義。 18世紀(jì)產(chǎn)生復(fù)變函數(shù)論。 19世紀(jì)復(fù)變函數(shù)論全面發(fā)展，并統(tǒng)治了十九 世紀(jì)的數(shù)學(xué)。 復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用涉及面很廣，不但在其他 學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身 的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它將繼續(xù) 向前發(fā)展，并將得到更多應(yīng)用。 復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè) 的必修課程。 3 前言前言 一、課程介紹 二、課時(shí)與內(nèi)容安排（看課本目錄） 三、參考書 4 四、課程引入 1. 1. 從從高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)( (實(shí)變函數(shù)實(shí)變函

2、數(shù)) )到到復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 相同點(diǎn)：皆研究函數(shù)。皆有極限、連續(xù)、微積分和相同點(diǎn)：皆研究函數(shù)。皆有極限、連續(xù)、微積分和 級數(shù)等內(nèi)容。級數(shù)等內(nèi)容。 不同點(diǎn)：不同點(diǎn)： 在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域內(nèi)內(nèi)研研究究函函數(shù)數(shù)。 說說，為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)（復(fù)復(fù)變變量量）?；蚧蚱淦?，為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)：函函數(shù)數(shù)的的變變量量 函函數(shù)數(shù)?；蚧蛘f說，在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域內(nèi)內(nèi)研研究究 實(shí)實(shí)變變量量）。為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)其其 ，實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)：函函數(shù)數(shù)的的變變量量 zw zfw yxxfy , )(, (,),( )( 5 接比較大小。接比較大小。 ，所以，復(fù)數(shù)不能直，所以，復(fù)數(shù)不能直正是由于復(fù)數(shù)的二維性

3、正是由于復(fù)數(shù)的二維性 后（上下）位置不同。后（上下）位置不同。數(shù)不僅有左右而且有前數(shù)不僅有左右而且有前 的點(diǎn)。不同的的點(diǎn)。不同的是二維數(shù)，對應(yīng)平面上是二維數(shù)，對應(yīng)平面上復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)： 比較大小。比較大小。小不同，所以，實(shí)數(shù)可小不同，所以，實(shí)數(shù)可 ，位置不同就是大，位置不同就是大實(shí)數(shù)只有左右位置不同實(shí)數(shù)只有左右位置不同 的點(diǎn)。不同的的點(diǎn)。不同的是一維數(shù)，對應(yīng)數(shù)軸上是一維數(shù)，對應(yīng)數(shù)軸上實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)： . 2 6 復(fù)合變量。復(fù)合變量。 由兩個(gè)實(shí)變量構(gòu)成的由兩個(gè)實(shí)變量構(gòu)成的路徑的不同。復(fù)變量是路徑的不同。復(fù)變量是 一點(diǎn)到另一點(diǎn)，還有一點(diǎn)到另一點(diǎn)，還有四個(gè)方向變動，而且從四個(gè)方向變動，而且從 上，可以向上，

4、可以向?qū)?yīng)動點(diǎn)的變化在平面對應(yīng)動點(diǎn)的變化在平面復(fù)變量：復(fù)變量： 實(shí)變量是單變量。實(shí)變量是單變量。大小或左右位置變化。大小或左右位置變化。 線上，只有線上，只有對應(yīng)動點(diǎn)的變化只在直對應(yīng)動點(diǎn)的變化只在直實(shí)變量：實(shí)變量： . 3 7 示示變變量量的的對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系。復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)不不能能畫畫圖圖像像表表 復(fù)復(fù)雜雜。 ，對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系相相當(dāng)當(dāng)和和元元實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù) 當(dāng)當(dāng)于于同同時(shí)時(shí)集集成成了了兩兩個(gè)個(gè)二二到到兩兩個(gè)個(gè)變變量量的的對對應(yīng)應(yīng)，相相 是是兩兩個(gè)個(gè)變變量量復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)： 表表示示變變量量的的對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系。二二元元實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)可可以以畫畫圖圖像像 對對應(yīng)應(yīng)。變變量量，仍仍然然是是實(shí)實(shí)

5、數(shù)數(shù)間間的的 是是兩兩個(gè)個(gè)變變量量對對應(yīng)應(yīng)一一個(gè)個(gè)二二元元實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)： ),(),( ),(),( ),( . 4 yxvvyxuu yxivyxuivu yxfz 5. 學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，建立數(shù)及變量的學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，建立數(shù)及變量的“二維思維二維思維”很重要。很重要。 8 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 1.1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 9 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 純虛數(shù)純虛數(shù) yi 虛數(shù)虛數(shù) 非純虛數(shù)非純虛數(shù) x+yi 虛數(shù)似乎不可理解，其實(shí)： x+yi 有序數(shù)組(x,y) 平面上的點(diǎn) 矢量或向量 10 一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念 1. 虛數(shù)單位虛數(shù)單位: . , 稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單

6、位 引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i .1 : 2 在實(shí)數(shù)集中無解在實(shí)數(shù)集中無解方程方程實(shí)例實(shí)例 x 對虛數(shù)單位的規(guī)定對虛數(shù)單位的規(guī)定: : ; 1)1( 2 i . )2( 四則運(yùn)算四則運(yùn)算 樣的法則進(jìn)行樣的法則進(jìn)行可以與實(shí)數(shù)在一起按同可以與實(shí)數(shù)在一起按同i 11 2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù): . , 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)或或 我們稱我們稱對于任意兩實(shí)數(shù)對于任意兩實(shí)數(shù) iyxz yixzyx , , 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別稱為分別稱為其中其中zyx ).Im(),Re( zyzx 記作記作 ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們

7、把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ）因因而而可可理理解解 ，得得因因?yàn)闉橛捎?理理解解。也也可可以以從從向向量量的的基基生生成成（此此定定義義 yiiy iyxziee ,1, 1 , 21 12 兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部它們的實(shí)部和虛部分別分別相等相等. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 等于等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部同時(shí)同時(shí)等于等于0. 說明說明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù)兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的可以比較它們的 大小大小, 如果不全是實(shí)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小就不能比較大小, 也就也就 是說是說, 復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小. 二、復(fù)數(shù)

8、的相等二、復(fù)數(shù)的相等 , 222111 iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù) 21 21 21 yy xx zz 13 二、復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算二、復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算 （一）分解運(yùn)算（復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義）（一）分解運(yùn)算（復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義） , 222111 iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù) 1. 兩復(fù)數(shù)的和兩復(fù)數(shù)的和:).()( 212121 yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積: ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz )(當(dāng)當(dāng)于于實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式運(yùn)運(yùn)算算復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的代代數(shù)數(shù)分分解解運(yùn)運(yùn)算算相相 14 i i 2 )32( 2 i i 2 )32( 2 49 12

9、 2 i i ( 5 12 )(2) (2)(2) ii ii 14 291210 i 5 292i 例例1 化簡 解： . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 3. 兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商: 15 例例2 2 . 的形式的形式將下列復(fù)數(shù)表示為將下列復(fù)數(shù)表示為iyx . 1 1 )2(; 1 1 )1( 7 i i i i i i 解解 i i 1 1 )1( )1)(1( )1( 2 ii i 2 )1( 2 i , i 7 7 )( 1 1 i i i . i i i i i 1 1 )2( ii ii )1( )1( 22

10、 i i 1 21 2 )1)(21(ii . 2 1 2 3 i 16 例例3 3 解解 . 1 1 2 i i i i 計(jì)算計(jì)算 iii ii i i i i )1)(1( )1)(2( 1 1 2 ii iii 1 22 2 2 i i 2 31 )2)(2( )2)(31( ii ii 22 2 )2( 362 i iii .1i 17 （二）整體運(yùn)算（復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則）（二）整體運(yùn)算（復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則） 分配律：分配律： 結(jié)合律：結(jié)合律： 交換律：交換律： 定義，可得：定義，可得：從復(fù)數(shù)的四則分解運(yùn)算從復(fù)數(shù)的四則分解運(yùn)算 . 3 . 2 ,. 1 12211221 zzzzzzz

11、z 321321 )()(zzzzzz 321321 )()(zzzzzz 3121321 )(zzzzzzz 18 復(fù)數(shù)運(yùn)算的其它結(jié)果： （1） （2） （3）若 ，則 與 至少有一個(gè)為零， 反之亦然. 00,0zzz 1 1 ,1 z zzz 0 21 zz 1 z2 z 19 實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩 個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). . , zz共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與 . , iyxziyxz 則則若若 例例2 2.的積的積與與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixyix 解解)(yixyix 22 )(yix . 22 yx .

12、,的積是一個(gè)實(shí)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)zz 結(jié)論： 三、三、復(fù)數(shù)的共軛（運(yùn)算）復(fù)數(shù)的共軛（運(yùn)算） 1. 定義定義: 20 2. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì): ;)1( 2121 zzzz ;)2( 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)4(zz ;)Im()Re()5( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)6(zizzzzz 22 )()3(zz 21 例例1 解解 ,43,55 21 iziz 設(shè)設(shè). 2 1 2 1 z z z z 與與求求 i i z z 43 55 2 1 )43)(43( )43)(55( ii ii 25 )2015()

13、2015(i . 5 1 5 7 i 2 1 z z . 5 1 5 7 i 22 例例2 解解 , 1 31 i i i z 設(shè)設(shè).)Im(),Re(zzzz 與與求求 i i i z 1 31 )1)(1( )1(3 ii ii ii i , 2 1 2 3 i , 2 1 )Im(, 2 3 )Re( zz 22 )Im()Re(zzzz 22 2 1 2 3 . 2 5 23 例例3 證證 , 222111 iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù) ).Re(2 212121 zzzzzz 證明證明 2121 zzzz )()( )( 22112211 iyxiyxiyxiyx )()( 2

14、1122121 yxyxiyyxx )()( 21122121 yxyxiyyxx )(2 2121 yyxx ).Re(2 21 zz ).Re(2 2121212121 zzzzzzzzzz 或或 24 四、復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義四、復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義 1. 復(fù)平面的定義復(fù)平面的定義 . . , , , . ),( 面面 面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來表示復(fù)數(shù)的平這種用來表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或 縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來表示復(fù)數(shù)用來表示復(fù)數(shù) 的平面可以的平面可以一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系因此因此對應(yīng)對應(yīng) 成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對與有序?qū)崝?shù)對復(fù)

15、數(shù)復(fù)數(shù) y x yxiyxz 表示，表示，面上的點(diǎn)面上的點(diǎn) 可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ),( yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 25 2. 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(或絕對值或絕對值) , 的?；蚪^對值的模或絕對值向量的長度稱為向量的長度稱為 z , 表示表示可以用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz . 22 yxrz 記為記為 x y x y o iyxz P r 顯然下列各式成立顯然下列各式成立 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 26 3. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì) ;)1( 2121 zzzz .)2( 2121 zz

16、zz , 2121 故故之間的距離之間的距離和和表示點(diǎn)表示點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閦zzz 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z . 實(shí)軸對稱的實(shí)軸對稱的 復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于 在在和和一對共軛復(fù)數(shù)一對共軛復(fù)數(shù)zz x y o iyxz iyxz 27 例例3 3 .(2);(1) : , , 21212121 21 zzzzzzzz zz 證明證明為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)設(shè)設(shè) 證證 21 (1)zz )( )( 2121 zzzz )( 2121 zzzz )( 2211 zzzz . 21 zz 2 21 (2)zz )( )( 2121 zzzz )( 212

17、1 zzzz 21212211 zzzzzzzz 2121 2 2 2 1 zzzzzz 28 2 21 zz 2 2 2 1 zz )Re(2 21z z 21 2 2 2 1 2zzzz 21 2 2 2 1 2zzzz ,)( 2 21 zz , )Re(2 212121 zzzzzz 因?yàn)橐驗(yàn)?兩邊同時(shí)開方得兩邊同時(shí)開方得. 2121 zzzz 29 4. 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 z zOPz z 記作記作 的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量 以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在 說明說明,0有無窮多個(gè)

18、輻角有無窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 1 是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角如果如果 ).( 2Arg 1 為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地 的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z 輻角不確定輻角不確定. 30 輻角主值的定義輻角主值的定義: .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 記作記作的主值的主值稱為稱為 的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在 , 0 x ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 輻角的主值輻角的主值0 z zarg , 0, 0 yx , 0, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2

19、 ,arctan x y , 看課本p7例1.3 31 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin ,cos ry rx 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式 再利用歐拉公式再利用歐拉公式,sincos ie i 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成 i rez 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式 歐拉介紹歐拉介紹 5.5.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示 32 例例1 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式: ; 5 cos 5 sin)2(;212)1( iziz . )3si

20、n3(cos )5sin5(cos )3( 3 2 i i z 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因?yàn)橐驗(yàn)?z 12 2 arctan 所以所以 3 3 arctan, 6 5 故三角表示式為故三角表示式為, 6 5 sin 6 5 cos4 iz 33 指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.4 6 5 i ez 5 cos 5 sin)2( iz, 1 zr顯然顯然 52 cos 5 sin, 10 3 cos 52 sin 5 cos, 10 3 sin 故三角表示式為故三角表示式為, 10 3 sin 10 3 cos iz 指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為. 10 3 i ez 34

21、. )3sin3(cos )5sin5(cos )3( 3 2 i i z ,5sin5cos 5 i ei 因?yàn)橐驗(yàn)?)3sin()3(cos3sin3cos ii, 3 i e 3 2 )3sin3(cos )5sin5(cos i i 所以所以 33 25 )( )( i i e e , 19 i e 故三角表示式為故三角表示式為,19sin19cos iz 指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為. 19 i ez 35 例例2 2 . , 0 ,sincos1 的的輻輻角角的的主主值值并并求求式式三三角角表表示示式式與與指指數(shù)數(shù)表表示示 化化為為把把復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) z iz 解解 sincos1iz 2

22、cos 2 sin2 2 sin2 2 i 2 cos 2 sin 2 sin2 i 2 sin 2 cos 2 sin2 i . 2 sin2 2 i e (三角式三角式) (指數(shù)式指數(shù)式) . 2 arg z 36 五、復(fù)數(shù)積商的三角式與指數(shù)式運(yùn)算五、復(fù)數(shù)積商的三角式與指數(shù)式運(yùn)算 則則 設(shè)設(shè) ,)sin(cos ,)sin(cos 2 1 22222 11111 i i erirz erirz ; )sin()cos( )( 21 21212121 21 i err irrzz ).0( ),sin()cos( 2 )( 2 1 2121 2 1 2 1 21 ze r r i r r z

23、 z i 37 的三角形式分別為的三角形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) 21 zz ,sin(cos 1111 ） irz ,sin(cos 2222 ） irz )sin(cos)sin(cos 22211121 irirzz 則則 )sincoscos(sin )sinsincos(cos 2121 212121 i rr 證證 ; )sin()cos( )( 21 21212121 21 i err irrzz即即 同理證同理證 2 1 z z 38 例例1 1 解解 , 3 cos 3 sin ),31( 2 1 21 iziz已知已知 , 3 sin 3 cos 1 iz因?yàn)橐驗(yàn)?, 6

24、sin 6 cos 2 iz 63 sin 63 cos 21 izz所以所以 , i 63 sin 63 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3 i . 2 1 21 z z zz和和求求 39 1. 復(fù)數(shù)和差的幾何意義：生成平行四邊形的復(fù)數(shù)和差的幾何意義：生成平行四邊形的 對角線向量或三角形的邊向量對角線向量或三角形的邊向量. x y o 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 21 zz 2 z 六、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的幾何意義六、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的幾何意義 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算得到新復(fù)數(shù)，與相應(yīng)的向量兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算得到新復(fù)數(shù)，與相應(yīng)的向量 加減運(yùn)算得到新向量方法一致。加

25、減運(yùn)算得到新向量方法一致。 40 2. 復(fù)數(shù)積商的幾何意義：向量的伸縮與旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)積商的幾何意義：向量的伸縮與旋轉(zhuǎn) 兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的乘積得到的新復(fù)數(shù)，其兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的乘積得到的新復(fù)數(shù)，其 模等于兩復(fù)數(shù)模的乘積，幅角等于兩復(fù)數(shù)幅模等于兩復(fù)數(shù)模的乘積，幅角等于兩復(fù)數(shù)幅 角的和。角的和。 )()()( | 2121 2121 zArgzArgzzArg zzzz 41 , 2 倍倍再把它的模擴(kuò)大到再把它的模擴(kuò)大到 r 從幾何上看從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為 , , 21 zz , 2 1 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 按逆時(shí)針方向按逆時(shí)針方向先把先把 z . 21 zzz 就表示積

26、就表示積所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z )sin()cos( 21212121 irrzz .ArgArg)(Arg 2121 zzzz 42 說明說明 由于輻角的多值性由于輻角的多值性, 2121 ArgArg)(Argzzzz 兩端都是無窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集兩端都是無窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集. 對于左端的任一值對于左端的任一值, 右端必有值與它相對應(yīng)右端必有值與它相對應(yīng). 例如，例如，, 1 21 izz 設(shè)設(shè), 21 izz 則則 ), 2, 1, 0(,2Arg 1 nnz ), 2, 1, 0(,2 2 Arg 2 mmz ), 2, 1

27、, 0(,2 2 )Arg( 21 kkzz . 1,2 2 )(2 2 3 nmkknm只須只須故故 , 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或則則 43 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) 21 zz , 1 11 i erz . )( 2121 21 i errzz則則, 2 22 i erz 由此可將結(jié)論推廣到由此可將結(jié)論推廣到 n 個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況: n zzz 21 ), 2 , 1(,)sin(cos nkerirz k i kkkkk 設(shè)設(shè) )sin( )cos( 21 2121 n nn i rrr . )( 21 21n i ne r

28、rr 44 兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的商兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的商得到的新復(fù)數(shù)，其得到的新復(fù)數(shù)，其模模 等于兩復(fù)數(shù)模的商，幅角等于被除數(shù)與除數(shù)等于兩復(fù)數(shù)模的商，幅角等于被除數(shù)與除數(shù) 幅角的差幅角的差。 )()()( | | | 21 2 1 2 1 2 1 zArgzArg z z Arg z z z z ； 45 3. 復(fù)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的比較復(fù)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的比較 （2 2）兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的積商運(yùn)算與向量的數(shù)量積）兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的積商運(yùn)算與向量的數(shù)量積 及向量積運(yùn)算完全不同。及向量積運(yùn)算完全不同。 （有什么差別？）（有什么差別？） （1 1）兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減）兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加

29、減 運(yùn)算一致。運(yùn)算一致。 46 例例2 2 解解 . ,2 1 21 求它的另一個(gè)頂點(diǎn)求它的另一個(gè)頂點(diǎn) 和和點(diǎn)為點(diǎn)為已知正三角形的兩個(gè)頂已知正三角形的兩個(gè)頂izz ). ( , ) 3 ( 3 33 1 12 zz z zz 或或它的終點(diǎn)即為所求頂點(diǎn)它的終點(diǎn)即為所求頂點(diǎn)到另一個(gè)向量到另一個(gè)向量 就得就得或或旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞 的向量的向量將表示將表示 如圖所示如圖所示, o x y 1 1 z iz 2 2 3 z 3 z 3 , 3 1, 3 轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為的模為的模為因?yàn)閺?fù)數(shù)因?yàn)閺?fù)數(shù) i e 47 )( 12 3 13 zzezz i o x y 1 1 z iz 2 2 3 z 3 z 3 )1

30、( 2 3 2 1 ii i 2 3 2 1 2 3 2 1 , 2 31 2 33 3 iz 所以所以. 2 31 2 33 3 iz 48 七、復(fù)球面七、復(fù)球面 1. 南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原取一個(gè)與復(fù)平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , N S 點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一 作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過 . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我們稱SN x y P N O S 49 球面上的點(diǎn)球面上的點(diǎn), 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi) 的點(diǎn)之間存在著一一

31、對應(yīng)的關(guān)系的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用我們可以用 球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù). 我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大無窮大”與與 復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng)復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng), 記作記作. 因而球面因而球面 上的北極上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示的幾何表示. 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之 對應(yīng)對應(yīng), 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面. 2. 復(fù)球面的定義復(fù)球面的定義 50 3. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義擴(kuò)充復(fù)平面的定義 包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)

32、的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面. 不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面有限復(fù)平面, , 或簡稱復(fù)平面或簡稱復(fù)平面. . 對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù)來說來說, 實(shí)部實(shí)部,虛部虛部,輻角等概念均無意輻角等概念均無意 義義, 它的模規(guī)定為正無窮大它的模規(guī)定為正無窮大. 復(fù)球面的優(yōu)越處復(fù)球面的優(yōu)越處: 能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來. 51 : 的四則運(yùn)算規(guī)定如下的四則運(yùn)算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )1( 加法加法 )(, : )2( 減法減法 )0(, : )3( 乘法乘法 )0( , 0 ),( , 0 : )4( 除法除法 52

33、1. n次乘冪次乘冪: , , n z nzzn 記作記作 次冪次冪的的的乘積稱為的乘積稱為個(gè)相同復(fù)數(shù)個(gè)相同復(fù)數(shù) . 個(gè)個(gè)n n zzzz . )sin(cos , ninrzn nn 有有對于任何正整數(shù)對于任何正整數(shù) . , , 1 上式仍成立上式仍成立 為負(fù)整數(shù)時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí)那么當(dāng)那么當(dāng)如果我們定義如果我們定義n z z n n 1.2 復(fù)數(shù)的乘冪與方根運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘冪與方根運(yùn)算 53 ,sincos , 1 izrz 即即的模的模當(dāng)當(dāng) .sincos)sin(cos nini n 棣莫佛公式棣莫佛公式 棣莫佛介紹棣莫佛介紹 . , 次方根次方根的的稱為稱為的根的根滿足方程滿足方程nzwzw

34、n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk 2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式 3. n次方根次方根: 54 ),sin(cos irz 設(shè)設(shè)),sin(cos iw 根據(jù)棣莫佛公式根據(jù)棣莫佛公式, )sin(cos ninw nn ),sin(cos ir , r n 于是于是,coscos n,sinsin n ,2 kn 顯然顯然), 2, 1, 0( k , 2 , 1 n k r n 故故 n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: 55 , 1, 2 , 1 , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nk :

35、個(gè)相異的根個(gè)相異的根得到得到 n ,sincos 1 0 n i n rw n , 2 sin 2 cos 1 1 n i n rw n , . )1(2 sin )1(2 cos 1 1 n n i n n rw n n 當(dāng)當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí)以其他整數(shù)值代入時(shí), 這些根又重復(fù)出現(xiàn)這些根又重復(fù)出現(xiàn). 56 , 時(shí)時(shí)例如例如nk n n i n n rw n n 2 sin 2 cos 1 n i n r n sincos 1 . 0 w 從幾何上看從幾何上看, , 個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心的的nz n . 1 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)邊形的邊形的為半徑的圓的內(nèi)接正為半徑的圓的內(nèi)接正nn

36、r n 57 例例1 1 解解 .)1()1( nn ii 化簡化簡 ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i 58 nn ii)1()1( n n i 4 sin 4 cos)2( n n i 4 sin 4 cos)2( 4 sin 4 cos 4 sin 4 cos)2( n i nn i n n . 4 cos2 2 2 n n 59 例例2 解解 .)2(;125)1( iii 化簡化簡 ,125)1(iyxi ,2)(125 22 xyiyxi 122 , 5 22 xy yx , 2, 3 yx ).23(12

37、5ii 60 ,)2(yixi , 2 1 2 1 ii, 2 1 2 1 ii . 2 ii 12 , 0 22 xy yx , 2 1 yx 61 例例3 3 . 1 3的值的值計(jì)算計(jì)算i 解解 ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i 3 1i 3 2 4 sin 3 2 4 cos2 6 k i k ).2 , 1 , 0( k 62 , 12 sin 12 cos2 6 0 iw , 12 7 sin 12 7 cos2 6 1 iw . 4 5 sin 4 5 cos2 6 2 iw 即即 63 例例4 4 . 1 4的值的值計(jì)算計(jì)算i 解解 4 sin 4 cos2

38、1ii 4 2 4 sin 4 2 4 cos21 84 k i k i ).3 , 2 , 1 , 0( k , 16 sin 16 cos2 8 0 iw即即 , 16 9 sin 16 9 cos2 8 1 iw 64 , 16 17 sin 16 17 cos2 8 2 iw . 16 25 sin 16 25 cos2 8 3 iw . 2 8 圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn) 的的心在原點(diǎn)半徑為心在原點(diǎn)半徑為 這四個(gè)根是內(nèi)接于中這四個(gè)根是內(nèi)接于中 o x y 1 w 2 w 3 w 0 w 65 例例5 5 解解 .)1()1( 55 zz 解方程解方程 , 1 z直接驗(yàn)證

39、可知方程的根直接驗(yàn)證可知方程的根 故原方程可寫成故原方程可寫成 , 1 1 1 5 z z , 1 1 z z w 令令 , 1 5 w則則. 4 , 3 , 2 , 1 , 0, 5 2 kew i k , 1 0 w故故, 5 2 1 i ew , 5 4 2 i ew , 5 6 3 i ew . 5 8 4 i ew 66 1 1 w w z因?yàn)橐驗(yàn)?1 1 i i e e 1sincos 1sincos i i 2 sin 2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin 2 sin2 i i , 2 tan i 故原方程的根為故原方程的根為, 0 0 z, 5 tan 1 iz ,

40、 5 2 tan 2 iz, 5 3 tan 3 iz. 5 4 tan 4 iz 67 1.3 1.3 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 一、區(qū)域的概念 二、單連通域與多連通域 68 一、區(qū)域的概念一、區(qū)域的概念 1. 鄰域鄰域: . : )( , 00 0 的鄰域的鄰域內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為的圓的圓 為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以 zzz z 說明說明 . , 0 , 點(diǎn)的鄰域點(diǎn)的鄰域 稱為無窮遠(yuǎn)稱為無窮遠(yuǎn)其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù)所有點(diǎn)的集合所有點(diǎn)的集合 的的且滿足且滿足包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi) M Mz 69 2.去心鄰域去心鄰域: . 0 0 0 的

41、去心鄰域的去心鄰域集合為集合為 所確定的點(diǎn)的所確定的點(diǎn)的稱由不等式稱由不等式 z zz 說明說明 . . , , zM Mz 可以表示為可以表示為 域域稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合 僅滿足僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在 70 3.內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn): . , , . , 0 0 0 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)稱為稱為那末那末 于于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域存在存在 如果如果中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn)為為為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集設(shè)設(shè) Gz Gz GzG 4.開集開集: 如果如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末

42、那末G 稱稱 為開集為開集. . 71 5.區(qū)域區(qū)域: 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, ,則稱則稱 它為一個(gè)區(qū)域它為一個(gè)區(qū)域. . (1) D是一個(gè)是一個(gè)開集開集； (2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用中任何兩點(diǎn)都可以用 完全屬于完全屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來. 6.邊界點(diǎn)、邊界邊界點(diǎn)、邊界: 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, ,如果點(diǎn)如果點(diǎn) P P 不不 屬于屬于D, 但在但在 P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的中的 點(diǎn)點(diǎn),這樣的這樣的 P P 點(diǎn)我們稱為點(diǎn)我們稱為D的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)

43、. 72 D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成D的的邊界邊界. . 說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立 的點(diǎn)所組成的的點(diǎn)所組成的. (2) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .D z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C 3 C 73 以上基以上基 本概念本概念 的圖示的圖示 1 z 2 z 區(qū)域區(qū)域 0 z 鄰域鄰域 P 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 邊界邊界 7.有界區(qū)域和無界區(qū)域有界區(qū)域和無界區(qū)域: . , , 0, , 界的界的 否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點(diǎn)都滿足點(diǎn)都滿足 使區(qū)域的每一個(gè)使區(qū)域的

44、每一個(gè)即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面 點(diǎn)點(diǎn)可以被包含在一個(gè)以原可以被包含在一個(gè)以原如果一個(gè)區(qū)域如果一個(gè)區(qū)域 DMz M D 74 (1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界. x y o 75 二、單連通域與多連通域二、單連通域與多連通域 1. 連續(xù)曲線連續(xù)曲線: . , )( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線稱為

45、連續(xù)曲線表一條平面曲線表一條平面曲線 代代那末方程組那末方程組 是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)和和如果如果 btatyytxx tytx 平面曲線的復(fù)數(shù)表示平面曲線的復(fù)數(shù)表示: )().()()(btatiytxtzz 76 2. 光滑曲線光滑曲線: . 0, )( )( , , )( )( , 22 稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的 那末那末有有的每一個(gè)值的每一個(gè)值且對于且對于 都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線 稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. . x y o x y o

46、 77 3. 簡單曲線簡單曲線: . )( )( , )()( : 的起點(diǎn)和終點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為分別稱為與與 為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè) Cbzaz btatzzC . )( , )()( , , 12121 2121 的重點(diǎn)的重點(diǎn) 稱為曲線稱為曲線點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)而有而有 當(dāng)當(dāng)與與的的對于滿足對于滿足 Ctztztztt ttbtabta 沒有重點(diǎn)的曲線沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線( (或若爾或若爾 當(dāng)曲線當(dāng)曲線).). 78 . , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱 即即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡單曲線如果簡單曲線 Cbzaz C 換句話說

47、換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡單任意一條簡單 閉曲線閉曲線 C 將復(fù)平面將復(fù)平面 唯一地分成三個(gè)互唯一地分成三個(gè)互 不相交的點(diǎn)集不相交的點(diǎn)集. x y o 內(nèi)部內(nèi)部 外部外部 邊界邊界 79 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線? 答答 案案 簡簡 單單 閉閉 簡簡 單單 不不 閉閉 不不 簡簡 單單 閉閉 不不 簡簡 單單 不不 閉閉 )(az)(bz )(az )(bz )(az)(bz )(az )(bz 80 4. 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一 條簡單閉曲線條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為 單連通域單連通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為 多連通域多連通域. 單連通域單連通域多連通域多連通域 81 三、典型例題