物理學(xué)畢業(yè)論文高斯定理

1、 本科畢業(yè)論文本科畢業(yè)論文 題目 高 斯 定 理 學(xué)生姓名 專業(yè)名稱 物 理 學(xué) 指導(dǎo)教師 2011 年 5 月 25 日 教學(xué)單位 物理與信息技術(shù)系 學(xué)生學(xué)號(hào) 編 號(hào) 目目 錄錄 一、論文正文 1 高斯定理的表述高斯定理的表述.1 1.1 數(shù)學(xué)上的高斯公式.1 1.2 靜電場(chǎng)的高斯定理.1 1.3 磁場(chǎng)的高斯定理.2 2.1.1 靜電場(chǎng)的高斯定理.2 2.1.2 磁場(chǎng)的高斯定理.4 2.2 高斯定理的直接證明.5 2.3 高斯定理的另一種證明.6 3 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用.8 4 將高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中將高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中.11 4.1 靜電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)中有關(guān)量的類比

2、.11 4.2 萬(wàn)有引力場(chǎng)中的引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量.11 4.3 萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理.12 5 結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ).12 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).14 謝辭謝辭.15 二、附錄 1 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文任務(wù)書(shū).16 2 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文中期檢查報(bào)告.18 3 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文指導(dǎo)教師指導(dǎo)記錄表.19 4 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文結(jié)題報(bào)告.20 5 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文成績(jī)?cè)u(píng)定及答辯評(píng)議表.22 6 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文答辯過(guò)程記錄（附頁(yè)）.24 高斯定理高斯定理 摘要：摘要：高斯定理是電磁學(xué)的一條重要定理，它不僅在靜電場(chǎng)中有重要的應(yīng)用， 而且也是麥克斯韋電磁場(chǎng)理論中的一個(gè)重要方程

3、。本文比較詳細(xì)的介紹了高斯 定理，并提供了數(shù)學(xué)法、直接證明法等方法證明它，總結(jié)出應(yīng)用高斯定理應(yīng)注 意的幾個(gè)問(wèn)題，從中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決電磁學(xué)相關(guān)問(wèn)題時(shí)的方便之處。 最后把高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中去。 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：高斯定理；應(yīng)用；萬(wàn)有引力場(chǎng) gaussian theorem abstract:abstract: gaussian theorem is an important theorem of electromagnetism. it not only has important application in electrostatic field, but also is an

4、important equation in maxwell electromagnetic field theory. this thesis introduces the gaussian theorem in detail and proves it by using many methods such as the mathematical method and the direct proof method etc.it also introduces the several problems that we should pay attention to when we apply

5、and use gaussian theorem. it can be found convenient when we use the gaussian theorem to solve the problems related to the electromagnetism. the last part of this thesis is to introduce the gauss theorem to the gravitational field. key words: gaussian theorem; application; gravitational field 目目 錄錄

6、1 高斯定理的表述高斯定理的表述.1 1.1 數(shù)學(xué)上的高斯公式.1 1.2 靜電場(chǎng)的高斯定理.1 1.3 磁場(chǎng)的高斯定理.2 2.1.1 靜電場(chǎng)的高斯定理.2 2.1.2 磁場(chǎng)的高斯定理.4 2.2 高斯定理的直接證明.5 2.3 高斯定理的另一種證明.6 3 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用.8 4 4 將高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中將高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中.11 4.1 靜電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)中有關(guān)量的類比.11 4.2 萬(wàn)有引力場(chǎng)中的引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量.11 4.3 萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理.12 5 結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ).12 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).14 謝辭謝辭.15 引言引言 高斯定理又叫散度定理，高斯定

7、理在物理學(xué)研究方面，應(yīng)用非常廣泛，應(yīng) 用高斯定理求曲面積分、靜電場(chǎng)、非靜電場(chǎng)或磁場(chǎng)非常方便，特別是求電場(chǎng)強(qiáng) 度或者磁感應(yīng)強(qiáng)度。雖然有時(shí)候應(yīng)用高斯定理求解電磁學(xué)問(wèn)題很方便，但是它 也存在一些局限性，所以要更好的運(yùn)用高斯定理解決電磁學(xué)問(wèn)題，我們首先應(yīng) 對(duì)高斯定理有一定的了解。 1 高斯定理的表述高斯定理的表述 1.1 數(shù)學(xué)上的高斯公式數(shù)學(xué)上的高斯公式 設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成，若函數(shù)在上vs,p q rv 連續(xù)，且有一階連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，則 11 sv pqr dxdydzpdydzqdzdxrdxdy xyz 其中的方向?yàn)橥獍l(fā)向。11 式稱為高斯公式1。s 1.2 靜電場(chǎng)的高斯定理

8、靜電場(chǎng)的高斯定理 一半徑為 的球面包圍一位于球心的點(diǎn)電荷，在這個(gè)球面上，場(chǎng)強(qiáng)的rsqe 方向處處垂直于球面，且的大小相等,都是。通過(guò)這個(gè)球面的電e 2 0 4 q e r s 通量為 2 222 0000 4 444 e sss qqqq e dsdsdsr rrr 其中是球面積分，等于。從此例中可以看出，通過(guò)球面的電通量只 s ds 2 4 rs 與其中的電量有關(guān)，與高斯面的半徑 無(wú)關(guān)。若將球面變?yōu)槿我忾]合曲面，qrs 由電場(chǎng)線的連續(xù)性可知，通過(guò)該閉合曲面的電通量認(rèn)為。 0 q 若閉合曲面內(nèi)是負(fù)電荷，則的方向處處與面元取相反，可計(jì)算sqe ds 穿過(guò)面的電通量為。若電荷在閉合曲面之外，它的電

9、場(chǎng)線就會(huì)穿s 0 /qqs 入又穿出面，通過(guò)面的電通量為零2。ss 如果閉合面內(nèi)有若干個(gè)電荷，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知，通過(guò)s 123 , n q q q q 面的電通量為 s 111 0 1 nnn eiii sss iii e dse dse dsq 此式表明，在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)，通過(guò)任意一閉合曲面的電通量，等于包圍在 該面內(nèi)的所有電荷的代數(shù)和的分之一，這就是真空中的高斯定理。通常把閉 0 合曲面稱為高斯面，對(duì)于連續(xù)分布的電荷，電荷體密度為，則上式可以表s 述為 0 1 e sv e dsdv 1.3 磁場(chǎng)的高斯定理磁場(chǎng)的高斯定理 由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線必定

10、 會(huì)從曲面內(nèi)部出來(lái)，否則這條磁力線就不會(huì)閉合了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面， 定義向外為正法線的指向，則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù)，出來(lái)的磁通量為正，那 么就可以得到通過(guò)一個(gè)閉合曲面的總磁通量為零。這個(gè)規(guī)律類似于電場(chǎng)中的高 斯定理，因此也稱為高斯定理。用式子表示： 0 s b ds 與靜電場(chǎng)中的高斯定理相比較，兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場(chǎng)中，由 于自然界中存在著獨(dú)立的電荷，所以電場(chǎng)線有起點(diǎn)和終點(diǎn)，只要閉合面內(nèi)有凈 余的正或者負(fù)電荷，穿過(guò)閉合面的電通量就不等于零，即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)；而 在磁場(chǎng)中，由于自然界中沒(méi)有單獨(dú)的磁極存在，極和極是不能分離的，磁ns 感線都是無(wú)頭無(wú)尾的閉合線，所以通過(guò)任何閉合面的磁通量

11、必等于零，即磁場(chǎng) 是無(wú)源場(chǎng)2。2 高斯定理的證明高斯定理的證明 2.1 高斯定理的數(shù)學(xué)證明高斯定理的數(shù)學(xué)證明 2.1.1 靜電場(chǎng)的高斯定理靜電場(chǎng)的高斯定理 靜電場(chǎng)中高斯定理的證明主要分以下四種情況： (a)點(diǎn)電荷在球面中心，點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度為 球面的電通量q 3 0 1 4 q er r 為 21 2 322 0000 111 4 444 sss qq e dsr dsdsr rrr (b)點(diǎn)電荷在任意閉曲面外，閉曲面的通量為s 22 33 00 333 0 11 () 44 111 4 sss s qq e dsr dsxdydzydxdzzdxdy rr q xdydzydxdzzdxdy

12、 rrr 根據(jù)高斯公式 23 s v pqr dxdydzpdydzqdzdxrdxdy xyz 并考慮到在內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，故 22 式可以用高 333 , xyz pqr rrr s 斯公式計(jì)算。將 22 式代入 23 式得 3 0 3 0 333 0 333 0 1 4 1 4 111 4 0 4 ss s s v q e dsr ds r q xdydzydxdzzdxdy r q xdydzydxdzzdxdy rrr xyz qrrr dxdydz xyz (c)點(diǎn)電荷在任意閉曲面內(nèi) 在任意閉曲面內(nèi)以點(diǎn)電荷為球心作一輔助球面，其法向朝內(nèi)，根據(jù)sq 1 s 21 式可知點(diǎn)電荷在閉曲

13、面的電通量為零，即：q 1 ss 1 0 ss e dse ds 24 12 0 sss q e dse dse ds 其中式 24 中和大小相等，法向相反。 1 s 2 s (d)點(diǎn)電荷系在閉曲面內(nèi)外 設(shè)閉曲面內(nèi)的點(diǎn)電荷為；閉曲面外的點(diǎn)電荷為根據(jù) 23 , n q q qq 1n q ； 上述討論可得 111 0 1 nnn i ii sss iii e dsedse dsq 這就是靜電場(chǎng)中的高斯定理3。 2.1.2 磁場(chǎng)的高斯定理磁場(chǎng)的高斯定理 磁場(chǎng)中高斯定理的證明主要分以下四種情況： (a)電流元在球面中心idl 由磁通量的定義和畢奧薩法爾定律為了方便，把簡(jiǎn) 00 2 4 idlr db

14、 r db 寫(xiě)為，則可得電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)球面的磁通量為b 0000 22 44 sss idlrirds b dsdsdl rr 因?yàn)?，所?0/ rds 0 s b ds (b)電流元在任意閉曲面外idl 電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)閉曲面的磁通量為 00 2 4 ss idlr b dsds r 因?yàn)?，并設(shè)，則rxiy jzk dldlk dlrydlixdl j 代入原式得 00 222 44 sss idlidlryx b dsdsdydzdxdz rrr 根據(jù)高斯公式 s v pqr dxdydzpdydzqdzdxrdxdy xyz 同理可得 00 222 0 44 sss idlid

15、lryx b dsdsdydzdxdz rrr (c)電流元在任意閉曲面內(nèi)idl 以此類推，在閉曲面內(nèi)，以電流元為球心作一輔助球面，因?yàn)閟 1 s 1 0 ss b dsb ds 所以 1 0 ss b dsb ds (d)電流元在閉曲面上idl 由上述易知，所有的電流元在閉曲面上的磁通量也為零，即0 s b ds 這正是磁場(chǎng)的高斯定理4。 2.2 高斯定理的直接證明高斯定理的直接證明 圖圖 1 1 如圖 1 所示，電荷量為的帶電體中任一點(diǎn)處的電荷密度為,則由電場(chǎng)q 1 ( )r 強(qiáng)度定義知該帶電體在空間 點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 r 25 1 1 1 3 0 ( ) 4 v r erdv r 式中

16、為原點(diǎn)位矢，為原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的位矢。將對(duì)任意閉合曲面求 1 r 1 rrr e s 面積分，即得 26 1 sv e dsedv 由 25 式可得 11 11 11 33 00 ( )( )11 44 vv rr erdvr dv rr 由于算符是對(duì)的微分算符，與 無(wú)關(guān)，故r 1 r 27 11 11 2 1111 3 00 1 11111 000 111 ( )( ) 44 ( )11 ( ) 4( )() 4 vv vv r erdvrdv rr r rr dvrrr dv 式中最后一步用到了函數(shù)的篩選性，將式 27 代入式 25 中得： 1 0 ( ) sv r e dsdv (1)當(dāng)電荷包

17、含在閉合曲面內(nèi)時(shí)，則 qs 1 00 ( ) sv rq e dsdv (2)當(dāng)電荷的不包含在閉合曲面內(nèi)時(shí)，則qs 1 0 ( ) 0 sv r e dsdv 由此高斯定理得證。 2.3 高斯定理的另一種證明高斯定理的另一種證明 圖圖 2 2 如圖 2 所示，設(shè)有一電量為孤立的正點(diǎn)電荷，現(xiàn)以點(diǎn)電荷所在處為球心，q 任意 為半徑作一球面為高斯面，球面上任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 方向沿r 3 0 4 q er r 徑向離開(kāi)球心，和球面上該點(diǎn)的法線正方向相同。通過(guò)該閉合曲面的電通量為 與半徑 無(wú) 2 322 0000 4 444 e sss qqqq e dsr dsdsr rrr r 關(guān)。 這一結(jié)果根據(jù)電通

18、量的定義表明, 電量為的正點(diǎn)荷發(fā)出條電場(chǎng)線, q 0 /q 由于電通量與半徑無(wú)關(guān), 說(shuō)明電場(chǎng)線是不間斷的；若為負(fù)電荷, 則表明有q 條電場(chǎng)線匯集到這個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷上, 同樣這些電場(chǎng)線也是不間斷的。由于電 0 q 場(chǎng)線是不間斷的, 面外電荷不影響閉合曲面的電通量?，F(xiàn)在我們?cè)O(shè)想這個(gè)點(diǎn)電 荷不位于球心而位于球面內(nèi)任意點(diǎn)處,那么據(jù)以上分析同樣得穿過(guò)這個(gè)閉合球面 的電通量亦為?，F(xiàn)在我們進(jìn)一步設(shè)想, 電量為的點(diǎn)電荷不是位于球面內(nèi) 0 /qq 而是位于任意的閉合曲面內(nèi), 則同樣得到結(jié)論, 通過(guò)這個(gè)閉合曲面的電通量 。 0 /q 若一閉合曲面內(nèi)包含個(gè)點(diǎn)電荷, 其中個(gè)是正的, 個(gè)是負(fù)的。n()m mnnm 設(shè)個(gè)正點(diǎn)

19、電荷所帶的總電量為, 則這個(gè)點(diǎn)電荷發(fā)出條不間斷的m m qm 0 / m q 電場(chǎng)線；個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷所帶的總量為， 則這個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷匯集nm n m q nm 條不間斷的電場(chǎng)線，據(jù)電通量的定義,發(fā)出的即穿出閉合曲面為正, 0 mn q 匯集的即進(jìn)人閉合曲面的為負(fù), 所以通過(guò)閉合曲面的電通量為 00 | mnm e s qq e ds 即 0 mmn e s qq e ds 這里有可能出現(xiàn)面內(nèi)一些正電荷發(fā)出的電場(chǎng)線沒(méi)有穿出閉合曲面而直接匯 集到負(fù)電荷上，也就是說(shuō)，負(fù)電荷匯集的電場(chǎng)線不是由閉合曲面外來(lái)的，而是 由閉合曲面內(nèi)來(lái)的，這并不影響我們的結(jié)論。 因此就一般情況而言，若任一閉合曲面內(nèi)包圍的凈余電荷為

20、，則 12 , n q qq 穿過(guò)這個(gè)閉合曲面的電通量為 1 0 1 n ei s i e dsq 由此，高斯定理得證5。 3 高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用 高斯定理的一個(gè)重要應(yīng)用，是用來(lái)計(jì)算帶電體周圍電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度。雖然 高斯定理的適用范圍很廣，但用它求帶電體的電場(chǎng)分布時(shí)有很大的局限性，只 對(duì)那些電荷分布高度對(duì)稱的帶電體，才能使用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)。在選擇高斯面 時(shí)，應(yīng)注意：場(chǎng)強(qiáng)是面積元處的，隨的不同，也不同；場(chǎng)強(qiáng) 1 e ds e ds e 2 是全部帶電體系中（無(wú)論在高斯面內(nèi)還是在高斯面外）所有電荷產(chǎn)生的總場(chǎng)e 強(qiáng)，而只是對(duì)高斯面內(nèi)的電荷求和，這是因?yàn)楦咚姑嫱獾碾姾蓪?duì)總通量 1 n i i

21、q 沒(méi)有貢獻(xiàn)，但不是對(duì)場(chǎng)強(qiáng)沒(méi)有貢獻(xiàn)；高斯面內(nèi)所包圍的電荷等于零時(shí)， e 3 不一定等于零，只說(shuō)明通過(guò)高斯面的電通量等于零；高斯定理雖由庫(kù)侖e s 4 定律引申而來(lái)，但它的適用范圍廣，而不論對(duì)靜止電荷還是運(yùn)動(dòng)電荷都適用， 但應(yīng)用時(shí)，必須在電場(chǎng)具有某種對(duì)稱性時(shí)（球、軸、面對(duì)稱） ，才有可能；在 5 應(yīng)用高斯定理時(shí)，除應(yīng)注意到場(chǎng)強(qiáng)具有對(duì)稱性外，對(duì)高斯面的選取還應(yīng)注意到： 所選高斯面應(yīng)平行電場(chǎng)線或垂直電場(chǎng)線；當(dāng)高斯面法向與電場(chǎng)線平行時(shí)，高斯 面上的場(chǎng)強(qiáng)的大小應(yīng)處處相等，這樣可提出積分號(hào)外，積分被簡(jiǎn)化為對(duì)面e e 元的取和。 利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的一般步驟： （1）進(jìn)行對(duì)稱性分析，即由電荷分布的對(duì)稱性，分

22、析電場(chǎng)分布的對(duì)稱性， 判斷能否用高斯定理來(lái)求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布（常見(jiàn)的對(duì)稱性有球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱 性、面對(duì)稱性等） ，這是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)； （2）根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：待求?chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng) 在此高斯面上，穿過(guò)該高斯面的電通量容易計(jì)算；一般地，高斯面各面元的 法線矢量與平行或垂直，與平行時(shí)，的大小要求處處相等，使得能n e n e e e 提到積分號(hào)外面； （3）計(jì)算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯e ds 定理求出場(chǎng)強(qiáng)。 應(yīng)該指出，在某些情況下（對(duì)稱） ，應(yīng)用高斯定理是比較簡(jiǎn)單的，但一般情 況下，以點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和疊加原理以相互補(bǔ)充，還有其它的方法，應(yīng)根據(jù)

23、具 體情況選用。利用高斯定理，可簡(jiǎn)捷地求得具有對(duì)稱性的帶電體場(chǎng)源（如球型、 圓柱形、無(wú)限長(zhǎng)和無(wú)限大平板型等）的空間場(chǎng)強(qiáng)分布。計(jì)算的關(guān)鍵在于選取合 適的閉合曲面高斯面。 高斯定理的應(yīng)用舉例 例一：求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)分布，已知線上線電荷密度為。 圖圖 3 3 解法一：（利用庫(kù)侖定律求解） 如圖 3 所示，我們選擇電荷元為長(zhǎng)度上所帶電量，即，在dqdldqdldq 點(diǎn)產(chǎn)生的元場(chǎng)強(qiáng)的大小 p 2 0 4 dl de r 為計(jì)算該積分，首先必須統(tǒng)一積分變量。為便于計(jì)算，將變量 和 統(tǒng)一lr 用表達(dá)。由圖 3 可知，由又可以得secrrtanlrtanlr ，代入及 后，可得 2 secdlrd

24、dlr 0 4 d de r 對(duì)于每一個(gè)正 軸上的長(zhǎng)度，一定存在另一個(gè)對(duì)稱的負(fù)軸上的，ydlydl 這兩個(gè)長(zhǎng)度上的電荷元在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分量相互抵消，因此求總場(chǎng)強(qiáng)時(shí)我py 們只需對(duì)積分。注意，積分限為和，則有 x decos x dede 2 2 22 00022 cossin 442 x eded rrr 圖圖 4 4 解法二：（利用高斯定理求解） 帶電直線的電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，考慮離直線距離為的一點(diǎn)處的場(chǎng)rp 強(qiáng)（如圖 4 所示） 。由于空間各向同性而帶電直線為無(wú)限長(zhǎng)，且均勻帶電，所e 以電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，因而點(diǎn)的電場(chǎng)方向唯一的可能是垂直于帶電直線p 而沿徑向，并且和點(diǎn)在同一圓柱面（以

25、帶電直線為軸）上的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小p 也都相等，而且方向都沿徑向。 作一個(gè)通過(guò)點(diǎn)，以帶電直線為軸，高為 的圓筒形封閉面為高斯面，通pls 過(guò)面的電通量為 s 1tb e ssss e dse dse dse ds 在面的上、下底面（和）上，場(chǎng)強(qiáng)方向與底面平行，因此，上式等號(hào)右s t s b s 側(cè)后面兩項(xiàng)等于零。而在側(cè)面（）上各點(diǎn)的方向與各該點(diǎn)的法線方向相同， 1 se 所以有 11 2 sss e dse dsedserl 此封閉面內(nèi)包圍的電荷 int ql 由高斯定理得 0 2 l erl 由此得 0 2 e r 由上所述，解法一與解法二的結(jié)果相同，由解法一和解法二比較可知，當(dāng)條件 允許時(shí)，

26、利用高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分布要簡(jiǎn)便得多。 4 將高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中將高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中 4.1 靜電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)中有關(guān)量的類比靜電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)中有關(guān)量的類比 靜電學(xué)中的庫(kù)侖定律： 12 2 0 1 4 r q q fe r 41 牛頓萬(wàn)有引力定律： 12 2 r m m fge r 42 以上 41、42 兩式在數(shù)學(xué)形式上完全等同。比較兩式可得如下結(jié)論：電學(xué) 1 中相當(dāng)于力學(xué)中的，為了記憶的方便，我們記為（下同）于 0 1 4 g 0 1 4 g 是有 0 1 4 g 43 上式中電學(xué)中電 122121122 0 8.85 10(),6.67 10()cnmgn mkg 2 荷

27、相當(dāng)于力學(xué)中的質(zhì)量，于是有qm 44qm 4.2 萬(wàn)有引力場(chǎng)中的引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量萬(wàn)有引力場(chǎng)中的引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量 靜電場(chǎng)中點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力為 45fqe 經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)在引力場(chǎng)中受到的重力為 46pmg 和電場(chǎng)強(qiáng)度類似，在萬(wàn)有引力場(chǎng)中定義一個(gè)引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量（以下簡(jiǎn)稱引 力場(chǎng)強(qiáng)），則 g 47 eg 且規(guī)定：試探質(zhì)點(diǎn)在引力場(chǎng)中某點(diǎn)受到的力與其質(zhì)量之比定義為引力場(chǎng)中f 該點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng) 48 f g m 如果已知引力場(chǎng)中某點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)，則質(zhì)點(diǎn)在該處受到的引力可由下式g 給出 49fmg 4.3 萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理 一般說(shuō)來(lái)，引力場(chǎng)中的某點(diǎn)的是該點(diǎn)位置 的矢量函數(shù)，對(duì)于多

28、個(gè)質(zhì)點(diǎn)g r 產(chǎn)生的引力場(chǎng)，引力場(chǎng)強(qiáng)滿足疊加原理。有了萬(wàn)有引力場(chǎng)強(qiáng)的定義后，就可以 仿照電通量的概念，在引力場(chǎng)中定義引力場(chǎng)強(qiáng)通量。對(duì)某面積微元的引 e g 力場(chǎng)強(qiáng)通量：。其中是引力場(chǎng)強(qiáng)與面積微元的夾cos g dg dsgds g ds 角，因此，對(duì)某面的總引力場(chǎng)強(qiáng)通量為s 410 g s g ds 有了引力場(chǎng)強(qiáng)通量的概念，就可以討論穿過(guò)閉合曲面引力場(chǎng)強(qiáng)通量的問(wèn)題。 仿照電場(chǎng)中高斯定理的證明過(guò)程可以證明引力場(chǎng)中的高斯定理。由 43、44、47 式，并考慮到閉合曲面面積微元的法線正方向定義后，不難 得到穿過(guò)某閉合曲面的引力場(chǎng)強(qiáng)通量應(yīng)滿足s 411 0 1 4 ii ss e dsqg dsgm

29、上式稱為萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理，與靜電場(chǎng)中的高斯定理具有相似的形 式。根據(jù)散度的定義，我們可以將 411 式寫(xiě)成相應(yīng)的微分形式 412 0 4egg 此式說(shuō)明萬(wàn)有引力場(chǎng)是一種有源場(chǎng)，它的源可認(rèn)為就是質(zhì)量分布6。 5 結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ) 根據(jù)上述分析可知，對(duì)于電電磁學(xué)中重要的基本定理之一的高斯定理，我 們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)法、直接法等方法來(lái)證明，在電磁學(xué)中，當(dāng)條件允許時(shí)，利用 高斯定理可以很方便的解決相關(guān)的問(wèn)題。 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 1 高等數(shù)學(xué)第二冊(cè)（第三版）m.北京：高等教育出版社，1996 年第 3 版：234235 2 張丹海、宏小達(dá).簡(jiǎn)明大學(xué)物理（第二版）m.北京：科學(xué)出版社，2008 年第 2 版

30、： 173176 196200 3 籍延坤.大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)j.2004 年 9 月第 25 卷第 3 期：13-15 4 梁燦彬、秦光戎等.電磁學(xué)（第二版）m.北京：高等教育出版社，2004 年第二版： 1424 182185 5 郭慧成.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）j.2006 年 5 月第 2 期：103 6 陳國(guó)云.駱成洪等.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)j.2008 年 12 月第 30 卷第 4 期：354358 謝謝 辭辭 本論文得以完成，要感謝的人實(shí)在太多了，首先要感謝王參軍老師，因?yàn)?論文是在王老師的悉心指導(dǎo)下完成的。 王老師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài) 度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高

31、尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高 風(fēng)范，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)。本論文從選題到完成， 每一步都是在王老師的指導(dǎo)下完成的，傾注了王老師大量的心血。 王老師指導(dǎo)我的論文的寫(xiě)作方向和架構(gòu)，并對(duì)本論文初稿進(jìn)行逐字批閱， 指正出其中誤謬之處，使我有了思考的方向，他的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格 的思路給予我無(wú)盡的啟迪，他的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)，將一直是我工作、 學(xué)習(xí)中的榜樣。在此，謹(jǐn)向王老師表示崇高的敬意和衷心的感謝！謝謝王老師 在我撰寫(xiě)論文的過(guò)程中給與我的極大地幫助。 同時(shí)，論文的順利完成，離不開(kāi)其它各位老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助。 在整個(gè)的論文寫(xiě)作中，各位老師、同學(xué)和朋友積極的幫

32、助我查資料和提供有利 于論文寫(xiě)作的建議和意見(jiàn)，在他們的幫助下，論文得以不斷的完善，最終幫助 我完整的寫(xiě)完了整篇論文。 通過(guò)本次論文的寫(xiě)作，我學(xué)到了很多知識(shí)，跨越了傳統(tǒng)方式下的教與學(xué)的 體制束縛，在論文的寫(xiě)作過(guò)程中，通過(guò)查資料和搜集有關(guān)的文獻(xiàn)，培養(yǎng)了自學(xué) 能力和動(dòng)手能力。并且由原先的被動(dòng)的接受知識(shí)轉(zhuǎn)換為主動(dòng)的尋求知識(shí)，這可 以說(shuō)是學(xué)習(xí)方法上的一個(gè)很大的突破。在以往的傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)模式下，我可能會(huì) 記住很多的書(shū)本知識(shí)，但是通過(guò)畢業(yè)論文，我學(xué)會(huì)了如何將學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為 自己的東西，學(xué)會(huì)了怎么更好的處理知識(shí)和實(shí)踐相結(jié)合的問(wèn)題。 總之，通過(guò)本次論文的寫(xiě)作，我收獲了很多，即為大學(xué)四年劃上了一個(gè)完 美的句號(hào)，也

33、為將來(lái)的人生之路做好了一個(gè)很好的鋪墊。 再次感謝我的大學(xué)和所有幫助過(guò)我并給我鼓勵(lì)的老師，同學(xué)和朋友，謝謝 你們。 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文任務(wù)書(shū)寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文任務(wù)書(shū) 課題條件： 1.在電磁學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，對(duì)高斯定理有一定的了解和認(rèn)識(shí)。 2.在王老師的指導(dǎo)下，對(duì)此課題有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。 3.通過(guò)查閱大量的參考文獻(xiàn)，關(guān)于此課題的理論知識(shí)得到加強(qiáng)和深化，為完 成論文打下基礎(chǔ)。 4.利用圖書(shū)館的圖書(shū)資源和通過(guò)網(wǎng)絡(luò)查閱文獻(xiàn)資料，對(duì)國(guó)內(nèi)近些年來(lái)關(guān)于此 課題的文章有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）主要內(nèi)容： 高斯定理是電磁學(xué)的一條重要定理，它不僅在靜電場(chǎng)中有重要的應(yīng)用，而 且也是麥克斯韋電磁場(chǎng)理論

34、中的一個(gè)重要方程。本文比較詳細(xì)的介紹了高斯定 理，并提供了數(shù)學(xué)法、直接證明法等方法證明它，總結(jié)出應(yīng)用高斯定理應(yīng)注意 的幾個(gè)問(wèn)題，從中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決電磁學(xué)相關(guān)問(wèn)題時(shí)的方便之處。最 后把高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中去。 1.高斯定理的表述 2.高斯定理的證明 3.高斯定理的應(yīng)用 4.將高斯定理推廣到萬(wàn)有引力場(chǎng)中 注：課題性質(zhì)分為理論型實(shí)踐應(yīng)用型。下同。 主要參考文獻(xiàn)： 1 高等數(shù)學(xué)第二冊(cè)（第三版）m.北京：高等教育出版社，1996 年第 3 版： 234-235 2 張丹海、宏小達(dá).簡(jiǎn)明大學(xué)物理（第二版）m.北京：科學(xué)出版社，2008 年第 2 版：173176 196200 3 籍延坤.大

35、連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)j.2004 年 9 月第 25 卷第 3 期：13-15 4 梁燦彬、秦光戎等.電磁學(xué)（第二版）m.北京：高等教育出版社，2004 年第二版：1424 182185 5 郭慧成.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）j.2006 年 5 月第 2 期：103 6 陳國(guó)云.駱成洪等.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)j.2008 年 12 月第 30 卷第 4 期：354 358 指導(dǎo)教師意見(jiàn)： 1通過(guò)； 2完善后通過(guò)；3未通過(guò) 簽 名： 年月日 注：以上各項(xiàng)內(nèi)容由學(xué)生填寫(xiě)，指導(dǎo)教師審核后簽署意見(jiàn)。 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文中期檢查報(bào)告寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文中期檢查報(bào)告 學(xué)生撰寫(xiě)情況： （1）3 月 16

36、日討論資料收集情況，如何查找資料。 （2）3 月 24 日根據(jù)現(xiàn)有資料及掌握知識(shí)，確定論文主題。 （3）4 月 5 日提交初稿，交談自己的設(shè)想。 （4）4 月 14 日討論初稿的修改。 （5）5 月 5 日第二稿網(wǎng)上提交，電話交流。 （6）5 月 16 日修改第二稿。 （7）5 月 23 日修改論文格式。 指導(dǎo)教師： （簽名） 教師指導(dǎo)情況： 檢查人： （簽名） 系主任： （簽名） 注：學(xué)生撰寫(xiě)情況由指導(dǎo)教師填寫(xiě)，教師指導(dǎo)情況由檢查人填寫(xiě)。 寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文指導(dǎo)教師指導(dǎo)記錄表寶雞文理學(xué)院本科畢業(yè)論文指導(dǎo)教師指導(dǎo)記錄表 指導(dǎo)的具體時(shí)間及指導(dǎo)內(nèi)容（由學(xué)生分次填寫(xiě)）： 第一次指導(dǎo)：3 月 11 號(hào)指導(dǎo)選題，擬定任務(wù)書(shū)，下達(dá)任務(wù)書(shū)； 第二次指導(dǎo)：3 月 17 號(hào)對(duì)提綱進(jìn)行了指導(dǎo)； 第三次指導(dǎo)：4 月 1 號(hào)對(duì)論文內(nèi)容進(jìn)行了指導(dǎo)，對(duì)文章結(jié)構(gòu)進(jìn)行了調(diào)整； 第四次指導(dǎo)：4 月 11 號(hào)對(duì)論文初稿進(jìn)行修改； 第五次指導(dǎo)：5 月 13 號(hào)對(duì)論文二稿進(jìn)行了指導(dǎo)。 第六次指導(dǎo)：5 月 19 號(hào)對(duì)論文的細(xì)節(jié)進(jìn)行了指導(dǎo)。 對(duì)第一稿提出的修改意見(jiàn)： 1.根據(jù)論文內(nèi)容，把原來(lái)題目高斯定理簡(jiǎn)介改為高斯定理，該論文主要 對(duì)高斯定理作了詳細(xì)的介紹，運(yùn)用多種方法證明了它，介紹應(yīng)用高斯定理時(shí)應(yīng) 注意的一些問(wèn)題。對(duì)其成文思路及相關(guān)知識(shí)出現(xiàn)的漏洞部分提出改進(jìn)。 2.文中出現(xiàn)的公式推導(dǎo)，要搞清楚，不能一