隨機(jī)過程-第四章2

1、3. 3. 時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程 一、定義一、定義, ,轉(zhuǎn)移概率函數(shù)轉(zhuǎn)移概率函數(shù) 1 1定義定義 設(shè)設(shè) X(t)，tT 是隨機(jī)過程是隨機(jī)過程，T 是連續(xù)時(shí)是連續(xù)時(shí) 間參數(shù)集。間參數(shù)集。T = (0，+)，狀態(tài)空間狀態(tài)空間 E=1，2，N或或 E = 1，2 或或 E = 2，1，0，1，2 若對(duì)任意整數(shù)若對(duì)任意整數(shù) m（m2） ，） ， 任任 m 個(gè)時(shí)刻個(gè)時(shí)刻，t1，t2，tm（0t1 t2 tm） ，） ， 任意正數(shù)任意正數(shù) s 以及任以及任 i1，i2， ， ，im，jE， 滿足滿足 PX(tm+s) = j | X(t1)=i1，X(t2)=i2，X(tm

2、)=im = P X(tm+s) = j | X(tm)=im 則稱則稱 X(t)，t0，+ 為馬氏過程為馬氏過程 1 n t m t stm 過去過去 現(xiàn)在現(xiàn)在 將來將來 與馬氏鏈定義不同之處是：與馬氏鏈定義不同之處是： 時(shí)間取值是連續(xù)的表示為時(shí)間取值是連續(xù)的表示為 t1，t2，tm，s 馬氏鏈時(shí)間是離散的取值，記馬氏鏈時(shí)間是離散的取值，記為為 n1，n2， nm，k， 狀狀態(tài)態(tài)一一樣樣，取取值值均均寫寫為為 i1，i2，im ， i，j 離離散散的的， 以以后后研研究究注注意意此此點(diǎn)點(diǎn)。 2 2稱稱 P X(t+s)=j | X(t)=i =pij (t，t+s)，i，jE 為為馬馬氏氏過

3、過程程在在 t 時(shí)時(shí)刻刻經(jīng)經(jīng) s 時(shí)時(shí)間間的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移概概率率函函數(shù)數(shù)。 若若 pij (t，t+s)與與 t 無關(guān)，稱無關(guān)，稱X(t)，t0，+ 為時(shí)齊馬氏過程。為時(shí)齊馬氏過程。 其轉(zhuǎn)移概率函數(shù)僅與起始狀態(tài)其轉(zhuǎn)移概率函數(shù)僅與起始狀態(tài) i，經(jīng)過時(shí)間段經(jīng)過時(shí)間段 s 和和 轉(zhuǎn)移到達(dá)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到達(dá)的狀態(tài) j 有關(guān)，記為：有關(guān)，記為： pij (s) = pij (t，t+s)=PX(t+s)=j | X(t)=i t0，s0 我們只討論時(shí)齊馬氏過程，以后不再說我們只討論時(shí)齊馬氏過程，以后不再說“時(shí)齊時(shí)齊”二字。二字。 3. 轉(zhuǎn)移概率函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)移概率函數(shù)性質(zhì) 1)(0 spij ，i，j=1，2 j

4、 ij sp1)( ， i=1，2 一般規(guī)定一般規(guī)定 ji ji p ijij , 0 , 1 )0( 4. C-K 方程（切普曼方程（切普曼- -柯爾莫哥洛夫）柯爾莫哥洛夫） 直觀意義：將離散型馬氏鏈直觀意義：將離散型馬氏鏈 C-K 方程中的方程中的 k，l， 分別換成分別換成 s，t 即即 r rjirij tpsptsp)()()( i，j=0，1，2 5初始（概率）分布初始（概率）分布 )0( )0( i piXP i=1，2 滿足性質(zhì)滿足性質(zhì) 10 )0( i p 1 )0( i i p 特別當(dāng)馬氏過程在零時(shí)刻由固定特別當(dāng)馬氏過程在零時(shí)刻由固定 i0狀態(tài)出發(fā)狀態(tài)出發(fā)， 此時(shí)此時(shí) 1

5、)0( 0 i p ， 0 )0( j p （ji0） 6絕對(duì)概率分布絕對(duì)概率分布 )()(tpitXp i i=0，1，2 滿足滿足： 0)( tpi i=0，1，2 1)( i i tp 7 絕對(duì)概率被初始概率和轉(zhuǎn)移概率所確定絕對(duì)概率被初始概率和轉(zhuǎn)移概率所確定 由全概率公式可得到由全概率公式可得到 i ijij tpptp)()( )0( ，j=0，1，2 8轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移概率矩陣。 設(shè)設(shè) X(t)=t 表示過程在時(shí)刻表示過程在時(shí)刻 t 處于狀態(tài)處于狀態(tài) i（iE） ，） ， 經(jīng)過經(jīng)過t 由由 i 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 j 的概率記為的概率記為 )(|)()(itXjttXP

6、tpij ，i，jE 且有且有 0)( tpij ，i，jE j ij tp1)( ，i，jE 用矩陣表示記為用矩陣表示記為 )()()( )()()( )()()( )()( 21 22221 11211 tptptp tptptp tptptp tptP rrrr r r ij 它的它的 C-K 方程表示為方程表示為 k kjikij tptpttp)()()( 則其概率矩陣為則其概率矩陣為 )()()(tPtPttP 定義：過程定義：過程 X(t)，t(0，+) 狀態(tài)有限狀態(tài)有限E= 1，2，N 該過程該過程的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)為的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)為 pij(t) 若若 ji ji tp ijij

7、 t , 0 , 1 )(lim 0 成立成立 （*） 則稱此過程為隨機(jī)連續(xù)馬氏過程則稱此過程為隨機(jī)連續(xù)馬氏過程 上式表明：當(dāng)上式表明：當(dāng)t 很小時(shí)，過程由狀態(tài)很小時(shí)，過程由狀態(tài) i 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 i 的的 概率接通近于概率接通近于 1，而轉(zhuǎn)移到狀態(tài)而轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j（ji）的的概率接概率接 近需近需 0，亦即經(jīng)過很短時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)幾乎是不變亦即經(jīng)過很短時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)幾乎是不變 的。的。顯然顯然用（用（*）定義馬氏過程的）定義馬氏過程的連續(xù)性是合理的連續(xù)性是合理的 9轉(zhuǎn)移密度矩陣（速率（度）矩陣，也稱轉(zhuǎn)移密度矩陣（速率（度）矩陣，也稱Q矩陣）矩陣） （1） 定義：本書定義定義：本書定義 （2）

8、若若 ij ijij t q t tp )( lim 0 （i，j=0，1，N） 存在且有限，存在且有限， 稱為馬氏過程的速度函數(shù)或由狀態(tài)稱為馬氏過程的速度函數(shù)或由狀態(tài)i 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率密度的轉(zhuǎn)移概率密度。 上式由導(dǎo)數(shù)定義可得上式由導(dǎo)數(shù)定義可得 )0( ijij pq 或定義：對(duì)于或定義：對(duì)于 ij，如果極限如果極限 )( )(|)( lim 0 tq t itXjttXP ij t 存在記存在記 則稱此極限為時(shí)刻則稱此極限為時(shí)刻 t 由狀態(tài)由狀態(tài) i 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j 的的 轉(zhuǎn)移概率密度。轉(zhuǎn)移概率密度。 由時(shí)齊性可知，由時(shí)齊性可知， )0( )( lim)( 0 i

9、j ij t ij q t tp tq i，jE 上面兩個(gè)定義是一樣的上面兩個(gè)定義是一樣的 qij表示在單位時(shí)間內(nèi)，由狀態(tài)表示在單位時(shí)間內(nèi)，由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的的 平均概率。平均概率。 （2）速率矩陣，由）速率矩陣，由 qij和和 qii構(gòu)成的矩陣構(gòu)成的矩陣 NNNNN N N qqqq qqqq qqqq Q 210 1121110 0020100 說明：（說明：（qii是跳離是跳離i的轉(zhuǎn)移密度）的轉(zhuǎn)移密度） 對(duì)對(duì)任任意意的的 iE, ,若若極極限限 t itXjttXP ij t )(|)( lim 0 = = t itXittXP t )(|)(1 lim 0存在存在 則稱此

10、極限為時(shí)刻則稱此極限為時(shí)刻 t 跳離跳離 i 的轉(zhuǎn)移概率密度（速率的轉(zhuǎn)移概率密度（速率 函數(shù)） ，且知函數(shù)） ，且知 ii ii t q t tp 記記作作 )(1 lim 0，iE 注：注：qii表示在單位時(shí)間內(nèi)跳離表示在單位時(shí)間內(nèi)跳離i的平均概率，的平均概率， 而不是在單位時(shí)間內(nèi)停留在而不是在單位時(shí)間內(nèi)停留在i的概率。的概率。 （3）速率函數(shù)的性質(zhì)）速率函數(shù)的性質(zhì) qii0，i=1，2，N qij0 ij i，j=1，2，N N j ij q 0 0 i=1，2，N 證明證明： N j N j ijij t ij t tp q 00 0 )( lim 0 )( lim 00 0 t tp

11、N j ij N j ij t 下面介紹下面介紹pij(t)滿足的微分方程組及其求解。滿足的微分方程組及其求解。 二、二、柯柯爾莫哥洛夫方程爾莫哥洛夫方程 定理一：定理一：設(shè)隨機(jī)連續(xù)狀態(tài)有限馬氏過程的轉(zhuǎn)移設(shè)隨機(jī)連續(xù)狀態(tài)有限馬氏過程的轉(zhuǎn)移 概率函數(shù)為概率函數(shù)為 pij(t)，速率函數(shù)，速率函數(shù) qij， 則有則有 N k kjik ij qtp dt tdp 0 )( )( i，j=0，1，2 （甲）甲） 稱為柯爾莫哥洛夫向前方稱為柯爾莫哥洛夫向前方程程 N k kjik ij tpq dt dp 0 )( i，j=0，1，2 （乙）（乙） 稱為柯爾莫哥洛夫向后方稱為柯爾莫哥洛夫向后方程程 注意

12、：注意：二個(gè)方程都是關(guān)于二個(gè)方程都是關(guān)于pij(t)的線性微分方的線性微分方 程組，各包含程組，各包含(N+1)2個(gè)方程，個(gè)方程， 如果如果 qij已知 （一般可以根據(jù)過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)確定） ，已知 （一般可以根據(jù)過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)確定） ， 附加上初始條件附加上初始條件 )()0(tp ijij ， 就可解出就可解出 )(tpij ，i，j=0，1，N。 對(duì)無限狀態(tài)的馬氏過程， 類似進(jìn)行討論， 只對(duì)無限狀態(tài)的馬氏過程， 類似進(jìn)行討論， 只 需把公式中需把公式中 N 改為改為 ，可得到柯爾莫哥洛夫，可得到柯爾莫哥洛夫 向前方程和向后方程。向前方程和向后方程。 證明證明 見見 P205 柯爾莫哥洛夫方

13、程也可以用矩陣表示?？聽柲缏宸蚍匠桃部梢杂镁仃嚤硎?。 IP QtPtP tQPtP 0 其中其中 NNNN N N qqq qqq qqq Q 21 11110 00100 為為速率矩陣速率矩陣 可通過解方程組加初始條件求可通過解方程組加初始條件求 也可通過拉氏變換求解。也可通過拉氏變換求解。 ? tpij 介紹負(fù)指數(shù)分布的無記憶性。介紹負(fù)指數(shù)分布的無記憶性。 直觀理解：假定某件產(chǎn)品的壽命直觀理解：假定某件產(chǎn)品的壽命X服從參服從參 數(shù)為數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，即它的分布函數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，即它的分布函數(shù)為 00 01 x xe xF x 用過一段時(shí)間用過一段時(shí)間a后，它的剩余壽命仍然服從后，它的

14、剩余壽命仍然服從 參數(shù)為參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，而與已經(jīng)使用過的的負(fù)指數(shù)分布，而與已經(jīng)使用過的 時(shí)間時(shí)間 a 無關(guān)。無關(guān)。 x x x edxexF 1 0 0 x 00 0 x xe xf x x exFxXPxXP 11 當(dāng)當(dāng) 0, 0 ax 時(shí)，剩余壽命時(shí)，剩余壽命 aX 的分布為的分布為 aXP xaXP aXP axXaXP aXxaXP , | x a xa e e e 故故 x eaXxaXP 1| ， 0 x 表明剩余壽命仍服從參數(shù)為表明剩余壽命仍服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布。的負(fù)指數(shù)分布。 應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例：一般步驟：一般步驟： 1.1.寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖寫出狀態(tài)

15、轉(zhuǎn)移矩陣，并畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 ( (1) ) 定義系統(tǒng)狀態(tài)定義系統(tǒng)狀態(tài) 要保證所定義的狀態(tài)是能區(qū)分系統(tǒng)的的各種不同狀態(tài)，要保證所定義的狀態(tài)是能區(qū)分系統(tǒng)的的各種不同狀態(tài)， 如上例如上例 tX 表示表示 t , 0 內(nèi)來到的呼喚次數(shù)。內(nèi)來到的呼喚次數(shù)。 , 2 , 1 , 0 E 如：系統(tǒng)工作（如：系統(tǒng)工作（1），系統(tǒng)故障（），系統(tǒng)故障（0）. . E0，1。 （2）定義隨機(jī)過程，）定義隨機(jī)過程， 0, ttX （3）當(dāng)當(dāng) t 很小時(shí)，在很小時(shí)，在 ttt , 寫出寫出 tP ij 寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， Eji ij tptP , 有的可以畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖有的可以畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。 2

16、求轉(zhuǎn)移速率矩陣求轉(zhuǎn)移速率矩陣 Eji ij qQ , t tp q ijij t ij 0 lim i，j=1，2，3N 3求求 ji ij tptP )()( 4 求過程在時(shí)刻求過程在時(shí)刻 t 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分布，的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分布， 例例 1 P206 例 2 P208 1. (1) 1表示系統(tǒng)在工作表示系統(tǒng)在工作，0表示系統(tǒng)故障表示系統(tǒng)故障. .E0,1 (2) 時(shí)時(shí)刻刻故故障障，系系統(tǒng)統(tǒng)在在 時(shí)時(shí)刻刻工工作作系系統(tǒng)統(tǒng)在在 t t tX 0 , 1 tX 表示表示 t時(shí)刻機(jī)器所處的狀態(tài) 時(shí)刻機(jī)器所處的狀態(tài) )(tX ， 0 t 由條件由條件 獨(dú)立，獨(dú)立，t時(shí)刻以后機(jī)器的狀態(tài)， 僅與在時(shí)刻以后機(jī)器

17、的狀態(tài)， 僅與在t時(shí)刻的時(shí)刻的 狀態(tài)以及狀態(tài)以及t后剩余運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間和剩余停止時(shí)間有關(guān)。后剩余運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間和剩余停止時(shí)間有關(guān)。 分布特點(diǎn)，負(fù)指數(shù)分布無記憶性，知它是馬氏過程。分布特點(diǎn)，負(fù)指數(shù)分布無記憶性，知它是馬氏過程。 (3) 馬氏過程曲線圖馬氏過程曲線圖 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 )()( ? 01 tottp )()( ? 01 tottp )(01 )( ? 00 tt tp )(1 )( ? 01 tot tp 01 系統(tǒng)工作系統(tǒng)工作1，系統(tǒng)故障，系統(tǒng)故障0。 因?yàn)闂l件因?yàn)闂l件機(jī)器起動(dòng)到需要修理的運(yùn)轉(zhuǎn)期， 即連機(jī)器起動(dòng)到需要修理的運(yùn)轉(zhuǎn)期， 即連 續(xù) 工 作 的 時(shí) 間 是 隨 機(jī) 的 ， 其 密

18、 度 函 數(shù) 為續(xù) 工 作 的 時(shí) 間 是 隨 機(jī) 的 ， 其 密 度 函 數(shù) 為 0, te t （服從參數(shù)為（服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布）的負(fù)指數(shù)分布） 修理工修理一次排除故障修復(fù)機(jī)器所需的修理工修理一次排除故障修復(fù)機(jī)器所需的 時(shí)間是隨機(jī)的，其密度函數(shù)為時(shí)間是隨機(jī)的，其密度函數(shù)為 t e ， 0 t 獨(dú)立性獨(dú)立性 機(jī)器的各次運(yùn)轉(zhuǎn)期相互獨(dú)立，機(jī)器的各次運(yùn)轉(zhuǎn)期相互獨(dú)立， 各次修復(fù)時(shí)間也相互獨(dú)立，各次修復(fù)時(shí)間也相互獨(dú)立， tX 表示在表示在 t時(shí)刻機(jī)器所處的狀態(tài)，時(shí)刻機(jī)器所處的狀態(tài)， 因?yàn)橹笖?shù)分布無后效性，即：因?yàn)橹笖?shù)分布無后效性，即： 已知已知 )(tX 在現(xiàn)在在現(xiàn)在 （時(shí)刻（時(shí)刻 t）所處的狀

19、態(tài)（不論是）所處的狀態(tài)（不論是 0 還是還是 1）都）都 可以看作從現(xiàn)在為起點(diǎn)的一個(gè)新過程，新過程可以看作從現(xiàn)在為起點(diǎn)的一個(gè)新過程，新過程 起始起始狀態(tài)視原來過程“現(xiàn)在”所處的狀態(tài)而定。狀態(tài)視原來過程“現(xiàn)在”所處的狀態(tài)而定。 原來過程未來時(shí)刻（原來過程未來時(shí)刻（ ht 時(shí)刻）的狀態(tài)分布時(shí)刻）的狀態(tài)分布 相應(yīng)于新過程在時(shí)間相應(yīng)于新過程在時(shí)間h的狀態(tài)分布。的狀態(tài)分布。 這就說明原來過程未來時(shí)刻的狀態(tài)分布不這就說明原來過程未來時(shí)刻的狀態(tài)分布不 依賴于過去，而且與依賴于過去，而且與 t 無關(guān)，即具有馬氏性，無關(guān)，即具有馬氏性， 且是時(shí)齊的。且是時(shí)齊的。 dtetp t t 0 01 ttte t 冪級(jí)

20、數(shù)展開冪級(jí)數(shù)展開 111 故障故障工作工作 t t dtetP 0 10 )(1tote t tPtP 0100 1 tt 1 tttPtP 11 1011 寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 1110 0100 pp pp tP tttt tttt 1 1 每一行之和等于每一行之和等于1 2. . 求速率函數(shù)。求速率函數(shù)。 t ttt t tp q tt0 0101 0 01 limlim t tt t tp q tt0 1010 0 10 limlim t tt t tp q tt 11 limlim 0 0000 0 00 11 q Q速率矩陣速率矩陣 每行之和每行之和0 3求出求出 Ej

21、i ij tptP , )()( 列 出 柯 爾 莫 哥 洛 夫 方 程列 出 柯 爾 莫 哥 洛 夫 方 程 QtPtP tptp tptp 1110 0100 即即 1110 0100 1110 0100 qq qq tptp tptp 注意注意： 1 10 tptp ii tpp ii01 1 i=0，1 四個(gè)方程組，可求出其中兩個(gè)，問題可解四個(gè)方程組，可求出其中兩個(gè)，問題可解 求解求解 柯爾莫哥洛夫向前方程柯爾莫哥洛夫向前方程 1000 0010 )( )( 1101 1000 111 100 pp pp tptptp tptptp iii iii 已知已知 初始條件初始條件 乙乙 甲

22、甲 1 , 0 i 法一：一階線性微分方程組。法一：一階線性微分方程組。P209 1 10 tptp ii 即即 tptp ii01 1 代入上面甲式代入上面甲式 tptptp iii000 1 tptp ii00 即即 1 , 0 0 iCetp t i 利用利用 , 10 00 p 00 10 p 確定常數(shù)確定常數(shù)i C . . 10 0 00 Cep 1 0 C 00 0 10 Cep 1 C t etp 00 故故 t etp 10 再利用再利用 )(1)( 01 tptp ii 代入（乙）式，代入（乙）式， t etp 01 t etp 11 可以得到可以得到 法二：柯爾莫哥洛夫法二

23、：柯爾莫哥洛夫方程方程 矩陣表示矩陣表示 )( )0( )()( )()(甲甲 IP QtPtp tQptp 可以用拉氏變換求解可以用拉氏變換求解 設(shè)設(shè) * sPtPL 對(duì)對(duì) QtPtP 兩邊作拉氏變換兩邊作拉氏變換， QtPLtP dt d L)( QsPPssP * * 0 整理整理 11 * 0 QsIQsIPsP 再對(duì)上式兩邊進(jìn)行逆變換，得乙式解為再對(duì)上式兩邊進(jìn)行逆變換，得乙式解為 1 1 QSILtP 本例：本例： s s s s QsI 0 0 ssQsI ss 1 QsI s s ss 1 將系數(shù)代入各項(xiàng)，且寫成部分分式形式將系數(shù)代入各項(xiàng)，且寫成部分分式形式 上式上式 ssss

24、ssss 1 1 QsILtP tt tt ee ee 1 1 4. .求過程在時(shí)刻求過程在時(shí)刻t t的狀態(tài)概率分布。的狀態(tài)概率分布。 tpptp ij i ij 0Ej 矩陣表示矩陣表示 tptptp n , 21 tptptp tptptp ppp nnnn n n 21 11211 21 0,0,0 tPBtB0 即即 本例中本例中 t etp 1 t etp 1 2 將討論一下將討論一下 t 系統(tǒng)狀態(tài)，遍歷性系統(tǒng)狀態(tài)，遍歷性 例例3 目的：考察一個(gè)服務(wù)窗口前顧客排隊(duì)的情況。目的：考察一個(gè)服務(wù)窗口前顧客排隊(duì)的情況。 第一步：定義第一步：定義X(t)，寫出，寫出P(t) （1）假設(shè)假設(shè) t

25、X 表示表示t時(shí)刻隊(duì)長（隊(duì)的顧客數(shù)） ，由時(shí)刻隊(duì)長（隊(duì)的顧客數(shù)） ，由 條件知排隊(duì)場地最多可以容納條件知排隊(duì)場地最多可以容納N個(gè)人，個(gè)人， NE, 2 , 1 , 0 0, ttX 是馬氏過程，（因?yàn)槭邱R氏過程，（因?yàn)閠時(shí)刻以后顧客來時(shí)刻以后顧客來 到情況與到情況與 t 以前無關(guān)）條件獨(dú)立。以前無關(guān)）條件獨(dú)立。 itX 表示表示t時(shí)刻隊(duì)上有顧客時(shí)刻隊(duì)上有顧客 i個(gè)人 個(gè)人。 （2）求求 ? tpij 由題意知，顧客接受服務(wù)的時(shí)間長度服從參由題意知，顧客接受服務(wù)的時(shí)間長度服從參 數(shù)為數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，即密度的負(fù)指數(shù)分布，即密度 t e 0 t 所以知一個(gè)在所以知一個(gè)在 t 時(shí)刻正在接受服務(wù)的顧

26、客在時(shí)刻正在接受服務(wù)的顧客在 ),(ttt 的時(shí)間中結(jié)束服務(wù)，的時(shí)間中結(jié)束服務(wù)， ( (即其剩余服務(wù)時(shí)間即其剩余服務(wù)時(shí)間 tY , ,其概率為其概率為) ) ttetYP t 冪級(jí)數(shù)展開冪級(jí)數(shù)展開1 負(fù)指數(shù)分布函數(shù)負(fù)指數(shù)分布函數(shù) * 1, tp ii表示表示 t時(shí)刻隊(duì)長為時(shí)刻隊(duì)長為i（0 使使 pij(t0)0， i，j=0，1，2，N 則則此過程是遍歷的此過程是遍歷的 例例 4 P213 四四. 獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程 P215 1 定義： 隨機(jī)過程定義： 隨機(jī)過程 ), 0(),( ttX 滿足兩個(gè)滿足兩個(gè) 條件條件 （1）X(0)0； （2）對(duì)任何整數(shù)對(duì)任何整數(shù) m(m3)和任和任 m

27、 個(gè)個(gè)時(shí)刻時(shí)刻 t1，t2， tm(0，t1t20 2均均值值 ttXEtmX 方差方差 ttDX 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 2121 2 21 ,min,ttttttRX 可可知知 t tEX 因此，過程強(qiáng)度因此，過程強(qiáng)度 代表單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的平代表單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的平 均個(gè)數(shù)。均個(gè)數(shù)。于是，常稱于是，常稱 為泊松過程的速率（平均為泊松過程的速率（平均 到達(dá)率） ，或平均率或強(qiáng)度或比率。到達(dá)率） ，或平均率或強(qiáng)度或比率。 例例 1： 設(shè)通過某十字路口的車流可看作設(shè)通過某十字路口的車流可看作 Poisson 過程。過程。如果一分鐘內(nèi)沒有車輛通過的如果一分鐘內(nèi)沒有車輛通過的 概率為概率為 0.

28、2， ( (1) ) 求求 2 2 分鐘內(nèi)有多于分鐘內(nèi)有多于 1 輛車通過的概率。輛車通過的概率。 ( (2) ) 在在 5 分鐘內(nèi)平均通過的車輛數(shù)。分鐘內(nèi)平均通過的車輛數(shù)。 ( (3) ) 在在 5 分鐘內(nèi)通過的車輛數(shù)的方差。分鐘內(nèi)通過的車輛數(shù)的方差。 ( (4) ) 在在 5 分鐘內(nèi)至少有分鐘內(nèi)至少有 1 輛車通過的概率。輛車通過的概率。 解：依題意，解：依題意， 0, ttX 是泊松過是泊松過程，程， t n e n t ntXP ! ，n=0，1，2 由條件：由條件： 2 . 001 eXP =ln0.2 ( (1) ) 22 2112112 eeXPXP 83. 02 . 0ln21

29、 2 . 0ln22 . 0ln2 ee ( (2) ) 2 . 0ln55 XE （3） 2 . 0ln55 XD （4） 2 . 0ln5 105105eXPXP 5 2 . 01 例例 2某某商商場場為為了了調(diào)調(diào)查查顧顧客客到到來來的的客客源源情情況況，考考察察 了了男男女女顧顧客客來來商商場場的的人人數(shù)數(shù)。假假設(shè)設(shè)男男女女顧顧客客到到達(dá)達(dá)商商 場場的的人人數(shù)數(shù)分分別別獨(dú)獨(dú)立立的的服服從從每每分分鐘鐘 1 人人與與每每分分鐘鐘 2 人人的的 Poisson 過過程程。 （1）到達(dá)商場顧客的總?cè)藬?shù)應(yīng)該服從什么分布？到達(dá)商場顧客的總?cè)藬?shù)應(yīng)該服從什么分布？ （2）在已知在已知 t 時(shí)刻已有時(shí)刻

30、已有 50 人到達(dá)的條件下，問其人到達(dá)的條件下，問其 中有中有 30 位女性顧客的概率有多大？平均有位女性顧客的概率有多大？平均有 多少個(gè)女性顧客？多少個(gè)女性顧客？ 解： （解： （1） 記記 tYtX, 分別為分別為 t , 0 時(shí)間段內(nèi)到達(dá)時(shí)間段內(nèi)到達(dá) 商場的男女顧客人數(shù)商場的男女顧客人數(shù) 且知且知 t k e k t ktXP 1 ! 1 k=0，1，2 1 1 t m e m t mtYP 2 ! 2 m=0，1，2 2 2 在在 t , 0 時(shí)段內(nèi)到達(dá)商場的男女顧客數(shù)為時(shí)段內(nèi)到達(dá)商場的男女顧客數(shù)為 tYtXtZ n k kntYktXPntYtxPntZP 0 , n k kntYP

31、ktXP 0 獨(dú)獨(dú)立立性性 t kn t n k k e kn t e k t 21 ! 2 0 1 knk n k t tt knk n e n 21 0 ! ! ! 1 21 ！ t n et n 21 21 ! 1 故故 tYtXtZ 服從參數(shù)為服從參數(shù)為21 的的 Poisson 分布。分布。 獨(dú)立的泊松過程之和仍是泊松過程，此結(jié)論可以直接用。獨(dú)立的泊松過程之和仍是泊松過程，此結(jié)論可以直接用。 （2） ntYtXktYP | )()( )(,)()( ntYtXP ktYntYtXP ntYtXP ktYkntXP , t n t k t kn e n t e k t e kn t 2

32、1 21 ! ! 21 21 獨(dú)立性獨(dú)立性 knk k n C 21 1 21 2 設(shè)在已知設(shè)在已知 t 時(shí)刻有時(shí)刻有 50 n 到達(dá)條件下，到達(dá)條件下， 其中有其中有 30 k 位女性顧客的概率是位女性顧客的概率是 2030 30 50 3 1 3 2 C 由于在已知由于在已知 tYtXtZ 的條件下，的條件下， tY 服從二項(xiàng)分服從二項(xiàng)分 布， 由二項(xiàng)分布期望公式得到 （二項(xiàng)分布期望是布， 由二項(xiàng)分布期望公式得到 （二項(xiàng)分布期望是np） ，） ， ntYtXtYE | knk n k k n Ck 21 1 21 2 0 21 2 n 因此，因此，在已知在已知 t 時(shí)刻時(shí)刻已有已有 50 人到達(dá)的條件下，人到達(dá)的條件下， 其中女性顧客到其中女性顧客到到達(dá)平均有到達(dá)平均有 3 .33 21 250 四計(jì)數(shù)過程與泊松過程四計(jì)數(shù)過程與泊松過程 1定義三定義三 在時(shí)間在時(shí)間 , 0 內(nèi)出現(xiàn)隨機(jī)事件內(nèi)出現(xiàn)隨機(jī)事件 A的總數(shù)所組成的總數(shù)所組成 的隨機(jī)過程的隨機(jī)過程 , 0,ttN 稱它為計(jì)數(shù)過程。稱它為計(jì)數(shù)過程。 如果把這里的隨機(jī)事件如果把這里的隨機(jī)事件A看作質(zhì)點(diǎn)，則計(jì)看作質(zhì)點(diǎn)，則計(jì) 數(shù)過程又可稱為隨機(jī)點(diǎn)過程或簡稱流。數(shù)過程又可稱為隨機(jī)點(diǎn)過程或簡稱流。 由定義出發(fā)，可知任一計(jì)數(shù)過程應(yīng)