熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理 第九章 系綜理論

1、第九章第九章 系綜理論系綜理論 9.1 相空間相空間 劉維爾定理劉維爾定理 一、一、 系綜理論系綜理論的重要性的重要性 我們前面學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)理論，用的是我們前面學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)理論，用的是最概然分布最概然分布的方法，只的方法，只 能處理由近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，具有局限性。能處理由近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，具有局限性。 系綜理論則可以處理由相互作用粒子組成的的系統(tǒng)系綜理論則可以處理由相互作用粒子組成的的系統(tǒng)，也可，也可 以處理由近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)。以處理由近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)。 系綜理論是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的普遍理論。系綜理論是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的普遍理論。 二、二、“最概然分布方法最概然分布方法”中中系統(tǒng)微觀運(yùn)

2、動(dòng)狀態(tài)系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述的描述 1、系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述、系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 經(jīng)典描述經(jīng)典描述 量子描述量子描述 粒子可分辨粒子可分辨 粒子不可分辨粒子不可分辨 粒子可分辨粒子可分辨 1 1 2、 空間空間 粒子粒子的自由度是的自由度是r 空間是空間是 維的。維的。 2r 由由粒子粒子的的 個(gè)廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的個(gè)廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的 個(gè)廣義動(dòng)量為直角坐標(biāo)所張個(gè)廣義動(dòng)量為直角坐標(biāo)所張 成的空間。成的空間。 rr (2)對(duì)于對(duì)于量子情況量子情況， 空間中的一個(gè)相格空間中的一個(gè)相格 代表著代表著粒子粒子的一個(gè)量子態(tài)。的一個(gè)量子態(tài)。 r rr hppqq 11 (1)對(duì)于對(duì)于經(jīng)典情況經(jīng)典情況， 空

3、間中的一點(diǎn)空間中的一點(diǎn) 代表著代表著 粒子粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 rr ppqq, 11 2 2 如果系統(tǒng)包含多種粒子，第如果系統(tǒng)包含多種粒子，第 種粒子的自由度為種粒子的自由度為 ， 粒子數(shù)為粒子數(shù)為 ，則系統(tǒng)的自由度為，則系統(tǒng)的自由度為 i i r i N 假設(shè)系統(tǒng)由假設(shè)系統(tǒng)由 個(gè)全同粒子組成，粒子的自由度為個(gè)全同粒子組成，粒子的自由度為 系統(tǒng)的自由度為系統(tǒng)的自由度為 。 r N Nrf 三、三、“系綜理論系綜理論”中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述中系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 由于粒子間的相互作用不能忽略，應(yīng)把系統(tǒng)當(dāng)作由于粒子間的相互作用不能忽略，應(yīng)把系統(tǒng)當(dāng)作 一個(gè)整體考慮。下面先考慮一

4、個(gè)整體考慮。下面先考慮經(jīng)典描述經(jīng)典描述。 i i ir Nf 那么，根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)在任意時(shí)刻的微觀運(yùn)那么，根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)在任意時(shí)刻的微觀運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)可由在該時(shí)刻的動(dòng)狀態(tài)可由在該時(shí)刻的 個(gè)廣義坐標(biāo)和個(gè)廣義坐標(biāo)和 個(gè)廣義動(dòng)量個(gè)廣義動(dòng)量 的數(shù)值確定。的數(shù)值確定。 ff 3 3 相空間中的一點(diǎn)相空間中的一點(diǎn) 代表著系統(tǒng)的代表著系統(tǒng)的 一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此點(diǎn)被稱為一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此點(diǎn)被稱為系統(tǒng)系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的 代表點(diǎn)。代表點(diǎn)。 11 , ff qqpp 系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變，代表點(diǎn)將在相系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變，代表點(diǎn)將在相 空間中移動(dòng)，滿足方程：空間中移動(dòng)，滿足方程

5、： , ii HH qp pq 1,2,if 哈密頓正則方程哈密頓正則方程 為了形象的描述系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以系統(tǒng)的為了形象的描述系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以系統(tǒng)的 個(gè)廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的個(gè)廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的 個(gè)廣義動(dòng)量為直角坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)個(gè)廣義動(dòng)量為直角坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè) 空間，稱為空間，稱為 （相）空間。（相）空間。 f f 空間是空間是 維的。維的。 f2 對(duì)于保守系統(tǒng)，哈密頓量就是它的能量對(duì)于保守系統(tǒng)，哈密頓量就是它的能量為系統(tǒng)的哈密頓量為系統(tǒng)的哈密頓量H ff ppqqH, 11 4 4 對(duì)于對(duì)于經(jīng)典理論經(jīng)典理論，在，在 空間中，一點(diǎn)代表代表著系統(tǒng)的空間中，一點(diǎn)代表代表著系統(tǒng)的 一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨著

6、時(shí)間的推移，這些微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨著時(shí)間的推移，這些微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 的代表點(diǎn)將在的代表點(diǎn)將在 相空間中構(gòu)成一個(gè)連續(xù)的分布。相空間中構(gòu)成一個(gè)連續(xù)的分布。 用用 表示相空間中一個(gè)體積元，表示相空間中一個(gè)體積元， 則在則在 時(shí)刻，系統(tǒng)處在時(shí)刻，系統(tǒng)處在 內(nèi)的概率可以表示為內(nèi)的概率可以表示為 11ff ddqdq dpdp dt , ,p q t d , ,p q t表示概率密度，其意義是在表示概率密度，其意義是在 時(shí)刻，系時(shí)刻，系 統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表點(diǎn)出現(xiàn)在統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表點(diǎn)出現(xiàn)在 處，處， 單位體積中的概率。單位體積中的概率。 t , p q , ,1p q t d 分布函數(shù)分布函數(shù)

7、 由于由于孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)的能量的能量 不隨時(shí)間改變，系統(tǒng)的廣義坐不隨時(shí)間改變，系統(tǒng)的廣義坐 標(biāo)和廣義動(dòng)量必然滿足標(biāo)和廣義動(dòng)量必然滿足 , 此式此式 確定確定 空間中的一個(gè)曲面，稱為能量曲面。空間中的一個(gè)曲面，稱為能量曲面。 E 11 ,= ff H qqppE 5 5 如果系統(tǒng)微觀狀態(tài)的代表點(diǎn)出現(xiàn)在如果系統(tǒng)微觀狀態(tài)的代表點(diǎn)出現(xiàn)在 中時(shí)，微觀量中時(shí)，微觀量 的數(shù)值是的數(shù)值是 ，那么微觀量，那么微觀量 在一切可能的微觀狀態(tài)的在一切可能的微觀狀態(tài)的 平均值為平均值為 d B ,B q p B B t 就是與微觀量就是與微觀量 相應(yīng)的宏觀量相應(yīng)的宏觀量 B 上式也可以這么理解：上式也可以這么理解：

8、那么在那么在 時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在 范圍內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)就范圍內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)就 與與 成正比。成正比。 如果在如果在 時(shí)刻時(shí)刻 ，從統(tǒng)計(jì)系綜中任，從統(tǒng)計(jì)系綜中任 取一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)處在取一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)處在 范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為 , ,p q t t d t d tB dtqp, qpB, 設(shè)想有大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，處在相同的給定宏設(shè)想有大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，處在相同的給定宏 觀條件下，這樣的大量系統(tǒng)的集合稱為觀條件下，這樣的大量系統(tǒng)的集合稱為統(tǒng)計(jì)系綜統(tǒng)計(jì)系綜。 dtqp, 6 6 微觀量微觀量 在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值為在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值為B

9、 在在量子理論量子理論中，在給定的宏觀條件下，系統(tǒng)可能的中，在給定的宏觀條件下，系統(tǒng)可能的 微觀狀態(tài)也是大量的，以指標(biāo)微觀狀態(tài)也是大量的，以指標(biāo) 標(biāo)志系統(tǒng)各個(gè)標(biāo)志系統(tǒng)各個(gè) 可能的微觀狀態(tài)，可能的微觀狀態(tài)， 表示在表示在 時(shí)刻時(shí)刻 統(tǒng)處在狀態(tài)統(tǒng)處在狀態(tài) 的的 概率。概率。 稱為分布函數(shù)，滿足稱為分布函數(shù)，滿足 1,2s s t s t ts 可以理解為微觀量可以理解為微觀量 在統(tǒng)計(jì)系綜上的平均。在統(tǒng)計(jì)系綜上的平均。 B 表示微觀量表示微觀量 在量子態(tài)在量子態(tài) 上的數(shù)值上的數(shù)值 S BBS 確定分布函數(shù)確定分布函數(shù) 是系綜理論的根本問(wèn)題是系綜理論的根本問(wèn)題 qpB, tB dtqp, 系綜平均值系

10、綜平均值 1 s s s Ss BttB 7 7 五、統(tǒng)計(jì)系綜的分類五、統(tǒng)計(jì)系綜的分類 根據(jù)外部條件的不同可以將系綜分為三類。根據(jù)外部條件的不同可以將系綜分為三類。 1、微正則系綜：、微正則系綜：不變不變 孤立系孤立系,N E V 2、正則系綜：、正則系綜： 不變不變 與大熱源接觸與大熱源接觸,N V T 3、巨正則系綜：、巨正則系綜： 不變不變 與大熱源、粒子源接觸與大熱源、粒子源接觸 , ,V T 四、平衡態(tài)系統(tǒng)的分布函數(shù)四、平衡態(tài)系統(tǒng)的分布函數(shù) , ,B tB p qp q t d 經(jīng)典經(jīng)典 量子量子 sS s B tt B 0 t 平衡態(tài)下的系平衡態(tài)下的系 統(tǒng)宏觀物理量統(tǒng)宏觀物理量 不

11、隨時(shí)間變化不隨時(shí)間變化 8 8 9.2 微正則分布微正則分布 EHEE 一、孤立系統(tǒng)一、孤立系統(tǒng) ： 保持不變保持不變 ,N E V 在在 空間中，系統(tǒng)（微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)）將空間中，系統(tǒng)（微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)）將 出現(xiàn)在一出現(xiàn)在一 個(gè)個(gè) 很窄的能量殼層中。很窄的能量殼層中。 EEE 二、等概率原理二、等概率原理 在在 之間的范圍內(nèi)，系統(tǒng)可能的微觀之間的范圍內(nèi)，系統(tǒng)可能的微觀 狀態(tài)數(shù)是大量的，狀態(tài)數(shù)是大量的， 每一個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概每一個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概 率都相等。率都相等。 EEE 9.3 微正則分布的熱力學(xué)公式微正則分布的熱力學(xué)公式 等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)，它的

12、正確性由它等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)，它的正確性由它 的推論與實(shí)際相符合而得到肯定。的推論與實(shí)際相符合而得到肯定。 最概然分布理論認(rèn)為宏觀物理量是微觀物理量在最概然分布最概然分布理論認(rèn)為宏觀物理量是微觀物理量在最概然分布 下的數(shù)值，而系綜理論認(rèn)為宏觀物理量是在給定宏觀條件下一切下的數(shù)值，而系綜理論認(rèn)為宏觀物理量是在給定宏觀條件下一切 可能的微觀狀態(tài)上的平均值?？赡艿奈⒂^狀態(tài)上的平均值。 1EE 9 9 ,EHp qEE ,Hp qE Hp qEE 等概率原理的量子表述：等概率原理的量子表述： 如果用如果用 表示在表示在 能量范能量范 圍內(nèi)系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)數(shù)圍內(nèi)系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)數(shù)

13、，那么有，那么有 EEE 1 s 常數(shù)qp, 0,qp 1 s s 把理解經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理解為量子統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典極限，對(duì)于含有把理解經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理解為量子統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典極限，對(duì)于含有 個(gè)自由度為個(gè)自由度為 的全的全 同粒子系統(tǒng)，在同粒子系統(tǒng)，在 的能量范圍內(nèi)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)的能量范圍內(nèi)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) 為為 等概率原理的經(jīng)典表述為等概率原理的經(jīng)典表述為 , 2 , 1s ff dpdpdqdqd 11 EEqpHE d , 表示相空間中能殼表示相空間中能殼 的體積的體積 EEqpHE , Nr h表示相空間中代表著系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相格表示相空間中代表著系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的相格 1 ,qp EEqpHE Nr d

14、 hN , ! 1 Nr EEE 個(gè)粒子交換不帶來(lái)新的微觀狀態(tài)，還要再除以個(gè)粒子交換不帶來(lái)新的微觀狀態(tài)，還要再除以 N!N 1010 三、微正則分布的熱力學(xué)量表達(dá)式三、微正則分布的熱力學(xué)量表達(dá)式 考慮一個(gè)孤立系統(tǒng)考慮一個(gè)孤立系統(tǒng) ,由由 兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成， 兩個(gè)子系統(tǒng)之間的作用較微弱兩個(gè)子系統(tǒng)之間的作用較微弱。 12 ,A A 0 A 11112222 ,N E VN E V分別表示分別表示 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) 12 ,A A 0 121122 ,E EEE 系統(tǒng)系統(tǒng) 的微觀狀態(tài)數(shù)的微觀狀態(tài)數(shù) 0 A 令令 和和 熱接觸，設(shè)在熱接觸中可以交換能量，但熱接觸，設(shè)在熱接

15、觸中可以交換能量，但 不交換粒子數(shù)和改變體積。不交換粒子數(shù)和改變體積。 1 A 2 A EEqpHE rN i d hN ii , ! 1 如果系統(tǒng)含有多種粒子如果系統(tǒng)含有多種粒子 也就是也就是 可以改變，但可以改變，但 和和 不改變。不改變。 21,E E 11,V N 22,V N 1111 0 12 EEE 上式表明，對(duì)于給定的上式表明，對(duì)于給定的 ， 取決于能量取決于能量 在在 間的分配。間的分配。 0 E 1 0 1 0 EEE , 0 E 12 ,A A 假設(shè)在假設(shè)在 時(shí)，時(shí)， 具有極大值。具有極大值。 11 EE 0 對(duì)于宏觀系統(tǒng)對(duì)于宏觀系統(tǒng), 的極大值非常陡！的極大值非常陡！

16、0 因此，可以認(rèn)為因此，可以認(rèn)為 和和 就是就是 達(dá)達(dá) 到平衡時(shí)分別具有的能量。到平衡時(shí)分別具有的能量。 11 EE 1 0 2 EEE 12 ,A A 1 0 2111 0 1 0 ,EEEEEE 這意味著這意味著 具有具有 ， 具有能量具有能量 是一種最是一種最 概然的能量分配。概然的能量分配。 1 A 1 E 1 0 2 EEE 2 A 1 0 2 EEE 1212 求最概然能量分布求最概然能量分布 0 1 1 0 1 0 E EEE , 0 1 2 2 22 1122 1 11 E E E E EE E E 1 1 2 E E 上式兩邊都除以上式兩邊都除以 2211 EE 2211 2

17、 22 1 11 VNVN E E E E , lnln 21 0 EEE 熱平衡時(shí)的能量熱平衡時(shí)的能量 分布分布 21 AA 和和 21 EE 和和 221121 0 1 0 1 0 ,EEEEEEE 1 E 1 0 2 EEE 0 2 22 1122 1 11 E E EE E E 1313 令令 VN E VEN , ,ln 21 21 11 TT dNpdVTdSdU VN E S T , 1 21 TT 比較后，可知比較后，可知 kT 1 lnkS 如果如果 不僅可交換能量，而且可以改變體積和交換粒不僅可交換能量，而且可以改變體積和交換粒 子，則可得到子，則可得到 21 AA 和和

18、VN EkT , ln1 VN E k T , ln1 dN T dV T p dE T dS 1 兩個(gè)子系統(tǒng)熱平衡時(shí)有兩個(gè)子系統(tǒng)熱平衡時(shí)有 21, A A 熱平衡條件熱平衡條件 1414 2211 2 2 1 1 VNVN EE , lnln 2211 2 2 1 1 ENEN VV , lnln 2211 2 2 1 1 VEVE NN , lnln VN E , ln EN V , ln EV N , ln 21 21 21 dNdVdEdln dN T dV T p dE T dS 1 kT kT 1 kT p 21 dNkdVkdEkdkln 熱平衡條件熱平衡條件 力平衡條件力平衡條

19、件 相變平衡條件相變平衡條件 21 TT 21 pp VN E , ln EN V , ln EV N , ln lnkS 1515 四、微正則系綜理論的簡(jiǎn)單應(yīng)用四、微正則系綜理論的簡(jiǎn)單應(yīng)用 設(shè)理想氣體含有設(shè)理想氣體含有N個(gè)單原子分子，若只考慮平動(dòng)能量，個(gè)單原子分子，若只考慮平動(dòng)能量， 則系統(tǒng)的哈密頓量則系統(tǒng)的哈密頓量 ,試求系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的試求系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的 并求出其他的熱力學(xué)量。并求出其他的熱力學(xué)量。 N i i m p H 32 2 E 解：目的是要求出解：目的是要求出 能量殼層中的微觀狀能量殼層中的微觀狀 態(tài)數(shù)態(tài)數(shù) ,可以先求可以先求 能量球體積內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)能量球體積內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù) EEHE

20、E EH E EE E E EqpH N d hN E ,0 3 ! 1 1616 EqpH N d hN E ,0 3 ! 1 N E m p N N dpdp hN V N i 3 2 0 1 3 3 0 2 ! 令令 mE p r i i 2 則則 N i N i Er m p 3 0 2 3 0 2 2 E m p N i 3 0 2 2 0變?yōu)樽優(yōu)?10 3 0 2 N i r NN N yyxz EqpH yxNNN N dpdpdpdpdpdpdzdydxdzdydx hN 1 1 1 ,0 111 3 ! 1 N r N N N drdrmE hN V N i 3 10 1 2

21、 3 3 3 0 2 2 ! 1717 N r N N N drdrmE hN V E N i 3 10 1 2 3 3 3 0 2 2 ! N r N drdrK N i 3 10 13 3 0 2 半徑為半徑為1 的的3N維的球的體積。維的球的體積。 ! 2 3 2 3 3 N K N N 3 4 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 ! K 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 N N N N N E N N m h V N N mE h V E ! E E E E 1818 E N N Em h VN E N N N ! 2 3 2 2 3 1 2 3 2 3

22、3 E E E N kEkSlnlnlnln 2 3 EkEkSlnln鈍化原理鈍化原理 E EN N N Em h V N N N 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 ! 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 N N N N N E N N m h V N N mE h V E ! E E E N E 2 3 1919 E Nk E S T NV 2 31 , NkTE 2 3 dN T dV T p dE T dS 1 2 5 2 3 3 4 2 3 2 E Nh m N V kNSlnlnln 2 3 2 3 3 2 3 2 N N N E N N m h V E

23、! NNNNNNENmN h V NE 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 lnlnlnlnlnln 2 5 2 3 2 3 2 2 3 3 EhNm N V NElnlnlnlnlnln 2 5 2 3 2 3 3 4 2 3 2 Eh N m N V NElnlnlnlnln EkEkSlnln 2020 2 5 2 3 2 3 3 4 2 3 2 NkT Nh m N V kNlnlnln 2 52 ln 2 3 ln 2 h mkT N V NkS P213. 7.6.2 2 5 2 3 3 4 2 3 3 E Nh m N V kNSlnlnln dN T dV T p

24、dE T dS 1 NE V S T p , V Nk 2 3 2 2 h mkT N V k N S T VE ln , 2 3 2 2 mkT h V N Tk ln P214. 7.6.8 NkTE 2 3 NkTpV 2121 假設(shè)系統(tǒng)和熱源的作用很弱假設(shè)系統(tǒng)和熱源的作用很弱，復(fù)合系統(tǒng)的總能量可表為系統(tǒng)的能量，復(fù)合系統(tǒng)的總能量可表為系統(tǒng)的能量 和熱源的能量的和：和熱源的能量的和： 系統(tǒng)與熱源合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)，復(fù)合系統(tǒng)是個(gè)孤立系，具有確定系統(tǒng)與熱源合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)，復(fù)合系統(tǒng)是個(gè)孤立系，具有確定 的能量。的能量。 9.4 正則系綜（分布）正則系綜（分布） 前面討論了處在平衡態(tài)的

25、孤立系統(tǒng)的分布函數(shù)微正則分布。前面討論了處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)的分布函數(shù)微正則分布。 s r rs EEE 0 r 一、一、N,T,V不變不變 與大熱源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)與大熱源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng) 現(xiàn)在研究具有確定粒子數(shù)、體積和溫度的系統(tǒng)正則分布。現(xiàn)在研究具有確定粒子數(shù)、體積和溫度的系統(tǒng)正則分布。NTV 大熱源大熱源 系統(tǒng)系統(tǒng)s rs EE 由于系統(tǒng)與熱源之間存在由于系統(tǒng)與熱源之間存在 熱接觸，二者可以交換能熱接觸，二者可以交換能 量，因此系統(tǒng)可能的微觀量，因此系統(tǒng)可能的微觀 狀可具有不同的能量。狀可具有不同的能量。 由于熱源很大，交換能量由于熱源很大，交換能量 不會(huì)改變熱源的溫度。兩不會(huì)改變熱

26、源的溫度。兩 者建立平衡以后，系統(tǒng)將者建立平衡以后，系統(tǒng)將 與熱源具有相同的溫度。與熱源具有相同的溫度。 2222 對(duì)于熱源對(duì)于熱源 ，雖然是個(gè)非孤立系，由于，雖然是個(gè)非孤立系，由于 ,可以近似可以近似 成一個(gè)孤立系。成一個(gè)孤立系。 r Sr EE 二、分布函數(shù)二、分布函數(shù) 不能直接用等概率原理，因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)不是一個(gè)孤立系不能直接用等概率原理，因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)不是一個(gè)孤立系. 但是復(fù)合系統(tǒng)是一個(gè)孤立系統(tǒng)，所以有但是復(fù)合系統(tǒng)是一個(gè)孤立系統(tǒng)，所以有 0 0 1 = 常數(shù) rs 0 表示復(fù)合系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等表示復(fù)合系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等 常數(shù)常數(shù) rs 0 r s 1 1 =

27、r r rrs E 系統(tǒng)處在能量為系統(tǒng)處在能量為 微觀狀態(tài)微觀狀態(tài) 上的概率上的概率 s Ess 等概率原理：在平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)一切可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等。等概率原理：在平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)一切可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等。 又由于又由于系統(tǒng)與熱源的相互作用很弱系統(tǒng)與熱源的相互作用很弱，所以有，所以有 rr E 熱源可能的微觀狀態(tài)數(shù)熱源可能的微觀狀態(tài)數(shù) 2323 srs EE 0 rr E ln 000 0 ln lnEEE E E S EE r r r r 0 ln EE r r r E sr EE s e 0 ln s E s ce kT 1 rrs E 系統(tǒng)的分布函數(shù)正比于熱源的微

28、觀狀態(tài)數(shù)系統(tǒng)的分布函數(shù)正比于熱源的微觀狀態(tài)數(shù) rs EEE 0 ! 2 2 0 00 0 0 xxxf xxxfxfxf xx xx泰勒展開(kāi)：泰勒展開(kāi)： sr EE 0 ln s EE r r r E E E r 0 ln ln 0 s E r E r r r E E E s ee 00 ln ln 2424 三、配分函數(shù)三、配分函數(shù) s E s ce 1 s E s s s ce 11 s E s c Ze s Es eZ 配分函數(shù)配分函數(shù) s E s e Z 1 系統(tǒng)處于能級(jí)系統(tǒng)處于能級(jí) 上的概率？上的概率？l E 1 l l E l e Z l El l eZ 給出了具有確定給出了具有確

29、定 N,T,V 的的系統(tǒng)處于能系統(tǒng)處于能 級(jí)級(jí) 微觀狀態(tài)微觀狀態(tài) 上的概率上的概率 s s E 求和表示對(duì)粒子數(shù)為求和表示對(duì)粒子數(shù)為N和體積為和體積為V 的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)求和的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)求和 l 表示表示（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）能級(jí)能級(jí) 的簡(jiǎn)并度的簡(jiǎn)并度 l E 2525 l El l eZ 1 N i i i i Ze 對(duì)于對(duì)于N個(gè)近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)個(gè)近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng) s Es eZ l El l eZ 都是正則分布配分函數(shù)的量子表達(dá)式都是正則分布配分函數(shù)的量子表達(dá)式 對(duì)于經(jīng)典表述對(duì)于經(jīng)典表述 de hN Z qpE Nr , ! 1 !Nh d Nr l 1 l l E l e

30、Z d Z e hN dqp qpE Nr , ! 1 , s E s e Z 1 i i ii e i i i e i i Z 配分函數(shù)配分函數(shù) 不是粒子配分函數(shù)不是粒子配分函數(shù) i il i 粒子能級(jí)粒子能級(jí) 的簡(jiǎn)并度的簡(jiǎn)并度 i 表示系統(tǒng)的能量表示系統(tǒng)的能量 l E i il E ff dpdpdqdqd 11 2626 9.5 正則分布的熱力學(xué)公式正則分布的熱力學(xué)公式 一、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式一、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 1、內(nèi)能、內(nèi)能 ss s EE ZEln 2、廣義力、廣義力 s Es s e y E Z 1 s s E s ss E e y E y e y Z 1 s E s s

31、EZ e yy 1 s E s s E e Z 1 s E S e Z 1 Z Z s E s e Z 1 s Es eZ s s s y E Y Z y Yln 1 2727 3、熵、熵dSYdydU T 1 YdydW ?dYdyEd dy y ZZ dYdyEd lnln dy y Z d Z Zd lnln ln dy y Z d Z Zd lnln ln Z ZdYdyEd ln ln dSYdydU T 1 kT 1 Z ZkS ln lnlnFUTSkTZ YdyTdSdU ZEln Z y Yln 1 2828 、玻爾茲曼、玻爾茲曼 l l le Z 1 1 lnZ NU y ZN Y 1 ln !ln ln ln 1 1 Nk Z ZNkS 、玻色、費(fèi)米、玻色、費(fèi)米 l l l e 1 ln U y Y ln