山東理工大學(xué)分析力學(xué)

1、 分析力學(xué)用新的觀(guān)點(diǎn)、新的方法處理力學(xué)問(wèn) 題，具有更高的概括性，是力學(xué)理論發(fā)展的更 高階段，而這一發(fā)展是與充分利用了數(shù)學(xué)分析 這一有力的數(shù)學(xué)工具是分不開(kāi)的。分析力學(xué)注 重的物理量不是力和加速度，而是功和能。從 數(shù)學(xué)上講，處理對(duì)象從矢量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量，處理 方法也從幾何方法轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)分析的方法。 本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)： 深刻理解約束、虛位移和廣義坐標(biāo)的概念；掌深刻理解約束、虛位移和廣義坐標(biāo)的概念；掌 握拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)的寫(xiě)法；牢固掌握虛握拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)的寫(xiě)法；牢固掌握虛 功原理和拉格朗日方程并能熟練應(yīng)用；掌握能量積功原理和拉格朗日方程并能熟練應(yīng)用；掌握能量積 分的條件；能應(yīng)用正則方程解

2、決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題；分的條件；能應(yīng)用正則方程解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題； 對(duì)哈密頓原理著重理解其思維方法；了解泊松括號(hào)對(duì)哈密頓原理著重理解其思維方法；了解泊松括號(hào) 和泊松定理。和泊松定理。 虛功原理和拉格朗日方程及其應(yīng)用。虛功原理和拉格朗日方程及其應(yīng)用。 彼此相互影響的若干質(zhì)點(diǎn)的一個(gè)集合，稱(chēng)為 力學(xué)體系，也叫質(zhì)點(diǎn)組。一個(gè)力學(xué)體系中，存 在著限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件，我們把這些條 件叫做約束，約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱(chēng)為約束方程。 0).(tzyxzyxf 一、約束的概念和分類(lèi)一、約束的概念和分類(lèi) 1）約束約束 2）約束的分類(lèi)約束的分類(lèi) 例如例如：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)和長(zhǎng)為的剛性桿相連時(shí)，如剛 性桿的上端固定不動(dòng)，取此點(diǎn)為坐標(biāo)

3、原點(diǎn)，則約 束方程： 穩(wěn)定約束 2222 lzyx 穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束如果限制系統(tǒng)位置的約束不是 時(shí)間t的函數(shù)，則約束方程中不顯含時(shí)間t，即： 不穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束如果約束是時(shí)間t的函數(shù)，則 約束方程顯含 時(shí)間t，即： 0).(zyxf 0).(tzyxf a) 穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束 2222 )(lzyctx 不穩(wěn)定約束 b)b)可解約束和不可解約束可解約束和不可解約束 不可解約束不可解約束質(zhì)點(diǎn)始終不能脫離的那種約束。 可解約束可解約束如果質(zhì)點(diǎn)雖然被約束在某一曲面 上，但在某一方向可以脫離這個(gè)曲面。 0).(zyxf 0).(tzyxf czyxf).( 如果質(zhì)點(diǎn)是用剛性桿

4、和定點(diǎn)O相連，則質(zhì)點(diǎn)所受 的約束是不可解約束不可解約束，約束方程為： 2222 lzyx 2222 lzyx 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)被一柔軟繩連在一個(gè)定點(diǎn)O上而作任意 運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的約束是可解約束可解約束，約束方程為： 幾何約束幾何約束它只限制質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，因 而表現(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。 0).(zyxf 0).(tzyxf 運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束除了限制質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)外，還要限制質(zhì)點(diǎn) 的速度。運(yùn)動(dòng)約束又叫微分約束微分約束。 0).(tzyxzyxf 完整約束 為幾何約束）運(yùn)動(dòng)約束（積分后可變 幾何約束 0).( ).( tzyxzyxf czyxf 運(yùn)動(dòng)約束（不可積） 可解約束 不完整約束 凡只受有完整約束的力學(xué)體

5、系叫完整系完整系。同時(shí)受有完 整約束與不完整約束的力學(xué)體系，或只受有不完整約束 的力學(xué)體系都叫不完整系不完整系。 d) d) 完整約束和不完整約束完整約束和不完整約束 在力學(xué)體系只受幾何約束的情形下，獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目叫 做力學(xué)體系的自由度力學(xué)體系的自由度。用來(lái)表示這些獨(dú)立變量的參數(shù)叫廣廣 義坐標(biāo)義坐標(biāo)（也叫拉格朗日廣義坐標(biāo)），通常用q表示。 例如，一個(gè)力學(xué)體系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所形成，受k個(gè)幾何約束， 自由度：s=3n-k，把3n個(gè)不獨(dú)立的坐標(biāo)用s個(gè)獨(dú)立參數(shù)及t表 出，即： ).( ).( ).( 21 21 21 tqqqzz tqqqyy tqqqxx sii sii sii )3,2 . 1(ns

6、ni ).( 21 tqqq sii rr )3,2 . 1(nsni 或： 廣義坐標(biāo)，它不一定是長(zhǎng)度，可以是角度或其它物理量， 例如：面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等。 一、實(shí)位移與虛位移一、實(shí)位移與虛位移 實(shí)位移：實(shí)位移：質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動(dòng)實(shí)際上所發(fā)生的位移（由于時(shí)間t 發(fā)生變化所致）以 dr 表之。 虛位移：虛位移：是想象中可能發(fā)生的位移，它只決定于質(zhì)點(diǎn)在 此時(shí)刻的位置和加在它上面的約束，時(shí)間t沒(méi)有改變 （t=0），以 r 表之。 一般說(shuō)來(lái)，在任意時(shí)刻t，在約束所許可的情況下，質(zhì)點(diǎn) 的虛位移不止一個(gè)虛位移不止一個(gè)。實(shí)位移則不同，它除受到約束的限制 外，還要受到運(yùn)動(dòng)規(guī)律的限制，當(dāng)時(shí)間改變dt后

7、，實(shí)位移一實(shí)位移一 般只能有一個(gè)般只能有一個(gè)。 在穩(wěn)定約束下在穩(wěn)定約束下，實(shí)位移是許多虛位移 里面的一個(gè)，但對(duì)不穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束，實(shí)位移 與虛位移并不一致 。 虛功虛功作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（包括約束反力）在任意虛 位移中所做的功。 理想約束理想約束 如果作用在一力學(xué)體系上的諸約束反力在 任意虛位移中所做的虛功之和為零。這種約束叫做理想約理想約 束束。 n i ii 1 0rR 三、虛功原理三、虛功原理 設(shè)某力學(xué)體系受有k個(gè)幾何約束，處于平衡狀態(tài)，取體系 中任一質(zhì)點(diǎn)Pi，并設(shè)作用在此質(zhì)點(diǎn)上主動(dòng)力的合力為Fi，約 束反力的合力為Ri，因?yàn)榇梭w系中每一質(zhì)點(diǎn)都必須處于平衡 狀態(tài)，故必須有： 0 ii R

8、F)2 . 1(ni 質(zhì)點(diǎn)自它的平衡位置發(fā)生以虛位移r： 0 iiii rRrF)2 . 1(ni n i n i iiii rRrF 11 0 對(duì)理想約束： n i ii 1 0rR 因此力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)時(shí)，其平衡條件是： n i ii rF 1 0W 或： n i iiziiyiix zFyFxFW 1 0)( 受有理想約束的力學(xué)體系平衡的充要條件是：力學(xué)體系 的諸主動(dòng)力在任意虛位移中所做的元功之和等于零。叫做 虛功原理虛功原理，也叫虛位移原理虛位移原理。 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)利用虛功原理解理想約束的力學(xué)體系的平衡問(wèn) 題時(shí)，由于約束反力自動(dòng)消去，故可很簡(jiǎn)單地用它去求主 動(dòng)力在平衡時(shí)所應(yīng)滿(mǎn)足的條件，

9、即所謂平衡條件。 ).( 21 tqqq sii rr s i i q q 1 r r 由虛功原理有： )( 111 n i s i i n i ii q q W r FrF sn i s i i qQq q 111 0)( r F 這就是受有理想約束的力學(xué)體系在廣義坐標(biāo)系下的平衡這就是受有理想約束的力學(xué)體系在廣義坐標(biāo)系下的平衡 方程方程。它和力學(xué)體系自由度的數(shù)目相等， 叫廣義力，它 和F Fi i一樣，也不包含約束反力。 0 Q)2 . 1(s所以： Q n i n i i iz i iy i ix i i q z F q y F q x F q Q 11 )( r F )2 . 1(s 解

10、解：自由度s = 2，選 和 為兩個(gè)廣義坐標(biāo)。 由虛功原理得： 0 32211 xFyPyPW coscos sin 2 sin sin 2 213 2 12 1 1 llx l ly l y sinsin cos 2 cos cos 2 213 2 12 1 1 llx l ly l y （1） 0)sinsin()cos 2 cos()cos 2 ( 21 2 12 1 1 llF l lP l P 0)sincos 2 ()sincoscos 2 ( 2 2 2112 1 1 Fl l PFllP l P 因?yàn)椋?是互相獨(dú)立的，故得： . 0sincos 2 0sincoscos 2 2

11、 2 2 112 1 1 Fl l PQ FllP l PQ F P tg F PP tg 22 2 221 所以： 1）求和號(hào)“ ”的運(yùn) 算 a) a) 求和指標(biāo)的改變，不影響計(jì)算結(jié)果。 n i n j ji aa 11 b) 指標(biāo)不同的求和號(hào)，前后秩序可交換。 ijji jiji aaaa c) 與求和指標(biāo)無(wú)關(guān)的因子，可放到求和號(hào)里面，也可放到 求和號(hào)外面。 ijj jijii i i babaabba d）與求和指標(biāo)無(wú)關(guān)的微商（或微分）符號(hào)，可以放到求和 號(hào)里面，也可以放到求和號(hào)外面。 i j i i i j b a a b )( 由以上規(guī)則，有以下關(guān)系： ij ji j j i i i

12、 i i i i i aaaaaaa)()()( 2 求全微商： ),2 , 1(),(stq ii rr s ii i t q qdt d 1 rrr r i )(tqq 求偏微商： q i r 首先弄清自變量： ), 2 , 1(),(stqq ii rr 只把 當(dāng)作變量，將 都當(dāng)常量，所以有： q ;, 21s qqq tqqqqq s; , 1121 s i s iii q q qt q qqq 11 )( rrrr 1 0 q q qq ii rr q i r 首先弄清自變量： ),( ),( tq qq tq ii ii rr rr ),2 , 1(s qt q qqtq q qq

13、qdt d i s i s i rrrrrr iii )()( 11 22 qqdt d ii rr )( )(tqq 一、基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程 由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的力學(xué)體系 ), 2 , 1(nim iiii RFr ), 2 , 1(0nim iiii RFr或： （1）達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理 物理意義物理意義：表示主動(dòng)力Fi、約束反力Ri和因質(zhì)點(diǎn)有加速 度而產(chǎn)生的有效力（慣性力）的平衡，通過(guò)這種方法將動(dòng) 力學(xué)問(wèn)題化為靜力學(xué)問(wèn)題來(lái)處理動(dòng)靜法。 用虛位移點(diǎn)乘(1)式，并對(duì)i求和，在理想約束的條件下， 得： n i ii m 1 0)(rrF i （2） 達(dá)朗伯達(dá)朗伯拉格朗

14、日方程拉格朗日方程 s i i q q 1 r r 代入（2）得： 將 n i i q q m 1 0)( s 1 i i r rF sn i sn i i i i i q q mq q 1111 0)()( r r r F i 即： n i i i q Q 1 r F廣義力 n i i ii q mP 1 r r 令： 則（3）式變?yōu)椋?s qPQ 1 0)( （3） （4） P n i i ii q mP 1 r r n i i ii n i i ii qdt d m q m dt d 11 )()( r r r r n i i ii n i i ii q m q m dt d P 11

15、)( r r r r qq ii rr qqdt d ii rr )( n i n i iiiii Tmm 11 2 2 1 rrr T力學(xué)體系的動(dòng)能 q T q T dt d P 由于 是互相獨(dú)立的， ，所以（4）式變?yōu)椋?Q q T q T dt d 0 q q 基本形式的拉格朗日方程 ),2 , 1(s （5） 叫廣義速度，可為線(xiàn)速度、角速度或其它； q q T q T 叫廣義動(dòng)量，可為線(xiàn)動(dòng)量也可為角動(dòng)量； 叫拉格朗日力。 Q叫廣義力（不包含約束反力 ），其量綱由表達(dá) 式 決定。 qQW q Q 長(zhǎng)度 力 面積 表面張力 電荷 電壓等等。 體積 應(yīng)力 嚴(yán)格地講，談到廣 義力時(shí)，應(yīng)同時(shí)指

16、出與它相應(yīng)的廣義 坐標(biāo)。 對(duì)于保守系，必存在勢(shì)能V，它是坐標(biāo)的函數(shù)V（xi,yi,zi）， 且： V i i F i iz i iy i ix z V F y V F x V F )2 . 1(ni )2 . 1(ni 廣義力： n i i i q Q 1 r F n i i iz i iy i ix q z F q y F q x F 1 )( n i i i i i i i q V q z z V q y y V q x x V 1 )( 將所有坐標(biāo)用廣義坐標(biāo) 表示： ),( ),( ),( tqzz tqyy tqxx ii ii ii ),2 , 1(s q q V q T q T d

17、t d 令：L=T-V，代表體系的動(dòng)能與勢(shì)能之和。則： ),2 , 1(s q V q T q L q T q L 這樣(6)式變?yōu)椋?（6） 0 q L q L dt d ),2 , 1(s （7） 保守系的拉格朗日方程保守系的拉格朗日方程 L=T-V，叫做拉格朗日函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏函數(shù)。叫做拉格朗日函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏函數(shù)。 解解：如圖所示，取管軸為動(dòng)坐標(biāo)系如圖所示，取管軸為動(dòng)坐標(biāo)系 的的x軸，自由度軸，自由度s = 1，選，選 q = x，質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)的相對(duì)速度為：點(diǎn)的相對(duì)速度為： iv x 牽連速度為：牽連速度為： jrvex 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能： )( 2 1 222 xxmT 質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能：質(zhì)

18、點(diǎn)的勢(shì)能： tmgxVsin （以通過(guò)（以通過(guò)O O點(diǎn)的水平線(xiàn)為零勢(shì)線(xiàn)）點(diǎn)的水平線(xiàn)為零勢(shì)線(xiàn)） 拉氏函數(shù)為：拉氏函數(shù)為： tmgxxxmVTLsin)( 2 1 222 0)( x L x L dt d tmgxm x L xm x L sin 2 tmgxmxmsin 2 tgxxsin 2 即即： 齊次方程的通解齊次方程的通解： tt BeAex 1 非齊次方程的特解為非齊次方程的特解為： t g x sin 2 2 2 t g BeAexxx tt sin 2 2 21 代入初始條件：代入初始條件： 0 0vxaxt 得：得： 2 0 4 )( 2 1 gv aA 2 0 4 )( 2 1

19、 gv aB 故質(zhì)點(diǎn)沿管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為故質(zhì)點(diǎn)沿管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為： t g e gv ae gv ax tt sin 2 4 )( 2 1 4 )( 2 1 22 0 2 0 一般地講，如果拉氏函數(shù)一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo)中不顯含某一廣義坐標(biāo) ， 則則 : q 0 q L 由拉氏方程得由拉氏方程得： 0)( q L dt d 即：即： 常數(shù)（廣義動(dòng)量）常數(shù)（廣義動(dòng)量）。 q L 稱(chēng)為循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)稱(chēng)為循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo) 。 q 對(duì)于任一循環(huán)坐標(biāo)，都有一對(duì)應(yīng)的積分，叫做循環(huán)積分。對(duì)于任一循環(huán)坐標(biāo)，都有一對(duì)應(yīng)的積分，叫做循環(huán)積分。 例如：質(zhì)量為例如：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在平方反比引力

20、場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，用的質(zhì)點(diǎn)，在平方反比引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，用 )( 2 1 222 rrmT 而平方反比引力的勢(shì)能為：而平方反比引力的勢(shì)能為： 極坐標(biāo)表示它的動(dòng)能為：極坐標(biāo)表示它的動(dòng)能為： r mk V 2 r mk rrmVTL 2 222 )( 2 1 有心力問(wèn)題有兩個(gè)自由度，在極坐標(biāo)系中有心力問(wèn)題有兩個(gè)自由度，在極坐標(biāo)系中 ： 21 qrq 現(xiàn)在所求出的現(xiàn)在所求出的L中卻沒(méi)有中卻沒(méi)有 ，在這里，在這里 就是一個(gè)循環(huán)坐標(biāo)，就是一個(gè)循環(huán)坐標(biāo)， 對(duì)應(yīng)這一循環(huán)坐標(biāo)的循環(huán)積分為：對(duì)應(yīng)這一循環(huán)坐標(biāo)的循環(huán)積分為： 2 mr L =常數(shù)常數(shù) 即質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于力心的動(dòng)量矩守恒即質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于力心的動(dòng)量矩守恒。 注意：拉氏函

21、數(shù)注意：拉氏函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo)，并不意味著也中不含某一廣義坐標(biāo)，并不意味著也 不含對(duì)應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義速度。拉氏函數(shù)不含對(duì)應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義速度。拉氏函數(shù)L L中不含某一中不含某一 廣義坐標(biāo)時(shí)，對(duì)應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義動(dòng)量為常數(shù)，但廣廣義坐標(biāo)時(shí)，對(duì)應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義動(dòng)量為常數(shù)，但廣 義速度一般并不為常數(shù)。義速度一般并不為常數(shù)。 假設(shè)有一個(gè)完整的、保守的力學(xué)體系，體系有假設(shè)有一個(gè)完整的、保守的力學(xué)體系，體系有s個(gè)自由個(gè)自由 度，先求出用廣義坐標(biāo)及廣義速度所表示的動(dòng)能：度，先求出用廣義坐標(biāo)及廣義速度所表示的動(dòng)能： s ii i t q qdt d 1 rrr r i 2 11 2 1 )

22、( 2 1 s ii n i ii n i i t q q mm rr r 2 1 T n i ss iii i t q tq qq qq m 1 1 11 2 )(2 2 1 rrrrr ii sn i sn i i i i n i i ii i t mq tq mqq qq m 1 1111 2 1 )( 2 1 )()( 2 1 rrrrr i ss aqaqqa 1 11 2 1 2 1 012 TTT q aaa, 系數(shù)系數(shù) 一般都是廣義坐標(biāo)一般都是廣義坐標(biāo) 及時(shí)間及時(shí)間t的函數(shù)的函數(shù)。 ), 2 , 1(sq 如果力學(xué)體系是穩(wěn)定的，如果力學(xué)體系是穩(wěn)定的，ri中不顯含時(shí)間中不顯含時(shí)間

23、t，因而，因而 ， 即：即： ，a = 0，于是動(dòng)能，于是動(dòng)能T將僅是廣義速度的二次齊次函將僅是廣義速度的二次齊次函 數(shù)，即：數(shù)，即：T=T2 。如果。如果T=T2，而且，而且 也不顯含時(shí)也不顯含時(shí) 間間t，那么：，那么： 0 t i r 0 a ),( 21s qqqVV q V q T q T dt d 各項(xiàng)乘以各項(xiàng)乘以 ，然后對(duì)，然后對(duì) 求和得：求和得： q sss q q V q q T q q T dt d 111 )( 第一項(xiàng)第一項(xiàng)： 代入上式得：代入上式得： sss q q T q q T dt d q q T dt d 111 )()( sss q q V q q T q q

24、T q q T dt d 111 )( 動(dòng)能動(dòng)能T是廣義速度的二次齊次函數(shù)，根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定是廣義速度的二次齊次函數(shù)，根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定 理知：理知： s Tq q T 1 2 若拉氏函數(shù)中不顯含時(shí)間若拉氏函數(shù)中不顯含時(shí)間t，T和和V都不是時(shí)間都不是時(shí)間t的顯函數(shù)，的顯函數(shù)， 所以：所以： s s dt dV q q V dt dT q q T q q T 1 1 )( （1） （3） （2） 將（將（2 2）（）（3 3）代入（）代入（1 1）式得：）式得： )2 , 1()( ),( sqVV qqTT dt dV dt dT T dt d )2( dt dV dt dT 即即： 積分得

25、到：積分得到： T+V=E 這就是力學(xué)體系的能量積分這就是力學(xué)體系的能量積分。 如果如果拉氏函數(shù)拉氏函數(shù)L中不顯含時(shí)間中不顯含時(shí)間t，但約束是非穩(wěn)定的，即，但約束是非穩(wěn)定的，即 動(dòng)能是廣義速度的二次非齊次函數(shù)：動(dòng)能是廣義速度的二次非齊次函數(shù)：T=T2+T1+T0，那末：，那末： ss TTq q T q q T q q T q q T 11 12 012 2)( 上式代入（上式代入（1）式得：）式得： dt dV dt dT TT dt d )2( 12 hVTT 02 積分得：積分得： 02 TT 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn)，即使主動(dòng)力都是保守力，拉格朗日方程也不一即使主動(dòng)力都是保守力，拉格朗日方程也

26、不一 定給出能量積分，除非約束是穩(wěn)定的，因?yàn)樵诓环€(wěn)定約束定給出能量積分，除非約束是穩(wěn)定的，因?yàn)樵诓环€(wěn)定約束 的情況下，約束反力可以作功，而在拉格朗日方程中并不的情況下，約束反力可以作功，而在拉格朗日方程中并不 含有約束反力，這就產(chǎn)生了如上的差異。含有約束反力，這就產(chǎn)生了如上的差異。 解解：該系統(tǒng)的自由度為2，建立固定 坐標(biāo)系o-xy，選滑塊的水平位置x1 和輕桿對(duì)鉛垂線(xiàn)的擺角 為兩個(gè)廣義 坐標(biāo)，如圖所示。 小球的坐標(biāo)為： cos sin 2 12 ly lxx 小球的速度分量為： sin cos 2 12 ly lxx 體系的動(dòng)能為： )cos2( 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 1 2

27、22 12 2 11 2 2 2 22 2 11 x llxmxmyxmxmT cos 2 1 )( 2 1 12 22 2 2 121 x lmlmxmmT 作用在體系上的主動(dòng)力是保守力m1g和m2g，選過(guò)x軸的水 平面為零勢(shì)面，其勢(shì)能為： cos 2gl mV coscos 2 1 )( 2 1 212 22 2 2 121 glmx lmlmxmmVTL cos)( 2121 1 lmxmm x L 0 1 x L cos 12 2 2 x lmlm L sinsin 212 glmx lm L 即： 0)(0)( 11 LL dt d x L x L dt d 得體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

28、 0sincos 0sincos)( 212 2 2 2 22121 glmx lmlm lmlmxmm 因?yàn)槔窭嗜蘸瘮?shù)L中不顯含x1，x1是循環(huán)坐標(biāo)，故可得一 循環(huán)積分，即對(duì)應(yīng)循環(huán)坐標(biāo)x1的廣義動(dòng)量守恒： )(cos)( 2121 1 1 常數(shù)Clmxmm x L Px 因?yàn)長(zhǎng)中不顯含時(shí)間t，且約束是穩(wěn)定的，所以可得一能量 積分，即體系的機(jī)械能守恒： Eglmx lmlmxmmVTcoscos 2 1 )( 2 1 212 22 2 2 121 由拉格朗日方程解力學(xué)問(wèn)題的步驟（以保守力系為例）： 1) 確定力學(xué)體系的自由度； 2)適當(dāng)選取描寫(xiě)體系運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)； 3) 寫(xiě)出力學(xué)體系的動(dòng)能T

29、及勢(shì)能V，寫(xiě)出拉氏函數(shù)L； 4) 代入拉氏方程，得出力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程； 5) 解方程并討論結(jié)果。 拉氏函數(shù)L等于力學(xué)體系的動(dòng)能與勢(shì)能之差，它是力學(xué) 體系的一個(gè)特性函數(shù)，表征著約束、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、相互作用 等性質(zhì)。用拉氏方程解題時(shí)，正確寫(xiě)出系統(tǒng)的拉氏函數(shù)是 關(guān)鍵. 1）選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)（或剛體）看作 自由質(zhì)點(diǎn)（或剛體），寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式。 自由質(zhì)點(diǎn)在各種坐標(biāo)系下的動(dòng)能表達(dá)式： 直角坐標(biāo)系： 平面極坐標(biāo)系： 柱坐標(biāo)系： 球坐標(biāo)系： )( 2 1 222 zyxmT )( 2 1 222 rrmT )( 2 1 2222 zrrmT )sin( 2 1 222222

30、rrrmT 對(duì)于剛體，由柯尼希定理寫(xiě)出它的動(dòng)能表達(dá)式： 22 2 1 2 1 cc ImvT 注意：對(duì)非穩(wěn)定約束情況，有時(shí)用動(dòng)坐標(biāo)系來(lái)寫(xiě) 出拉氏函數(shù)較方便，在這種情況下，速度要用相對(duì) 靜止坐標(biāo)系的絕對(duì)速度，勢(shì)能也應(yīng)以靜系中的固定 點(diǎn)為參考點(diǎn)計(jì)算。 計(jì)算廣義力有三種方法： n i i i q Q 1 r F), 2 , 1(s n i s ii qQW 11 r rF F q V Q 3) 對(duì)保守力系： 2) 利用虛功： 1) 利用廣義力的定義式： . r 解法解法1 1：利用虛功的表達(dá)式： jiF FFrjilrr 虛功： QrQrFrFW rr n i ii 1 lF rFQFQ rr 所以

31、對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo) 的廣義力：. r 在平面極坐標(biāo)系中： n i s ii qQW 11 r rF F n i i i q Q 1 r F), 2 , 1(s sincosryrx ryxyxr FFF r y F r x FQ sincos rFrFrF y F x FQ yxyx cossin rFQFQ rr 所以對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo) 的廣義力： . r 解解：系統(tǒng)自由度為2，如圖所示,選 取 為廣義坐標(biāo),x 由科尼希定理知棒的動(dòng)能為： 2222 )( 2 1 )( 2 mkyx m T cc k為棒繞質(zhì)心c轉(zhuǎn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)半徑。 棒質(zhì)心坐標(biāo)： cos sin ay axx c c sin cos ay a

32、xx c c cos2)( 2 2222 xakax m T 0cos x T maxm x T sincos)( 22 xmaxma T kam T cB ymgxFW cos sin2 ay axx c B sin cos2 ay axx c B )sin()cos2(amgaxFW )sincos2(mgFaxF 所以廣義力為： )sincos2( mgFaQFQx x Q x T x T dt d )( Q TT dt d )( 得運(yùn)動(dòng)微分方程為： )sincos2(cos)( )sincos( 22 2 mgFaxakam Faaxm 若 很小， 這里： 1cossin 312 )2

33、( 22 2 aa k 則運(yùn)動(dòng)微分方程為： Fgaxm Faaxm 2) 3 4 ( )( 2 解：解：建立以重物的平衡位置o為原點(diǎn)的坐標(biāo) 系ox，本題有一個(gè)自由度，選x為廣義坐標(biāo) 因繩與滑輪之間無(wú)滑動(dòng) rx 重物平衡時(shí): kmg 式中 為彈簧的靜伸長(zhǎng) 于是系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能（選重物的平衡位置 o為零勢(shì)能點(diǎn)）、拉格朗日函數(shù)為： 2222 )( 2 1 2 1 2 1 xmMMrxmT 2222 2 1 2 1 )( 2 1 kxkxkxmgxxkmgxU 22 2 1 2 1 kxxmMUTL）（ xmM x L )( kx x L 0)( x L x L dt d 得運(yùn)動(dòng)微分方程為： 0kxx

34、mM ）（ 故重物的振動(dòng)周期為： k mM 2 0 x mM k x 解：解：取彈簧和擺錘為系統(tǒng)，自由度為2， 選r， 為廣義坐標(biāo), 系統(tǒng)的動(dòng)能為 )( 2 1 222 rrmT 系統(tǒng)的勢(shì)能為 2 0) ( 2 1 coslrkmgrV 拉氏函數(shù)為 彈簧擺 2 0 222 )( 2 1 cos)( 2 1 lrkmgrrrmVTL )(cos 0 2 lrkmgmr r L rm r L sin 2 mg L mr L 00 LL dt d r L r L dt d 得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 這是非線(xiàn)性方程組，需在計(jì)算 機(jī)上作數(shù)值計(jì)算，在一定的初 始條件下，擺錘的軌跡如右圖 所示。 如果系統(tǒng)做

35、小振動(dòng)，可進(jìn)行近 似計(jì)算，將非線(xiàn)性方程化為線(xiàn) 性方程。 彈簧擺的軌跡 0sin2 0)(cos 0 2 grr lrkmgmrrm 解解：系統(tǒng)自由度 S =1，選廣義坐標(biāo)： q 球只滾不滑： )( rRrRr rRr rRvc 球的動(dòng)能： 222 5 2 2 1 2 1 mrmvT c 2 2 2 2 5 1 2 1 rRmrRm 2 2 10 7 rRm 球的勢(shì)能： cosrRmgV （以通過(guò)0點(diǎn)的水平線(xiàn)為零勢(shì)線(xiàn)） cos 10 7 2 2 rRmgrRmVTL 2 5 7 rRm L sinrRmg L 代入拉氏方程： 0 LL dt d 得運(yùn)動(dòng)微分方程為： 0sin 5 7 2 rRmg

36、rRm 對(duì)于微振動(dòng)： sin 0 7 5 rR g 振動(dòng)周期為： g rR 5 7 2 2 解：解：系統(tǒng)自由度為1，選 為廣義坐標(biāo) 約束方程為： )(rRr 則： )(rRr )(rRvc 由科尼希定理，動(dòng)球的動(dòng)能為： 222 ) 5 2 ( 2 1 2 1 mrmvT c 2222 )( 5 1 )( 2 1 rRmrRm 22 )( 10 7 rRm 動(dòng)球的勢(shì)能： cos)(rRmgV （以通過(guò)0點(diǎn)的水平線(xiàn)為零勢(shì)線(xiàn)） )( rR cos)()( 10 7 22 rRmgrRmVTL 代入拉氏方程： 0)( LL dt d 得： 0sin)()( 5 7 2 rRmgrRm 0sin5)(7

37、grR )(7 sin5 rR g 故動(dòng)球球心下降的切向加速度為： sin 7 5 )(grRa 2 x 1 x 解法解法1 1： 此力學(xué)體系自由度為2，選廣義坐標(biāo)： 相對(duì)水平面的位置 的位置相對(duì) 222 2111 mxq mmxq 如圖所示。 m1的絕對(duì)速度： 2 1 2 21 2 1 sinxxcosxv 系統(tǒng)的動(dòng)能： 2 22 2 1 2 211 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 xmsinxxcosxm vmvmT 系統(tǒng)的勢(shì)能： sinxgmV 11 (以m1初始狀態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn)) sinxgmcosxxmxmmx m VTL 11211 2 221 2 1 1 2 1

38、 2 cosxmxm x L 2111 1 singm x L 1 1 cosxmxmm x L 11221 2 0 2 x L 代入拉氏方程： 0 12111 11 singmcosxmxm x L x L dt d 22 x L x L dt d 0 11221 cosxmxmm 即： 0 0 11221 21 cosxmxmm singcosxx 2 12 1 2 sinmm cossingm x 劈的加速度為： 2 12 21 1 sinmm singmm x 質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度： 211 cosxxx 2 12 2 sinmm cossingm 選固定坐標(biāo)系 ,如圖所示。 xy0

39、系統(tǒng)自由度為2，選廣義坐標(biāo)： 11 xq 22 xq （質(zhì)點(diǎn)m1相對(duì)靜系的水平位置） (直角劈m2相對(duì)靜系的位置，因 為直角劈只做平動(dòng)，故C點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng)可代表直角劈的運(yùn)動(dòng)) 直角劈m2的動(dòng)能為： 2 222 2 1 xmT 質(zhì)點(diǎn)m1的動(dòng)能和勢(shì)能為： 軸線(xiàn)為零勢(shì)能線(xiàn)xgymV yxmT 111 2 1 2 111 2 1 約束方程為： tgxxy 211 11 2 22 2 1 2 11 121 2 1 2 1 gymxmyxm VTTL tgxxgmxmtgxxxm 211 2 22 2 2 12 2 11 2 1 2 1 tgxxgmxmtgxxxxmxm 211 2 22 22 121 2

40、11 2 11 2 1 2 2 1 2 1 2 11 2 2111 1 tgxmtgxmxm x L gtgm x L 1 1 2 112122 2 tgxmxmxm x L gtgm x L 1 2 0 11 x L x L dt d 0 22 x L x L dt d 0 0 1 2 12122 1 2 11 2 2111 gtgmtgxxmxm gtgmtgxmtgxmxm 整理得： 0 0 1 2 12122 1 2 12111 gtgmtgxxmxm gtgmtgxxmxm +得： 0 2211 xmxm （3 3） 兩式聯(lián)立得： 2 12 2 1 sinmm cossingm x

41、2 12 1 2 sinmm cossingm x 由以上兩解法可知，應(yīng)用拉氏方程求解力學(xué)體系的動(dòng) 力學(xué)問(wèn)題時(shí)，廣義坐標(biāo)可同時(shí)選慣性系量，也可同時(shí)選慣 性系量和非慣性系量。 一、保守系在廣義坐標(biāo)系中的平衡方程保守系在廣義坐標(biāo)系中的平衡方程 在廣義坐標(biāo)系中的平衡方程是所有廣義力在任意虛位移 中所作元功之和為零，即： s qQW 1 0 因?yàn)橹T 是相互獨(dú)立的，因而得出廣義坐標(biāo)系中的平衡 方程是所有的廣義力等于零，即： 0 Q q ), 2 , 1(s 如果作用在力學(xué)體系上的力都是保守力，則： q V Q ), 2 , 1(s 故保守力系平衡時(shí)的條件是勢(shì)能具有穩(wěn)定值，即： 0 q V ), 2 ,

42、1(s 本節(jié)介紹多自由度系統(tǒng)線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題的處理方法，在這類(lèi)本節(jié)介紹多自由度系統(tǒng)線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題的處理方法，在這類(lèi) 振動(dòng)系統(tǒng)中，各自由度的振動(dòng)相互耦合，比較復(fù)雜，但由于振動(dòng)系統(tǒng)中，各自由度的振動(dòng)相互耦合，比較復(fù)雜，但由于 方程是線(xiàn)性的，最終能找到解耦的方法。在物理中，耦合線(xiàn)方程是線(xiàn)性的，最終能找到解耦的方法。在物理中，耦合線(xiàn) 性振蕩電路的振蕩、原子在晶格點(diǎn)陣上的振動(dòng)、原子在分子性振蕩電路的振蕩、原子在晶格點(diǎn)陣上的振動(dòng)、原子在分子 內(nèi)的振動(dòng)等問(wèn)題都可歸結(jié)為這類(lèi)問(wèn)題。內(nèi)的振動(dòng)等問(wèn)題都可歸結(jié)為這類(lèi)問(wèn)題。 下面，我們通過(guò)一個(gè)實(shí)例，學(xué)習(xí)這類(lèi)問(wèn)題的解法及一些重下面，我們通過(guò)一個(gè)實(shí)例，學(xué)習(xí)這類(lèi)問(wèn)題的解法及一些重

43、要概念和結(jié)論。要概念和結(jié)論。 設(shè)質(zhì)量均為設(shè)質(zhì)量均為m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，被三個(gè)輕彈簧連接，兩側(cè)彈簧的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，被三個(gè)輕彈簧連接，兩側(cè)彈簧 的一端均被固定，中間彈簧的勁度系數(shù)為的一端均被固定，中間彈簧的勁度系數(shù)為k1，兩邊彈簧的勁，兩邊彈簧的勁 度系數(shù)為度系數(shù)為k2，兩質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)各彈簧無(wú)伸長(zhǎng)。試求兩質(zhì)點(diǎn)在平，兩質(zhì)點(diǎn)靜止時(shí)各彈簧無(wú)伸長(zhǎng)。試求兩質(zhì)點(diǎn)在平 衡位置附近的小振動(dòng)。為簡(jiǎn)化，設(shè)質(zhì)點(diǎn)只沿水平方向運(yùn)動(dòng)。衡位置附近的小振動(dòng)。為簡(jiǎn)化，設(shè)質(zhì)點(diǎn)只沿水平方向運(yùn)動(dòng)。 2 2 2 1 2 1 2 1 xmxmT (4) 圖圖1 1 兩質(zhì)點(diǎn)的耦合振動(dòng)兩質(zhì)點(diǎn)的耦合振動(dòng) 系統(tǒng)的勢(shì)能為系統(tǒng)的勢(shì)能為 2 22 2 121 2 1

44、2 2 1 )( 2 1 2 1 xkxxkxkV 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為 2 22 2 121 2 12 2 2 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 xkxxkxkxmxmVTL 將上式代入拉格朗日方程可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程將上式代入拉格朗日方程可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 0)( 0)( 112212 211211 xkxkkxm xkxkkxm (2) (1) (3) )cos( )cos( 22 11 tAx tAx (5) （5 5）式代入（）式代入（4 4）式，得）式，得 0)( 0)( 221 2 11 21121 2 AkkmAk AkAkkm (

45、6) 要使要使A1，A2有非零解，方程組（有非零解，方程組（6 6）的系數(shù)行列式必須為零）的系數(shù)行列式必須為零 0 21 2 1 121 2 kkmk kkkm (7) 此方程稱(chēng)為特征方程，展開(kāi)得此方程稱(chēng)為特征方程，展開(kāi)得 0)( 2 1 2 21 2 kkkm m kk m k 21 2 2 1 2 從這兩個(gè)結(jié)果看到，兩個(gè)頻率均由系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和彈從這兩個(gè)結(jié)果看到，兩個(gè)頻率均由系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和彈 簧的勁度系數(shù)決定，因而是系統(tǒng)固有的，稱(chēng)為系統(tǒng)的簧的勁度系數(shù)決定，因而是系統(tǒng)固有的，稱(chēng)為系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻簡(jiǎn)正頻 率率（normal frequencynormal frequency）。下面我們將看到

46、，對(duì)應(yīng)一種簡(jiǎn)）。下面我們將看到，對(duì)應(yīng)一種簡(jiǎn) 正頻率，系統(tǒng)存在一種簡(jiǎn)單的、基本的振動(dòng)方式。對(duì)應(yīng)不同正頻率，系統(tǒng)存在一種簡(jiǎn)單的、基本的振動(dòng)方式。對(duì)應(yīng)不同 的簡(jiǎn)正頻率，系統(tǒng)有不同的振動(dòng)方式，這種與簡(jiǎn)正頻率相對(duì)的簡(jiǎn)正頻率，系統(tǒng)有不同的振動(dòng)方式，這種與簡(jiǎn)正頻率相對(duì) 應(yīng)的基本振動(dòng)方式稱(chēng)為應(yīng)的基本振動(dòng)方式稱(chēng)為簡(jiǎn)正模式簡(jiǎn)正模式（normal modenormal mode）。）。 2 將將 代入方程（代入方程（6 6），并將），并將A1，A2寫(xiě)成寫(xiě)成A11，A21，以表，以表 示這組振幅與示這組振幅與 相應(yīng)，于是有相應(yīng)，于是有 m k2 1 1 0 0 211111 211111 AkAk AkAk (8)

47、1 21 11 2111 A A AA或 所以與所以與 對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方程為對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方程為1 )cos()cos( )cos( 1111112121 111111 tAtAx tAx (9) 其中其中 是與是與 相應(yīng)的振動(dòng)的初相。相應(yīng)的振動(dòng)的初相。 由于二質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位相相同，所以由于二質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位相相同，所以 他們的運(yùn)動(dòng)步調(diào)完全一致，這種他們的運(yùn)動(dòng)步調(diào)完全一致，這種 模式稱(chēng)為模式稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)模式對(duì)稱(chēng)模式。他的簡(jiǎn)正模。他的簡(jiǎn)正模 式如圖式如圖2（a a）所示。）所示。 1 1 （a a）對(duì)稱(chēng)模式）對(duì)稱(chēng)模式 （b b）反對(duì)稱(chēng)模式）反對(duì)稱(chēng)模式 圖圖2 2 簡(jiǎn)正模式簡(jiǎn)正模式 m kk 21 2 2 0 0 22

48、1121 221121 AkAk AkAk 解得解得 1 22 12 2212 A A AA或 （A12，A22） 組成與組成與 對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方程為對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方程為 2 )cos( )cos( 221222 221212 tAx tAx (10) 可見(jiàn)二質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相相反，振幅相同，稱(chēng)為可見(jiàn)二質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相相反，振幅相同，稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)模式反對(duì)稱(chēng)模式， 他的簡(jiǎn)正模式如圖他的簡(jiǎn)正模式如圖2 (b) (b)所示。所示。 （9 9）式和（）式和（1010）式都是方程組（）式都是方程組（4 4）的特解，其通解是他們）的特解，其通解是他們 的線(xiàn)性組合，即的線(xiàn)性組合，即 )cos()cos( )cos()cos

49、( 221211112 221211111 tAtAx tAtAx (11) 設(shè)設(shè)t t = 0= 0時(shí)，時(shí)， ，可求得，可求得0,0,0, 21201 xxxxx 0, 2 21 0 1211 x AA 將上式代入（將上式代入（1111）式，得到方程的解為）式，得到方程的解為 ttxtt x x ttxtt x x 2 sin 2 sin)cos(cos 2 2 cos 2 cos)cos(cos 2 2112 021 0 2 2121 021 0 1 (12) 上式表明兩質(zhì)點(diǎn)的位移上式表明兩質(zhì)點(diǎn)的位移x1，x2 分別是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，分別是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加， 疊加結(jié)果出現(xiàn)了低頻振動(dòng)對(duì)

50、高頻振動(dòng)振幅的調(diào)制，類(lèi)似拍的疊加結(jié)果出現(xiàn)了低頻振動(dòng)對(duì)高頻振動(dòng)振幅的調(diào)制，類(lèi)似拍的 現(xiàn)象，如圖現(xiàn)象，如圖3 3所示，從圖上還可看出，兩個(gè)振動(dòng)的振幅是此所示，從圖上還可看出，兩個(gè)振動(dòng)的振幅是此 消彼長(zhǎng)，說(shuō)明系統(tǒng)的能量在兩者間不斷交換，周期性地變化。消彼長(zhǎng)，說(shuō)明系統(tǒng)的能量在兩者間不斷交換，周期性地變化。 21 , 圖圖3 3 振動(dòng)疊加圖振動(dòng)疊加圖 如何尋找簡(jiǎn)正坐標(biāo)呢？我們從解（如何尋找簡(jiǎn)正坐標(biāo)呢？我們從解（1212）式中得到啟發(fā)，）式中得到啟發(fā)， 實(shí)際上實(shí)際上 就是兩個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)隨時(shí)間的變化，就是兩個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)隨時(shí)間的變化， 故可設(shè)故可設(shè) 2 cos 2 cos 2010 txtx 和 t x t x

51、2 0 2 1 0 1 cos 2 cos 2 (13) 212 211 x x 這是一種坐標(biāo)變換關(guān)系，通過(guò)反解就可求得簡(jiǎn)正坐標(biāo)為這是一種坐標(biāo)變換關(guān)系，通過(guò)反解就可求得簡(jiǎn)正坐標(biāo)為 2 2 21 2 21 1 xx xx (15) (14) 將（將（1414）式代入（）式代入（1 1）（）（2 2）式，得）式，得 )( 2 2 2 1 mT 2 221 2 12 )2(kkkV 可見(jiàn)采用簡(jiǎn)正坐標(biāo)后，動(dòng)能、勢(shì)能的表達(dá)式分別成為廣義可見(jiàn)采用簡(jiǎn)正坐標(biāo)后，動(dòng)能、勢(shì)能的表達(dá)式分別成為廣義 速度和廣義坐標(biāo)的平方和形式。速度和廣義坐標(biāo)的平方和形式。 2 221 2 12 2 2 2 1 )2()(kkkmVT

52、L 代入拉格朗日方程，得運(yùn)動(dòng)方程為代入拉格朗日方程，得運(yùn)動(dòng)方程為 0)2( 0 221 2 2 12 2 1 kkm km (16) 可見(jiàn)每個(gè)方程只包含一個(gè)變量，方程組已解耦，其解分別可見(jiàn)每個(gè)方程只包含一個(gè)變量，方程組已解耦，其解分別 為簡(jiǎn)諧振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng) )cos( )cos( 2222 1111 tB tB (17) 其中，其中， ，他們就是系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率，在上，他們就是系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率，在上 述初始條件下，可求出積分常數(shù)，述初始條件下，可求出積分常數(shù)，B B1 1，B B2 2， （從略），（從略）， 代入（代入（1717）式可得）式可得 m kk m k 21 2 2 1 2 21 ,

53、t x t x 2 0 2 1 0 1 cos 2 cos 2 一、勒讓德變換一、勒讓德變換 在拉氏方程： 中， 0 q L q L dt d ),2, 1(s q L p ),2, 1(s 如果令： 作為獨(dú)立變量，則由拉氏方程可得： q L p ),2, 1(s (1) (2) 由（1）式又可解出 q ).(tqpqq ),2, 1(s(3) 將（3）式代入拉氏函數(shù)L中，以表 之，即： L );(tpqLL ),2, 1(s 由一組獨(dú)立變量變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變量的變換， 在數(shù)學(xué)上叫做勒讓德變換勒讓德變換。 考慮兩個(gè)變量的勒讓德變換，設(shè)：f = f ( x , y )，則： vdyudxdy y

54、f dx x f df y f v x f u , 這是以x，y作為獨(dú)立變量的，如果我們把u，y當(dāng)作自變量，則： ),(),(yuvvyuxx 這時(shí)函數(shù) f 改用u,y表出，記為： ，即： ),(yuf ),(),(yyuxfyuf 取偏導(dǎo)數(shù)： u x u u x x f u f y x uv y x x f y f y f 左式又可寫(xiě)為： u g uxf u x y g uxf y v )( )( ),( )(),( yuxx x x f fuxfyug 新的函數(shù)（g）等于不要的變量（x）乘以原來(lái)的函數(shù)對(duì)該 變量的偏導(dǎo)數(shù)（ ），再減去原來(lái)的函數(shù)（f）。 x f 二、正則方程二、正則方程 通過(guò)

55、勒讓德變換，使拉氏函數(shù)L中的獨(dú)立變量由 變?yōu)?，其中： ), 2 , 1(sq ), 2 , 1(sp q T q L p 則引入新函數(shù)H： ss qpLq q L LtpqH 11 , ）（ s dpqqdpdLdH 1 )( 取微分： ),(tqqLL s dt t L qd q L dq q L dL 1 )( s dt t L qdpdqp 1 )( 將dL的表達(dá)式代入dH 中得： s dpqqdpdLdH 1 )( s dt t L dpqdqpdH 1 )( ）（tpqHH, ),2, 1(s s dt t H dp p H dq q H dH 1 )( 取微分： (4) (5)

56、q H p p H q （4）=(5) ),2, 1(s t L t H （6）式叫做哈密頓正則方程哈密頓正則方程，簡(jiǎn)稱(chēng)正則方程正則方程 ，函數(shù)H 叫 做哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù) 。 叫做正則變量，也叫宗量叫做正則變量，也叫宗量。 (6) ), 2 , 1(,spq 因?yàn)椋?循環(huán)積分循環(huán)積分 由哈密頓正則方程可以看出，哈密頓函數(shù)H中如果有循環(huán)坐 標(biāo)，則可立即得出積分，這積分叫循環(huán)積分循環(huán)積分。因此，H中不 含某個(gè)廣義坐標(biāo)時(shí)，對(duì)應(yīng)這一廣義坐標(biāo)的廣義動(dòng)量為常數(shù)， 故比用拉氏方程更簡(jiǎn)便，更富有物理意義。 能量積分能量積分 哈密頓函數(shù) ）（tpqHH, ),2, 1(s s t H p p H q q H

57、 dt dH 1 )( 取微商： 將正則方程代入： t H t H q H p H p H q H dt dH s 1 )( q H p p H q 如果H中不顯含時(shí)間中不顯含時(shí)間t，則因 ，故 ，因而正則方程 有一積分： H = h ，此處h為一積分常數(shù) 。 0 t H 0 dt dH s Tq q T 1 2 上式代入哈密頓函數(shù)H 中得： ss q q T VTqpLH 11 )( = - (T V )+2T=T+V =E（總能量） 這就是力學(xué)體系的能量積分，即在H中不顯含時(shí)間中不顯含時(shí)間t，且且 約束穩(wěn)定時(shí)約束穩(wěn)定時(shí)，得到能量積分，此時(shí)哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)H等于力學(xué)等于力學(xué) 體系的總能量

58、體系的總能量E。 如果體系所受的約束是不穩(wěn)定約束體系所受的約束是不穩(wěn)定約束，即動(dòng)能T不是廣義速 度的二次齊次函數(shù)，則：H = T2 - T0 +V = h，此式代表廣義廣義 能量積分能量積分。因此，哈密頓函數(shù)也是力學(xué)體系的特性函數(shù)。 解解：質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其拉氏函數(shù)為： r mk rrmL 2 222 )( 2 1 廣義動(dòng)量： 2 mr L prm r L pr 廣義能量： prpLqpLh r s 1 r mk rrm 2 222 )( 2 1 222 mrrm r mk rrm 2 222 )( 2 1 我們看到：h就是總機(jī)械能，但它不是哈密頓函數(shù)，因?yàn)槠?中含有廣義速度，而不是廣

59、義動(dòng)量。 將 代入上式得哈密頓函數(shù)為： 2 mr p m p r r r mk mr p m p H r 2 2 22 22 解解：由例1知體系的哈密頓函數(shù)為： r mk mr p m p H r 2 2 22 22 將H代入哈密頓正則方程： 得其正則方程為： q H p p H q ),2, 1(s 2 mr p p H m p p H r r r 0 2 2 3 H p r mk mr p r H pr 因H中不顯含 ，所以有循環(huán)積分： =常數(shù)，即質(zhì)點(diǎn) 的角動(dòng)量守恒。 2 mrp r mk mr p m p H r 2 2 22 2 2 EVT r mk rrm 2 222 )( 2 1 故質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒。 （總機(jī)械能） 凡是力學(xué)原理用到變分運(yùn)算的，叫做力學(xué)變分原理，力 學(xué)變分原理有微分形式，也有積分形式。虛功原理是力學(xué) 變分原理的微分形式，而本節(jié)的哈密頓原理，則是力學(xué)變 分原理的積分形式。 ）積積分分形