第四章數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模

1、 一切科學(xué)的抽象， 都更深刻、更正確、更全面性地反映著自然 列寧 第一節(jié) 抽象 畢加索抽象畫(huà) 數(shù)學(xué)中的“1” 從“一個(gè)人”、“一棵樹(shù)”、“一只羊” 等客觀事物中抽象出來(lái)的，只保留這些對(duì)象 在數(shù)量上的特性，即量的多少 數(shù)學(xué)中的“圓” 從許許多多具體形體中抽象出來(lái)的“形”的概 念，并沒(méi)有顧及它所代表的特殊的質(zhì)的內(nèi)容 純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式 和數(shù)量關(guān)系，所以是非常現(xiàn)實(shí)的材料這 些材料以極度抽象的形式出規(guī)，這只能在 表面上掩蓋它起源于外部世界的事實(shí)。 恩格斯 點(diǎn)、線、面，常量、變量概念 一、抽象方法 抽象是把研究的事物從某種角度看待的本 質(zhì)屬性抽取出來(lái)舍去其非本質(zhì)屬性進(jìn)行考察的 思維方法。在

2、數(shù)學(xué)中，抽象是指從研究對(duì)象或 問(wèn)題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其它 屬性對(duì)其進(jìn)行考察的方法。數(shù)學(xué)中的概念、關(guān) 系、定理、方法、符號(hào)等都是數(shù)學(xué)抽象或再抽 象的思維結(jié)果。抽象思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之 一。 2.數(shù)學(xué)抽象的基本形式 （1）理想化抽象 所謂理想化是指通過(guò)抽象得到的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，并非客觀事物本身存在 的東西，而是從實(shí)際事物中分離出來(lái)的經(jīng)過(guò)思維加工得來(lái)的，甚至是假想出 來(lái)的概念和性質(zhì) 。 如，在幾何中的“點(diǎn)”、“直線”、“平面”等抽象概念，在自然界也是 不存在的，都是經(jīng)過(guò)人們的智慧加工得來(lái)的理想化概念幾何中的“點(diǎn)”是 從自然界中物體的大小無(wú)限地減少可能得到的結(jié)果，或者在物體的大小比較

3、中，大大可以忽略不計(jì)的物體中抽象得來(lái)的，而且把它理想化為無(wú)長(zhǎng)、無(wú)寬、 無(wú)高的“點(diǎn)”同樣，“直線”被理想化為沒(méi)有厚度和寬度的線、“平面被 理想化為沒(méi)有厚度的面等。 在數(shù)學(xué)中，往往在原有的對(duì)象中引入理想化元素，創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)理 論例如無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)(理想化元素) 和虛根的引入。 上述事例說(shuō)明，理想化抽象的方法在數(shù)學(xué)的發(fā)展和發(fā)明創(chuàng)造中具有重要的 作用” (2)等價(jià)抽象 在數(shù)學(xué)研究中，把同類(lèi)對(duì)象的共同性質(zhì)抽取出來(lái)而舍棄對(duì)象的其 它性質(zhì)，這種抽象方法稱(chēng)為等價(jià)抽象 例如，對(duì)于兩個(gè)集合來(lái)說(shuō)，如果能夠在它們的元素之間建立起一例如，對(duì)于兩個(gè)集合來(lái)說(shuō)，如果能夠在它們的元素之間建立起一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱(chēng)它們?yōu)閷?duì)等的集合一

4、對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱(chēng)它們?yōu)閷?duì)等的集合自然數(shù)自然數(shù)是等價(jià)抽象的結(jié)果是等價(jià)抽象的結(jié)果 又如，兩個(gè)三角形，它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，具有這 樣的性質(zhì)的三角形，它們都具有相同的形狀把三角形這種相同的 性質(zhì)和形狀的特點(diǎn)抽象出來(lái)就得到相似三角形相似三角形的概念這也是等價(jià) 抽象 再如，在自然數(shù)中有的數(shù)被一個(gè)自然數(shù)除，都得到相同的余數(shù) (如2，7，12，17，被5除都得到余數(shù)2)，從這類(lèi)自然數(shù)的共同 特征抽象得到同余數(shù)同余數(shù)的概念，也是等價(jià)抽象 等價(jià)關(guān)系滿足以下三條性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系滿足以下三條性質(zhì)：自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性。自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性。 設(shè)有一集合設(shè)有一集合E，如果給定了笛卡爾乘積，如果給定了笛卡爾乘

5、積EE的一個(gè)子集合的一個(gè)子集合R，我們就說(shuō)，我們就說(shuō) 在在E上定義了一個(gè)二元關(guān)系上定義了一個(gè)二元關(guān)系R.即一個(gè)二元關(guān)系，就是一個(gè)有序偶對(duì)的集合。即一個(gè)二元關(guān)系，就是一個(gè)有序偶對(duì)的集合。 如果用如果用a,b,c, 表示所考察的一類(lèi)對(duì)象，那么表示所考察的一類(lèi)對(duì)象，那么 自反性：如果對(duì)于所有的自反性：如果對(duì)于所有的a，都有（，都有（a,a）R，例如數(shù)的相等，自然數(shù)，例如數(shù)的相等，自然數(shù) 的整除等的整除等 對(duì)稱(chēng)性：如果（對(duì)稱(chēng)性：如果（a,b）R，則（，則（b,a）R，如數(shù)的不等、直線的平行、，如數(shù)的不等、直線的平行、 垂直、相似等垂直、相似等 傳遞性：如果（傳遞性：如果（a,b）R，（，（b,c）R，

6、則（，則（a,c）R.如數(shù)的大小、如數(shù)的大小、 直線的平行、整除、相似等直線的平行、整除、相似等 （3）強(qiáng)抽象與弱抽象 強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對(duì)某一屬性的限制，抽強(qiáng)抽象是指在已知概念中，加強(qiáng)對(duì)某一屬性的限制，抽 象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過(guò)擴(kuò)大原概念的象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過(guò)擴(kuò)大原概念的 內(nèi)涵來(lái)建立新概念的抽象方法。內(nèi)涵來(lái)建立新概念的抽象方法。 例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對(duì)邊給予適當(dāng)限制，則例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對(duì)邊給予適當(dāng)限制，則 得平行四邊形和梯形的概念。得平行四邊形和梯形的概念。 若從平行四邊形概念出發(fā)，再對(duì)邊或角分別適當(dāng)限制，若從平行四邊形概念

7、出發(fā)，再對(duì)邊或角分別適當(dāng)限制， 有得到矩形、菱形及正方形的概念。有得到矩形、菱形及正方形的概念。 由對(duì)數(shù)的概念出發(fā)，對(duì)底數(shù)給予適當(dāng)?shù)南拗?，可獲得以由對(duì)數(shù)的概念出發(fā)，對(duì)底數(shù)給予適當(dāng)?shù)南拗?，可獲得以 1010為底的常用對(duì)數(shù)和以為底的常用對(duì)數(shù)和以e e為底的自然對(duì)數(shù)等為底的自然對(duì)數(shù)等 弱抽象：指在已知概念中，減弱對(duì)某一屬性的限制，弱抽象：指在已知概念中，減弱對(duì)某一屬性的限制， 抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新 概念的特例的方法。即通過(guò)縮小原概念的內(nèi)涵來(lái)建立概念的特例的方法。即通過(guò)縮小原概念的內(nèi)涵來(lái)建立 新概念的抽象方法。新概念的抽象方法。

8、例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲 得相似形與等積形的概念，它們分別保留了得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相形狀相 同同”及及“面積相等面積相等”的特性。的特性。 又如：在銳角三角函數(shù)概念中，放寬對(duì)又如：在銳角三角函數(shù)概念中，放寬對(duì)“銳角銳角”的的 限制，可以獲得任意角的三角函數(shù)的概念，任意角的限制，可以獲得任意角的三角函數(shù)的概念，任意角的 三角函數(shù)保留了三角函數(shù)保留了“比比”的屬性的屬性 （4）存在性抽象（可能性抽象） 先用假設(shè)的方法肯定抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念的存在性，并由此先用假設(shè)的方法肯定抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念的存在性，并由此 發(fā)

9、展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實(shí)踐中加以驗(yàn)證，從而 確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。 例如：自然數(shù)列就是存在性一個(gè)例子要把自然數(shù)列無(wú)限延伸，必須把 人類(lèi)生命的有限性以及認(rèn)識(shí)客觀事物在時(shí)間上的局限性舍去，才有可能實(shí)現(xiàn) 無(wú)限地延伸自然數(shù)列的設(shè)想從實(shí)踐的觀點(diǎn)來(lái)看，能夠?qū)崿F(xiàn)的過(guò)程必須是有 限個(gè)步驟因此，任何人都不可能把自然數(shù)列延伸到無(wú)限的境地但是，人 們認(rèn)識(shí)到，如果能夠把自然數(shù)列延伸到任何一個(gè)自然數(shù)n，那么必能寫(xiě)出n后 面的一個(gè)自然數(shù)n+1由此，認(rèn)為把自然數(shù)列無(wú)限延伸潛在著實(shí)現(xiàn)的可能性， 簡(jiǎn)稱(chēng)可能性 從圓內(nèi)接正六邊形算起，把邊

10、數(shù)連續(xù)倍增來(lái)計(jì)算圓周長(zhǎng)等等，都是以前一 步計(jì)算結(jié)果為根據(jù)，就能夠算出后一步的結(jié)果，這就認(rèn)為可能無(wú)限地計(jì)算下 去由此，得到圓周率的概念，這些都是運(yùn)用了可能性抽象的方法得到的數(shù) 學(xué)概念 哥尼斯堡七橋問(wèn)題： 德國(guó)哥尼斯堡市內(nèi)有一條布勒爾河，在這條河上有兩 個(gè)支流，在城中心匯合成大河，河中間是島區(qū)，河上有 七座橋。問(wèn)題：能否從任何一點(diǎn)為起點(diǎn)出發(fā)，相繼走過(guò) 7座橋，而且每座橋只走一次，然后又重新回到起點(diǎn) A B C D 例 亞當(dāng)斯先生和亞當(dāng)斯太太參加了一次晚會(huì)，同時(shí)出席的 還有其他三對(duì)夫婦，他(她)們進(jìn)行了種種握手活動(dòng)沒(méi)有人 同他(她)自己的配偶握手；同時(shí)，沒(méi)有人和同一個(gè)人握兩次 手；當(dāng)然，也不會(huì)有人同

11、自己握手當(dāng)握手完畢之后，亞當(dāng) 斯先生問(wèn)了每個(gè)人，包括他自己的妻子，他或她握過(guò)多少次 手，令他驚訝的是：每個(gè)人回答的數(shù)字互不相同那么，請(qǐng) 問(wèn)亞當(dāng)斯太太握多少次手？ 數(shù)學(xué)的抽象性是顯而易見(jiàn)的我們對(duì)抽象的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算， 而并不考慮在各個(gè)場(chǎng)合下如何把它們與具體的對(duì)象聯(lián)系起來(lái) 抽象的過(guò)程對(duì)數(shù)學(xué)的任何一個(gè)分支都是十分典型的各個(gè) 自然數(shù)的概念與各種幾何圖形的概念僅僅是兩個(gè)最古老和最基 本的數(shù)學(xué)概念 在此以后還有大量的其它概念，它們的數(shù)量是如此之多以 致不可能一一列舉，直至諸如復(fù)數(shù)、函數(shù)、積分、微分、算子、 n維空間、無(wú)窮維空間這樣的抽象物這些抽象物一個(gè)建立在 一個(gè)之上，直至達(dá)到了這樣的普遍性以致失去了與日常生

12、活的 任何聯(lián)系，從而被普通人認(rèn)為是完全不可理解的。 著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格 數(shù)學(xué)的抽象性、精確性以及應(yīng)用的廣泛性 是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征 亞歷山大洛夫 數(shù)學(xué)被認(rèn)為是在完全抽象的領(lǐng)域里活動(dòng)的科 學(xué)，它和自身所研究的任何特殊事例都脫離了關(guān) 系。 懷特海 任何一門(mén)數(shù)學(xué)分支，無(wú)論怎樣抽象， 總有一天會(huì)被應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)實(shí)之 中。 （羅巴切夫斯基） 抽象是把研究的事物從某種角度看待 的本質(zhì)屬性,舍去其非本質(zhì)屬性進(jìn)行考 察的思維方法. 抽象經(jīng)歷分離提純簡(jiǎn)略的過(guò)程 數(shù)學(xué)抽象方法是： 指抽取出同類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的共同的、本質(zhì) 的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特 征的思維過(guò)程 即把研究對(duì)象或問(wèn)題中抽取數(shù)量關(guān)系或 空間形

13、式而舍棄其它屬性對(duì)其進(jìn)行考察的思 維方法。 2005年年10月月12日上午日上午9 時(shí)，時(shí)，“神舟六號(hào)神舟六號(hào)”載人載人 飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多 人多天飛行，標(biāo)志著我人多天飛行，標(biāo)志著我 國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè) 新臺(tái)階，請(qǐng)問(wèn)：新臺(tái)階，請(qǐng)問(wèn)： “神舟神舟 六號(hào)六號(hào)”載人飛船的運(yùn)行載人飛船的運(yùn)行 軌道是什么？軌道是什么？ 神舟六號(hào)在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)神舟六號(hào)在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里、近地點(diǎn)公里、近地點(diǎn) 200公里的公里的橢圓軌道橢圓軌道運(yùn)行，后經(jīng)過(guò)變軌調(diào)整為距地運(yùn)行，后經(jīng)過(guò)變軌調(diào)整為距地343 公里的圓形軌道公里的圓形軌道. 只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣

14、，它 們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹。 但當(dāng)達(dá)兩門(mén)科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，它們 就互相吸取新鮮的活力，從那以后， 就以快速的步伐走向完善 拉格朗日 化形為數(shù)，以數(shù)論形； 化數(shù)為形，以形論數(shù)。 二、概括 概括就是把若干事物共同的屬性聯(lián)合起 來(lái)考察的方法例如，我們從日出日落，潮 漲潮退，一年四季及正弦曲線、余弦曲線的 圖象等，觀察到這樣的共同屬性：當(dāng)函數(shù)的 自變量增加到一定數(shù)值時(shí)，函數(shù)值可以重復(fù) 出現(xiàn)我們把這些個(gè)別事物的各自的屬性聯(lián) 合起來(lái)考察，發(fā)現(xiàn)了它們的共同性質(zhì)變化 的周期性 概括的二種形式: . 研究的對(duì)象的擴(kuò)大(包括原對(duì)象) 2. 取消被研究對(duì)象的條件限制 如三角函數(shù)的研究 如運(yùn)算律的研究 冪的運(yùn)算性質(zhì)的研究 例如，自然數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推廣到有理數(shù)運(yùn)算，進(jìn)一步推廣 到實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)運(yùn)算，就是運(yùn)用了概括的方法又如，在中學(xué)數(shù) 學(xué)里冪的運(yùn)算性質(zhì)，把同底數(shù)的自然數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣