廣東省肇慶市高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理（第二課時(shí)）教案 理 新人教A版選修2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1。1 合情推理（第二課時(shí)）一、教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與能力：了解類比推理的基本方法，并能用它進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.（二）過(guò)程與方法：類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，得出的結(jié)論就越可靠。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：1正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求新知識(shí).2認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。三、教學(xué)難點(diǎn)：用類比進(jìn)行推理，做出猜想。四、

2、教學(xué)過(guò)程：（一）導(dǎo)入新課：除了歸納，在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動(dòng)中，還常常應(yīng)用類比例如，據(jù)說(shuō)我國(guó)古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的齒牙，發(fā)明了鋸；人們仿照魚(yú)類的外形和它們?cè)谒械某粮≡恚l(fā)明了潛水艇;等等。事實(shí)上,仿生學(xué)中許多發(fā)明的最初構(gòu)想都是類比生物機(jī)制得到的。從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹(shù)時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子。他的思路是這樣的:茅草是齒形的；茅草能割破手。我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個(gè)推理過(guò)程有什么特點(diǎn)？（二)推進(jìn)新課:1、我們?cè)倏磶讉€(gè)類似的推理實(shí)例。例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性

3、質(zhì)。等式的性質(zhì): 猜想不等式的性質(zhì):(1） a=ba+c=b+c； (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc； (2） ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 （3) aba2b2;等等。問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確?例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。球的定義:到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓 球弦截面圓直徑大圓周長(zhǎng)表面積面積體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑）的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓（不是大圓）的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球

4、心距離相等的兩截面圓相等;與球心距離不等的兩截面圓不等,距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)球的切面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心2、類比推理的定義：由兩個(gè)（兩類）對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比)3、類比推理的特點(diǎn)：類比推理是由特殊到特殊的推理4、類比推理的一般步驟:（1)找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征;(2)用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征,從而得出一個(gè)

5、猜想。觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論在數(shù)學(xué)中，我們可以由已經(jīng)解決的問(wèn)題和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā)，通過(guò)類比而提出新問(wèn)題和作出新發(fā)現(xiàn) 5、例3（課本例2）類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)分析：實(shí)數(shù)的加法和乘法都是由兩個(gè)數(shù)參與的運(yùn)算，都滿足一定的運(yùn)算律，都存在逆運(yùn)算,而且“0”和“1”分別在加法和乘法中占有特殊的地位因此我們可以從上述 4 個(gè)方面來(lái)類比這兩種運(yùn)算解:（1)兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過(guò)加法運(yùn)算或乘法運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí)數(shù) （2)從運(yùn)算律的角度考慮,加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律,即a + b = b + a ab=ba(a+b)+c=a+（b+c） （ab）c=a（bc)（3)從逆運(yùn)

6、算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，加法的逆運(yùn)算是減法,乘法的逆運(yùn)算是除法，這就使得方程a + x=0 ax=1 (a0 ) 都有唯一解x=-a x=(4）在加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大?。怀朔ㄖ械?與加法中的0類似，即任意實(shí)數(shù)與1的積都等于原來(lái)的數(shù),即 a + 0= a a1= a 運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對(duì)象例如，在立體幾何中，為了研究四面體的性質(zhì)，我們可以在平面幾何中尋找一個(gè)研究過(guò)的對(duì)象，通過(guò)類比這個(gè)對(duì)象的性質(zhì),獲得四面體性質(zhì)的猜想以及證明這些猜想的思路6、探究：你認(rèn)為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對(duì)象？ 可以從不同角度出發(fā)確定類比對(duì)象，如圍成四面體的幾何元素的數(shù)目

7、、位置關(guān)系、度量等從構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目看，可以把三角形作為四面體的類比對(duì)象例4（課本例3)類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想分析:考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，所以我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的個(gè)面是四面體,作為直角三角形的類比對(duì)象直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體c903個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊cpdfpdeedf90 4個(gè)面的面積s1，s2,s3和s 3個(gè)“直角面” s1，s2，s3和1個(gè)“斜面” s解：如圖所示，在rtabc中，由勾股定理，得. 于是，類比直角三角形的勾股定理，在四面體 p def 我們猜想。7、合情推理的定義:以上的

8、推理過(guò)程概括為：可見(jiàn)，歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理、我們把它們統(tǒng)稱為合情推理(plausible reasoning )。在數(shù)學(xué)研究中,得到一個(gè)新結(jié)論之前,合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向下面再來(lái)看一個(gè)例子例5(課本例4）如圖2 .1-2 所示,有三根針和套在一根針上的若干金屬片按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上1每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；2較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面試推測(cè):把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次？分析：

9、我們從移動(dòng)1， 2, 3， 4個(gè)金屬片的情形入手，探究其中的規(guī)律性，進(jìn)而歸納出移動(dòng) n個(gè)金屬片所需的次數(shù)解：當(dāng)n=1時(shí)，只需把金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，用符號(hào)（13 )表示，共移動(dòng)了1次當(dāng)n=2 時(shí)，為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面，我們利用2號(hào)針作為“中間針,移動(dòng)的順序是： (1)把第1個(gè)金屬片從1號(hào)針移到 2 號(hào)針； （2）把第2個(gè)金屬片從1號(hào)針移到 3 號(hào)針； （3)把第1個(gè)金屬片從2號(hào)針移到 3 號(hào)針用符號(hào)表示為：(12 ） （13 ) (23 ） 。 共移動(dòng)了3 次當(dāng)n=3 時(shí)，把上面兩個(gè)金屬片作為一個(gè)整體,則歸結(jié)為n=2 的情形，移動(dòng)順序是: （1)把上面兩個(gè)金屬片從1號(hào)

10、針移到2號(hào)針； (2）把第 3 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針; (3）把上面兩個(gè)金屬片從 2 號(hào)針移到3 號(hào)針其中（1）和(3）都需要借助中間針用符號(hào)表示為： ( 13 ) (12 ） （ 32 ) ; ( 13 ） ; （ 21 ） ( 23 ） （ 13 ） . 共移動(dòng)了 7 次當(dāng)n=4 時(shí)，把上面3個(gè)金屬片作為一個(gè)整體，移動(dòng)的順序是： (1)把上面3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針； (2)把第4個(gè)金屬片從 1 號(hào)針移到3號(hào)針; (3）把上面 3 個(gè)金屬片從 2 號(hào)針移到 3 號(hào)針用符號(hào)表示為： ( 12 ) （ 13 ) （23 ) (12 ) （31) (32 ） (12 ) ； (13 )

11、 ； ( 23 ） （21 ) (31 ) (23 ） （ 12 ) (13 ) (23 ) . 共移動(dòng)了15次至此，我們得到依次移動(dòng)1， 2, 3， 4 個(gè)金屬片所需次數(shù)構(gòu)成的數(shù)列：1, 3， 7,15. 觀察這個(gè)數(shù)列,可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著如下規(guī)律： 1 = 21- 1 ， 3 = 22 1， 7 = 23 1, 15 = 24 1. 由此我們猜想：若把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng)次，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 通過(guò)探究上述n=1，2,3,4時(shí)的移動(dòng)方法，我們可以歸納出對(duì)n 個(gè)金屬片都適用的移動(dòng)方法當(dāng)移動(dòng)n個(gè)金屬片時(shí)，可分為下列3個(gè)步驟： (1）將上面（n1）個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針；

12、 （2)將第 n 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針； （3）將上面（n 1）個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針這樣就把移動(dòng)n個(gè)金屬片的任務(wù)，轉(zhuǎn)化為移動(dòng)兩次（n-1）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第 n 個(gè)金屬片的任務(wù)而移動(dòng)（n-1）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次(n2)個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第(n1)個(gè)金屬片，移動(dòng)(n2）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次(n3）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第（n2）個(gè)金屬片 如此繼續(xù)，直到轉(zhuǎn)化為移動(dòng)1個(gè)金屬片的情形根據(jù)這個(gè)過(guò)程,可得遞推公式從這個(gè)遞推公式出發(fā),可以證明通項(xiàng)公式是正確的注:一般來(lái)說(shuō)，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠. 例如,法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到= 5, = 17 ,= 257 ，=65 537都是質(zhì)數(shù),于是他用歸納推