2-2方法技巧專題

1、方法技巧專題求函數(shù)最值的常用方法1.配方法配方法是求二次函數(shù)最值的基本方法，如F(x)af2(x)bf(x)c的函數(shù)的最值問題，可以考慮用配方法例1已知函數(shù)y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函數(shù)y的最小值【思路】將函數(shù)表達(dá)式按exex配方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量exex的二次函數(shù)【解析】y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex，f(t)t22at2a22.t2，f(t)t22at2a22(ta)2a22的定義域為2，)拋物線yf(t)的對稱軸為ta，當(dāng)a2且a0時，yminf(2)2(a1)2；當(dāng)a1，函數(shù)f(x)logax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小

2、值之差為，則a_.【思路】先判斷函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最值，然后利用條件求得參數(shù)a的值【解析】a1，函數(shù)f(x)logax在區(qū)間a,2a上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值分別為loga2a，logaa1.loga2，a4.故填4.【講評】解決這類問題的重要的一步就是判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性這一點(diǎn)處理好了，以下的問題就容易了一般而言，對一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在閉區(qū)間m，n上的最值：若函數(shù)f(x)在m，n上單調(diào)遞增，則f(x)minf(m)，f(x)maxf(n)；若函數(shù)f(x)在m，n上單調(diào)遞減，則f(x)minf(n)，f(x)maxf(m)；若

3、函數(shù)f(x)在m，n上不單調(diào)，但在其分成的幾個子區(qū)間上是單調(diào)的，則可以采用分段函數(shù)求最值的方法處理5導(dǎo)數(shù)法設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上的最大值和最小值應(yīng)為f(x)在(a，b)內(nèi)的各極值與f(a)、f(b)中的最大值和最小值利用這種方法求函數(shù)最值的方法就是導(dǎo)數(shù)法例5函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值、最小值分別是_【思路】先求閉區(qū)間上的函數(shù)的極值，再與端點(diǎn)函數(shù)值比較大小，確定最值【解析】因為f(x)3x23，所以令f(x)0，得x1(舍去)又f(3)17，f(1)3，f(0)1，比較得，f(x)的最大值為3，最小值為17.【講評】(1

4、)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的三個步驟：第一，求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；第二，求函數(shù)在端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b)；第三，比較上述極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，即得函數(shù)的最值(2)函數(shù)的最大值及最小值點(diǎn)必在以下各點(diǎn)中取得：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及其端點(diǎn)6平方法對含根式的函數(shù)或含絕對值的函數(shù)，有的利用平方法，可以巧妙地將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的、易于解決的函數(shù)最值問題例6已知函數(shù)y的最大值為M，最小值為m，則的值為()A.B.C. D.【思路】本題是無理函數(shù)的最值問題，可以先確定定義域，再兩邊平方，即可化為二次函數(shù)的最值問題，進(jìn)而可以利用二次函數(shù)的最值解決【解析】由題意，得所以函數(shù)的定義域為x

5、|3x1又兩邊平方，得y24242.所以當(dāng)x1時，y取得最大值M2；當(dāng)x3或1時，y取得最小值m2，選C【講評】對于形如y的無理函數(shù)的最值問題，可以利用平方法將問題化為函數(shù)y2(ab)2的最值問題，這只需利用二次函數(shù)的最值即可求得7數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖像求函數(shù)最值的一種常用的方法這種方法借助幾何意義，以形助數(shù)，不僅可以簡捷地解決問題，又可以避免諸多失誤，是我們開闊思路、正確解題、提高能力的一種重要途徑因此，在學(xué)習(xí)中，我們對這種方法要細(xì)心研讀，認(rèn)真領(lǐng)會，并正確地應(yīng)用到相關(guān)問題的解決之中例7對a，bR，記max|a，b|函數(shù)f(x)max|x1

6、|，|x2|(xR)的最小值是_【思路】本題實質(zhì)上是一個分段函數(shù)的最值問題先根據(jù)條件將函數(shù)化為分段函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合法求解【解析】由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，所以x.所以f(x)其圖像如圖所示由圖形易知，當(dāng)x時，函數(shù)有最小值，所以f(x)minf()|1|.8線性規(guī)劃法線性規(guī)劃法，是指利用線性規(guī)劃的基本知識求解函數(shù)最值的方法線性規(guī)劃法求解最值問題，一般有以下幾步：(1)由條件寫出約束條件；(2)畫出可行域，并求最優(yōu)解；(3)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)及最優(yōu)解，求出最值例8已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)同時滿足以下不等式：xy4，yx，x1，如果點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|OP|的最小值等于_，最大值等于_【思路】本題實質(zhì)上可以視為線性規(guī)劃問題，求解時，先找出約束條件，再畫可行域