長市普通高中高三質量監(jiān)測（二）數(shù)學（理）試題帶答案

1、長春市普通高中2016屆高三質量監(jiān)測（二）數(shù)學理科（試卷類型c）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項涂在答題卡上）1. 復數(shù)，在復平面內對應的點關于直線對稱，且，則a. b. c. d. 2. 設集合，則a. b. c. d. 3. 運行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為是否開始輸出結束a. b. c. d. 4. 若實數(shù)且，則下列不等式恒成立的是a. b. c. d. 5. 幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為a. b. c. d. 6. 已知變量服從正態(tài)分布，下列概率與相等的是 a.

2、b. c. d. 7. 已知為圓的直徑，點為直線上任意一點，則的最小值為a.b. c. d. 8. 設等差數(shù)列的前項和為，且，當取最大值時，的值為a. b. c. d. 9. 小明試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒時只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有 種.a. b. c. d. 10. 函數(shù)與的圖象關于直線對稱，則可能是a. b. c. d. 11. 已知函數(shù)滿足，當時，當時，若定義在上的函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是a. b. c. d. 12.過雙曲線的右支上一點，分別向圓和圓作切線，切點分別為,則的最小值為a. b. c. d. 第卷（非選擇題

3、，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 已知實數(shù)滿足，則的最小值為_.14. 已知向量，則當時，的取值范圍是_.15. 已知， 展開式的常數(shù)項為15，則_.16. 已知數(shù)列中，對任意的若滿足（為常數(shù)），則稱該數(shù)列為階等和數(shù)列，其中為階公和；若滿足（為常數(shù)），則稱該數(shù)列為階等積數(shù)列，其中為階公積.已知數(shù)列為首項為的階等和數(shù)列，且滿足；數(shù)列為公積為的階等積數(shù)列，且，設為數(shù)列的前項和，則 _.三、解答題（本大題包括6

4、小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17.（本小題滿分12分） 已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調減區(qū)間； (2) 已知的三個內角的對邊分別為，其中，若銳角滿足，且，求的面積.18. （本小題滿分12分）近年來我國電子商務行業(yè)迎來篷布發(fā)展的新機遇，2015年雙11期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達918億人民幣.與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次. (1)是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認

5、為商品好評與服務好評有關？(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的5次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量：求對商品和服務全好評的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；求的數(shù)學期望和方差.（，其中）19. （本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是菱形，平面，點為棱的中點，過作與平面平行的平面與棱，相交于，.（1）證明：為的中點；（2）若，且二面角的大小為，、的交點為，連接.求三棱錐外接球的體積.20. （本小題滿分12分）橢圓的左右焦點分別為，,且離心率為,點為橢圓上一動點，內切圓面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2) 設橢圓的左頂點為,過右焦點的直線與橢圓相交于,兩點，連結

6、, 并延長交直線分別于，兩點，以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標；若不是,請說明理由.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)在點處的切線與直線平行.（1）求實數(shù)的值及的極值；（2）若對任意，有，求實數(shù)的取值范圍；請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講.如圖，過圓外一點的作圓的切線，為切點，過的中點的直線交圓于、兩點，連接并延長交圓于點，連接交圓于點，若.（1）求證：；(2) 求證：四邊形是平行四邊形.23. （本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)）

7、，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；（2）若曲線與曲線交于,兩點，求的最大值和最小值.24. （本小題滿分10分）選修45：不等式選講.設函數(shù).(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2) 若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.長春市普通高中2016屆高三質量監(jiān)測（二）數(shù)學(理科)參考答案及評分參考a、b卷客觀題答案一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. c2. d3. c 4. a5. b6. c7. b8. a9. a 10. c 11. b12. d簡答與提示：1. 【命題意圖】本題主要考查集

8、合的化簡與交運算，屬于基礎題. 【試題解析】c 由題意可知，則，所以. 故選c.2. 【命題意圖】本題考查復數(shù)的乘法運算，以及復平面上的點與復數(shù)的關系，屬于基礎題.【試題解析】d復數(shù)在復平面內關于直線對稱的點表示的復數(shù)，所以. 故選d.3. 【命題意圖】本題主要考查不等式的運算性質，是書中的原題改編，考查學生對函數(shù)圖像的認識. 【試題解析】c根據函數(shù)的圖像與不等式的性質可知：當時，為正確選項，故選c.4. 【命題意圖】本題考查程序流程圖中循環(huán)結構的認識，是一道基礎題. 【試題解析】a由算法流程圖可知，輸出結果是首項為，公比也為的等比數(shù)列的前9項和，即為. 故選a.5. 【命題意圖】本題考查正態(tài)

9、分布的概念，屬于基礎題，要求學生對正態(tài)分布的對稱性有充分的認識. 【試題解析】b 由變量服從正態(tài)分布可知，為其密度曲線的對稱軸，因此. 故選b.6. 【命題意圖】本題通過幾何體的三視圖來考查體積的求法，對學生運算求解能力有一定要求. 【試題解析】c該幾何體可視為長方體挖去一個四棱錐，所以其體積為. 故選c.7. 【命題意圖】本題主要等差數(shù)列的性質，借助前項的取值來確定項數(shù)，屬于基礎題.【試題解析】b由題意，不妨設，則公差，其中，因此，即當時，取得最大值. 故選b.8. 【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關系以及向量的運算. 【試題解析】a由題可知，從圓外一點指向圓直徑的兩個端點的向量數(shù)量積為定

10、值，即為，其中為圓外點到圓心的距離，為半徑，因此當取最小值時，的取值最小，由方程的圖像可知的最小值為，故的最小值為1. 故選a.9. 【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)圖像，學生對三角函數(shù)圖像的對稱，誘導公式的運用是解決本題的關鍵.【試題解析】a由題意，設兩個函數(shù)關于對稱，則函數(shù)關于的對稱函數(shù)為，利用誘導公式將其化為余弦表達式為，令，則. 故選a.10. 【命題意圖】本題是一道排列組合問題，考查學生處理問題的方法，對學生的邏輯思維和抽象能力提出很高要求，屬于中檔題. 【試題解析】c 由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種

11、方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為，為35種；共計37種取法. 故選c.11. 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義與圓切線的性質，是一道中檔題. 【試題解析】b 由題可知，因此. 故選b.12. 【命題意圖】本題是最近熱點的函數(shù)圖像辨析問題，是一道較為復雜的難題. 【試題解析】d 由題可知函數(shù)在上的解析式為，又由可知的圖像關于點對稱，可將函數(shù)在上的大致圖像呈現(xiàn)如圖：根據的幾何意義，軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，其中時，聯(lián)立，并令，可求得. 因此直線的斜率的取值范圍是. 故選d.c、d卷客觀題答案一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1. d2. c3

12、. a 4. c5. c6. b7. a8. b9. c 10. a 11. d12. b簡答與提示：1. 【命題意圖】本題考查復數(shù)的乘法運算，以及復平面上的點與復數(shù)的關系，屬于基礎題.【試題解析】d復數(shù)在復平面內關于直線對稱的點表示的復數(shù)，所以. 故選d.2. 【命題意圖】本題主要考查集合的化簡與交運算，屬于基礎題. 【試題解析】c 由題意可知，則，所以. 故選c.3. 【命題意圖】本題考查程序流程圖中循環(huán)結構的認識，是一道基礎題. 【試題解析】a由算法流程圖可知，輸出結果是首項為，公比也為的等比數(shù)列的前9項和，即為. 故選a.4. 【命題意圖】本題主要考查不等式的運算性質，是書中的原題改編

13、，考查學生對函數(shù)圖像的認識. 【試題解析】c根據函數(shù)的圖像與不等式的性質可知：當時，為正確選項，故選c.5. 【命題意圖】本題通過幾何體的三視圖來考查體積的求法，對學生運算求解能力有一定要求. 【試題解析】c該幾何體可視為長方體挖去一個四棱錐，所以其體積為. 故選c.6. 【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的概念，屬于基礎題，要求學生對正態(tài)分布的對稱性有充分的認識. 【試題解析】b 由變量服從正態(tài)分布可知，為其密度曲線的對稱軸，因此. 故選b.7. 【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關系以及向量的運算. 【試題解析】a由題可知，從圓外一點指向圓直徑的兩個端點的向量數(shù)量積為定值，即為，其中為圓外點到圓

14、心的距離，為半徑，因此當取最小值時，的取值最小，由方程的圖像可知的最小值為，故的最小值為1. 故選a.8. 【命題意圖】本題主要等差數(shù)列的性質，借助前項的取值來確定項數(shù)，屬于基礎題.【試題解析】b由題意，不妨設，則公差，其中，因此，即當時，取得最大值. 故選b.9. 【命題意圖】本題是一道排列組合問題，考查學生處理問題的方法，對學生的邏輯思維和抽象能力提出很高要求，屬于中檔題. 【試題解析】c 由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為，為35種；共計37種取法. 故選c.1

15、0. 【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)圖像，學生對三角函數(shù)圖像的對稱，誘導公式的運用是解決本題的關鍵.【試題解析】a由題意，設兩個函數(shù)關于對稱，則函數(shù)關于的對稱函數(shù)為，利用誘導公式將其化為余弦表達式為，令，則. 故選a.11. 【命題意圖】本題是最近熱點的函數(shù)圖像辨析問題，是一道較為復雜的難題. 【試題解析】d 由題可知函數(shù)在上的解析式為，又由可知的圖像關于點對稱，可將函數(shù)在上的大致圖像呈現(xiàn)如圖：根據的幾何意義，軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，其中時，聯(lián)立，并令，可求得. 因此直線的斜率的取值范圍是. 故選d.12. 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義與圓切線的性質，是一道中檔題.

16、 【試題解析】b 由題可知，因此. 故選b.e、f卷客觀題答案一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.d【命題意圖】本題考查復數(shù)的乘法運算，以及復平面上的點與復數(shù)的關系，屬于基礎題.【試題解析】d復數(shù)在復平面內關于直線對稱的點表示的復數(shù)，所以. 故選d.2.c【命題意圖】本題主要考查不等式的運算性質，是書中的原題改編，考查學生對函數(shù)圖像的認識. 【試題解析】c根據函數(shù)的圖像與不等式的性質可知：當時，為正確選項，故選c.3. c【命題意圖】本題主要考查集合的化簡與交運算，屬于基礎題. 【試題解析】c 由題意可知，則，所以. 故選c.4. a【命題意圖】本題考查程序流程圖中循環(huán)結

17、構的認識，是一道基礎題. 【試題解析】a由算法流程圖可知，輸出結果是首項為，公比也為的等比數(shù)列的前9項和，即為. 故選a.5. b【命題意圖】本題主要等差數(shù)列的性質，借助前項的取值來確定項數(shù)，屬于基礎題.【試題解析】b由題意，不妨設，則公差，其中，因此，即當時，取得最大值. 故選b.6. c【命題意圖】本題通過幾何體的三視圖來考查體積的求法，對學生運算求解能力有一定要求. 【試題解析】c該幾何體可視為長方體挖去一個四棱錐，所以其體積為. 故選c.7. b【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的概念，屬于基礎題，要求學生對正態(tài)分布的對稱性有充分的認識. 【試題解析】b 由變量服從正態(tài)分布可知，為其密度曲線

18、的對稱軸，因此. 故選b. 8. a【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)圖像，學生對三角函數(shù)圖像的對稱，誘導公式的運用是解決本題的關鍵.【試題解析】a由題意，設兩個函數(shù)關于對稱，則函數(shù)關于的對稱函數(shù)為，利用誘導公式將其化為余弦表達式為，令，則. 故選a.9. a【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關系以及向量的運算. 【試題解析】a由題可知，從圓外一點指向圓直徑的兩個端點的向量數(shù)量積為定值，即為，其中為圓外點到圓心的距離，為半徑，因此當取最小值時，的取值最小，由方程的圖像可知的最小值為，故的最小值為1. 故選a.10. d【命題意圖】本題是最近熱點的函數(shù)圖像辨析問題，是一道較為復雜的難題. 【試題解

19、析】d 由題可知函數(shù)在上的解析式為，又由可知的圖像關于點對稱，可將函數(shù)在上的大致圖像呈現(xiàn)如圖：根據的幾何意義，軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，其中時，聯(lián)立，并令，可求得. 因此直線的斜率的取值范圍是. 故選d.11. c【命題意圖】本題是一道排列組合問題，考查學生處理問題的方法，對學生的邏輯思維和抽象能力提出很高要求，屬于中檔題. 【試題解析】c 由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為，為35種；共計37種取法. 故選c.12. b【命題意圖】本題主要考查雙曲線

20、的定義與圓切線的性質，是一道中檔題. 【試題解析】b 由題可知，因此. 故選b.主觀題答案二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 1【命題意圖】本題主要考查線性規(guī)劃問題，是一道常規(guī)題. 從二元一次方程組到可行域，再結合目標函數(shù)的幾何意義，全面地進行考查. 【試題解析】根據方程組獲得可行域如下圖，令，可化為，因此，當直線過點時，取得最小值為1. 14. 【命題意圖】平面向量的幾何意義是熱點問題，本題結合數(shù)形結合思想，考查平面向量的幾何意義，同時也對余弦定理的考查，對學生的計算求解能力提出很高要求. 【試題解析】由題意，為，根據向量的差的幾何意義，表示向量終點到終點的距離，當時

21、，該距離取得最小值為1，當時，根據余弦定理，可算得該距離取得最大值為，即的取值范圍是. 15. 【命題意圖】本題考查積分的運算，是一道中檔的常規(guī)問題. 【試題解析】由的常數(shù)項為，可得，因此原式為. 16. 【命題意圖】本題主要考查非常規(guī)數(shù)列求和問題，對學生的邏輯思維能力提出很高要求，屬于一道難題. 【試題解析】由題意可知，又是4階等和數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去，同理，又是3階等積數(shù)列，因此該數(shù)列將會照此規(guī)律循環(huán)下去，由此可知對于數(shù)列，每12項的和循環(huán)一次，易求出，因此中有168組循環(huán)結構，故. 三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17.(本小題滿分12分)【命題

22、意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的化簡運算，以及三角函數(shù)的性質，并借助正弦定理考查邊角關系的運算，對考生的化歸與轉化能力有較高要求. 【試題解析】解：(1) (3分)因此的最小正周期為. 的單調遞減區(qū)間為，即. (6分)(2) 由，又為銳角，則. 由正弦定理可得，則，由余弦定理可知，可求得，故. (12分)18(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，包括獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望和方差的求法. 本題主要考查學生對數(shù)據處理的能力.【試題解析】(1) 由題意可得關于商品和服務評價的列聯(lián)表：對服務好評對服務不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意70

23、1080合計15050200，可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務好評有關. (6分)(2) 每次購物時，對商品和服務都好評的概率為，且的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中；. 的分布列為：012345由于，則；. (12分)19 (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到面面的平行關系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用. 本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：(1)連結.，即為的中位線，即為中點.(4分)(2) 以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系， 則，從而，則，又，則. 由題可知，即三棱錐外接球為以、為長、寬、高的長方體外接球，則該長方體的體對角線長為，即外接球半徑為. 則三棱錐外接球的體積為. (12分)20.(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到橢圓方程的求法，直線與圓錐曲線的相關知識，以及恒過定點問題. 本小題對考生的化歸與轉化思想、運算求解能力都有很高要求. 【試題解析】解：(1) 已知橢圓的離心率為，不妨設，即，其中，又內切圓面積取最大值時，半徑取最大值為，由，由為定值，因此也取得最大值，即點為短軸端點，因此，解得，則橢圓的方程為. (4分)(