高中數(shù)學 .2 點、線、面之間的位置關(guān)系 .2.3. 直線與平面垂直教案 新人教B版必修2

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2。3。1 直線與平面垂直示范教案教學分析本節(jié)教材給出了兩直線垂直和直線與平面垂直的定義,并討論了判定定理和性質(zhì)在教學過程中，要注意調(diào)動學生的學習積極性，留出足夠思考時間,培養(yǎng)學生的思維能力值得注意的是盡量使用信息技術(shù)，以便突破難點對于判定定理的證明不作要求，僅供學習有余力的同學參考三維目標1掌握兩直線垂直和直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學生的空間想象能力2掌握直線與平面垂直的判定定理及其推論,提高學生的應(yīng)用能力重點難點教學重點:直線與平面垂直的判定定理及其推論教學難點：歸納判定定理，證明推論2。課時安排1課時導入新課設(shè)計1.（情境導入）日常生活中，我們對直線與平面垂

2、直有很多感性認識,比如,旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的印象在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子隨著時間的變化，盡管影子bc的位置在移動，但是旗桿ab所在直線始終與bc所在直線垂直也就是說，旗桿ab所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點b的直線bc也是垂直的設(shè)計2。（實例導入）如果一條直線垂直于一個平面的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？舉例說明如下圖，直線ac1與直線bd、ef、gh等無數(shù)條直線垂直，但直線ac1與平面abcd不垂直推進新課（1）閱讀教材,說說空間中兩直線垂直的定義(2）想想看，如果a，b是空間中的兩點,那么在空間中線段

3、ab的垂直平分線有多少條?ab的這些垂直平分線構(gòu)成的集合是怎樣的圖形（如下圖)？固定線段ab，讓l保持與ab垂直并繞直線ab在空間旋轉(zhuǎn),l的軌跡是怎樣的圖形？(3)歸納空間直線與平面垂直的定義(4）直線l平面,直線m，則l與m垂直嗎?討論結(jié)果：(1)如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點,并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直（2）容易發(fā)現(xiàn)，空間中線段ab的所有垂直平分線構(gòu)成的集合是一個平面（3)如果一條直線(ab）和一個平面()相交于點o，并且和這個平面內(nèi)過交點(o）的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直,這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面,交點叫做垂足垂線上

4、任意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段垂線段的長度叫做這個點到平面的距離 （4)如下圖，如果la，垂足為o，直線m是平面內(nèi)不過點o的任意一條直線，那么在內(nèi)過點o，可引直線ma，根據(jù)空間直線與平面垂直的定義，由la可得lm.這就是說：如果一條直線垂直于一個平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如上下圖所示直線l和平面互相垂直，記作l.(1)用直線與平面垂直的定義，直接檢驗直線是否與平面垂直是困難的。想想看，判定直線與平面垂直是否有容易操作又比較簡單的方法？(2)直線l直線m，l平面，則m與垂直嗎？(3)直線l平

5、面，直線m，則l與m有何位置關(guān)系？討論結(jié)果:（1）我們已經(jīng)知道，一個平面被它所含的兩條相交直線完全確定實際上只要檢驗這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線是否垂直就可以了，如果都垂直,則這條直線就與平面垂直當這兩條相交直線不都經(jīng)過這條直線與平面的交點時，可以把它們平行移動到交點處后進行研究由以上分析，我們歸納出直線與平面垂直的判定定理：定理如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直 （2）如下圖，如果直線l平行于直線m，且直線l垂直于平面，則直線l垂直于平面內(nèi)任意兩條相交直線，如a，b.根據(jù)空間兩條直線垂直的定義,易知，m與直線a和b也垂直，所以m與平面垂直推論1如果在兩條平行直

6、線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面(3）推論2如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行已知：直線l平面，直線m平面，垂足分別為a，b（如下圖)求證：lm。證明：假設(shè)直線m不與直線l平行過直線m與平面的交點b，作直線ml,由直線與平面垂直的判定定理的推論可知m.設(shè)m和m確定的平面為，與的交線為a。因為直線m和m都垂直于平面，所以直線m和m都垂直于交線a。因為在同一平面內(nèi)，通過直線上一點并與已知直線垂直的直線不可能有兩條,所以直線m和m必重合，即有l(wèi)m。思路1例1 過一點和已知平面垂直的直線只有一條已知：平面和一點p(如下圖）甲乙求證：過點p與垂直的直線只有一條證明:不

7、論點p在外或內(nèi)，設(shè)pa,垂足為a(或p）如果過點p,除直線pa外，還有一條直線pb,設(shè)pa,pb確定的平面為，且a，于是在平面內(nèi)過點p有兩條直線pa，pb垂直于交線a，這是不可能的所以過點p與垂直的直線只有一條變式訓練如下圖所示，在rtabc中，b90,p為abc所在平面外一點，pa平面abc。問：四面體pabc中有幾個直角三角形？解：因為pa平面abc，所以paab，paac，pabc.所以pab，pac為直角三角形又pabc，abbc，且paaba，所以bc平面pab。又pb平面pab，于是bcpb，所以pbc也為直角三角形所以四面體pabc中的四個面都是直角三角形例2有一根旗桿ab高8

8、m(如下圖),它的頂端a掛著兩條長10 m的繩子,拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點c，d(和旗桿腳不在同一條直線上）如果這兩點都和旗桿腳b的距離是6 m，那么旗桿就和地面垂直,為什么？解:在abc和abd中，因為ab8 m，bcbd6 m，acad10 m，所以ab2bc28262102ac2，ab2bd26282102ad2.所以abcabd90,即abbc，abbd。又知b,c，d三點不共線,因此ab平面bcd，即旗桿和地面垂直變式訓練如下圖所示，rtabc所在平面外一點s，且sasbsc。(1)求證：點s與斜邊ac中點d的連線sd面abc；(2）若直角邊babc，求證：bd面asc

9、。證明：（1）在等腰三角形sac中，d為ac的中點,sdac,取ab的中點e，連de、se。edbc,abbc，deab.又seab，ab面sed,absd，又abaca，sd面abc.（2）babc，bdac，又sd面abc，sdbd，sdacd，bd面asc。例3 已知：直線l平面，垂足為a，直線apl。求證:ap在內(nèi)證明：設(shè)ap與l確定的平面為。假設(shè)ap不在內(nèi)，則設(shè)與相交于直線am(如下圖）因為l，am,所以lam.又已知apl，于是在平面內(nèi)，過點a有兩條直線垂直于l.這是不可能的，所以ap一定在內(nèi)變式訓練如下圖，已知直線ab，b，a。求證：a。證明：在直線a上取一點a，過a作bb,則b

10、必與相交，設(shè)交點為b,過相交直線a、b作平面,設(shè)a，bb，ab，ab.b，bb，b.又a,ba.由a，b，a都在平面內(nèi)，且ba，ba知aa。a.點評：反復(fù)使用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，是解決立體幾何垂直問題的常用策略.2。 2008安徽,理4 已知m，n是兩條不同直線，,是三個不同平面下列命題中正確的是（）a若m,n,則mn b若，則c若m,m，則 d若m，n，則mn解析：垂直于同一個平面的兩條不同的直線平行答案：d思路2例4 如下圖,在正方體abcda1b1c1d1，g為cc1的中點，o為底面abcd的中心求證:a1o平面gbd.證明: 又a1o2a1a2ao2a2(a)2a2，og2o

11、c2cg2(a)2（)2a2，a1g2a1cc1g2(a)2（）2a2，a1o2og2a1g2.a1oog.又bdogo，a1o平面gbd.點評：判斷線面垂直往往轉(zhuǎn)化為線線垂直，勾股定理也是證明線線垂直的重要方法變式訓練如下圖，已知點p為平面abc外一點，pabc，pcab，求證：pbac.證明：過p作po平面abc于o，連結(jié)oa、ob、oc。po平面abc，bc平面abc，pobc.又pabc，bc平面pao.又oa平面pao,bcoa.同理，可證aboc。o是abc的垂心obac?？勺Cpoac。ac平面pbo.又pb平面pbo，pbac。點評：欲證線面垂直需要轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，欲證線線垂

12、直往往轉(zhuǎn)化為線面垂直用符號語言證明問題顯得清晰、簡潔如下圖，已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為a。(1）求證：bd1平面b1ac；(2）求b到平面b1ac的距離(1）證明:abb1c,bc1b1c,b1c面abc1d1。又bd1面abc1d1，b1cbd1。b1bac,bdac，ac面bb1d1d。又bd1面bb1d1d，acbd1.又b1cacc，bd1平面b1ac.(2)解:obd，連結(jié)ob1交bd1于e.又oac，ob1面b1ac.beoe，且be即為所求距離，beobaa.2已知a、b、c是平面內(nèi)相交于一點o的三條直線，而直線l和平面相交，并且和a、b、c三條直線成等角求證:l

13、。證明：分別在a、b、c上取點a、b、c并使aoboco。設(shè)l經(jīng)過o,在l上取一點p,在poa、pob、poc中,popopo，aoboco，poapobpoc，poapobpoc。papbpc.取ab的中點d，連接od、pd,則odab，pdab.pdodd，ab平面pod。po平面pod,poab.同理，可證pobc.ab,bc,abbcb，po,即l.若l不經(jīng)過點o時，可經(jīng)過點o作ll.用上述方法證明l，l。如下圖，在三棱錐s-abc中，側(cè)面sab與側(cè)面sac均為等邊三角形，bac90，o為bc中點證明so平面abc.證明：如下圖，由題設(shè)，知abacsbscsa。連結(jié)oa，abc為等腰直角三角形，所以oaobocsa，且aobc。又sbc為等腰三角形，故sobc,且sosa。從而oa2so2sa2。所以soa為直角三角形，soao.又aobco，所以so平面abc.本節(jié)學習了：1兩直線垂直、直線與平面垂直的有關(guān)概念；2判定直線與平面垂直和直線與直線垂直;3轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法應(yīng)用本節(jié)練習a5題；練習b4，5題本節(jié)教學設(shè)計容量較大，拓展內(nèi)容較多，建議課前要求學生預(yù)習，在教學中使用信息技術(shù)，減少板書內(nèi)容，把教學時間應(yīng)用到判定定理的應(yīng)用上鏡面對稱如下圖（1)所示，如果平面通過線段aa的中點o,且垂直于直線aa，那么平面叫做線段a