高中數(shù)學 第一章 推理與證明 1.3 反證法（2）教案 北師大版選修2-2

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精反證法一、教學目標：結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程與特點.二、教學重點：了解反證法的思考過程與特點教學難點：正確理解、運用反證法三、教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程（一）、復習:反證法的思考過程與特點。反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾,從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法.反證法可以分為歸謬反證法（結論的反面只有一種）與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為:（1）反設；(2）歸謬;（3）結論。

2、反設是反證法的基礎,為了正確地作出反設,掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有（n一1)個；至多有一個/至少有兩個;唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā),否則推導將成為無源之水,無本之木。推理必須嚴謹.導出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。(二）、探究新課反證法是數(shù)學中非構造性證明中的極重要的方法。對于處理存在性問題、否

3、定性問題、唯一性問題和至多、至少性問題，反證法具有特殊的優(yōu)越性。例1、已知,求證:中，至少有一個數(shù)大于25。證明：假設命題的結論不成立,即均不大于25，那么，這與已知條件相矛盾。所以,中，至少有一個數(shù)大于25。例2、求證:1，2，不可能是一個等差數(shù)列中的三項。證明：假設1，2，是公差為d的等差數(shù)列的第p，q,r項，則，于是.因為p,q，r均為整數(shù)，所以等式右邊是有理數(shù),而等式左邊是無理數(shù)，二者不可能相等,推出矛盾。所以，1,2，不可能是一個等差數(shù)列中的三項。例3、如圖所示,直線a平行于平面，是過直線a的平面，平面與相交于直線b，求證：直線a平行于直線b。證明：假設命題的結論不成立，即“直線a不

4、平行于直線b”。由于直線a，b在同一平面中,且直線a，b不平行。故直線a，b相交，設交點為a，a在直線b上,故a在平面上。所以，直線a與平面相交于a.這與條件“直線a平行于平面”矛盾。因此，假設不成立,即“直線a平行于直線b”。（三）、小結：反證法與直接證法是相對而言的,在證明過程中我們不能僵化的使用反證法.對于一個證明來說，可能要交替地使用這兩種證法。1.哪些命題適宜用反證法加以證明？籠統(tǒng)地說，正面證明繁瑣或困難時宜用反證法；具體地講,當所證命題的結論為否定形式或含有“至多、“至少等不確定詞，此外，“存在性”、“唯一性問題. 2.歸謬是“反證法的核心步驟，歸謬得到的邏輯矛盾，常見的類型有哪些

5、?歸謬包括推出的結果與已知定義、公理、定理、公式矛盾,或與已知條件、臨時假設矛盾，以及自相矛盾等各種情形。（四）、練習：1、課本練習2.2、（1）用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（ )（ a ） 假設三內角都不大于60度； (b) 假設三內角都大于60度；(c） 假設三內角至多有一個大于60度； （d） 假設三內角至多有兩個大于60度.(2）已知2,關于pq的取值范圍的說法正確的是（ ）（a）一定不大于2 （b)一定不大于 (c）一定不小于 （d）一定不小于2解析 用反證法可得(1）應選（b） （2）應選（a）3、 用反證法證明命題“如果那么時，假設的內容應為_.解析：用反證法可得應填 或4、如果為無理數(shù)，求證是無理數(shù).提示:假設為有理數(shù)，則可表示為（為整數(shù))，即. 由,則也是有理數(shù)，這與已知矛盾. 是無理數(shù)。(五）、作業(yè)：課本習題13： 1、5補充題：對于直線l：y=kx+1,是否存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線c：3xy=1的交點a、b關于直線y=ax（a為常數(shù))對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。證明：(反證法）假設存在實數(shù)k，使得a、b關于直線y=ax對稱,設a（x1，y1）、b（x