勾股定理(含幾何畫板)

1、勾股定理勾股定理 在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部 分稱為分稱為 勾勾 ，下半部分稱為，下半部分稱為 股股 。我國古代學(xué)者。我國古代學(xué)者 把直角三角形較短的直角邊稱為把直角三角形較短的直角邊稱為“勾勾”，較長的，較長的 直角邊稱為直角邊稱為“股股”，斜邊稱為，斜邊稱為“弦弦”. . 勾勾 股股 這是一個會標(biāo)， 同學(xué)們認(rèn)識這是什么大會的會標(biāo)嗎？ 20022002年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo) 這個圖案是我國這個圖案是我國 漢代數(shù)學(xué)家趙爽漢代數(shù)學(xué)家趙爽 在證明勾股定理在證明勾股定理 時用到的，被稱時用到的，被稱 為為“趙爽弦圖趙爽弦圖”

2、 相傳相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次年前，畢達(dá)哥拉斯有一次 在朋友家里做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪在朋友家里做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪 成的地面中反映了直角三角形三邊的某成的地面中反映了直角三角形三邊的某 種數(shù)量關(guān)系種數(shù)量關(guān)系 畢達(dá)哥拉斯（公畢達(dá)哥拉斯（公 元前元前572前前 492），古希臘），古希臘 著名的哲學(xué)家、著名的哲學(xué)家、 數(shù)學(xué)家、天文學(xué)數(shù)學(xué)家、天文學(xué) 家。家。 我們也來觀察上圖中的地面，我們也來觀察上圖中的地面， 看看有什么發(fā)現(xiàn)？看看有什么發(fā)現(xiàn)？ 畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯 B A C 你能發(fā)現(xiàn)圖中直角三角形有什么性質(zhì)嗎你能發(fā)現(xiàn)圖中直角三角形有什么性質(zhì)嗎? A B C A B C （圖中每

3、個小方格代表一個單位面積） 圖1-1 圖1-2 （1）觀察圖）觀察圖1-1 正方形正方形A中含有中含有 個個 小方格，即小方格，即A的面積是的面積是 個單位面積。個單位面積。 正方形正方形B的面積是的面積是 個單位面積。個單位面積。 正方形正方形C的面積是的面積是 個單位面積。個單位面積。 9 9 9 18 （圖中每個小方格代表一個單位面積） 圖1-1 圖1-2 （1）你能發(fā)現(xiàn)圖）你能發(fā)現(xiàn)圖1-1 中三個正方形中三個正方形A，B， C的面積之間有什么的面積之間有什么 關(guān)系嗎？關(guān)系嗎？ SA+SB=SC 即：等腰直角三角形兩條直角邊上的正方即：等腰直角三角形兩條直角邊上的正方 形面積之和等于形面

4、積之和等于 斜邊上的正方形的面積斜邊上的正方形的面積 勾股定理：勾股定理： 如果如果直角三角形直角三角形的兩直角邊長分別為的兩直角邊長分別為a a，b b， 斜邊長為斜邊長為c c，那么，那么 a2 +b2 =c2 直角三角形直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 希臘的著明數(shù)學(xué)家畢達(dá)格拉斯發(fā)希臘的著明數(shù)學(xué)家畢達(dá)格拉斯發(fā) 現(xiàn)了這個定理，為現(xiàn)了這個定理，為“畢達(dá)格拉斯畢達(dá)格拉斯” 定因此世界上許多國家都稱勾股定定因此世界上許多國家都稱勾股定 理理為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，理理為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)， 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝 供

5、奉神靈，因此這個定理又有人叫供奉神靈，因此這個定理又有人叫 做做“百牛定理百牛定理” 你知道嗎？你知道嗎？ 證明結(jié)論證明結(jié)論 設(shè)圖中直角三角形的兩條直設(shè)圖中直角三角形的兩條直 角邊分別為角邊分別為a a、b b，斜邊為，斜邊為c c， 那么圖中大正方形的面積應(yīng)那么圖中大正方形的面積應(yīng) 該如何計算呢？該如何計算呢？ 222 222 22 2 2 22 )( 2 1 4 )( cba caabbab cabab ab c 即： 所以： 小正方形的面積： 解：大正方形的面積： 在在1876年一個周末的傍晚年一個周末的傍晚,美國華盛頓的郊外美國華盛頓的郊外, 有一位中年人正在散步有一位中年人正在散步,

6、欣賞黃昏的美景欣賞黃昏的美景,他就是當(dāng)時他就是當(dāng)時 美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著他走著走著,突然發(fā)現(xiàn)附近突然發(fā)現(xiàn)附近 的一個小石凳上的一個小石凳上,有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁从袃蓚€小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?時而時而 大聲爭論大聲爭論,時而小聲探討時而小聲探討.由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩 個小孩走去個小孩走去,想搞清楚兩個小孩到底在干什么想搞清楚兩個小孩到底在干什么,只見一個小男孩只見一個小男孩 正俯著身子，用樹枝在地上畫一個直角三角形，于是伽菲爾德正俯著身子，用樹枝在地上畫一個直角三角形，于是伽菲爾德

7、 便問，你們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：便問，你們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問請問 先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別是和先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別是和4，那么斜邊，那么斜邊 長為多少呢？長為多少呢？”伽菲爾德答到：伽菲爾德答到：“是呀。是呀。”小男孩又問道：小男孩又問道： “如果兩條直角邊分別為和，那么這個直角三角形的斜邊如果兩條直角邊分別為和，那么這個直角三角形的斜邊 長又是多少呢？長又是多少呢？”伽菲爾德不假思索地回答到：伽菲爾德不假思索地回答到：“那斜邊的平那斜邊的平 方，一定等于方，一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又說道：小男

8、孩又說道：“先生，先生， 你能說出其中的道理嗎？你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋伽菲爾德一時語塞，無法解釋 了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛 心探討小男孩給他留下的難題。心探討小男孩給他留下的難題。 “總統(tǒng)總統(tǒng)”證法證法 (a + b)(b + a) = a2 + a2 + b2= c2 a a b b c c 伽菲爾德經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其伽菲爾德經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其 中的道理，并給出了簡潔的證明方法中的道理，并給出了簡潔的證明方法1876年年4月月1日，日， 伽菲爾德

9、在伽菲爾德在新英格蘭教育日志新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定上發(fā)表了他對勾股定 理的這一證法。理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總年，伽菲爾德就任美國第二十任總 統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、 明了的證明，就稱這一證法稱為明了的證明，就稱這一證法稱為“總統(tǒng)總統(tǒng)”證法。證法。 2 1 c+ 2( ) + ab+ b = cab ab 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 勾股定理勾股定理的的命名命名 1.1.約約20002000年前年前, ,我國古代算書我國古代算書周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中就中就 記載了公元前記載了公

10、元前11201120年我國古人發(fā)現(xiàn)的年我國古人發(fā)現(xiàn)的“勾三股勾三股 四弦五四弦五”. .當(dāng)時把較短的直角邊叫做勾當(dāng)時把較短的直角邊叫做勾, ,較長的較長的 邊叫做股邊叫做股, ,斜邊叫做弦斜邊叫做弦. “. “勾三股四弦五勾三股四弦五”的意的意 思是思是, ,在直角三角形中在直角三角形中, , 如果勾為如果勾為3,3,股為股為4,4,那么那么 弦為弦為5.5. 2.西方國家稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理西方國家稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.畢達(dá)畢達(dá) 哥拉哥拉(Pythagoras,約公元前約公元前580前前500年年)是古是古 希臘杰出的數(shù)學(xué)家希臘杰出的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家天文學(xué)家,哲學(xué)家哲學(xué)家.他不僅

11、提他不僅提 出了定理出了定理,而且努力探求證明方法而且努力探求證明方法. 欣賞欣賞 1 1 2 5 12 13 7 24 25 9 40 41 12 3 3 4 5 常見的直角三角形 比比 一一 比比 看看 看看 誰誰 算算 得得 快！快！ 求下列直角三角形中未知邊的長求下列直角三角形中未知邊的長: : 可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小結(jié)方法小結(jié): 8 8 x x 1717 1616 2020 x x 1212 5 5 x x 牛刀小試 2.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值. 8181 144144 x x y y z z 625625 576576 144144 169

12、169 牛刀小試 3 3已知一個已知一個RtRt的兩邊長分別為的兩邊長分別為3 3和和4 4， 則第三邊長的平方是（）則第三邊長的平方是（） A A、2525B B、14 C14 C、7 7DD、7 7或或2525 2 2下列各組數(shù)中，以下列各組數(shù)中，以a a，b b，c c為邊的三角形為邊的三角形 不是不是RtRt的是（）的是（） A A、a=1.5a=1.5，b=2,c=3b=2,c=3 B B、a=7,b=24,c=25a=7,b=24,c=25 C C、a=6,b=8,c=10a=6,b=8,c=10DD、a=3,b=4,c=5a=3,b=4,c=5 若若abab=34=34，c=10

13、c=10， 則則RtRtABCABC的面積為的面積為_。 若若a=15a=15，c=25c=25，則，則b=_b=_； 1.1.在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90， 若若a=5a=5，b=12b=12，則，則c=_c=_； 若若c=61c=61，b=60b=60，則，則a=_a=_； 基礎(chǔ)練習(xí) 、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過程？、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過程？ 經(jīng)歷了從實際問題引入數(shù)學(xué)問題然后發(fā)現(xiàn)定理，經(jīng)歷了從實際問題引入數(shù)學(xué)問題然后發(fā)現(xiàn)定理， 再到探索定理，最后學(xué)會驗證定理及應(yīng)用定理解決實再到探索定理，最后學(xué)會驗證定理及應(yīng)用定理解決實 際問題的過程。際問題的過程。 、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？ 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們不但知道了著名的勾股定通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們不但知道了著名的勾股定 理，還知道從理，還知道從特殊到一般特殊到一般的探索方法及借