自動(dòng)化車床模型(數(shù)學(xué)建模)[稻谷書屋]

1、自動(dòng)化車床管理模型摘要 本文研究的是自動(dòng)化車床管理中定期檢查和預(yù)防性保全刀具問(wèn)題。在現(xiàn)代技術(shù)下，被動(dòng)地等待故障發(fā)生，然后投入較高資金處理出現(xiàn)的問(wèn)題，這種傳統(tǒng)的處理方法已經(jīng)不符合工業(yè)生產(chǎn)和現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展要求。為解決此問(wèn)題，我們共建立兩個(gè)模型，使自動(dòng)化車床管理方略更科學(xué)、更合理。對(duì)于問(wèn)題一：我們通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法，巧妙地建立了生產(chǎn)每一個(gè)零件的平均損失費(fèi)用（包括預(yù)防保全費(fèi)用, 檢查費(fèi)用, 和故障造成的不合格品損失和修復(fù)費(fèi)用，即）關(guān)于刀具定期更換間隔的單變量函數(shù)關(guān)系，并利用MATLAB等數(shù)學(xué)計(jì)算工具和多種方法，對(duì)進(jìn)行逐個(gè)賦值，最終得到：當(dāng)件時(shí)，取得最小值元，再根據(jù)與固定檢查間隔之間的函數(shù)關(guān)系得到：件。

2、對(duì)于問(wèn)題二：此問(wèn)中效益函數(shù)計(jì)算的費(fèi)用與第一問(wèn)相比，增加了錯(cuò)誤判斷帶來(lái)的損失費(fèi)用，我們將因誤判帶來(lái)的費(fèi)用考慮到生產(chǎn)每一個(gè)零件的平均損失費(fèi)用中，用與第一問(wèn)類似的模型求解，得到當(dāng)件時(shí)，取得最小值元，對(duì)應(yīng)固定檢查間隔件。對(duì)于問(wèn)題三：保持問(wèn)題二的情況，我們建立新的模型，并采取連續(xù)檢查多個(gè)零件（最多3次）的方法，降低誤判率，從而達(dá)到減少每個(gè)零件的平均管理費(fèi)用，使模型更優(yōu)化。最終得到在工序發(fā)生故障時(shí)誤判率為0.208，比檢查一次的誤判率0.4減少0.192，誤判率減小了50%；在工序正常時(shí)誤判率為0.000792，比檢查一次的誤判率0.02減少0.019208，誤判率降低了96.04%，從而使模型得到優(yōu)化。

3、關(guān)鍵詞：自動(dòng)化車床管理 效益函數(shù) 正態(tài)分布 誤判率1.問(wèn)題重述一道工序用自動(dòng)化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會(huì)出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%, 其它故障僅占5%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)的, 假定在生產(chǎn)任一零件時(shí)出現(xiàn)故障的機(jī)會(huì)均相同。工作人員通過(guò)檢查零件來(lái)確定工序是否出現(xiàn)故障。現(xiàn)積累有100次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的零件數(shù)如附表?，F(xiàn)計(jì)劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。已知生產(chǎn)工序的費(fèi)用參數(shù)如下：故障時(shí)產(chǎn)出的零件損失費(fèi)用 f=200元/件；進(jìn)行檢查的費(fèi)用 t=10元/次；發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用 d=3000元/次(包括刀具費(fèi))；未發(fā)現(xiàn)故障時(shí)更換一把

4、新刀具的費(fèi)用 k=1000元/次。要求解的問(wèn)題：1)假定工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時(shí)產(chǎn)出的零件均為合格品, 試對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔（生產(chǎn)多少零件檢查一次）和刀具更換策略。2)如果該工序正常時(shí)產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為1500元/次。對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。3）在2)的情況, 可否改進(jìn)檢查方式獲得更高的效益。附:100次刀具故障記錄(完成的零件數(shù)) （見(jiàn)附錄1）2.模型假設(shè)和符號(hào)說(shuō)明2.1模型的假設(shè)1.換刀間隔和檢查間隔很短，這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生

5、的零件數(shù)可以忽略；2.檢查時(shí)一旦發(fā)現(xiàn)不合格品生產(chǎn)立即停止；3.假設(shè)該工序只需用一個(gè)刀具；4.工序出現(xiàn)故障是隨機(jī)的，且加工每個(gè)零件時(shí)出現(xiàn)故障的概率相同。2.2符號(hào)說(shuō)明故障時(shí)產(chǎn)出的零件損失費(fèi)用，本題=200元每次進(jìn)行檢查的費(fèi)用，本題=10元/次發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用 (包括刀具費(fèi))，本題=3000元/次未發(fā)現(xiàn)故障時(shí)更換一把新刀具的費(fèi)用，本題=1000元/次生產(chǎn)每個(gè)零件的平均管理成本（平均損失費(fèi)用）零件生產(chǎn)定期檢查間隔刀具定期更換間隔工序的平均故障間隔（包括刀具和故障和其他故障）相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障時(shí), 件零件中不合格品的平均數(shù)平均故障率， 進(jìn)行預(yù)防保全更換道具后，刀故障平

6、均間隔非刀具故障（其他故障）平均間隔工序正常時(shí)不合格品率，本題第二問(wèn)中=2%工序故障時(shí)合格品率，本題第二問(wèn)中=40%工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用，本題=1500元/次因誤判兩次故障間隔產(chǎn)生的不合格品均值3. 問(wèn)題分析本題研究的是自動(dòng)化車床管理中定期檢查和預(yù)防性保全刀具問(wèn)題。由于發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用和故障時(shí)產(chǎn)出的零件損失費(fèi)用較高，而檢查費(fèi)用和更換刀具費(fèi)用較低，因此，在未進(jìn)行定期檢查和預(yù)防性更換刀具時(shí)損失費(fèi)用明顯要高，更新管理后，要確定最優(yōu)的管理方案，得到合適的檢查間隔和刀具更換策略，即刀具定期更換間隔和檢查間隔，使損失費(fèi)用最少。我們選擇建立一個(gè)效益函數(shù)L（生產(chǎn)每個(gè)零件的

7、平均損失費(fèi)用），通過(guò)求L最小值來(lái)確定刀具定期更換間隔和生產(chǎn)檢查間隔。針對(duì)問(wèn)題一：因?yàn)樾б婧瘮?shù)包括預(yù)防保全費(fèi)用, 檢查費(fèi)用, 和故障造成的不合格品損失和修復(fù)費(fèi)用（即），我們按每個(gè)零件分?jǐn)?，分別列式子算出、求和。在求解、過(guò)程中，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定刀具壽命的經(jīng)驗(yàn)分布或擬合分布F (x )，并且得到相關(guān)參數(shù)，確定無(wú)預(yù)防性更換刀具時(shí)刀具故障的平均間隔和采取有預(yù)防性更換策略時(shí)刀具故障間隔的表達(dá)式，同時(shí)利用與之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，最后得到關(guān)于刀具定期更換間隔的單變量函數(shù)，可通過(guò)取不同的步長(zhǎng)逐個(gè)求出的值，找到的最小值和對(duì)應(yīng)的值，并通過(guò)所得求出對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)檢查間隔。針對(duì)問(wèn)題二：第二問(wèn)中條件變?yōu)樵摴ば蛘r(shí)產(chǎn)出的零

8、件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品且工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為1500元/次。所以第二問(wèn)中計(jì)算效益函數(shù)時(shí)要考慮兩種誤判情況帶來(lái)的損失，一是工序正常時(shí)檢查到不合格品，誤判停機(jī)將使檢查的費(fèi)用增加；二是工序故障時(shí)檢查到合格品，將繼續(xù)生產(chǎn)直到下一次檢查，使不合格數(shù)量增多造成的損失。效益函數(shù)的表達(dá)式因此有所改變，但建模方法基本與第一問(wèn)相似。針對(duì)問(wèn)題三：在第二問(wèn)情況下只定期檢查一個(gè)零件造成了許多誤判的情況，從而使每個(gè)零件的平均管理費(fèi)用較高。針對(duì)這種情況，我們采取適當(dāng)連續(xù)檢查多個(gè)零件降低誤判率的方法達(dá)到減少每個(gè)零件的平均管理費(fèi)用，是模型更

9、優(yōu)化。4.數(shù)據(jù)分析刀具故障時(shí)加工的零件服從正態(tài)分布根據(jù)所給的100個(gè)樣本數(shù)據(jù)用Excel統(tǒng)計(jì)可得以下結(jié)果：表4.1 樣本統(tǒng)計(jì)結(jié)果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)100平均值600標(biāo)準(zhǔn)偏差196.6291695最小值84最大值1153小數(shù)位數(shù)0區(qū)間個(gè)數(shù)16區(qū)間寬度66.875圖4.1 樣本分布直方圖再利用6SQ統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)得到如下結(jié)果：表4.2 刀具故障時(shí)加工的零件服從正態(tài)分布的檢驗(yàn)結(jié)果假設(shè)檢驗(yàn)零假設(shè)服從正態(tài)分布自由度9卡方統(tǒng)計(jì)量2.521839719p值0.980290368顯著性水平0.05結(jié)果接受零假設(shè)5問(wèn)題一解答5.1 模型一的建立首先，在預(yù)防保全措施下，定義平均每一個(gè)零件的損失費(fèi)用（效益函數(shù)）

10、為，表達(dá)式為： （1） 其中，為預(yù)防保全費(fèi)用, 檢查費(fèi)用, 為故障造成的不合格品損失和修復(fù)費(fèi)用。為工序平均故障間隔，為相鄰兩次檢查的后一次檢查發(fā)現(xiàn)故障時(shí)，件零件中不合格品的平均數(shù)。令在相鄰兩次檢查的后一次發(fā)現(xiàn)故障的條件下，出現(xiàn)件不合格品的概率為：則得 ： （2）上式中， 上式經(jīng)運(yùn)算可得： 由此得到與的函數(shù)關(guān)系，代入(1) 得： （3） 然后給出的100 個(gè)數(shù)據(jù)分析算出無(wú)預(yù)防性更換時(shí), 刀具故障平均間隔為=600 件，再根據(jù)題設(shè)刀具故障占95% , 非刀具故障占5% , 故非刀具平均故障間隔為=11400件，其次由100 個(gè)數(shù)據(jù)確定刀具壽命的經(jīng)驗(yàn)分布或擬合分布得密度函數(shù)： 為分布函數(shù)。其中，所以

11、當(dāng)進(jìn)行預(yù)防保全定期更換刀具時(shí), 刀故障的平均間隔為：工序的平均故障間隔由 和 決定, 滿足 即： 由此得到和之間的函數(shù)關(guān)系。5.2模型一的求解對(duì)目標(biāo)函數(shù)(3) 的參數(shù)進(jìn)行如下優(yōu)化： 1.給定， 計(jì)算出,代入(3)可得知是 的函數(shù),易得當(dāng) 時(shí)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極??； 2. 按一定的步長(zhǎng)取的值, 采取逐漸縮小范圍并逐個(gè)求出 的極小值及相應(yīng)的值, 其中使最小者所對(duì)應(yīng)的和 即為所求。本步驟我們?cè)贛ATLAB軟件中計(jì)算（對(duì)應(yīng)程序段見(jiàn)附錄2）得到的結(jié)果如下： 元，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 件，件圖5.1 取值與的變化關(guān)系圖5.3結(jié)果分析： 通過(guò)逐步求解，我們得到當(dāng)定期換刀間隔為342件，定期檢查間隔為16件時(shí)，使得生產(chǎn)每個(gè)零

12、件的平均管理成本（平均損失費(fèi)用）達(dá)到極小值5.297元。由取值與的變化關(guān)系圖我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)步長(zhǎng)的取值小于或大于342件時(shí)均會(huì)使平均損失費(fèi)用增大。6.問(wèn)題二的解答6.1確立新目標(biāo)函數(shù)關(guān)系令，第二問(wèn)的效益函數(shù)要考慮兩種誤判。一是工序正常時(shí)檢查到不合格品誤判停機(jī), 將使損失的費(fèi)用增加；二是工序故障時(shí)檢查到合格品, 將繼續(xù)生產(chǎn)直到下一次檢查, 使不合格品數(shù)量增加,此時(shí)兩次故障間由此產(chǎn)生的不合格品平均數(shù)為：上式中 為工序故障時(shí)的合格品率, 為工序在生產(chǎn)一零件時(shí)的平均故障率,故在第該問(wèn)的條件下, 效益函數(shù)應(yīng)為： （4）上式中是工序正常時(shí)零件的不合格品率, 元為第一種誤判產(chǎn)生停機(jī)的損失費(fèi)。6.2問(wèn)題二的求解計(jì)

13、算再應(yīng)用與問(wèn)題一相同的模型代入式（4）并用MATLAB軟件求解（對(duì)應(yīng)程序段件附錄3）可得以下結(jié)果：元，此時(shí)對(duì)應(yīng)的 件，件圖6.1 取值與的變化關(guān)系圖63結(jié)果分析： 在第二問(wèn)的條件下運(yùn)用和第一問(wèn)相同的模型逐步求解，我們得到當(dāng)定期換刀間隔為299件，定期檢查間隔為18件時(shí)，使得生產(chǎn)每個(gè)零件的平均管理成本（平均損失費(fèi)用）達(dá)到極小值7.381元。再由取值與的變化關(guān)系圖我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)步長(zhǎng)的取值小于或大于299件時(shí)均會(huì)使平均損失費(fèi)用增大。7.問(wèn)題三的解答7.1模型二的建立由于在第二問(wèn)情況下生產(chǎn)出的零件不完全是合格品或是不合格品,只定期檢查一個(gè)零件時(shí),不免會(huì)出現(xiàn)許多誤判,造成不必要的損失.。今改進(jìn)檢查方式,采

14、取適當(dāng)連續(xù)檢查多個(gè)零件降低誤判率，盡量避免這樣的損失,將獲得更高的效益。具體方法如下：假設(shè)工序發(fā)生了故障：第一次檢查第二次檢查第三次檢查結(jié)論結(jié)論正確性發(fā)生概率11未發(fā)生故障否0.16101未發(fā)生故障否0.096011未發(fā)生故障否0.096010發(fā)生故障是0.14400發(fā)生故障是0.036誤判率=0.208（表中“1”表示檢測(cè)到合格品，“0”表示檢查到不合格品）假設(shè)工序未發(fā)生了故障：第一次檢查第二次檢查第三次檢查結(jié)論結(jié)論正確性發(fā)生概率11未發(fā)生故障是0.9604101未發(fā)生故障是0.019208011未發(fā)生故障是0.019208010發(fā)生故障否0.00039200發(fā)生故障否0.00004誤判率=

15、0.000792（表中“1”表示檢測(cè)到合格品，“0”表示檢查到不合格品）7.2結(jié)論及分析在進(jìn)行檢查時(shí)，不能由一次檢查結(jié)果妄下結(jié)論，這可能因誤判造成大的損失。由以上模型可以得出：在工序發(fā)生故障時(shí)誤判率為0.208，比檢查一次的誤判率0.4減少0.192；在工序正常時(shí)誤判率為0.000792，比檢查一次的誤判率0.02減少0.019208。因?yàn)樵诠ば蚬收蠒r(shí)誤判引起的損失為200元/件，工序正常時(shí)因誤判停機(jī)造成的損失為1500/次，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于檢查費(fèi)用10元/次。另外，此工序檢查的錯(cuò)誤率得到極大降低，對(duì)于其他工序的正常運(yùn)行也有一定共貢獻(xiàn)，帶來(lái)了間接效益。所以采取適當(dāng)連續(xù)多檢查幾次從而大幅度減小誤判率的

16、策略可以獲得更高效益。8.模型的評(píng)價(jià)、改進(jìn)和推廣8.1模型的評(píng)價(jià) 優(yōu)點(diǎn)：1.通過(guò)建立的模型確定了最優(yōu)的檢查間隔和道具更換間隔，從而將平均每一個(gè)零件的損失成本降低；2.優(yōu)化后的模型二將檢查的錯(cuò)誤率極大地降低，提高了生產(chǎn)效率和效益；3.由于工序故障率較低，將平均每一個(gè)合格零件的損失費(fèi)用近似等于平均每一個(gè)零件的損失費(fèi)用，使模型得到簡(jiǎn)化。 缺點(diǎn)：1. 忽略了換刀間隔和檢查間隔時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的零件數(shù)；2.實(shí)際生產(chǎn)中還要考慮流水線上的其他工序的狀態(tài)與此工序的相互影響，里沒(méi)有考慮。8.2模型的改進(jìn)由于流水線上的其他工序與此工序往往是關(guān)聯(lián)的，尤其是故障率和誤判率對(duì)其他工序有很大影響。因此各工序應(yīng)看作整體，綜合起來(lái)

17、考慮，得到的評(píng)價(jià)參數(shù)對(duì)工業(yè)生產(chǎn)會(huì)更有實(shí)際指導(dǎo)意義。8.3模型的推廣該模型可以廣泛應(yīng)用于汽車、飛機(jī)等機(jī)械零部件加工、電子儀器生產(chǎn)等生產(chǎn)車間的管理中，一方面有助于降低成本，另一方面提高機(jī)器的工作效率。參考文獻(xiàn)：1 盛驟，謝式千,潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),北京 ：高等教育出版社，2008.6。2 孫山澤，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，北京：北京大學(xué)，2000.1（1）。附錄附錄1：100次刀具故障記錄(完成的零件數(shù))459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251

18、3781474388824538862659775859755649697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851附錄2：?jiǎn)栴}一MATLAB求解程序：a=1:1500; l=1000./a+20./sqrt(1140*cxs(a)./(cxs(a)+11400)+31/114+3100./cxs(a); pl

19、ot(a,l) axis(0 900 0 30)ylabel(每個(gè)零件的平均管理成本/元)xlabel(刀具定期更換間隔/件)function f=cxe(x)f=normcdf(x,600,196.6);function u=cxs(m)k=0;for i=1:m-1 k=i*(cxe(i)-cxe(i-1)+k;endu=(1./cxe(m).*(k+m.*(1-cxe(m);最小值的判斷：fun=inline(1000./x+20./sqrt(1140*cxs(x)./(cxs(x)+11400)+31/114+3100./cxs(x)fun = Inline function: fun

20、(x) = 1000./x+20./sqrt(1140*cxs(x)./(cxs(x)+11400)+31/114+3100./cxs(x) x,feval,exitflag,output=fminbnd(fun,0,900)x = 342.0000feval = 5.2972exitflag = 1output = iterations: 31 funcCount: 32 algorithm: golden section search, parabolic interpolation message: 1x112 char附錄3：?jiǎn)栴}二MATLAB求解程序：a=1:1500; l=1000

21、./a+(1./sqrt(1140*cxs(a)./(11400+cxs(a).*(10+30*(1-1./cxs(a)-1/11400).sqrt(1140*cxs(a)./(11400+cxs(a)+. (1140+cxs(a)./(114*cxs(a).*(sqrt(1140*cxs(a)./(11400+cxs(a)+1)+. 400/3*sqrt(11400+cxs(a)./(114000*cxs(a)+30*(11400+cxs(a)./(114*cxs(a); plot(a,l) axis(0 900 0 30) ylabel(每個(gè)零件的平均管理成本/元)xlabel(刀具定期更換間隔/件)function f=cxe(x) f=normcdf(x,600,196.6);function u=cxs(m)k=0;for i=1:m-1 k=i*(cxe(i)-cxe(i-1)+k;endu=(1./cxe(m).*(k+m.*(1-cxe(m);最小值的判斷：fun=inl