2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.2 導數(shù)的計算 第2課時 導數(shù)的運算法則教學案 2-2

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時導數(shù)的運算法則預習課本p1518,思考并完成下列問題(1)導數(shù)的四則運算法則是什么?在使用運算法則時的前提條件是什么？（2）復合函數(shù)的定義是什么，它的求導法則又是什么？1導數(shù)的四則運算法則（1）條件:f(x)，g（x)是可導的(2)結(jié)論：f(x)g（x）f(x）g(x)f（x)g(x)f(x)g（x）f（x）g（x）(g(x）0）點睛應用導數(shù)公式的注意事項(1)兩個導數(shù)的和差運算只可推廣到有限個函數(shù)的和差的導數(shù)運算（2）兩個函數(shù)可導,則它們的和、差、積、商（商的分母不為零)必可導（3)若兩個函數(shù)不可導,則它們的和、差、積、商不一定不可導(4）對于較復雜的函數(shù)式

2、，應先進行適當?shù)幕喿冃危癁檩^簡單的函數(shù)式后再求導，可簡化求導過程2復合函數(shù)的求導公式(1）復合函數(shù)的定義：一般形式是yf（g(x)可分解為yf（u）與ug(x),其中u稱為中間變量(2）求導法則：復合函數(shù)yf(g（x）)的導數(shù)和函數(shù)yf（u），ug（x）的導數(shù)間的關系為:yxyuux.1判斷（正確的打“”，錯誤的打“”）（1）f(x）2x，則f(x)x2.(）（2)函數(shù)f（x）xex的導數(shù)是f(x）ex(x1）（）(3)函數(shù)f（x)sin（x)的導數(shù)為f(x)cos x(）答案：(1)（2）（3)2函數(shù)ysin xcos x的導數(shù)是（)aycos 2xsin 2xbycos 2xcy2co

3、s xsin x dycos xsin x答案：b3函數(shù)yxcos xsin x的導數(shù)為_答案：xsin x 4若f（x)(2xa)2，且f(2)20，則a_。答案：1利用導數(shù)四則運算法則求導典例求下列函數(shù)的導數(shù):（1)yx2log3x；（2)yx3ex；（3）y。解 （1)y（x2log3x)（x2)（log3x)2x.(2）y(x3ex)（x3）exx3（ex）3x2exx3exex(x33x2)（3）y。求函數(shù)的導數(shù)的策略（1）先區(qū)分函數(shù)的運算特點,即函數(shù)的和、差、積、商,再根據(jù)導數(shù)的運算法則求導數(shù)(2)對于三個以上函數(shù)的積、商的導數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個”函數(shù)的積、商的導數(shù)計算活學活用求下

4、列函數(shù)的導數(shù)：（1）ysin x2x2；(2）ycos xln x；(3)y。解：（1)y（sin x2x2)（sin x）（2x2)cos x4x.(2）y(cos xln x）（cos x)ln xcos x（ln x)sin xln x.(3）y復合函數(shù)的導數(shù)運算典例求下列函數(shù)的導數(shù)：(1）y;(2）yesin(axb)；（3)ysin2；（4)y5log2（2x1）解（1）設yu,u12x2，則y（u) (12x2)(4x)（12x2） (4x)2x(12x2）。(2）設yeu，usin v，vaxb,則yxyuuvvxeucos vaacos（axb)esin(axb）(3)設yu2

5、，usin v，v2x,則yxyuuvvx2ucos v24sin vcos v2sin 2v2sin。(4）設y5log2u，u2x1,則y5(log2u）(2x1）.1求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟2求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點(1）內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)(2）求每層函數(shù)的導數(shù)時注意分清是對哪個變量求導，這是求復合函數(shù)導數(shù)時的易錯點活學活用 求下列函數(shù)的導數(shù):(1）y(3x2）2；(2)yln（6x4）；(3）ye2x1;（4）y；（5）ysin；（6)ycos2x。解：(1）y2(3x2）(3x2）18x12;(2)y(6x4）；(3）ye2x1（2x1)2e2x1；(4)y(2x1） 。(

6、5）ycos3cos.(6）y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2x.與切線有關的綜合問題典例(1)函數(shù)y2cos2x在x處的切線斜率為_（2）已知函數(shù)f(x）ax2ln x的導數(shù)為f(x），求f(1)f（1)若曲線yf(x）存在垂直于y軸的切線,求實數(shù)a的取值范圍解析（1）由函數(shù)y2cos2x1cos 2x，得y(1cos 2x)2sin 2x，所以函數(shù)在x處的切線斜率為2sin1.答案:1（2)解：由題意，函數(shù)的定義域為（0,)，由f（x）ax2ln x，得f(x)2ax，所以f(1）f(1)3a1。因為曲線yf（x)存在垂直于y軸的切線，故此時切線斜率為0,問題轉(zhuǎn)化

7、為在x（0,）內(nèi)導函數(shù)f（x)2ax存在零點，即f（x）02ax0有正實數(shù)解,即2ax21有正實數(shù)解，故有a0，所以實數(shù)a的取值范圍是(,0）關于函數(shù)導數(shù)的應用及其解決方法(1）應用：導數(shù)應用主要有:求在某點處的切線方程,已知切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應用(2)方法:先求出函數(shù)的導數(shù)，若已知切點則求出切線斜率、切線方程若切點未知,則先設出切點，用切點表示切線斜率,再根據(jù)條件求切點坐標總之，切點在解決此類問題時起著至關重要的作用活學活用若存在過點(1,0）的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a的值為()a1或b1或c或 d或7解析：選a設過點（1，0）的直線與曲線yx3

8、相切于點(x0,x）,則切線方程為yx3x（xx0）,即y3xx2x。又點(1,0)在切線上，代入以上方程得x00或x0.當x00時，直線方程為y0.由y0與yax2x9相切可得a。當x0時,直線方程為yx。由yx與yax2x9相切可得a1。層級一學業(yè)水平達標1已知函數(shù)f(x）ax2c,且f（1）2,則a的值為()a1b.c1 d0解析：選af(x)ax2c,f（x）2ax，又f（1)2a，2a2，a1.2函數(shù)y（x1)2（x1）在x1處的導數(shù)等于（）a1 b2c3 d4解析：選dy（x1）2(x1）（x1)2(x1）2（x1)（x1)(x1)23x22x1，y|x14.3曲線f(x）xln

9、x在點x1處的切線方程為（）ay2x2 by2x2cyx1 dyx1解析：選cf（x）ln x1，f（1）1，又f（1)0，在點x1處曲線f（x)的切線方程為yx1.4。 已知物體的運動方程為st2(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t2時的速度為(）a. b。c。 d.解析：選ds2t,s|t24。5設曲線yaxln（x1）在點（0,0）處的切線方程為y2x，則a（）a0 b1c2 d3解析：選dya,由題意得y|x02,即a12，所以a3。6曲線yx3x3在點（1,3)處的切線方程為_解析：y3x21，yx131212.切線方程為y32（x1），即2xy10。答案:2xy107已知曲線y1

10、2與y2x3x22x在xx0處切線的斜率的乘積為3,則x0_。解析：由題知y1，y23x22x2,所以兩曲線在xx0處切線的斜率分別為,3x2x02，所以3，所以x01。答案:18已知函數(shù)f（x）fcos xsin x，則f的值為_解析:f（x）fsin xcos x，ff，得f1。f(x）（1）cos xsin x.f1。答案:19求下列函數(shù)的導數(shù)：（1)yxsin2x；(2）y；(3)y；(4)ycos xsin 3x.解：（1)y（x)sin2xx(sin2x)sin2xx2sin x(sin x)sin2xxsin 2x.(2）y .（3）y。(4)y(cos xsin 3x)(cos

11、 x)sin 3xcos x(sin 3x）sin xsin 3x3cos xcos 3x3cos xcos 3xsin xsin 3x。10偶函數(shù)f(x)ax4bx3cx2dxe的圖象過點p(0，1),且在x1處的切線方程為yx2，求f(x)的解析式解：f(x)的圖象過點p(0,1），e1.又f（x）為偶函數(shù)，f（x)f（x）故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0。f(x）ax4cx21。函數(shù)f（x)在x1處的切線方程為yx2，切點為(1，1）ac11。f（x）|x14a2c，4a2c1。a，c.函數(shù)f(x）的解析式為f（x）x4x21。層級二應試能力達標1若函數(shù)f(

12、x)ax4bx2c滿足f（1)2，則f(1）等于（)a1b2c2 d0解析：選bf(x)4ax32bx為奇函數(shù),f（1）f（1)2.2曲線yxex1在點(1,1）處切線的斜率等于(）a2e bec2 d1解析：選c函數(shù)的導數(shù)為f（x）ex1xex1（1x)ex1，當x1時，f（1)2，即曲線yxex1在點（1,1)處切線的斜率kf（1）2，故選c。3已知函數(shù)f（x)的導函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(e)ln x，則f（e)(）ae1 b1ce1 de解析：選cf(x)2xf(e）ln x，f(x）2f（e），f(e)2f(e），解得f(e)，故選c.4若f(x)x22x4ln x,則f

13、(x)0的解集為（)a(0,) b(1，0)(2，）c（2，） d（1，0)解析：選cf（x）x22x4ln x，f（x)2x20，整理得0,解得1x0或x2，又因為f（x)的定義域為（0，)，所以x2。5已知直線y2x1與曲線yln（xa)相切，則a的值為_解析:yln(xa)，y，設切點為(x0，y0)，則y02x01，y0ln(x0a),且2，解之得aln 2.答案:ln 26曲線y在點（1,1)處的切線為l,則l上的點到圓x2y24x30上的點的最近距離是_解析：y，則y1，切線方程為y1（x1），即xy20,圓心（2，0)到直線的距離d2,圓的半徑r1，所求最近距離為21。答案：21

14、7已知曲線f(x）x3axb在點p(2，6）處的切線方程是13xy320。(1）求a，b的值；(2)如果曲線yf(x）的某一切線與直線l：yx3垂直，求切點坐標與切線的方程解：(1)f（x）x3axb的導數(shù)f（x）3x2a，由題意可得f（2）12a13，f（2)82ab6，解得a1，b16.(2）切線與直線yx3垂直，切線的斜率k4.設切點的坐標為(x0，y0),則f(x0）3x14，x01。由f(x)x3x16，可得y0111614,或y0111618.則切線方程為y4（x1）14或y4（x1)18。即y4x18或y4x14.8設fn（x）xx2xn1，x0，nn,n2。(1)求fn(2);(2)證明：fn（x）在內(nèi)有且僅有一個零點(記為an)，且0an.解：（1)由題設fn（x)12xnxn1.所以fn（2)122（n1）2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，得，fn（2）12222n1n2nn2n(1n)2n1