2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法同步配套教學(xué)案 -5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精三 反證法與放縮法 對應(yīng)學(xué)生用書p241反證法（1）反證法證明的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立,從此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等）矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不成立，從而證明原命題成立（2）反證法證明不等式的一般步驟：假設(shè)命題不成立；依據(jù)假設(shè)推理論證；推出矛盾以說明假設(shè)不成立，從而斷定原命題成立2放縮法（1）放縮法證明的定義:證明不等式時,通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式,從而達(dá)到證明的目的（2)放縮法的理論依據(jù)有:不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子

2、(分母）異分母(分子）的兩個分式大小的比較 對應(yīng)學(xué)生用書p24利用反證法證明不等式例1已知f(x）x2pxq。求證:（1）f(1）f（3）2f(2）2；（2）f（1），f|（2），f(3)|中至少有一個不小于。思路點撥“不小于”的反面是“小于，“至少有一個”的反面是“一個也沒有”證明（1)f(1）f(3)2f(2)(1pq)（93pq）2（42pq)2。（2）假設(shè)|f（1）|，f(2）|，|f(3)都小于,則f（1）2|f（2)|f(3)|2.而f（1)|2f(2)|f(3）|f（1）f(3）2f（2）2矛盾,|f(1），|f（2），f（3）|中至少有一個不小于.(1)反證法適用范圍：凡涉及不

3、等式為否定性命題，唯一性、存在性命題可考慮反證法如證明中含“至多”，“至少”，“不能”等詞語的不等式(2)注意事項:在對原命題進(jìn)行否定時，應(yīng)全面、準(zhǔn)確,不能漏掉情況，反證法體現(xiàn)了“正難則反的策略,在解題時要靈活應(yīng)用1實數(shù)a，b，c不全為0的等價條件為（）aa,b，c均不為0ba，b，c中至多有一個為0ca，b，c中至少有一個為0da,b，c中至少有一個不為0解析：“不全為0”是對“全為0的否定，與其等價的是“至少有一個不為0”答案：d2證明:三個互不相等的正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列,則a，b，c不可能成等比數(shù)列證明：假設(shè)a,b，c成等比數(shù)列,則b2ac.又a，b，c成等差數(shù)列abd，cbd(其中

4、d公差)acb2(bd)(bd）b2b2d2.d20，d0。這與已知中a，b,c互不相等矛盾假設(shè)不成立a，b，c不可能成等比數(shù)列3已知函數(shù)yf（x）在r上是增函數(shù)，且f(a)f（b）f（b)f(a），求證：ab。證明：假設(shè)ab時，af（b)，f（b）f(a）,于是有f（a）f(b）f（b)f(a)與已知矛盾故假設(shè)不成立a(xyz)思路點撥解答本題可對根號內(nèi)的式子進(jìn)行配方后再用放縮法證明證明 |x|x。同理可得：y，z,由于x,y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加得：(xyz)（1）利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，審慎地采取措施，進(jìn)

5、行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失?。?）一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負(fù)項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換以較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的4設(shè)n是正整數(shù)，求證：1.證明:由2nnkn(k1，2，n），得。當(dāng)k1時，;當(dāng)k2時，；當(dāng)kn時，將以上n個不等式相加得：1.5設(shè)f（x)x2x13，a，b0,1，求證：f（a)f(b)|ab.證明：f（a)f（b）|a2ab2b（ab）（ab1)|abab10a1,0b10ab2，1ab11，|ab1|1.|f(a)f（b)|ab. 對應(yīng)學(xué)生用書p

6、251如果兩個正整數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個數(shù)(）a兩個都是偶數(shù)b一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)c至少一個是偶數(shù)d恰有一個是偶數(shù)解析：假設(shè)這兩個數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個數(shù)的積也是奇數(shù)，這與已知矛盾，所以這兩個數(shù)至少一個為偶數(shù)答案:c2設(shè)x0，y0，m，n，則m,n的大小關(guān)系為(）amn bmncmn d不確定解析：nm。答案:b3設(shè)a,b,c是正數(shù)，pabc，qbca，rcab,則“pqr0”是“p，q，r同時大于零”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：必要性顯然成立充分性:若pqr0，則p，q，r同時大于零或其中有兩個負(fù)的,不妨設(shè)p0，q0,r0.因為p0，q0.即a

7、bc，bca.所以abbcca.所以b0，與b0矛盾，故充分性成立答案：c4對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：（ab)2（bc）2(ca)20；ab與ab及ac中至少有一個成立；ac，bc,ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)為(）a0個 b1個c2個 d3個解析：對，若(ab）2(bc）2（ca)20,則abc，與已知矛盾；故對；對,當(dāng)ab與ab及ac都不成立時，有abc,不符合題意，故對；對，顯然不正確答案：c5若要證明“a,b至少有一個為正數(shù)”，用反證法的反設(shè)應(yīng)為_答案：a，b中沒有任何一個為正數(shù)（或a0且b0)6lg9lg11與1的大小關(guān)系是_解析：lg 90，lg 110

8、.1.lg 9lg 111。答案：lg 9lg 1117完成反證法整體的全過程題目:設(shè)a1，a2，a7是1,2,3，,7的一個排列，求證：乘積p（a11)(a22）（a77）為偶數(shù)證明：反設(shè)p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因奇數(shù)個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)_0。但奇數(shù)偶數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)解析：反設(shè)p為奇數(shù),則（a11)，(a22），（a77)均為奇數(shù)因為奇數(shù)個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)（a11）（a22）(a77）（a1a2a7）(1237)0。但奇數(shù)偶數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)答案：(a11)，(a22），,（a77)(a11)(a22）（a77)（a1a2a7）(1237)8實數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，且acbd1，求證：a,b，c,d中至少有一個是負(fù)數(shù)證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)由abcd1知：a,b，c,d0，1從而ac,bd.acbd1。即acbd1.與已知acbd1矛盾，a，b,c,d中至少有一個是負(fù)數(shù)9求證：2.證明：因為，所以11(1)（)（）22.10證明拋物線xy2上，不存在關(guān)于直線xy10對稱的兩點證明：假設(shè)拋物線xy2上存在兩點a（a2，a）b（b2，b)(ab)關(guān)于直線xy10對稱由kab1，且a、b的中點在直線x