三對角矩陣的逆的算法及MATLAB實現(xiàn)—學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文

1、 2014屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文三對角矩陣的逆的算法及matlab實現(xiàn)學(xué) 號：姓 名：班 級：指導(dǎo)教師：專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別：數(shù)學(xué)系完成時間： 年 月學(xué)生誠信承諾書本人鄭重聲明：所呈交的論文 是我個人在導(dǎo)師 指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得長治學(xué)院數(shù)學(xué)系或其他教育機構(gòu)的學(xué)位或證書所使用過的材料。所有合作者對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。簽名： 日期： 論文使用授權(quán)說明本人完全了解長治學(xué)院數(shù)學(xué)系有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印

2、件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。簽名： 日期： 指導(dǎo)教師聲明書本人聲明：該學(xué)位論文是本人指導(dǎo)學(xué)生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過論文的全部內(nèi)容，并能夠保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準(zhǔn)確性。 學(xué)位論文指導(dǎo)教師簽名： 時間 摘要三對角矩陣在現(xiàn)實生活中有很多的應(yīng)用，因此三對角矩陣的計算近年來被廣泛地研究。分塊周期三對角矩陣在科學(xué)和工程計算方面應(yīng)用廣泛，塊三對角矩陣和分塊帶狀矩陣在數(shù)學(xué)、物理和工程上的很多問題中都有重要的應(yīng)用。本文基于三對角矩陣的結(jié)構(gòu)特點，給出了利用解線性方程組的方法、lu分解的方法求三對角矩陣逆矩陣的新算

3、法，這些新算法運算量小，節(jié)省內(nèi)存，在整個計算過程中，只需要進(jìn)行較少次的乘除運算，新算法比傳統(tǒng)算法的計算復(fù)雜度和計算時間要低。 其次，通過算例來表示該算法的有效性和可行性。 最后，利用matlab編程來實現(xiàn)三對角矩陣逆矩陣的新算法。關(guān)鍵詞：分塊周期三對角矩陣；塊三對角矩陣；分塊帶狀三對角矩陣；解線性方程組；lu分解法；逆矩陣；matlabtriple diagonal matrix inverse algorithm and matlababstracttriple diagonal matrix in real life there are many applications, so the

4、triple diagonal matrix calculation was widely studied in recent years. block periodic triple diagonal matrix is applied widely in science and engineering calculation, and the block triple diagonal matrix block banded matrices in mathematics, physics and engineering has important applications in many

5、 of the problems, in this paper, based on the structure characteristics of triple diagonal matrices, is given by using the method of solving linear equations, the recursive method, lu decomposition of the new method to calculate the inverse matrix of triple diagonal matrix algorithm, the new algorit

6、hm computational complexity is small, save memory, in the whole computing process, only needs less arithmetic, a new algorithm than the traditional algorithm of computing complexity and computing time.second by an example to show the feasibility and effectiveness of the algorithmfinally, using matla

7、b to realize the triple diagonal matrix inverse matrix of the new algorithmkey words: block periodic triple diagonal matrix; block-triple diagonal matrix; block banded triple diagonal matrix; solution of linear equations; lu decomposition method; inverse matrix; matlab.目錄1.引言52.基礎(chǔ)知識62.1 定義162.2 定義26

8、2.3 定義373.分塊周期三對角矩陣逆的新算法73.1 分塊三對角矩陣的一些性質(zhì)73.2 求分塊周期三對角矩陣逆矩陣的新算法104.塊三對角矩陣的逆的算法114.1 塊三對角矩陣的一些性質(zhì)114.2 塊三對角矩陣的逆134.2.1 塊三對角矩陣逆的性質(zhì)135.三對角矩陣逆元素的表示145.1 一般三對角矩陣145.2 用解線性方程組的方法求三對角矩陣的逆的算法165.2.1 基本原理與算法165.2.2三對角矩陣的逆矩陣的算法186.三對角矩陣逆的算法的matlab實現(xiàn)187.結(jié)束語188.參考文獻(xiàn)18附錄19致謝191.引言1.1 課題來源及選題意義三對角矩陣是計算數(shù)學(xué)的重要組成部分。它是

9、研究代數(shù)問題的三對角矩陣快速算法及有關(guān)理論的一門學(xué)科，它既涉及數(shù)學(xué)理論方面的研究，又涉及工程設(shè)計方面的研究。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計算機的普及，矩陣?yán)碚摵头椒ǖ玫搅嗽絹碓綇V泛的應(yīng)用。在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)理論及管理科學(xué)中，大量地涉及到矩陣的理論，特別是一些具有特殊結(jié)構(gòu)的三對角矩陣，相應(yīng)的計算規(guī)模也越來越大。近十幾年來，國防科技和國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的許多領(lǐng)域中就不斷地提出了大型或超大型科學(xué)計算問題。由于矩陣在各個學(xué)術(shù)領(lǐng)域和重要應(yīng)用課題中所起的不可替代的作用，故有必要對其進(jìn)行細(xì)致的研究?？茖W(xué)技術(shù)和工程應(yīng)用中需要進(jìn)行大量地矩陣計算，而這些矩陣自身往往具備一些特殊的結(jié)構(gòu)，這既是本文所研究的一類重要而特殊的

10、稀疏矩陣三對角矩陣的求逆問題，該類矩陣經(jīng)常出現(xiàn)在信號處理、圖像處理和數(shù)值分析等學(xué)科的一些應(yīng)用問題中。在該類矩陣的有關(guān)研究中，求逆是一個重要的問題，且一直是人們的研究熱點，目前已有一些研究三對角矩陣求逆的成果。由于在許多科學(xué)技術(shù)與工程應(yīng)用中，經(jīng)常會出現(xiàn)大量的三對角矩陣的逆的算法進(jìn)行計算，所以我們有必要對三對角矩陣的逆的算法進(jìn)行研究。1.2 研究現(xiàn)狀對于三對角矩陣逆的算法及matlab實現(xiàn)，目前很多學(xué)者根據(jù)一些三對角矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，用不同的方法對三對角矩陣逆的算法及matlab實現(xiàn)做了很多研究，并取得一定的成就。例如2012年杜永恩，陸全，徐仲利用lu和ul分解，并使用sheman-morriso

11、n-woodbury 公式，得到一個求分塊周期三對角矩陣逆矩陣的新算法(見2)；冉瑞生和黃廷祝利用lu和ul分解給出了兩個絞形塊分解，建立了一個塊三對角矩陣求逆的算法（見3）；劉長河,劉世祥,汪元倫用解線性方程組方法得到求逆的算法（見5）；余承依,陳躍輝,趙立群利用周期三對角矩陣的結(jié)構(gòu)特點,借助矩陣的crout分解的方法給出了一種求三對角矩陣逆矩陣的的算法（見6）；車毅,徐仲,雷小娜利用遞歸方法給出了求分塊周期三對角矩陣的逆矩陣的一種新算法（見7）；冉瑞生,黃廷祝,劉興平等研究了具有doolittle分解的三對角矩陣的求逆，得到一個求逆的算法(見8)。不少學(xué)者研究了三對角矩陣的逆，并進(jìn)一步給出

12、了求三對角矩陣逆矩陣的新算法，而且新算法的計算量要比傳統(tǒng)算法小，計算效率有顯著提高，但其算法的實現(xiàn)還有待探究文中，為了討論的方便，記三對角矩陣為（1.1）且定義n個數(shù)：=，=-（=2,n）。為方便起見，我們約定若, =1。.本文研究以求解分塊周期三對角矩陣逆矩陣的新算法、塊三對角矩陣逆矩陣的新算法、分塊帶狀三對角矩陣求逆的算法、三對角矩陣逆元素的表示、稀疏矩陣的逆的算法，用算例來表示該算法的有效性和可行性。最后用matlab編程來實現(xiàn)三對角矩陣求逆矩陣的算法。2.基礎(chǔ)知識2.1 定義1 階矩陣 稱為三對角矩陣. 如果，當(dāng). 2.2 定義2 設(shè)分塊周期三對角矩陣有如下形式：（2.1）其中，的元素

13、，,都是階方陣。若，則矩陣為分塊三對角矩陣；若，矩陣中的元素，都是實數(shù)，則矩陣為周期三對角矩陣，且若，且，則矩陣為對稱周期三對角矩陣。2.3 定義3 設(shè)塊三對角矩陣具有如下形式（2.2）所有的塊均是階矩陣且非奇，負(fù)號僅是為了符號處理上的方便而添加的。設(shè)是的順序主子矩陣，其中的所有對角塊矩陣即是的對角塊矩陣，。假定的所有順序主子塊矩陣，均非奇異。為了討論的方便，設(shè)，其中是矩陣。3.分塊周期三對角矩陣逆的新算法3.1 分塊三對角矩陣的一些性質(zhì)引理1 設(shè)是分塊三對角矩陣，則可分解為：其中，可按：，計算。證明(1)因為所以 (2)因為= 所以 .引理2(sherman-morrison公式) 設(shè)是階可

14、逆方陣，均是維列向量，則當(dāng)且僅當(dāng)時，是可逆的，且：引理3(sherman-morrison-woodbury公式) 設(shè)是階可逆方陣，,均為矩陣，則當(dāng)且僅當(dāng)可逆時，是可逆的，且：證明：令 則（3.1）令 則（3.1）式為 （3.2）在（3.2）式左右兩端同時乘以 令，則（3.2）為 可得， 又所以 所以引理4 設(shè)是分塊三對角矩陣，且是順序主子陣可逆。設(shè) 存在，則存在4個矩陣： ， 均為階方陣，使得：，或其中對所有的都有。且，可如下求得：給定，：（1），。（2），。（3），。（4），。其中，有引理1得到。3.2 求分塊周期三對角矩陣逆矩陣的新算法給定階可逆方陣, ,令, ,構(gòu)造向量：, （3.3）

15、則分塊周期三對角矩陣可表示為：其中 （3.4） 由引理3的sherman-morrison-woodbury公式可得：由此可得如下結(jié)論。若是如（2.1）所示的分塊周期三對角矩陣，如（3.3）和（3.4）中定義，設(shè)可逆，則可逆的充要條件是可逆，且的元素可由如下算法計算得到：任意選定，可逆，。，給定， ， ， ， ，, .以上所得即為分塊周期三對角矩陣的逆矩陣，當(dāng)取時，分塊周期三對角矩陣子塊都是1階的實數(shù)，則式（2）中的矩陣為周期三對角矩陣，根據(jù)以上算法可得到求周期三對角矩陣逆矩陣的新算法。4.塊三對角矩陣的逆的算法4.1 塊三對角矩陣的一些性質(zhì)引理1 設(shè)是一個塊三對角矩陣，其中，均是階矩陣。設(shè)

16、和存在。設(shè)存在，記為，其中均是矩陣，于是，即：（4.1）式中，和均是階矩陣序列。引理2 設(shè)是一個形如式（2.2）的塊三對角矩陣，則可以被分解為：（4.2）式中矩陣序列，可按下式計算：， （4.3）引理3設(shè)是一個形如式（2.2）的塊三對角矩陣，則可以被分解為：（4.4）式中矩陣序列，可按下式計算：（4.5）下面給出的兩個絞形塊分解：引理4設(shè)是一個形如式（2.2）的塊三對角矩陣，則可以被分解為：(4.6)式中（4.7）證明：用的列乘以的第行，可得；用的第行乘以的第列，并由矩陣迭代式（12）可得。同樣，可給出 的表達(dá)式。用的第行乘以的第列，并由式（11）、（12）有。設(shè)，可得。引理5設(shè)是一個形如式（

17、2.2）的塊三對角矩陣，則可以被分解為：（4.8）式中（4.9）4.2 塊三對角矩陣的逆根據(jù)引理4，并注意和的特殊結(jié)構(gòu)，易得引理6.4.2.1 塊三對角矩陣逆的性質(zhì)引理6設(shè)是形如式（2.2）的塊三對角矩陣，設(shè)，的第列為：若 和均非奇，被稱為“proper”。在此條件下，可給出矩陣序列, , 和的表達(dá)式，并可進(jìn)一步給出他們的計算式。定理1設(shè)是形如式（2.2）的塊三對角矩陣，設(shè)，形如式(4.8)，則對任一待添加的隱藏文字內(nèi)容2: , ， 證明：首先給出的第列，易知：， ， 注意到的特殊結(jié)構(gòu)，第列的第一個和最后一個塊元素、可分別表示為：，對照引理6，可得：于是由引理46有： 這樣，由引理1，有：，注

18、意到上面的討論僅給出了形如（4.8）式的矩陣的第列。然而，設(shè)，矩陣分解式（4.6）即是分解式（4.4），而設(shè)和，分解式（4.8）即是分解式（4.2）于是的第一列為： ，的第列可類似得到。易知，又由分解式（4.2）、（4.4），可得，。由定理1易得下面的矩陣計算式。定理2 引理1中的序列、和可按下面的迭代算式計算得到：， ， ， ， ， 5.三對角矩陣逆元素的表示5.1 一般三對角矩陣簡記階三對角矩陣為定理1 設(shè)滿足 ； 其中 ； 則下列結(jié)論成立： 為非奇異。 可由下述快速算法求得。第一步 令 ， ；， ；， 第二部 計算 ， ；， 第三部 對于分別計算， 的逆元素可由下式給出：， 這里約定，

19、5.2 用解線性方程組的方法求三對角矩陣的逆的算法 5.2.1 基本原理與算法 設(shè)為三對角矩陣，非奇異，且，則每個方程組： （5.0）均為三對角方程組。這個方程組對應(yīng)的齊次線性方程組同為：（5.1）由的非奇異性，可知方程組（5.1）只有零解。在方程組（5.1）中，取，由遞推式得一向量（5.2）。其中，滿足方程組（5.1）中的前個方程。在方程組（5.1）中，取，由遞推式 (5.3)得另一個向量(5.4)。其中，滿足方程組（5.1）中的最后個方程。現(xiàn)在，從方程組（5.1）中依次去掉第（）個方程，得個方程組：（5.5）對于（5.4）中的任一組方程組，由（5.2）所表示的向量的部分向量滿足其前個方程，

20、(5.4)中向量的部分向量滿足其中的后個方程。若，記，取 (5.6)若，取 (5.7)無論(5.6),(5.7)給出的均為非零向量。這樣，對應(yīng)于個方程組()()，可得出個非零向量。顯然滿足方程組(5.1)中除第個方程外的任何方程，而不滿足第個方程，即當(dāng)=1時， (5.8),當(dāng)時， (5.9)當(dāng)時， (5.10),事實上，若(5.8)(5.10)給出的某，則為方程組(5.1)的解，這與方程組(5.1)只有零解矛盾。于是，用上面的方法求出的個向量()分別是下列個方程組 （）之解，即 （）從而 （）為方程組（5.0）中第個方程之解，于是.5.2.2三對角矩陣的逆矩陣的算法 算法：1.輸入數(shù)組，2.取由公式(5.2)求出向量，取，由