2018年高考數(shù)學(xué)2 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用教學(xué)案 文

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精專(zhuān)題23 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 1實(shí)際問(wèn)題中的常用角（1）仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1)(2)方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角如b點(diǎn)的方位角為（如圖2）(3）方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30，北偏西45等(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值高頻考點(diǎn)一 考查測(cè)量距離例1、如圖所示，有兩座建筑物ab和cd都在河的對(duì)岸(不知道它們的高度，且

2、不能到達(dá)對(duì)岸），某人想測(cè)量?jī)勺ㄖ锛忭攁、c之間的距離，但只有卷尺和測(cè)量?jī)x兩種工具若此人在地面上選一條基線ef，用卷尺測(cè)得ef的長(zhǎng)度為a，并用測(cè)角儀測(cè)量了一些角度：aef，afe,cef，cfe，aec。請(qǐng)你用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算a、c之間距離的步驟和結(jié)果 【方法技巧】求距離問(wèn)題時(shí)要注意（1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解;若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解；(2）確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理【變式探究】隔河看兩目標(biāo)a與b,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的c，d兩點(diǎn),同時(shí)，測(cè)得acb75，bcd45，

3、adc30,adb45(a,b,c,d在同一平面內(nèi)）,求兩目標(biāo)a，b之間的距離【解析】如圖，在acd中，acd120，cadadc30。所以accd。在bcd中,bcd45，bdc75，cbd60,由正弦定理知bc。在abc中,由余弦定理,得ab2ac2bc22acbccos acb()222cos 75325，所以ab km,所以a，b兩目標(biāo)之間的距離為 km.高頻考點(diǎn)二 考查高度問(wèn)題例2、如圖，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30,測(cè)得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為（精確到0.1 m)（）a2.7 mb17。3 mc37.3 m d373 m【答案】c【方法技巧】求

4、解高度問(wèn)題首先應(yīng)分清(1）在測(cè)量高度時(shí),要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線的夾角；（2）準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求,畫(huà)出示意圖；（3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用【變式探究】如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔ab的高，先在河岸上選一點(diǎn)c，使c在塔底b的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)a的仰角為60,再由點(diǎn)c沿北偏東15方向走10米到位置d，測(cè)得bdc45，則塔ab的高是_米【答案】10高頻考點(diǎn)三 考查角度問(wèn)題 例3、某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在a處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45，距離a為10海里的c處,并測(cè)得

5、漁船正沿方位角為105的方向，以10海里/時(shí)的速度向小島b靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間.解如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則ab10t，cb10t,在abc中，根據(jù)余弦定理，則有ab2ac2bc22acbccos 120,可得(10t)2102（10t)221010tcos 120。所以艦艇航向?yàn)楸逼珫|75.【方法技巧】解決方位角問(wèn)題其關(guān)鍵是弄清方位角概念結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇正、余弦定理解三角形，同時(shí)注意平面圖形的幾何性質(zhì)的應(yīng)用【變式探究】如圖,一船在海上自西向東航行，在a處測(cè)得某島m的方位角為北偏東角，前進(jìn)m km后在b處測(cè)量該島的方位角為北偏

6、東角，已知該島周?chē)鷑 km范圍內(nèi)(包括邊界）有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件_時(shí),該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)【解析】由題可知，在abm中，根據(jù)正弦定理得，解得bm,要使該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需滿足bmsin （90）n,所以當(dāng)與的關(guān)系滿足mcos cos nsin(）時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)【答案】mcos cos nsin（) 高頻考點(diǎn)四 考查函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用 例4、如圖所示，一輛汽車(chē)從o點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時(shí)的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠?chē)行駛方向），汽車(chē)開(kāi)動(dòng)的同時(shí)，在距汽車(chē)出發(fā)點(diǎn)o點(diǎn)的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的m點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車(chē)出發(fā)想把一件東西送給汽

7、車(chē)司機(jī)問(wèn)騎摩托車(chē)的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車(chē)行駛了多少公里?故騎摩托車(chē)的人至少以30公里/小時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車(chē)行駛了公里【方法技巧】函數(shù)思想在解三角形中常與余弦定理應(yīng)用及函數(shù)最值求法相綜合,此類(lèi)問(wèn)題綜合性較強(qiáng),能力要求較高，要求考生要有一定的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力解答本題利用了函數(shù)思想，求解時(shí)把速度表示為時(shí)間的函數(shù)，利用函數(shù)最值求法完成解答，注意函數(shù)中以為整體構(gòu)造二次函數(shù)，求最值【變式探究】如圖所示，已知樹(shù)頂a離地面米，樹(shù)上另一點(diǎn)b離地面米，某人在離地面米的c處看此樹(shù)，則該人離此樹(shù)_米時(shí)，看a,b的視角最大【解析】過(guò)c作cfab于點(diǎn)

8、f，設(shè)acb，bcf，由已知得ab5（米)，bf4（米)，af9（米)則tan（）,tan ，tan ().當(dāng)且僅當(dāng)fc，即fc6時(shí)，tan 取得最大值，此時(shí)取得最大值【答案】6 1?！?016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）在abc中，角a,b,c所對(duì)的邊分別是a，b,c,且.(i）證明：；（ii）若，求.【答案】（)證明詳見(jiàn)解析；（）4。【解析】所以sin a=由（），sin asin b=sin acos b+cos asin b，所以sin b=cos b+sin b，故tan b=42.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分14分）在abc中,內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.

9、 已知b+c=2a cos b.（i)證明：a=2b；（ii）若abc的面積，求角a的大小.【答案】（i）證明見(jiàn)解析；（ii）或【解析】又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，或3.【2016高考山東理數(shù)】(本小題滿分12分）在abc中,角a,b，c的對(duì)邊分別為a，b,c，已知 （)證明：a+b=2c;(）求cosc的最小值.【答案】（)見(jiàn)解析；（）【解析】（）由(）知，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故 的最小值為。【2015高考上海，理14】在銳角三角形中,為邊上的點(diǎn),與的面積分別為和過(guò)作于，于，則 【答案】【解析】由題意得:，又,因?yàn)閐eaf四點(diǎn)共圓，因此【2015高考廣東，理11】設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分

10、別為，,若， ，則 。 【答案】【解析】因?yàn)榍?，所以或，?所以，,又，由正弦定理得即解得，故應(yīng)填入【2015高考湖北，理12】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 【答案】2所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂d在西偏北的方向上,行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】【2015高考重慶，理13】在abc中,b=,ab=，a的角平分線ad=,則ac=_?！敬鸢浮俊窘馕觥坑烧叶ɡ淼?，即，解得，從而，所以，.【2015高考福建，理12】若銳角的面積為 ，且 ，則 等于_【答案】7【解析】由

11、已知得的面積為，所以,，所以由余弦定理得,【2015高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿分12分）中，是上的點(diǎn),平分，面積是面積的2倍（） 求；()若,，求和的長(zhǎng) 【答案】（)；（）【2015高考浙江，理16】在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，,已知,=.（1）求的值；（2)若的面積為7，求的值.【答案】(1）；（2）。【解析】(1）由及正弦定理得,，又由，即，得,解得；（2）由,得,，又，由正弦定理得，又，故.【2015高考安徽，理16】在中，,點(diǎn)d在邊上,求的長(zhǎng).【答案】【解析】如圖,在中，由正弦定理得.【2015高考陜西，理17】（本小題滿分12分）的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，向量與平行（i)求;（ii

12、）若，求的面積【答案】（i）；（ii)【解析】(i）因?yàn)?所以,由正弦定理，得又,從而，由于，所以從而，又由,知，所以。故所以的面積為。（2014天津卷）在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別是a,b，c。已知bca，2sin b3sin c，則cos a的值為_(kāi)【答案】【解析】2sin b3sin c，2b3c.又bc，a2c，bc，cos a。（2014新課標(biāo)全國(guó)卷）設(shè)點(diǎn)m（x0,1）,若在圓o：x2y21上存在點(diǎn)n，使得omn45，則x0的取值范圍是_【答案】1，1【解析】在omn中，om1on,所以設(shè)onm，則45135.根據(jù)正弦定理得，所以sin 1,，所以0x1，即1x01，故符合

13、條件的x0的取值范圍為1，1(2014廣東卷)在abc中，角a，b，c所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c。已知bcos cccos b2b，則_【答案】2（2014安徽卷)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b，c，且b3，c1,a2b.（1)求a的值；（2)求sin的值【解析】 (1)因?yàn)閍2b,所以sin asin 2b2sin bcos b,由余弦定理得cos b，所以由正弦定理可得a2b.因?yàn)閎3，c1，所以a212,即a2 。（2)由余弦定理得cos a。因?yàn)?ac。已知2，cos b，b3。求：(1）a和c的值；（2）cos（bc）的值由正弦定理，得sin csin b。因?yàn)閍bc

14、，所以c為銳角，因此cos c.所以cos（bc）cos bcos csin bsin c。（2014全國(guó)卷）abc的內(nèi)角a，b,c的對(duì)邊分別為a,b，c.已知3acos c2ccos a，tan a，求b?！窘馕觥坑深}設(shè)和正弦定理得3sin acos c2sin ccos a，故3tan acos c2sin c.因?yàn)閠an a，所以cos c2sin c，所以tan c.所以tan btan180（ac）tan（ac）1,所以b135。（2014新課標(biāo)全國(guó)卷）已知a，b,c分別為abc三個(gè)內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊，a2，且(2b)(sin asin b）(cb)sin c，則abc面積的最大值

15、為_(kāi)【答案】(2014新課標(biāo)全國(guó)卷）鈍角三角形abc的面積是，ab1,bc，則ac()a5 b. c2 d1【答案】b【解析】根據(jù)三角形面積公式，得babcsin b，即1sin b，得sin b，其中ca。若b為銳角，則b,所以ac1ab，易知a為直角，此時(shí)abc為直角三角形，所以b為鈍角，即b，所以ac。（2014山東卷）在abc中，已知tan a，當(dāng)a時(shí)，abc的面積為_(kāi)【答案】【解析】因?yàn)閍bac|cos atan a，且a,所以|，所以abc的面積s|sin asin .（2014陜西卷）abc的內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b，c。(1)若a,b，c成等差數(shù)列，證明：sin as

16、in c2sin（ac）；(2）若a,b，c成等比數(shù)列，求cos b的最小值【解析】(1)a，b，c成等差數(shù)列，ac2b。由正弦定理得sin asin c2sin b。cos b的最小值為。（2014四川卷）如圖13所示，從氣球a上測(cè)得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為67，30,此時(shí)氣球的高度是46 m，則河流的寬度bc約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)圖13【答案】60【解析】過(guò)a點(diǎn)向地面作垂線,記垂足為d,則在rtadb中，abd67，ad46 m,ab50（m)，在abc

17、中，acb30，bac673037，ab50 m,由正弦定理得,bc60 （m），故河流的寬度bc約為60 m。（2014浙江卷）在abc中,內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知ab，c，cos2acos2bsin acos asin bcos b。（1）求角c的大小；(2)若sin a，求abc的面積【解析】（1)由題意得sin 2asin 2b，即sin 2acos 2asin 2bcos 2b,sinsin。由ab，得ab,又ab(0，），得2a2b,即ab，所以c。（2）由c，sin a，,得a.由a8 bab(ab)16 c6abc12 d12abc24【答案】a由1s2,得

18、1bcsin a2.由正弦定理得a2rsin a,b2rsin b，c2rsin c，所以12r2sin asin bsin c2，所以12，即2r2，所以bc（bc)abc8r3sin asin bsin cr38.1。在相距2 km的a,b兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)c，若cab75,cba60，則a，c兩點(diǎn)之間的距離為（)a. km b。 kmc。 km d.2 km解析如圖,在abc中，由已知可得acb45，ac2(km）.答案a2.一艘海輪從a處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)b處，在c處有一座燈塔,海輪在a處觀察燈塔,其方向是南偏東70，在b處觀察燈塔,其

19、方向是北偏東65,那么b，c兩點(diǎn)間的距離是（)a。10海里 b。10海里c.20海里 d。20海里答案a3。如圖所示，已知兩座燈塔a和b與海洋觀察站c的距離都等于a km，燈塔a在觀察站c的北偏東20，燈塔b在觀察站c的南偏東40，則燈塔a與b的距離為()a.a km b。 a kmc.a km d.2a km答案b4。如圖,一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭a出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭b。已知ab1 km,水的流速為2 km/h,若客船從碼頭a駛到碼頭b所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為（）a.8 km/h b.6 km/hc.2 km/h d.10 km

20、/h解析設(shè)ab與河岸線所成的角為,客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知,sin ，從而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6。選b.答案b5.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高ab時(shí)可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)c與d,測(cè)得bcd15,bdc30，cd30，并在點(diǎn)c測(cè)得塔頂a的仰角為60，則塔高ab等于（)a。5 b。15c。5 d.15解析在bcd中，cbd1801530135。由正弦定理得,所以bc15。在rtabc中,abbctan acb1515.答案d6。如圖所示,一艘海輪從a處出發(fā),測(cè)得燈塔在海輪的北偏東15方向，與海輪相距20海里的b處，海輪按北偏西60的方向航行了30

21、分鐘后到達(dá)c處，又測(cè)得燈塔在海輪的北偏東75的方向，則海輪的速度為_(kāi)海里/分.答案7.江岸邊有一炮臺(tái)高30 m,江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角，則兩條船相距_m。解析如圖,omaotan 4530（m)，onaotan 303010（m），在mon中,由余弦定理得，mn10（m）。答案108。在200 m高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30，60，則塔高為_(kāi)m.解析如圖，由已知可得bac30,cad30，bca60，acd30，adc120。又ab200 m,ac（m）。答案9。如圖，漁船甲位于島嶼a的南偏西60方向的b處，且與島嶼a相距12海里,漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼a出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從b處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上。 （1）求漁船甲的速度；(2)求sin 的值。解（1)依題意知，bac120，ab12，ac10220，bca.在ab