2020-2021學年數(shù)學蘇教版第一冊教學案：第5章 5. 第1課時　函數(shù)的單調性含解析

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年數(shù)學新教材蘇教版必修第一冊教學案：第5章 5.3 第1課時函數(shù)的單調性含解析5.3函數(shù)的單調性第1課時函數(shù)的單調性學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1理解并掌握單調增（減）函數(shù)的定義及其幾何意義（重點)2會用單調性的定義證明函數(shù)的單調性(重點、難點）3會求函數(shù)的單調區(qū)間（重點、難點）通過學習本節(jié)內容，提升學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)我們知道，“記憶”在我們的學習過程中扮演著非常重要的角色，因此有關記憶的規(guī)律一直都是人們研究的課題德國心理學家艾賓浩斯曾經(jīng)對記憶保持量進行了系統(tǒng)的實驗研究，并給出了類似下圖所示的記憶規(guī)律如果我們以x表示時間間隔（單位：h），

2、y表示記憶保持量（單位:）,則不難看出，上圖中,y是x的函數(shù)，記這個函數(shù)為yf(x)這個函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律？你能從中得到什么啟發(fā)？1單調增(減)函數(shù)的概念設函數(shù)yf(x）的定義域為a，區(qū)間ia如果對于區(qū)間i內的任意兩個值x1，x2當x1x2時，都有（1)f(x1)f(x2）稱yf（x)在區(qū)間i上為減函數(shù)i稱為yf(x)的減區(qū)間2函數(shù)的單調性與單調區(qū)間如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間i上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)yf（x）在區(qū)間i上具有單調性，增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間思考：在增、減函數(shù)定義中,能否把“任意兩個值x1，x2”改為“存在兩個值x1,x2”？提示不能如圖所示，雖是f（1）f（2）

3、，但f（x)在1，2上并不是單調的1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) （1)所有函數(shù)在定義域上都具有單調性(）（2）增、減函數(shù)定義中的“任意x1，x2d”可以改為“存在x1,x2d”()（3）若函數(shù)f（x)在實數(shù)集r上是減函數(shù)，則f（0)f（1)()提示（1)比如二次函數(shù)yx2在r上不具有單調性(2）必須對所有的都成立才能說明單調（3）減函數(shù)中自變量越小函數(shù)值越大答案(1)（2）（3）2函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是1，2在區(qū)間1，2上，函數(shù)f(x）的圖象由左至右“上升”,即在區(qū)間1,2上,f(x)隨著x的增大而增大，在1,2上，f(x）為增函數(shù)3若函數(shù)f（x)在r上

4、是減函數(shù),且f(a）f（b)，則a與b的大小關系是 ab由減函數(shù)的定義知ab利用函數(shù)圖象求單調區(qū)間【例1】作出下列函數(shù)的圖象，并寫出單調區(qū)間(1）yx24;（2)y;（3）f(x）思路點撥在圖象上看從左向右上升的部分即遞增,從左向右下降的部分即遞減解三個函數(shù)圖象如圖（1）(2)(3）(1)(2）(3）(1)yx24的單調遞減區(qū)間為（,0，遞增區(qū)間為0，)(2）y的單調增區(qū)間為（，0），(0,），無遞減區(qū)間（3）f（x）的單調增區(qū)間為(，0，2，)，遞減區(qū)間為0,21應用圖象確定單調性時,應掌握各種基本函數(shù)的圖象的形狀，并能通過圖象的“上升”或“下降”趨勢來找到函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間，但應注意端點

5、是否在定義域之內2當函數(shù)的單調區(qū)間不唯一時，中間用“，”隔開,或用“和”連接,但不能用“或”和“”連接1函數(shù)f（x）x2|x|（xr）的單調遞增區(qū)間為，f（x）x2|x圖象如圖所示：f(x）的單調增區(qū)間為，函數(shù)單調性的判斷與證明【例2】用定義證明函數(shù)f(x)在(1,）上是減函數(shù)思路點撥解答本題可直接利用函數(shù)單調性的定義來判斷證明設x1，x2是區(qū)間(1，)上任意兩個實數(shù)，且x1x2，則f（x1）f(x2）1x1x2，x2x10,x110,x210，0，即f（x1)f(x2)，y在（1,)上是減函數(shù)用定義證明（判斷)函數(shù)單調性的步驟2證明函數(shù)f(x）在(1,）上單調遞增證明任取x1，x2(1,），

6、且x11,x1x210又x1x2，x1x20,f（x1）f(x2)，f(x)在(1，)上單調遞增單調性的應用探究問題1如何利用函數(shù)的單調性比較兩個函數(shù)值的大??？提示先判斷函數(shù)f（x)在區(qū)間d上的單調性，如果函數(shù)f（x)在d上是增函數(shù)，當x1x2時，則f（x1)f（x2），如果f（x）在d上是減函數(shù)，結論則相反2如果已知函數(shù)的單調性和函數(shù)值的大小，能否判斷對應自變量的大小?提示能利用函數(shù)單調性，將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量的大小關系,即脫去f符號,轉化為自變量的大小關系【例3】已知函數(shù)f(x)是定義在2，2上的增函數(shù),且f(x2）f（1x)，則x的取值范圍為思路點撥根據(jù)單調性可以去掉f，還應考

7、慮定義域f（x)是定義在2,2上的增函數(shù)，且f（x2)f（1x),x21x，x又f（x)的定義域為2,2,0x3，綜上，0x1利用函數(shù)單調性的定義比較大小，一方面是正向應用，即若yf（x）在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當x1x2時,f（x1）f(x2）,當x1x2時，f（x1)f（x2）；另一方面是逆向應用，即若yf(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當f（x1）f（x2)時,x1x2當yf（x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時,同理可得相應結論2根據(jù)函數(shù)的單調性研究參數(shù)的取值范圍,往往會根據(jù)函數(shù)在某一區(qū)間上的增減性確定不等式，此時常需要將含參數(shù)的變量單獨移到一側，用變量的范圍推出參數(shù)的范圍3已知f(x）在r上為減

8、函數(shù)且f（2m)f(9m)，則m的取值范圍是m3由題意可得2m9m，m31對函數(shù)單調性的理解（1）單調性是與“區(qū)間”緊密相關的概念，一個函數(shù)在定義域的不同的區(qū)間上可以有不同的單調性(2)單調性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質，因此定義中的x1、x2有以下幾個特征：一是任意性，即任意取x1,x2，“任意”二字絕不能丟掉，證明單調性時更不可隨意以兩個特殊值替換；二是有大小,通常規(guī)定x1x2；三是屬于同一個單調區(qū)間（3）單調性能使自變量取值之間的不等關系和函數(shù)值的不等關系正逆互推,即由f（x)是增（減)函數(shù)且f（x1）f(x2)x1x2）（4)并不是所有函數(shù)都具有單調性若一個函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)

9、間又有減區(qū)間，則此函數(shù)在這個區(qū)間上不具有單調性2單調性的判斷方法(1)定義法:利用定義嚴格判斷（2）圖象法：作出函數(shù)的圖象，用數(shù)形結合的方法確定函數(shù)的單調區(qū)間（3）用兩個函數(shù)和（差）的單調性的規(guī)律判斷:“增增增”，“減減減”,“增減增”，“減增減”1下列四個函數(shù)中，在（0，)上是增函數(shù)的是(）af（x） bf(x)x23xcf（x)3x df(x）x|a函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（，1),(1，),顯然在(0，）上是增函數(shù)；函數(shù)f（x)x23x在上單調遞減，在上單調遞增；函數(shù)f（x）3x在(0,)上是減函數(shù)；函數(shù)f(x）x在(0,）上是減函數(shù)，故b、c、d錯誤2已知函數(shù)f（x)的圖象如圖所示,則f（x)的單調減區(qū)間為由題圖知，f（x)在上圖象呈下降趨勢，單調減區(qū)間為3若函數(shù)f(x）(k2）xb在r上是減函數(shù),則k的取值范圍為(,2)f（x)(k2）xb在r上是減函數(shù)，k20，k24已知函數(shù)f(x）x2，x1，）(1)判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間1，）上的單調性；（2)解不等式:ff（x1 010）解(1）設1x1x2,f（x1）f(x2)x1x2(x1x2)（x1x2）（x1x2)由1x1x2得x1x20，x1x21,2x1x210，f（x1）f（x