第4章 周期信號的頻域分析

1、信號的頻域分析 連續(xù)周期信號的頻域分析 連續(xù)周期信號的頻譜 常見連續(xù)時間信號的頻譜 連續(xù)時間Fourier變換的性質 離散周期信號的頻域分析 離散非周期信號的頻域分析 連續(xù)周期信號的頻域分析連續(xù)周期信號的頻域分析 周期信號的傅立葉級數(shù)展開 周期信號的頻譜及其特點 傅里葉級數(shù)的基本性質 周期信號的功率譜 將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合 (1) 從信號分析的角度從信號分析的角度，將信號表示為不同頻率正弦 分量的線性組合，為不同信號之間進行比較提供了途 徑。 (2) 從系統(tǒng)分析角度從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號激勵下的 響應，利用迭加特性可求得多個不同

2、頻率正弦信號同 時激勵下的總響應而且每個正弦分量通過系統(tǒng)后，是 衰減還是增強一目了然。 連續(xù)周期信號的頻域分析連續(xù)周期信號的頻域分析 意義： tjn n eCtf 0 =n )( 00 0 0 0 1 ( ) Tt jnt n t Cf t edt T 其中 一、周期信號的傅立葉級數(shù)展開 1. 周期信號展開為傅立葉級數(shù)條件 周期信號f(t)應滿足Dirichlet條件，即： (1) 絕對可積，即滿足 (2) 在一個周期內只有有限個不連續(xù)點； (3) 在一個周期內只有有限個極大值和極小值。 注意：條件（1） 為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。 00 0 ( )

3、 Tt t f tdt 2. 2. 指數(shù)形式傅立葉級數(shù)指數(shù)形式傅立葉級數(shù) 0 ( ) jnt n n f tC e 00 0 0 0 1 ( ) Tt jnt n t Cf t edt T 連續(xù)時間周期信號可以用指數(shù)形式傅立葉級數(shù)表示為 其中 1n兩項的基波頻率為f0，兩項合起來稱為信號的基波分量 2n的基波頻率為2f0，兩項合起來稱為信號的2次諧波分量 Nn的基波頻率為Nf0，兩項合起來稱為信號的N次諧波分量 物理含義物理含義：周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和。 3. 3. 三角形式傅立葉級數(shù)三角形式傅立葉級數(shù) 若 f (t)為實函數(shù)，則有 nn CC 利用這個性質可以將指數(shù)

4、Fourier級數(shù)表示寫為 tn n n tn n n eCeCCtf 00 j 1 j 1 0 )( tn n tn n n eCeCC 00 jj 1 0 ) Re(2 0 j 1 0 tn n n eCC 令 2 j nn n ba C 由于C0是實的，所以b0=0，故 2 0 0 a C 三角形式傅立葉級數(shù)三角形式傅立葉級數(shù) 0 0 2 0 02 2 ( ) T T af t dt T 其中： 0 00 1 ( )(cossin) 2 nn n a f tantbnt 0 0 2 0 02 2 ( )cos ( =1,2) T Tn af tntd T nt 0 0 2 0 02 2

5、( )sin ( =1,2) T Tn bf tntd T nt 例題1 試計算圖示周期矩形脈沖信號的傅立葉級 數(shù)展開式。 解:該周期信號f (t)顯然滿足狄里赫勒的三個條件， 必然存在傅立葉級數(shù)展開式。 A t )(tf T-T0 ) 2 ( 0 n Sa T A 0022 22 11 ( ) T jntjnt Tn Cf t edtAedt TT t = 0 0 ) 2 ( jn n e n Sa T A 00 1 ( )(/)(2/)Sa(/2)cos n f tA TA Tnnt 可得，周期方波信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開式為 000 211 ( )(coscos3cos5) 235

6、AA f tttt 若=T/2，則有 ) Re(2)( 0 j 1 0 tn n n eCCtf 由 因此，周期方波信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式為 tjn n eCtf 0 =n )( 例2 試計算圖示周期三角脈沖信號的傅立葉級數(shù)展開式。 t )(tf 2-201 解: 該周期信號f (t)顯然滿足狄里赫勒的三個條件，Cn存在 0 000 0 01 2 10 02 11 ( )() 2 T jntjntjnt Tn Cf t edttedttedt T )( 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0000 dtetedtete jn tjntjntjntjn ) 1(cos )( 1

7、2 n n 0 0 2 T t)12( = 2 0 ) 1(2 2 2 1 mj m e m 周期三角脈沖信號的三角形式傅立葉級數(shù)展開式為 ) Re(2)( 0 j 1 0 tn n n eCCtf 由 周期三角脈沖信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)展開式為 tjn n eCtf 0 =n )( tn m tf m 0 1= 2 cos ) 1(2 4 2 1 )( 0, 2/1 ,)/(2 ) 1(cos )( 1 2 2 n nn n n Cn 為奇數(shù) ttt 0 2 0 2 0 2 5cos 25 4 3cos 9 4 cos 4 2 1 1. 線性特性 ( ) , g( ) nn f tCtD若

8、 ( )( ) nn a f tb g ta Cb D 則有 2. 時移特性 ( ) n f tC若 0 1 1 () jnt n f tteC 則有 二、傅里葉級數(shù)的基本性質 若f(t)和g(t)均是周期為T0的周期信號： 3.卷積性質 若f(t)和g(t)均是周期為T0的周期信號，且 ( ) , ( ) nn f tCg tD 0 ( )* ( ) nn f tg tTC D則有 4. 微分特性 ( ) n f tC若 0 ( ) n ftjnC則有 5. 對稱特性 (1)若f(t)為實信號 | nn CC 則 nn 5. 對稱特性 (1) 縱軸對稱信號（偶對稱信號） f(t)=f(t)

9、00 0 22 00 0 002 24 ( )cos( )cos TT Tn af tntdtf tntdt TT 0 0 2 0 02 2 ( )sin0 T Tn bf tntdt T 縱軸對稱周期信號縱軸對稱周期信號其傅立葉級數(shù)展開式中只含有直直 流項流項與余弦項余弦項。 T0 / 2T0 / 2 t 0 f(t) A (2) 原點對稱信號（奇對稱信號）f(t)=f(t) t 0 f(t) A -A T0 / 2T0 / 2 原點對稱周期信號原點對稱周期信號其傅立葉級數(shù)展開式中只含有 正弦項正弦項。 0 0 2 0 02 2 ( )cos0 T Tn af tntdt T 00 0 22

10、 00 0 002 24 ( )sin( )sin TT Tn bf tntdtf tntdt TT (3) 半波重疊信號f(t)=f(tT/2) 半波重疊周期信號半波重疊周期信號只含有正弦與余弦的偶正弦與余弦的偶 次諧波分量次諧波分量，而無奇次諧波分量。 t )(tf T/2-T/2 (4) 半波鏡像信號fT(t)=f(tT/2) 半波鏡像周期信號半波鏡像周期信號只含有只含有正弦與余弦的奇次諧波正弦與余弦的奇次諧波 分量分量，而無直流分量與偶次諧波分量。，而無直流分量與偶次諧波分量。 t )(tf T/2T 0 去掉直流分量后， 信號呈奇對稱，只含 有正弦各次諧波分量。 因此該信號含有正弦

11、各次諧波分量，直流 分量。 說明：某些信號波形經上下或左右平移后， 才呈現(xiàn)出某種對稱特性 t )(tf -1-21234-3 2 1 -4 t )( 1 tf -1-21234-3 2 -4 t )( 2 tf -1-21234-3 1 -4 ) 2 cos() 2 (Sa5 . 0)( 1 2 tnn tf n ) 2 cos() 2 (Sa5 . 1)( 1 tnn tf n 例題 三、 周期信號的頻譜及其特點 周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和 Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號各正弦諧波的幅 度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)。 0 n= ( ) jnt n f

12、 tC e 不同的時域信號，只是傅里葉級數(shù)的系數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)Cn不同， 因此通過研究傅里葉級數(shù)的系數(shù)來研究信號的特性。 1 1、頻譜的概念、頻譜的概念 2 2、頻譜的表示、頻譜的表示 直接畫出信號各次諧波對應的 線狀分布圖 形，這種圖形稱為信號的頻譜圖頻譜圖。 n j nn CC e 幅度頻譜相位頻譜 , nn C 例1周期矩形脈沖信號的頻譜圖 0 0 () 2 n nA CSa T 周期信號的頻譜 1、相位譜、幅度譜（頻譜圖） 2、離散性、諧波性、收斂性 幅度譜 相位譜 () 2 n An CSa T A f(t) 3 3頻譜的特性頻譜的特性 (1)(1)離散頻譜特性離散頻譜特性 周期信

13、號的頻譜是由 間隔為間隔為0的譜線組成 信號周期T0越大，0就越小，則譜線越密。 反之，T0越小，0越大，譜線則越疏。 3 3頻譜的特性頻譜的特性 (2)(2)幅度衰減特性幅度衰減特性 當周期信號的幅度頻譜 隨著諧波隨著諧波n 0增大增大 時， 幅度頻譜|Cn|不斷衰減不斷衰減，并最終趨于零。 若信號時域波形變化越平緩時域波形變化越平緩，高次諧波成分就 越少，幅度頻譜衰減越快幅度頻譜衰減越快；若信號時域波形變 化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜 衰減越慢。 f(t)不連續(xù)時，不連續(xù)時， Cn按按1/n的速度衰減的速度衰減 f(t)不連續(xù)時，不連續(xù)時，Cn按按1/n2的速度衰減的速度衰減

14、(3)(3)信號的有效帶寬信號的有效帶寬 02 / 這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的 有效頻帶寬度,即 2 (/ ) B rads 信號的有效帶寬與信號時域的持續(xù)時間成反比。 即 越大，其B越??；反之， 越小，其B越大。 物理意義：若信號丟失有效帶寬以外的諧波成分， 不會對信號產生明顯影響。 說明：說明：當信號通過系統(tǒng)時，信號與系統(tǒng)的有效帶寬 必須“匹配”。 1 () B fHz 4 4 相位譜的作用相位譜的作用 u幅度譜幅度譜決定圖像決定圖像(信號信號) 中各種頻率分量的多少中各種頻率分量的多少 u相位譜相位譜決定每一種頻率決定每一種頻率 分量在圖像分量在圖像(信號信號)中的位置中的位置

15、四、周期信號的功率譜 0 0 22 2 02 1 ( ) T Tn n f tdt T PC 物理意義：任意周期信號的平均功率等于信號所包含 的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。 周期信號的功率頻譜： |Cn|2 隨n0 分布情況稱為周 期信號的功率頻譜，簡稱功率譜功率譜。 帕什瓦爾(Parseval)功率守恒定理： 例題4 試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬 (02/)內諧波分量所具有的平均功率占整個信號 平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。 2 2 T A t T )(tfT 解 周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為 ) 2 ( 0 n Sa T A Cn 將A=1，T=1/4，

16、=1/20，0=2/T=8 代入上式 )5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 0 0 nnCn )5/(Sa04. 0 2 2 nCn 功率譜 信號的平均功率為 包含在有效帶寬(02/)內的各諧波平均功率為 44 222 10 -4n=1 |( )| 2| n n PC nCC 1806. 0 %90 200. 0 1806. 0 1 P P /2 2 /2 1 ( )0.2 T T Pft dt T 周期矩形脈沖信號包含在有效帶寬內的各諧波平均功 率之和占整個信號平均功率的90%。 吉伯斯現(xiàn)象 用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續(xù)點出現(xiàn)在不連續(xù)點出現(xiàn) 過沖（超量）過沖（超量），過沖峰值不隨諧波分量增加而減少， 且超量為跳變值的超量為跳變值的9% 。 吉伯斯現(xiàn)象產生原因 時間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得 在間斷點間斷點傅里葉級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂非一致收斂。 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2-1.5-1-0.500.511.52 -0.2 0 0.2 0.4 0