2021屆高考數(shù)學教學案：第7章 第5講　直線、平面垂直的判定與性質含解析

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆高考數(shù)學人教版一輪創(chuàng)新教學案：第7章 第5講直線、平面垂直的判定與性質含解析第5講直線、平面垂直的判定與性質考綱解讀掌握線線、線面、面面垂直的判定定理和性質定理,并能應用它們證明有關空間圖形的垂直關系的簡單命題(重點、難點）考向預測從近三年高考情況來看，本講是高考的必考內容預測2021年將會以以下兩種方式進行考查:以幾何體為載體考查線面垂直的判定和性質；根據(jù)垂直關系的性質進行轉化試題以解答題第一問直接考查，難度不大,屬中檔題型。1.直線與平面垂直判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l

2、性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行ab2平面與平面垂直判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面垂直性質定理兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直l3直線和平面所成的角（1)定義:一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角（2)范圍：.4二面角（1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角(2）范圍：0，1805必記結論（1）若兩條平行線中一條垂直于一個平面,則另一

3、條也垂直于這個平面(2）若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內任何一條直線(3）過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直（4）過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直(5)兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直（6）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面1概念辨析（1）直線l與平面內的無數(shù)條直線都垂直，則l.（)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行()（3)若兩平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面（)（4)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線，則。（)答案（1）(2）（3）（4)2小題熱身(1)下列命題中不正確的是（）a

4、如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面b如果平面平面,那么平面內一定存在直線平行于平面c如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面d如果平面平面，平面平面,l，那么l答案a解析a錯誤,如圖1所示,在長方體中,l,但l；b正確，設l，則內與l平行的直線都與平行；c正確，由面面垂直的判定可知；d正確，如圖2所示，在平面內,作與交線的垂線m,在平面內作與的交線的垂線n，由得m，由得n,所以mn.可推出m,進而推出ml，所以l.（2)如圖，在正方形abcd中，e,f分別是bc，cd的中點，g是ef的中點，現(xiàn)在沿ae，af及ef把這個正方形折成一個空間圖形,使b,c，d三點重合，重合后的

5、點記為h，那么，在這個空間圖形中必有（）aag平面efh bah平面efhchf平面aef dhg平面aef答案b解析根據(jù)折疊前、后ahhe，ahhf不變，ah平面efh，b正確；過a只有一條直線與平面efh垂直，a不正確；agef，efgh，agghg,ef平面hag，又ef平面aef,平面hag平面aef，過h作直線垂直于平面aef,一定在平面hag內，c不正確；已證平面hag平面aef，若證hg平面aef，只需證hgag，已證ahhg，故hgag不成立，所以hg與平面aef不垂直，d不正確故選b.(3)如圖，在長方體abcda1b1c1d1中,abbc2，aa11，則ac1與平面a1b1

6、c1d1所成角的正弦值為_答案解析連接a1c1，則ac1a1為ac1與平面a1b1c1d1所成的角因為abbc2，所以a1c1ac2,又aa11，所以ac13，所以sinac1a1。(4）已知pd垂直于菱形abcd所在的平面，連接pb,pc,pa，ac，bd，則一定互相垂直的平面有_對答案4解析由于pd平面abcd，故平面pad平面abcd，平面pdb平面abcd,平面pdc平面abcd，由于ac平面pdb，所以平面pac平面pdb，共4對題型 一直線與平面的位置關系角度1直線與平面所成的角1（2018全國卷)在長方體abcda1b1c1d1中,abbc2，ac1與平面bb1c1c所成的角為3

7、0，則該長方體的體積為（)a8 b6 c8 d8答案c解析如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，連接bc1，根據(jù)線面角的定義可知ac1b30，因為ab2，tan30，所以bc12，從而求得cc12，所以該長方體的體積為v2228.故選c.角度2直線與平面垂直的判定和性質2(2019鎮(zhèn)江模擬)如圖,在四棱錐pabcd中,底面abcd是正方形，ac與bd交于點o，pc底面abcd，e為pb上一點，g為po的中點（1)若pd平面ace,求證：e為pb的中點；（2)若abpc，求證：cg平面pbd。證明(1）如圖,連接oe，由四邊形abcd是正方形知,o為bd的中點，pd平面ace，pd平面pbd

8、，平面pbd平面aceoe，pdoe，o為bd的中點，e為pb的中點（2）在四棱錐pabcd中，abpc,四邊形abcd是正方形，ocab，pcoc，g為po的中點，cgpo.又pc底面abcd,bd底面abcd,pcbd.而四邊形abcd是正方形，acbd，ac,pc平面pac，acpcc，bd平面pac,又cg平面pac，bdcg。po,bd平面pbd，pobdo，cg平面pbd.1求直線和平面所成角的步驟(1）尋找過斜線上一點與平面垂直的直線（2）連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角（3)把該角歸結在某個三角形中，通過解三角形，求出該角如舉例說明1。2

9、證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，這是主要證明方法如舉例說明2（2)（2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直（3）利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直(4)利用面面垂直的性質定理1已知一個正四棱柱的體對角線長為,且體對角線與底面所成的角的余弦值為,則該四棱柱的表面積為_答案10解析由圖可知，bd，dd12，底面邊長ab1,所以所求表面積為4aa1ab2ab242121210.2如圖，s是rtabc所在平面外一點,且sasbsc,d為斜邊ac的中點(1)求證：sd平面abc;(2）若abbc，求證:bd平面sac.證明(1)如

10、圖所示,取ab的中點e,連接se,de，在rtabc中，d，e分別為ac，ab的中點debc,deab,sasb，seab。又sedee，ab平面sde.又sd平面sde，absd。在sac中，sasc，d為ac的中點,sdac.又acaba，sd平面abc.(2）由于abbc，則bdac，由（1）可知，sd平面abc，又bd平面abc，sdbd,又sdacd,bd平面sac。題型 二面面垂直的判定與性質1如圖，ab是o的直徑，pa垂直于o所在平面，c是圓周上不同于a,b兩點的任意一點,且ab2,pabc，則二面角abcp的大小為_答案60解析因為ab為o的直徑，所以acbc，又pa平面abc

11、，所以pabc，可求得bcpc，所以pca為二面角abcp的平面角因為acb90，ab2，pabc，所以ac1，所以在rtpac中，tanpca。所以pca60.結論探究在本例的條件下，二面角apbc的正切值為_答案解析如圖,過a作afpc，垂足為f,過f作fepb,垂足為e,連接ae，由舉例說明1易得bc平面pac。又af平面pac，所以afbc。又pcbcc，所以af平面pbc。所以pbaf，又pbef，afeff,所以pb平面aef，所以pbae，所以aef為二面角apbc的平面角,在rtpac中，ac1,pa，pac90.所以tanpca，所以pca60，所以cf1cos60，af1s

12、in60.在rtpbc中，pc2，bc，pcb90，pb。由pefpcb得，所以，所以ef，在rtaef中,tanaef，即二面角apbc的正切值為.2如圖,在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形,點e在棱pc上(異于點p，c)，平面abe與棱pd交于點f.（1)求證:abef；(2)若afef，求證：平面pad平面abcd.證明（1)因為四邊形abcd是矩形，所以abcd.又ab平面pdc，cd平面pdc，所以ab平面pdc，又ab平面abe，平面abe平面pdcef，所以abef.(2）因為四邊形abcd是矩形，所以abad。因為afef，(1)中已證abef，所以abaf。又abad，

13、由點e在棱pc上（異于點c），所以點f異于點d，所以afada,af，ad平面pad，所以ab平面pad，又ab平面abcd，所以平面pad平面abcd。1作二面角的平面角的方法(1）定義法：在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角如舉例說明1.（2）垂線法：如圖所示,作po，垂足為o，作oal，垂足為a，連接pa，則pao為二面角l的平面角(3）補棱法:在求解二面角問題時，若構成二面角的兩個半平面沒有明確的交線，則將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱)，然后借助前述的定義法或垂線法解題(4)射影面積法：二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該

14、圖形在另一個半平面上的射影圖形面積時，都可利用射影面積公式求出二面角的大?。?）向量法(最常用)(6)轉化為線面角：如圖,求l的二面角，即求ab與所成的角2證明面面垂直的兩種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,把問題轉化成證明線面垂直加以解決如舉例說明2(2)如圖，三棱柱abca1b1c1中，a1a平面abc,acb90,m是ab的中點，accbcc12。（1)求證:平面a1cm平面abb1a1；(2)求點m到平面a1cb1的距離

15、解(1)證明：由a1a平面abc，cm平面abc,得a1acm。accb，m是ab的中點,abcm.又a1aaba.cm平面abb1a1，又cm平面a1cm，平面a1cm平面abb1a1.(2)設點m到平面a1cb1的距離為h，由題意可知a1ccb1a1b12mc2,sa1cb1（2)22，sa1mb1s四邊形abb1a1222.由（1）可知cm平面abb1a1，得vca1mb1mcsa1mb1vma1cb1hsa1cb1。點m到平面a1cb1的距離h.題型 三平面圖形的翻折問題(2019南昌模擬）如圖，在矩形abcd中，ab3，bc1,e，f是邊dc的三等分點現(xiàn)將dae，cbf分別沿ae,b

16、f折起,使得平面dae、平面cbf均與平面abfe垂直(1)若g為線段ab上一點,且ag1，求證：dg平面cbf；(2)求多面體cdabfe的體積解(1）證明：如圖，分別取ae，bf的中點m，n，連接dm，cn，mg，mn，因為adde1，ade90，所以dmae，且dm.因為bccf1,bcf90，所以cnbf，且cn.因為平面dae、平面cbf均與平面abfe垂直，所以dm平面abfe,cn平面abfe，所以dmcn，因為amagcos45,所以amg90，所以amg是以ag為斜邊的等腰直角三角形,故mga45,而fba45,則mgfb,故平面dmg平面cbf，則dg平面cbf。(2）如圖

17、，連接be，df，由（1)可知,dmcn，且dmcn，則四邊形dmnc為平行四邊形，故dcmn2.因為v多面體cdabfevdabevbefcdvdabe3vbdefvdabe3vdbef，所以v多面體cdabfe3.平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關鍵是看翻折前后線面位置關系的變化,根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結構特征解決此類問題的步驟為: (2019合肥二檢）如圖1，在平面五邊形abcde中，abce,且ae2，aec60,cded，cosedc。將cde沿ce折起，使點d到p的位置，且ap，得到如圖2所示

18、的四棱錐pabce.(1)求證：ap平面abce;（2）記平面pab與平面pce相交于直線l,求證：abl.證明(1)在cde中，cded，cosedc，由余弦定理得ce2。連接ac，如圖，ae2,aec60，ac2.又ap，在pae中,pa2ae2pe2，即apae。同理，apac。acaea,ac平面abce，ae平面abce，ap平面abce.(2)abce，且ce平面pce，ab平面pce,ab平面pce。又平面pab平面pcel，abl。組基礎關1已知平面平面,l,點a，al，直線abl，直線acl,直線m，m，則下列四種位置關系中，不一定成立的是(）aabm bacm cab da

19、c答案d解析如圖所示，ablm；acl，mlacm;ablab，只有d不一定成立，故選d.2(2019武漢模擬）已知兩個平面相互垂直,下列命題：一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題的個數(shù)是(）a1 b2 c3 d4答案b解析由題意，對于，當兩個平面垂直時，一個平面內的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內的任意一條直線，故錯誤；對于,設平面平面m，n，l，平面平面，當lm時，必有l(wèi)，而n,ln，而在平面內與l平行的直線

20、有無數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個平面內的己知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線，即正確；對于，當兩個平面垂直時,一個平面內的任一條直線不垂直于另一個平面，故錯誤；對于，當兩個平面垂直時，過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面,這是面面垂直的性質定理,故正確3。如圖，已知六棱錐pabcdef的底面是正六邊形，pa平面abc，pa2ab，則下列結論正確的是(）apbadb平面pab平面pbcc直線bc平面paed直線pd與平面abc所成的角為45答案d解析選項a，b，c顯然錯誤pa平面abc，pda是直線pd與平面abc所成的角abcdef是正六邊形，ad2ab。tan

21、pda1，直線pd與平面abc所成的角為45。故選d。4(2020江西南昌摸底)如圖，在四面體abcd中，已知abac，bdac，那么點d在平面abc內的射影h必在（）a直線ab上b直線bc上c直線ac上dabc內部答案a解析因為abac,bdac，abbdb，所以ac平面abd，又ac平面abc，所以平面abc平面abd,所以點d在平面abc內的射影h必在直線ab上故選a。5如圖，直三棱柱abca1b1c1中，側棱長為2，acbc1,acb90，d是a1b1的中點，f是bb1上的動點,ab1，df交于點e.要使ab1平面c1df，則線段b1f的長為(）a. b1c。 d2答案a解析設b1fx

22、,因為ab1平面c1df,df平面c1df，所以ab1df.由已知可以得a1b1，矩形abb1a1中，tanfdb1，tana1ab1。又fdb1a1ab1，所以。故b1f.故選a。6（2019全國卷)如圖，點n為正方形abcd的中心,ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點，則（）abmen,且直線bm，en是相交直線bbmen，且直線bm，en是相交直線cbmen，且直線bm，en是異面直線dbmen,且直線bm，en是異面直線答案b解析解法一：取cd的中點o,連接eo，on.由ecd是正三角形,知eocd，又平面ecd平面abcd，eo平面abcd。eoon。又n為正

23、方形abcd的中心，oncd.以cd的中點o為原點，方向為x軸正方向建立空間直角坐標系，如圖1所示不妨設ad2，則e(0,0，）,n(0,1，0)，m，b（1,2,0)，en2,bm ，enbm.連接bd,be，點n是正方形abcd的中心,點n在bd上，且bndn，bm,en是dbe的中線，bm，en必相交故選b.解法二：如圖2，取cd的中點f，df的中點g，連接ef，fn，mg,gb。ecd是正三角形，efcd.平面ecd平面abcd，ef平面abcd.effn.不妨設ab2，則fn1，ef，en2.emmd，dggf，mgef且mgef，mg平面abcd,mgbg。mgef，bg ，bm。

24、bmen.連接bd,be，點n是正方形abcd的中心,點n在bd上,且bndn，bm，en是dbe的中線，bm，en必相交故選b。7已知abca1b1c1是所有棱長均相等的直三棱柱,m是b1c1的中點，則下列命題正確的是（)a在棱ab上存在點n,使mn與平面abc所成的角為45b在棱aa1上存在點n，使mn與平面bcc1b1所成的角為45c在棱ac上存在點n，使mn與ab1平行d在棱bc上存在點n，使mn與ab1垂直答案b解析設該直三棱柱的棱長均為a，取bc的中點p，連接mp，則mp平面abc，點n在棱ab上，若mn與平面abc所成角為45，即mnp45，則pnpma,而pnmaxaa，a錯誤

25、；若點n在棱aa1上，則點n在平面bcc1b1上的射影為點q，且mqcc1，此時mn與平面bcc1b1所成角即為nmq,當nqa1na時，nmq45，b正確;因為ac與b1c1是異面直線，所以點n在ac上時，mn與ab1是異面直線或相交直線，不可能平行，c錯誤；取bc的中點k，則ak平面bcc1b1，akmn，若mnab1，則mn平面ab1k,此時mnb1k，當n在棱bc上時，mnb1k不可能成立，d錯誤，故選b。8(2019北京高考)已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個論斷：lm；m；l。以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：_。答案若m且l，則lm(

26、或若lm，l，則m)解析已知l，m是平面外的兩條不同直線，由lm與m，不能推出l，因為l可以與平行,也可以相交不垂直；由lm與l能推出m；由m與l可以推出lm.故正確的命題是或。9。如圖,平面abc平面bdc，bacbdc90，且abaca，則ad_。答案a解析作bc的中點e,連接ae，de,則在rtabc中，abaca，由勾股定理得bc2aea，且有aebc，又平面abc平面bdc，平面abc平面bdcbc，且直線ae在平面abc內，由面面垂直的性質定理得ae平面bdc，de平面bdc內，aede，又在rtbcd中，點e是bc的中點，dea，在rtade中，aea，由勾股定理得ada。10（

27、2019湖北省“四地七?！甭?lián)考)現(xiàn)有編號為、的三個三棱錐（底面水平放置)，俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，則至少存在一個側面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號是_答案解析編號為的三棱錐，其直觀圖可能是，側棱vc底面abc，則側面vac底面abc，滿足題意；編號為的三棱錐，其直觀圖可能是，側面pbc底面abc，滿足題意；編號為的三棱錐，頂點的投影不在底面邊上(如圖)，不存在側面與底面垂直故答案為。組能力關1如圖所示，三棱錐pabc的底面在平面內，且acpc，平面pac平面pbc，點p，a，b是定點,則動點c的軌跡是(）a一條線段b一條直線c一個圓d一個圓，但要去掉兩個點答案d解析平面pac平面pb

28、c，而平面pac平面pbcpc。又ac平面pac，且acpc,ac平面pbc，而bc平面pbc，acbc，點c在以ab為直徑的圓上，點c的軌跡是一個圓，但是要去掉a和b兩點故選d。2如圖，在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中,p為a1d1的中點,q為a1b1上任意一點，e，f為cd上任意兩點，且ef的長為定值,則下面的四個值中不為定值的是（)a點p到平面qef的距離b三棱錐pqef的體積c直線pq與平面pef所成的角d二面角pefq的大小答案c解析a中,因為平面qef也就是平面a1b1cd,顯然點p到平面a1b1cd的距離是定值，所以點p到平面qef的距離為定值；b中，因為qef的面積

29、是定值（ef為定長,點q到ef的距離就是點q到cd的距離，也是定長,即底和高都是定值),再根據(jù)a的結論，即點p到平面qef的距離也是定值，所以三棱錐pqef的高也是定值，所以三棱錐pqef的體積是定值；c中,因為q是動點,pq的長不固定，而q到平面pef的距離為定值，所以pq與平面pef所成的角不是定值；d中，因為a1b1cd,q為a1b1上任意一點，e，f為cd上任意兩點，所以二面角pefq的大小即為二面角pcda1的大小，為定值3（2018全國卷)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）a。 b。 c。 d。答案a解析根據(jù)相互平行的直線

30、與平面所成的角是相等的，所以在正方體abcda1b1c1d1中，平面ab1d1與線aa1，a1b1，a1d1所成的角是相等的，所以平面ab1d1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面c1bd也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面ab1d1與c1bd中間的，且過棱的中點的正六邊形，邊長為,所以其面積為s62,故選a.4如圖,在四棱錐pabcd中,pa平面abcd，abc是正三角形，ac與bd的交點為m，又paab4，adcd,cda120，n是cd的中點(1）求證:平面pmn平面pab;（2)求點m到平面pbc的距離解(1）證

31、明：在正abc中，ab bc,在acd中，adcd,易證adbcdb，所以m為ac的中點，因為n是cd的中點，所以mnad.因為pa平面abcd，所以paad,因為cda120，所以dac30,因為bac60，所以bad90，即baad。因為paaba,所以ad平面pab,所以mn平面pab。又mn平面pmn,所以平面pmn平面pab.(2）設點m到平面pbc的距離為h，在rtpab中，paab4，所以pb4，在rtpac中，paac4,所以pc4,在pbc中，pb4，pc4,bc4,所以spbc4。由abc是正三角形,m是ac的中點，得bmac，在rtbmc中，mc2，bm2,所以sbmc2.由vmpbcvpbmc，即4h24,解得h，所以點m到平面pbc的距離為.組素養(yǎng)關1（2019湖南長郡中學模擬)如圖,