2021屆高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第2章 第1講　函數(shù)及其表示含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆高考數(shù)學(xué)人教版一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第2章 第1講函數(shù)及其表示含解析第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1講函數(shù)及其表示 考綱解讀1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念(重點(diǎn))2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法)表示函數(shù)（重點(diǎn))3了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段)(難點(diǎn)）考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)預(yù)測(cè)2021年會(huì)考查函數(shù)的解析式與分段函數(shù)的應(yīng)用，可能涉及函數(shù)的求值、函數(shù)圖象的判斷及最值的求解。1.函數(shù)與映射函數(shù)映射兩個(gè)集合a,b設(shè)a，b是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)a，b是

2、兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f:ab如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f：ab為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù)稱f：ab為從集合a到集合b的一個(gè)映射函數(shù)記法函數(shù)yf(x），xa映射：f：ab2函數(shù)的有關(guān)概念(1）函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x），xa中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x)|xa叫做函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域（3）相等函數(shù)：如果兩

3、個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)3函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法4分段函數(shù)(1)定義:若函數(shù)在其定義域內(nèi),對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)（2）分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集1概念辨析（1）對(duì)于函數(shù)f：ab，其值域就是集合b.（）（2）a1，4,9，b3，2，1，1,2，3f：xx的平方根是a到b的映射(）（3)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)(）(4)函數(shù)y1與yx

4、0是同一個(gè)函數(shù)（)答案（1）（2）（3）（4) 2小題熱身（1)函數(shù)y的定義域?yàn)?)a. b(,3）(3，)c。(3，) d(3，)答案c解析由解得x且x3，所以已知函數(shù)的定義域?yàn)?3，）（2）下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是（)ay(）2 by1cy1 dy1答案b解析對(duì)于a，函數(shù)y()2的定義域?yàn)閤|x1，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù);對(duì)于b，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù);對(duì)于c,函數(shù)y1的定義域?yàn)閤|x0，與函數(shù)yx1的定義域不同,不是相等函數(shù);對(duì)于d，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是相等函數(shù)(3)若函數(shù)f（x）則ff(1)的值為（)a10 b10 c2 d2答案c

5、解析f（1)2142，ff(1)f（2)2（2)22.(4)函數(shù)yf（x）的圖象如圖所示，那么，f（x)的定義域是_，值域是_,其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是_(圖中，曲線l與直線m無(wú)限接近,但永不相交）答案3，01,4)1，)1,2）（5，)解析觀察函數(shù)yf(x)的圖象可知，f(x)的定義域?yàn)?，01,4)，值域是1，），當(dāng)y1,2)（5，)時(shí)，只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)(5)已知fx25x，則f（x）_.答案（x0)解析令t，則t0，x，f(t)25。所以f(x）（x0)題型 一函數(shù)的定義域 1函數(shù)y(x1）0的定義域是（)ax3x1 bx3x2且x1cx0x2 dx1x2答案b解析

6、要使函數(shù)解析式有意義,須有解得所以3x2且x1。故已知函數(shù)的定義域?yàn)閤3x2且x12函數(shù)f(x)的定義域是2,)，則函數(shù)y的定義域是(）a1，） b（，1c1,2)(2,） d2，)答案c解析依題意得解得x1且x2，所以函數(shù)y的定義域是1,2)（2，)3(2020安陽(yáng)三校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（)a0,4） b（0，4）c4，) d0,4答案d解析由題意可得mx2mx10恒成立當(dāng)m0時(shí),10恒成立；當(dāng)m0時(shí)，則解得01）解析令t1，則由x0知11，x，所以由flg x，得f（t)lg (t1），所以f(x）lg （x1)2已知fx2x2,則f(x）_.答案

7、x22(x2或x2)解析因?yàn)閒x2x222，且當(dāng)x0時(shí),x2;當(dāng)x0時(shí),x2，所以f(x）x22（x2或x2）3已知f（x）是二次函數(shù)且f(0）5，f(x1)f（x）x1,則f（x）_.答案x2x5解析因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)且f(0)5，所以設(shè)f（x）ax2bx5(a0)又因?yàn)閒(x1）f(x）x1，所以a(x1）2b(x1）5（ax2bx5）x1，整理得(2a1）xab10，所以解得a,b,所以f(x)x2x5.4已知f（x)滿足2f（x）f3x，則f（x)_.答案2x（x0）解析因?yàn)?f（x)f3x，所以將x用替換，得2ff(x），由解得f（x)2x(x0）,即f(x）的解析式是f（x）2

8、x（x0)求函數(shù)解析式的四種方法 1若函數(shù)f（x)是一次函數(shù),且ff（x）4x3，則函數(shù)f(x)的解析式為_答案f（x）2x1或f(x)2x3解析設(shè)f(x)axb(a0），則ff(x）af（x）ba2xabb4x3，解得或f（x）2x1或f(x)2x3.2已知f(1)x2，則函數(shù)f(x）的解析式為_答案f（x）x21(x1）解析解法一：f（1)x2（)2211（1)21，且11.f（x)x21(x1)解法二：設(shè)t1，則x（t1)2（t1)代入原式有f（t）（t1)22(t1）t22t12t2t21.故f(x）x21（x1）題型 三分段函數(shù) 角度1求分段函數(shù)的函數(shù)值1已知函數(shù)f(x)則f等于（）

9、a4 b. c4 d答案b解析flog52，ff（2）.角度2分段函數(shù)與方程、不等式的綜合問題2設(shè)函數(shù)f（x）若f4，則實(shí)數(shù)a()a bc或 d2或答案a解析因?yàn)?，所以f4aa.若a1，即a時(shí)，2a4，即a2a(成立）；若a（舍去),綜上a.3（2018全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f（x1）f(2x)的x的取值范圍是（）a(，1 b（0，) c（1，0) d（，0)答案d解析將函數(shù)f(x)的圖象畫出來(lái)，觀察圖象可知解得x0,所以滿足f（x1)f(2x）的x的取值范圍是（，0）故選d.1求分段函數(shù)的函數(shù)值（1）基本步驟確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值(2)兩種特殊情況當(dāng)

10、出現(xiàn)ff（a）的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值如舉例說(shuō)明1.當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)如舉例說(shuō)明2，求f后再求f要分類討論2解分段函數(shù)與方程或不等式問題的策略求解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解若自變量取值不確定，則要分類討論求解;若自變量取值確定，則只需依據(jù)自變量的情況直接代入相應(yīng)的解析式求解解得值（范圍）后一定要檢驗(yàn)是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍如舉例說(shuō)明3. 1設(shè)函數(shù)f（x）則ff(4）_.答案1解析ff（4）f（1642）f（10）1。2函數(shù)f（x)若f（a）a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_

11、答案1，）解析當(dāng)a0時(shí)，由f(a）a1a，解得a2,所以a0；當(dāng)a0時(shí)，由f(a)a,解得1a1且a0,所以1a0。綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，）3已知實(shí)數(shù)a0,函數(shù)f(x）若f(1a)f（1a)，則a的值為_答案解析當(dāng)a0時(shí),1a1,1a1，由f(1a）f（1a），可得(1a）2a2(1a)a，解得a，符合題意 組基礎(chǔ)關(guān)1下列各組函數(shù)中不表示同一函數(shù)的是(）af（x）lg x2，g（x）2lg x|bf(x)x，g（x)cf（x），g(x）df（x)|x1，g(x)答案c解析a中，g（x）2lg x|lg x2，則f(x)與g（x)是同一函數(shù)；b中,g(x）x,則f（x）與g（x）是同一

12、函數(shù)；c中,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?2，），函數(shù)g（x)的定義域?yàn)?，)，則f（x）與g（x)不是同一函數(shù)；d中，f(x）x1|則f(x）與g（x)是同一函數(shù)故選c。2若f,則當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)等于（)a。 b。 c. d。1答案b解析當(dāng)x0,且x1時(shí)，f，所以f(x）.3已知等腰abc的周長(zhǎng)為10，則底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式為y102x，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?ax|xr bx|x0cx|0x5 dx答案d解析由題意知即x5.4設(shè)f（x）則ff（2)等于()a1 b. c. d.答案c解析由已知得，f（2)22，ff(2）f11.5已知函數(shù)f(x）且f(a）3，則f(6a）(）

13、a b c d答案a解析當(dāng)a1時(shí),不符合題意，所以a1，即log2（a1)3，解得a7,所以f(6a)f(1）222.6已知axxn2,nn,給出下列關(guān)系式：f（x）x；f(x)x2；f（x)x3;f（x)x4;f(x)x21，其中能夠表示函數(shù)f：aa的個(gè)數(shù)是(）a2 b3 c4 d5答案c解析ax|xn2，nn，中f(x）x,若xa，則xn2，nn，則f(x）n2，nn，滿足a中任何一個(gè)元素,在a中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng),故正確；中f(x)x2，若xa，則xn2，nn，則f(x）（n2)2，n2n，滿足a中任何一個(gè)元素，在a中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng),故正確；中f(x）x3,若xa,則xn2，

14、nn，則f（x）(n3)2，n3n，滿足a中任何一個(gè)元素,在a中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，故正確；中f(x)x4，若xa,則xn2，nn，則f(x)（n4)2，n4n，滿足a中任何一個(gè)元素,在a中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，故正確;中f(x)x21,若x1，則f（x)2a，不滿足a中任何一個(gè)元素，在a中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，故錯(cuò)誤；故能夠表示函數(shù)f：aa的個(gè)數(shù)是4。7（2020馬鞍山質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)f(x）則f(1）f(）f（）f(）（）a44 b45 c1009 d2018答案a解析因?yàn)?421936，4522025，所以4445，所以1，,，中有44個(gè)有理數(shù),所以f（1)f（）f（）f()4

15、4。8若函數(shù)f（x）ln （bx）的定義域?yàn)?,4)，則ab_。答案5解析要使函數(shù)有意義，則解不等式組得函數(shù)f(x)ln （bx）的定義域?yàn)?，4)，ab145。9若函數(shù)f（x)在閉區(qū)間1,2上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的解析式為_答案f(x）解析由題意，當(dāng)1x0時(shí)，直線的斜率為1，方程為yx1；當(dāng)0x2時(shí)，直線的斜率為,方程為y x。所以函數(shù)的解析式為f(x）10已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范圍是_答案4，2解析解法一：由題意知或解得4x0或0x2,故x的取值范圍為4,2解法二：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)yf（x)與y1的圖象如圖所示,其交點(diǎn)分別為（4,1)，（2，1）由圖象

16、知滿足f(x）1的x的取值范圍是4,2組能力關(guān)1(2019大同模擬）具有性質(zhì)：ff（x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)下列函數(shù)：yx；yln ;y其中滿足“倒負(fù)變換的函數(shù)是（）a b c d答案b解析對(duì)于，f(x)x,fxf(x)，滿足題意；對(duì)于,f（x)ln ，則fln f(x），不滿足；對(duì)于，f即f故ff(x）,滿足題意2（2020惠州調(diào)研）若函數(shù)yf(2x）的定義域?yàn)?則yf（log2x)的定義域?yàn)開答案2 ,16解析由已知得，x時(shí),2x，4，函數(shù)yf（x)的定義域?yàn)椋?由log2x4，得2 x16，所以yf(log2x)的定義域?yàn)? ，163設(shè)函數(shù)f（x)則使f（x)的x的集合

17、為_答案解析當(dāng)x0時(shí),f（x）2x,則x1.當(dāng)x0時(shí)，f（x）|log2x|.當(dāng)01時(shí)，log2x，x.所以使f(x)的x的集合為。4設(shè)函數(shù)f(x)已知f（a)1,則a的取值范圍是_答案(，2)解析解法一:(數(shù)形結(jié)合）畫出f(x）的圖象,如圖所示，作出直線y1，由圖可見，符合f(a）1的a的取值范圍為（,2).解法二：（分類討論）當(dāng)a1時(shí)，由(a1）21，得a11或a11，得a0或a2,又a1，a2；當(dāng)11，得a，又1a1，a1；當(dāng)a1時(shí)，由11，得0a，又a1,此時(shí)a不存在綜上可知，a的取值范圍為（，2）.5已知函數(shù)f(x)則f(2log32)的值為_答案解析2log312log322log33,即22log323，f（2log32)f(2log321）f(3log32）又33log324，f（3log32)3log323log32(31）log323log323log3，f(2log32)。6已知函數(shù)f（x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f