一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法

1、與數(shù)據(jù)處理 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 u研究數(shù)據(jù)處理的目的研究數(shù)據(jù)處理的目的 恰當(dāng)?shù)靥幚頊y量所得的數(shù)據(jù)，可以最大限度地恰當(dāng)?shù)靥幚頊y量所得的數(shù)據(jù)，可以最大限度地 減少測量誤差的影響，給出一個(gè)盡可能精確的結(jié)減少測量誤差的影響，給出一個(gè)盡可能精確的結(jié) 果，并對(duì)這一結(jié)果的精確程度作出評(píng)價(jià)。果，并對(duì)這一結(jié)果的精確程度作出評(píng)價(jià)。 u本章主要討論本章主要討論 幾個(gè)基本的數(shù)據(jù)處理方法，它們分別用來解決幾個(gè)基本的數(shù)據(jù)處理方法，它們分別用來解決 不同的數(shù)據(jù)處理問題。不同的數(shù)據(jù)處理問題。 與數(shù)據(jù)處理 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法

2、 4.1 算術(shù)平均值原理算術(shù)平均值原理 u使用范圍使用范圍 對(duì)對(duì)同一量進(jìn)行多次等精度重復(fù)測量同一量進(jìn)行多次等精度重復(fù)測量而得到的數(shù)而得到的數(shù) 據(jù)的處理據(jù)的處理。所謂。所謂“等精度等精度”是指各次測量的標(biāo)準(zhǔn)是指各次測量的標(biāo)準(zhǔn) 差差 相同，而并非指各測量數(shù)據(jù)具有相同的誤差。相同，而并非指各測量數(shù)據(jù)具有相同的誤差。 事實(shí)上，各測量數(shù)據(jù)的誤差事實(shí)上，各測量數(shù)據(jù)的誤差 并不相同。并不相同。 u優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 測量的測量的隨機(jī)誤差的影響是最小隨機(jī)誤差的影響是最小。 n xxx, 21 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)

3、處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 u局限性局限性 1 1 算術(shù)平均值仍為隨機(jī)變量，它算術(shù)平均值仍為隨機(jī)變量，它不可能完全排除不可能完全排除 隨機(jī)誤差的影響隨機(jī)誤差的影響，只是，只是減小減小這一影響。這一影響。 2 2 由于由于系統(tǒng)誤差不具有隨機(jī)抵償性系統(tǒng)誤差不具有隨機(jī)抵償性，算術(shù)平均值，算術(shù)平均值 原理的功效只是減小隨機(jī)誤差的影響。在一般情原理的功效只是減小隨機(jī)誤差的影響。在一般情 況下，況下，不能指望通過取算術(shù)平均值減小系統(tǒng)誤差不能指望通過取算術(shù)平均值減小系統(tǒng)誤差 的影響的影響。 3 算術(shù)平均值原理在算術(shù)平均值原理在提高精度提高精度的效果上是的效果上是有限有限的的. 與數(shù)據(jù)處理 Harb

4、in Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 一、算術(shù)平均值原理一、算術(shù)平均值原理 u若對(duì)某個(gè)量若對(duì)某個(gè)量X X 進(jìn)行進(jìn)行n n 次等精度重復(fù)測量次等精度重復(fù)測量( ( 各次測量的標(biāo)準(zhǔn)差各次測量的標(biāo)準(zhǔn)差 相同相同) )，得到，得到n n 個(gè)測量數(shù)據(jù)個(gè)測量數(shù)據(jù) ，則被測量，則被測量X X 的最佳估計(jì)量的最佳估計(jì)量 應(yīng)為應(yīng)為 全部測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值全部測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。即。即 它可由最大似然原理或最小二乘法推出。它可由最大似然原理或最小二乘法推出。 1)-(4 1 )( 1 1 21 n i

5、in x n xxx n x n xxx, 21 x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 u等精度的多次重復(fù)測量結(jié)果等精度的多次重復(fù)測量結(jié)果x xi i 的算術(shù)平均的算術(shù)平均 值值 作為被測量作為被測量X X 的估計(jì)量的估計(jì)量 ，具有，具有一致性一致性、 無偏性無偏性和和最優(yōu)性最優(yōu)性。 (1)(1)一致性一致性 設(shè)測量數(shù)據(jù)設(shè)測量數(shù)據(jù)x xi i 的測量誤差為的測量誤差為 ，應(yīng)有，應(yīng)有 即即 故故 x x nixi, 2 , 1 Xxx ii ii xXxni, 2

6、, 1 2)-(4 11 11 xXx n Xx n x n i i n i i 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 式中式中: : 為算術(shù)平均值為算術(shù)平均值 的誤差的誤差 若測量誤差若測量誤差 為服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，為服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差， 則其數(shù)學(xué)期望為零，即則其數(shù)學(xué)期望為零，即 當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，有當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，有 xx 3)-(4 1 1 n i i x n x i x 0 i xE 0 1 1 n i i x n 時(shí)n 與數(shù)據(jù)處理 Harbi

7、n Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 即即 可見，以算術(shù)平均值可見，以算術(shù)平均值 作為作為X X 的估計(jì)量具有的估計(jì)量具有 一致性一致性。 (2)(2)無偏性無偏性 由由(4-3)(4-3)式可知，算術(shù)平均值的誤差式可知，算術(shù)平均值的誤差 是各測是各測 量誤差量誤差 的線性和，因而的線性和，因而 也是正態(tài)分布的也是正態(tài)分布的 隨機(jī)變量，且具有對(duì)稱性，數(shù)學(xué)期望為零。隨機(jī)變量，且具有對(duì)稱性，數(shù)學(xué)期望為零。 Xx 時(shí)n x x i x x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Te

8、chnology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 即即 因此因此 可見，可見， 是是X X 的的無偏估計(jì)無偏估計(jì)( (即即 的波動(dòng)中心是的波動(dòng)中心是 X X ) )。 0 1 21 n xxxE n xE XxXExE xx 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (3)(3)最優(yōu)性最優(yōu)性 可以證明，當(dāng)測量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，可以證明，當(dāng)測量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，算算 術(shù)平均值的方差恰好達(dá)到估計(jì)量的方差下界術(shù)平均

9、值的方差恰好達(dá)到估計(jì)量的方差下界， 即即 式中式中: : 測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差； 正態(tài)分布的概率密度正態(tài)分布的概率密度。 n Xxf X nE xD 2 2 ,ln 1 Xxf, 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 因此因此, ,算術(shù)平均值算術(shù)平均值 是被測量是被測量X X 的最佳估計(jì)量的最佳估計(jì)量. . 一般來說，無論測量誤差具有何種分布，只要一般來說，無論測量誤差具有何種分布，只要 具有對(duì)稱性具有對(duì)稱性，其數(shù)學(xué)期望就為零其數(shù)學(xué)期望就為零，以算術(shù)平均

10、，以算術(shù)平均 值作為被測量的估計(jì)量就具有最優(yōu)性。這是隨值作為被測量的估計(jì)量就具有最優(yōu)性。這是隨 機(jī)誤差抵償性的必然結(jié)果，機(jī)誤差抵償性的必然結(jié)果，按算術(shù)平均值原理按算術(shù)平均值原理 處理等精度重復(fù)測量數(shù)據(jù)處理等精度重復(fù)測量數(shù)據(jù)可充分利用這一抵償可充分利用這一抵償 性，從而使隨機(jī)誤差對(duì)最終結(jié)果的影響減小到性，從而使隨機(jī)誤差對(duì)最終結(jié)果的影響減小到 最低限度。最低限度。 隨機(jī)誤差抵償性是算術(shù)平均值原理的基礎(chǔ)隨機(jī)誤差抵償性是算術(shù)平均值原理的基礎(chǔ)。 x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)

11、處理方法 二、等精度測量數(shù)據(jù)的殘差及其性質(zhì)二、等精度測量數(shù)據(jù)的殘差及其性質(zhì) 1 1 殘差的殘差的定義定義 通常，被測量的真值是未知的，由測量誤差通常，被測量的真值是未知的，由測量誤差 定義獲得的真誤差也是未知的，因而無法用測定義獲得的真誤差也是未知的，因而無法用測 量的真誤差對(duì)測量的精度作出估計(jì)。量的真誤差對(duì)測量的精度作出估計(jì)。 考慮到算術(shù)平均值考慮到算術(shù)平均值 接近于被測量接近于被測量X X，定義定義 為測量數(shù)據(jù)為測量數(shù)據(jù)x xi i 的殘差的殘差( (剩余誤差剩余誤差) )。 xxv ii x 4)-(4 ), 2 , 1(ni 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Tech

12、nology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 更一般地，殘差的定義可推廣為更一般地，殘差的定義可推廣為 式中，式中， 為為X X 的估計(jì)量，可由包括算術(shù)平均值的估計(jì)量，可由包括算術(shù)平均值 原理在內(nèi)的某一方法給出。原理在內(nèi)的某一方法給出。 2 2 殘差的殘差的應(yīng)用應(yīng)用 由于殘差易于獲得，所以它廣泛地應(yīng)用于精度由于殘差易于獲得，所以它廣泛地應(yīng)用于精度 估計(jì)、粗差的判斷及某些系統(tǒng)誤差的判別規(guī)則估計(jì)、粗差的判斷及某些系統(tǒng)誤差的判別規(guī)則 中。中。 5)-(4 x xv ii x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technol

13、ogy 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 2 2 殘差的殘差的性質(zhì)性質(zhì)( (由算術(shù)平均值給出的等精度測量由算術(shù)平均值給出的等精度測量 數(shù)據(jù)的殘差數(shù)據(jù)的殘差 ) ) (1)(1)殘差的代數(shù)和為零殘差的代數(shù)和為零，即，即 這一性質(zhì)常用于檢驗(yàn)所計(jì)算的算術(shù)平均值和殘這一性質(zhì)常用于檢驗(yàn)所計(jì)算的算術(shù)平均值和殘 差有無差錯(cuò)。差有無差錯(cuò)。 (2)(2)殘差的平方和最小殘差的平方和最小，即，即 測量結(jié)果與其他量之差的平方和都比殘差平方測量結(jié)果與其他量之差的平方和都比殘差平方 和大，這一性質(zhì)與最小二乘法一致。和大，這一性質(zhì)與最小二乘法一致。 6)-(4 0

14、 1 n i i v 7)-(4 min 1 2 n i i v 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 三、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差三、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 算術(shù)平均值仍含有一定的隨機(jī)誤差。為評(píng)定算術(shù)平均值仍含有一定的隨機(jī)誤差。為評(píng)定 這一隨機(jī)誤差的影響，應(yīng)使用相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差這一隨機(jī)誤差的影響，應(yīng)使用相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差 或不確定度?；虿淮_定度。 設(shè)對(duì)設(shè)對(duì)X X 進(jìn)行進(jìn)行n n 次等精度重復(fù)測量，得測量數(shù)次等精度重復(fù)測量，得測量數(shù) 據(jù)據(jù) ，將各數(shù)據(jù)，將各數(shù)據(jù) 視為獨(dú)立的隨視為獨(dú)立的隨

15、機(jī)變量機(jī)變量( (而不是具體的數(shù)值而不是具體的數(shù)值) )，則算術(shù)平均值，則算術(shù)平均值 的方差為的方差為 n xxx, 21 i x x n xxx n DxD 21 1 n xDxDxD n 21 2 1 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 即即 因?yàn)槭堑染葴y量，即因?yàn)槭堑染葴y量，即 ， 故故 即即 22 2 2 1 2 21 n x n n 21 222 2 21 n x 8)-(4 1 2 2 n x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Te

16、chnology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則為 式中式中, ,測量標(biāo)準(zhǔn)差測量標(biāo)準(zhǔn)差 可按可按用殘差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的用殘差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的 貝塞爾貝塞爾(Bessel)(Bessel)公式公式估計(jì)估計(jì) 9)-(4 1 n x 10)-(4 1 1 2 n v s n i i 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 由于測量的標(biāo)準(zhǔn)差為估計(jì)量由于測量的標(biāo)準(zhǔn)差為估計(jì)量s s，故公

17、式，故公式(4-9)(4-9) 應(yīng)寫為應(yīng)寫為 上式表明，上式表明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為測量數(shù)據(jù)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為測量數(shù)據(jù) 標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差的 。因此，測量次數(shù)。因此，測量次數(shù)n n 越大，所越大，所 得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，其可靠程度就得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，其可靠程度就 越高越高。 11)-(4 n s sx n/1 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 靠增加測量次數(shù)靠增加測量次數(shù)n n 來給出更高精度的結(jié)果是有來給出更高精度的結(jié)果是有 一定限度的。這是因

18、為：一定限度的。這是因?yàn)椋?(1)(1)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 與測量次數(shù)的平方根與測量次數(shù)的平方根 成反比成反比。如圖。如圖4-14-1所示，隨著所示，隨著n n 的增加，的增加， 的的 減小速度下降。當(dāng)減小速度下降。當(dāng)n n 較大時(shí)較大時(shí)( (如如n n20)20)，靠進(jìn)一，靠進(jìn)一 步增大步增大n n 來減小來減小 ，其效果并不明顯。，其效果并不明顯。 x x x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute o

19、f Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (2)(2)測量次數(shù)測量次數(shù)n n 過大，過大，不僅經(jīng)濟(jì)上耗費(fèi)大，而且不僅經(jīng)濟(jì)上耗費(fèi)大，而且 測量時(shí)間增長，易于因測量條件變化而引入新測量時(shí)間增長，易于因測量條件變化而引入新 的誤差的誤差。 (3)(3)當(dāng)隨機(jī)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)誤差時(shí)，進(jìn)當(dāng)隨機(jī)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)誤差時(shí)，進(jìn)步增步增 大大n n 已無實(shí)際意義，應(yīng)從減小系統(tǒng)誤差著手進(jìn)已無實(shí)際意義，應(yīng)從減小系統(tǒng)誤差著手進(jìn) 一步提高測量結(jié)果的精度。一步提高測量結(jié)果的精度。 因此，測量次數(shù)的規(guī)定要適當(dāng)，應(yīng)顧及到實(shí)際因此，測量次數(shù)的規(guī)定要適當(dāng)，

20、應(yīng)顧及到實(shí)際 效果，一般取效果，一般取n n1010。在較高精度測量中，若以。在較高精度測量中，若以 隨機(jī)誤差為主，并且測量條件較好，則測量次隨機(jī)誤差為主，并且測量條件較好，則測量次 數(shù)可大些。數(shù)可大些。 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 算術(shù)平均值的精度也可用算術(shù)平均值的精度也可用擴(kuò)展不確定度擴(kuò)展不確定度來來 表示，即表示，即 式中式中k k 為置信系數(shù)。對(duì)于正態(tài)分布，常為置信系數(shù)。對(duì)于正態(tài)分布，常 取取k k=3=3。 x ksU 與數(shù)據(jù)處理 Harbin I

21、nstitute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 四、算術(shù)平均值的簡便算法四、算術(shù)平均值的簡便算法 設(shè)對(duì)被測量設(shè)對(duì)被測量X X 進(jìn)行進(jìn)行n n 次等精度的重復(fù)測量，次等精度的重復(fù)測量， 得測量數(shù)據(jù)得測量數(shù)據(jù) ，為簡化算術(shù)平均，為簡化算術(shù)平均 值的計(jì)算，任選一接近測量數(shù)據(jù)值的計(jì)算，任選一接近測量數(shù)據(jù) 的數(shù)值的數(shù)值 ，相減得，相減得 則有則有 n xxx, 21 i x 0 x 0 xxx ii ), 2 , 1(ni n i i n i n i ii xnxxxx 1 0 11 0 與數(shù)據(jù)處理 Harbin

22、Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 故故 即算術(shù)平均值可表示為即算術(shù)平均值可表示為 與與 的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值 之和。應(yīng)注意之和。應(yīng)注意 值的選取應(yīng)使值的選取應(yīng)使 的值盡可能的值盡可能 小，并且便于計(jì)算。小，并且便于計(jì)算。 13)-(4 11 1 0 1 n i i n i i x n xx n x 0 x i x 0 x i x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處

23、理方法 例例4-1 4-1 已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差為已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差為s s=8mg=8mg，欲使最終，欲使最終 結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差小于結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差小于5mg5mg，問需要重復(fù)測量多少，問需要重復(fù)測量多少 次次? ? 解解 由題意，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差由題意，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 5mg5mg， 由式由式(4-11) (4-11) ，可得，可得 所以，至少需測量所以，至少需測量3 3次。次。 x s n s sx 56. 2 5 8 2 2 2 2 x s s n 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問

24、題中的數(shù)據(jù)處理方法 例例4-2 4-2 對(duì)某量進(jìn)行對(duì)某量進(jìn)行8 8次連續(xù)測量，所得結(jié)果如次連續(xù)測量，所得結(jié)果如 下下( (單位略單位略) )：39.28539.285，39.28839.288，39.28239.282， 39.28639.286，39.28439.284，39.28639.286，39.28739.287，39.28539.285。 試計(jì)算其算術(shù)平均值。試計(jì)算其算術(shù)平均值。 解解 (1)(1)按定義直接計(jì)算按定義直接計(jì)算 =(39.285+39.288+39.282+39.286+39.284 =(39.285+39.288+39.282+39.286+39.284 +39.

25、286+39.287+39.285)=39.2854+39.286+39.287+39.285)=39.2854 n i i x n x 1 1 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (2)(2)按簡便算法計(jì)算，取按簡便算法計(jì)算，取x x0 0=39.385=39.385， 則則 =39.285+ =39.285+ 1010-3 -3 (0+3-3+l-1+1+2+0)(0+3-3+l-1+1+2+0) =39.2854 =39.2854 n i i x n xx 1

26、 0 1 8 1 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 例例4-3 4-3 對(duì)某圓柱體外徑尺寸連續(xù)測量對(duì)某圓柱體外徑尺寸連續(xù)測量1010次，次， 所得結(jié)果如下所得結(jié)果如下( (單位單位mm)mm)：3.9853.985，3.9863.986， 3.9883.988，3.9863.986，3.9843.984，3.9823.982，3.9873.987， 3.9853.985，3.9893.989，3.9863.986，求最佳結(jié)果及其精度，求最佳結(jié)果及其精度( ( 不考

27、慮系統(tǒng)誤差不考慮系統(tǒng)誤差) )。 解解 測量結(jié)果的最佳估計(jì)量應(yīng)為算術(shù)平均值。測量結(jié)果的最佳估計(jì)量應(yīng)為算術(shù)平均值。 按簡便算法，取按簡便算法，取d d0 0=3.985mm=3.985mm，列表計(jì)算，列表計(jì)算( (見表見表 4-1)4-1)，得，得 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 表表4-14-1 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 =

28、 3.985mm+ 810- 3mm =3.9858mm 按貝塞爾公式，測量標(biāo)準(zhǔn)差為按貝塞爾公式，測量標(biāo)準(zhǔn)差為 mmmm n i i d n dd 1 0 1 10 1 3 6 1 2 100 . 2 110 106 .35 1 n v s n i i 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為 mmmm 其擴(kuò)展不確定度為其擴(kuò)展不確定度為 =1.9=1.91010-3 -3mm mm 最終結(jié)果為最終結(jié)果為:3.9858+0.0019

29、mm:3.9858+0.0019mm 3 3 1063. 0 10 100 . 2 n s sd 3 1063. 03 d ksU 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 4.2 4.2 加權(quán)算術(shù)平均值原理加權(quán)算術(shù)平均值原理 u不等精度測量不等精度測量 當(dāng)對(duì)某一量進(jìn)行多次測量時(shí)，由于當(dāng)對(duì)某一量進(jìn)行多次測量時(shí)，由于儀器精度和儀器精度和 測量方法的優(yōu)劣、測量者熟練程度及測量條件測量方法的優(yōu)劣、測量者熟練程度及測量條件等等 方面的差別，各次測量可能具有不同的精度，這方面的差別

30、，各次測量可能具有不同的精度，這 就是就是不等精度測量不等精度測量。 u使用范圍使用范圍 在在不等精度測量不等精度測量中，所得各測量數(shù)據(jù)具有中，所得各測量數(shù)據(jù)具有不同不同 的可信程度的可信程度，采用采用加權(quán)算術(shù)平均值原理加權(quán)算術(shù)平均值原理處理數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù). . 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 一、測量數(shù)據(jù)的權(quán)一、測量數(shù)據(jù)的權(quán) 在不等精度測量的數(shù)據(jù)處理過程中，精度較高在不等精度測量的數(shù)據(jù)處理過程中，精度較高 的數(shù)據(jù)應(yīng)給予較多的重視，而精度較低的數(shù)據(jù)則的數(shù)據(jù)應(yīng)給予較

31、多的重視，而精度較低的數(shù)據(jù)則 相反。為便于數(shù)據(jù)處理，這一差別應(yīng)以數(shù)值來表相反。為便于數(shù)據(jù)處理，這一差別應(yīng)以數(shù)值來表 示，這一數(shù)值就是示，這一數(shù)值就是測量數(shù)據(jù)的權(quán)測量數(shù)據(jù)的權(quán)。它表示。它表示該數(shù)據(jù)該數(shù)據(jù) 相對(duì)其他數(shù)據(jù)的可信程度相對(duì)其他數(shù)據(jù)的可信程度。 權(quán)的確定原則權(quán)的確定原則 測量測量數(shù)據(jù)精度越高數(shù)據(jù)精度越高( (即其可靠程度越高即其可靠程度越高) )，其權(quán)就，其權(quán)就 越大；反之，越大；反之，測量測量數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)精度越低，權(quán)就越小精度越低，權(quán)就越小。 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中

32、的數(shù)據(jù)處理方法 確定權(quán)大小的基本出發(fā)點(diǎn)確定權(quán)大小的基本出發(fā)點(diǎn) 測量數(shù)據(jù)精度的高低測量數(shù)據(jù)精度的高低 測量數(shù)據(jù)的權(quán)的確定測量數(shù)據(jù)的權(quán)的確定 由于測量數(shù)據(jù)的精度以其標(biāo)準(zhǔn)差由于測量數(shù)據(jù)的精度以其標(biāo)準(zhǔn)差( (方差方差) )來衡量來衡量, , 故測量數(shù)據(jù)故測量數(shù)據(jù)x xi i的權(quán)的權(quán)p pi i可按其標(biāo)準(zhǔn)差確定。可按其標(biāo)準(zhǔn)差確定。 設(shè)不等精度測量數(shù)據(jù)設(shè)不等精度測量數(shù)據(jù) 的標(biāo)準(zhǔn)差分的標(biāo)準(zhǔn)差分 別為別為 ,相應(yīng)的權(quán)相應(yīng)的權(quán) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 n xxx, 21 n , 21 n ppp, 21 14)-(4 1 : 1 : 1 : 22 2 2 1 21 n n ppp 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institu

33、te of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 或或 式式(4-14)(4-14)或式或式(4-15)(4-15)給出了確定權(quán)的一般方法給出了確定權(quán)的一般方法, , 即即測量數(shù)據(jù)的權(quán)與相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的平方成反比測量數(shù)據(jù)的權(quán)與相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的平方成反比。 實(shí)際上，只能給出標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量實(shí)際上，只能給出標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量( (子樣標(biāo)準(zhǔn)差子樣標(biāo)準(zhǔn)差 ) )s si i，代人上式得，代人上式得， 15)-(4 22 22 2 11nn ppp 16)-(4 1 : 1 : 1 : 22 2 2 1 21 n n sss ppp 與數(shù)據(jù)處

34、理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 或或 權(quán)的相對(duì)性權(quán)的相對(duì)性 權(quán)本身是無量綱的權(quán)本身是無量綱的, ,它只反映各測量數(shù)據(jù)之間的它只反映各測量數(shù)據(jù)之間的 相對(duì)可信程度相對(duì)可信程度, ,只要能滿足式只要能滿足式(4-16)(4-16)或或(4-17),(4-17),其其 絕對(duì)數(shù)值的大小是無關(guān)緊要的。絕對(duì)數(shù)值的大小是無關(guān)緊要的。 權(quán)的數(shù)值一經(jīng)確定，在數(shù)據(jù)處理過程中就不允權(quán)的數(shù)值一經(jīng)確定，在數(shù)據(jù)處理過程中就不允 許再隨意改變。一般為了簡化處理，應(yīng)使權(quán)的數(shù)許再隨意改變。一般為了簡化處

35、理，應(yīng)使權(quán)的數(shù) 值盡可能約簡。值盡可能約簡。 17)-(4 22 22 2 11nns pspsp 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 算術(shù)平均值的權(quán)與各組測量次數(shù)的關(guān)系算術(shù)平均值的權(quán)與各組測量次數(shù)的關(guān)系 若測量的標(biāo)準(zhǔn)差為若測量的標(biāo)準(zhǔn)差為s s，現(xiàn)進(jìn)行，現(xiàn)進(jìn)行m m組測量，各組測組測量，各組測 量次數(shù)分別為量次數(shù)分別為 ，則各組的算術(shù)平均，則各組的算術(shù)平均 值值 ( (i i=1,2,=1,2,m),m)的標(biāo)準(zhǔn)差為的標(biāo)準(zhǔn)差為 于是各組算術(shù)平均值的權(quán)于是各組算術(shù)平均值

36、的權(quán)p pi i應(yīng)滿足下式應(yīng)滿足下式 m nnn, 21 i x m),1,2,(i i i n s s 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 即即 由此可知，由此可知，各組算術(shù)平均值的權(quán)之比等于各組各組算術(shù)平均值的權(quán)之比等于各組 測量次數(shù)之比測量次數(shù)之比。 22 2 2 1 21 1 : 1 : 1 : m m sss ppp 22 2 2 1 : s n s n s n m 18)-(4 : 2121mm nnnppp 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute

37、 of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 有時(shí)不能確切知道各測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，這時(shí)可有時(shí)不能確切知道各測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，這時(shí)可 依據(jù)影響測量數(shù)據(jù)可靠性的各因素的具體情形作依據(jù)影響測量數(shù)據(jù)可靠性的各因素的具體情形作 出判斷，直接給出權(quán)的數(shù)值。出判斷，直接給出權(quán)的數(shù)值。 例例4-4 4-4 現(xiàn)對(duì)一級(jí)鋼卷尺進(jìn)行檢定，進(jìn)行三組不現(xiàn)對(duì)一級(jí)鋼卷尺進(jìn)行檢定，進(jìn)行三組不 等精度測量，所得結(jié)果為等精度測量，所得結(jié)果為 =2000.45mm, =2000.15mm, =2000.60mm=2000.45mm, =2000.15mm,

38、=2000.60mm， =0.05mm=0.05mm， =0.20mm=0.20mm， =0.10mm=0.10mm，試確定各，試確定各 組測量結(jié)果的權(quán)。組測量結(jié)果的權(quán)。 1 x 2 x 3 x 1 x s 2 x s 3 x s 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 解解 由式由式(4-16)(4-16)可得可得 因此因此, ,可取權(quán)為可取權(quán)為 =16=16， =1=1， =4=4。 222321 321 1 : 1 : 1 : xxx sss ppp 4:1:16

39、 10. 0 1 : 20. 0 1 : 05. 0 1 222 1 p 2 p 3 p 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 二、加權(quán)算術(shù)平均值原理二、加權(quán)算術(shù)平均值原理 定義定義 設(shè)對(duì)某量設(shè)對(duì)某量X X 進(jìn)行進(jìn)行n n 次不等精度測量次不等精度測量, ,得數(shù)據(jù)得數(shù)據(jù) , ,各測量數(shù)據(jù)的權(quán)分別為各測量數(shù)據(jù)的權(quán)分別為 , ,則被測量則被測量X X 的最佳估計(jì)量的最佳估計(jì)量 應(yīng)為全部測量數(shù)據(jù)的應(yīng)為全部測量數(shù)據(jù)的 加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值 這就是這就是加權(quán)算術(shù)平均值原

40、理加權(quán)算術(shù)平均值原理。 n xxx, 21 n ppp, 21 x 19)-(4 1 1 21 2211 n i i n i ii n nn p p xp ppp xpxpxp x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 可以證明，加權(quán)算術(shù)平均值是被測量可以證明，加權(quán)算術(shù)平均值是被測量X X 的的無偏估無偏估 計(jì)計(jì)。特別地，當(dāng)各測量數(shù)據(jù)的權(quán)均相等時(shí)。特別地，當(dāng)各測量數(shù)據(jù)的權(quán)均相等時(shí)( (即即 ) )，則有，則有 這正是等精度測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。顯然，這正是等精度測量數(shù)

41、據(jù)的算術(shù)平均值。顯然，算算 術(shù)平均值原理是加權(quán)算術(shù)平均值原理的特例術(shù)平均值原理是加權(quán)算術(shù)平均值原理的特例。 pppp n 21 ppp pxpxpx x n p 21 xxxx n n 21 1 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 加權(quán)算術(shù)平均值原理也以加權(quán)算術(shù)平均值原理也以隨機(jī)誤差抵償性為基礎(chǔ)隨機(jī)誤差抵償性為基礎(chǔ) ，并使隨機(jī)誤差的影響減至最低限度。對(duì)于各次，并使隨機(jī)誤差的影響減至最低限度。對(duì)于各次 測量中的同一系統(tǒng)誤差則無此效果。測量中的同一系統(tǒng)誤差則無此效果。

42、不等精度的測量結(jié)果常是采用不同的測量方法而不等精度的測量結(jié)果常是采用不同的測量方法而 獲得的，因此各測量結(jié)果中常含有不同的系統(tǒng)誤獲得的，因此各測量結(jié)果中常含有不同的系統(tǒng)誤 差。由于這些系統(tǒng)誤差不是由同一因素造成的，差。由于這些系統(tǒng)誤差不是由同一因素造成的， 因此互不相同。這類因此互不相同。這類系統(tǒng)誤差在各測量結(jié)果中相系統(tǒng)誤差在各測量結(jié)果中相 互間具有一定程度的抵償作用互間具有一定程度的抵償作用。 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 加權(quán)算術(shù)平均值計(jì)算的加權(quán)算術(shù)平均值

43、計(jì)算的簡便算法簡便算法 式中式中x x0 0為為: :與與x xi i接近的任意數(shù)值接近的任意數(shù)值, , 。 20)-(4 1 1 0 n i i n i ii p p xp xx 0 xxx ii 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 例例4-5 4-5 求例求例4-44-4中三組數(shù)據(jù)的加權(quán)算術(shù)平均值。中三組數(shù)據(jù)的加權(quán)算術(shù)平均值。 解解 1 1 按按(4-19)(4-19)式計(jì)算式計(jì)算 mmmm =2000.46mm =2000.46mm 321 332211 pp

44、p xpxpxp x p 4116 60.2000415.2000145.200016 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 2 2 按按(4-20)(4-20)式計(jì)算，取式計(jì)算，取x x0 0=2000.00mm=2000.00mm =2000.00mm+ =2000.00mm+ mmmm =2000.46mm =2000.46mm 321 332211 0 ppp xpxpxp xx p 4116 60. 0414. 0145. 016 與數(shù)據(jù)處理 Harbin

45、Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 三、單位權(quán)及單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差三、單位權(quán)及單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差 定義定義 若某一數(shù)據(jù)若某一數(shù)據(jù) 的權(quán)的權(quán) ，則，則 稱為單位權(quán)稱為單位權(quán) ，而，而 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差 稱為單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差，記為稱為單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差，記為 。顯然，由。顯然，由4-174-17式可得式可得 則有則有 k x1 k p k p k x k s 0 s 2 0 22 22 2 11 sspspsp nn 21)-(4 n),1,2,(i 0 ii pss 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute o

46、f Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 單位權(quán)不一定對(duì)應(yīng)著一個(gè)具體的測量數(shù)據(jù)。單位權(quán)不一定對(duì)應(yīng)著一個(gè)具體的測量數(shù)據(jù)。 由權(quán)的相對(duì)性可知由權(quán)的相對(duì)性可知, ,單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差也具有相對(duì)性單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差也具有相對(duì)性 。隨著權(quán)數(shù)值的改變隨著權(quán)數(shù)值的改變, ,單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差也將有相應(yīng)單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差也將有相應(yīng) 的改變的改變。 例如例如: :設(shè)三個(gè)測量數(shù)據(jù)的方差分別為設(shè)三個(gè)測量數(shù)據(jù)的方差分別為 =1, =1, =0.5, =2, =0.5, =2,則三個(gè)測量數(shù)據(jù)的權(quán)應(yīng)滿足下式則三個(gè)測量數(shù)據(jù)的權(quán)應(yīng)滿足下式 2 1 s 2 2 s 2 3 s

47、 1:4:2 1 : 1 : 1 : 2 3 2 2 2 1 321 sss ppp 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (1)(1)若取若取 =2=2， =4=4， =1=1，則單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差，則單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差 ； (2)(2)若取若取 =4=4， =8=8， =2=2，則單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差不，則單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差不 再是再是 ，而應(yīng)為，而應(yīng)為 用殘差計(jì)算單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差用殘差計(jì)算單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差 設(shè)有不等精度測量數(shù)據(jù)設(shè)有不等精度測量數(shù)據(jù) ，相應(yīng)的權(quán)，相應(yīng)的權(quán) 分別為分別為 ，則各測量數(shù)

48、據(jù)的殘差為，則各測量數(shù)據(jù)的殘差為 1 p 2 p 3 p 2 30 ss 1 p 2 p 3 p 3 p 241 110 pss n xxx, 21 n ppp, 21 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 將各殘差將各殘差 分別乘以各自的權(quán)的平方根分別乘以各自的權(quán)的平方根 ， 得得加權(quán)殘差加權(quán)殘差 可以證明，任一數(shù)據(jù)的加權(quán)殘差的權(quán)為可以證明，任一數(shù)據(jù)的加權(quán)殘差的權(quán)為1 1，將加，將加 權(quán)殘差代人貝塞爾公式，便可得單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差估權(quán)殘差代人貝塞爾公式，便可得單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差

49、估 計(jì)量計(jì)量( (子樣單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差子樣單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差) )的計(jì)算公式。的計(jì)算公式。 n),1,2,(i pii xxv i v i p n),1,2,(i iii pvv 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 按上式計(jì)算的結(jié)果應(yīng)為按上式計(jì)算的結(jié)果應(yīng)為單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量。 22)-(4 11 1 2 1 2 0 n vp n v s n i ii n i i 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室

50、 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 四、加權(quán)算術(shù)平均值的精度估計(jì)四、加權(quán)算術(shù)平均值的精度估計(jì) 加權(quán)算術(shù)平均值本身含有隨機(jī)誤差，其精度應(yīng)以加權(quán)算術(shù)平均值本身含有隨機(jī)誤差，其精度應(yīng)以 其標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定。其標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定。 在加權(quán)算術(shù)平均值的表達(dá)式中，測量數(shù)據(jù)在加權(quán)算術(shù)平均值的表達(dá)式中，測量數(shù)據(jù) 為隨機(jī)變量，而相應(yīng)的權(quán)為隨機(jī)變量，而相應(yīng)的權(quán) 為常量，則為常量，則加權(quán)算術(shù)平均值的方差加權(quán)算術(shù)平均值的方差 為為 n xxx, 21 n ppp, 21 n nn p ppp xpxpxp DxD 21 2211 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Tech

51、nology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 即即 由式由式(4-21)(4-21)可知可知 2 21 2 2 2 21 2 1 )( )()()( n nn p ppp xDpxDpxDp xD 2 21 222 2 2 2 2 1 2 1 2 )( n nn ppp ppp p x 2 0 222 2 2 2 2 1 2 1 nn ppp 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 即即 的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差為的估計(jì)標(biāo)

52、準(zhǔn)差為 nn n pppppp ppp p x 21 2 0 2 21 2 0 22 0 2 2 2 0 2 1 2 )( n i i p p x 1 0 px 23)-(4 1 0 n i i p s s p x 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 若將單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的兩個(gè)計(jì)算公式若將單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的兩個(gè)計(jì)算公式(4-21(4-21及及(4-(4- 22)22)，代人上式，可得到加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差，代人上式，可得到加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差 估計(jì)量的兩個(gè)計(jì)算公式估計(jì)量的兩

53、個(gè)計(jì)算公式 及及 n i i i p p ss p x 1 24)-(4 ), 2 , 1(ni n i i n i ii pn vp s p x 1 1 2 1 25)-(4 ), 2 , 1(ni 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 注意：注意： 1 1 分別按公式分別按公式(4-24)(4-24)和和(4-25)(4-25)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差, ,所得結(jié)果理應(yīng)該相同。但由于對(duì)測量所得結(jié)果理應(yīng)該相同。但由于對(duì)測量 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差估

54、計(jì)不準(zhǔn)以及測量數(shù)據(jù)中存在系統(tǒng)誤數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)不準(zhǔn)以及測量數(shù)據(jù)中存在系統(tǒng)誤 差等原因差等原因, ,特別是系統(tǒng)誤差的影響特別是系統(tǒng)誤差的影響, ,導(dǎo)致導(dǎo)致 值值常常 常不同常不同 。 2 2 當(dāng)測量數(shù)據(jù)中存在不同的系統(tǒng)誤差時(shí)當(dāng)測量數(shù)據(jù)中存在不同的系統(tǒng)誤差時(shí), ,按照式按照式 (4-25)(4-25)計(jì)算的計(jì)算的 值通常比按式值通常比按式(4-24)(4-24)計(jì)算的要計(jì)算的要 大些。大些。 px s px s 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 3 3 計(jì)算計(jì)算 按式按

55、式(4-25)(4-25)計(jì)算，能在一定程度上反映系統(tǒng)誤計(jì)算，能在一定程度上反映系統(tǒng)誤 差的影響；按式差的影響；按式(4-24)(4-24)計(jì)算，一般不反映這一系計(jì)算，一般不反映這一系 統(tǒng)誤差的影響。通常以式統(tǒng)誤差的影響。通常以式(4-25)(4-25)的計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn) ( (特別是測量數(shù)據(jù)較多時(shí)特別是測量數(shù)據(jù)較多時(shí)) )。 4 4 但為把握起見，有時(shí)取數(shù)值較大的一個(gè)作為計(jì)但為把握起見，有時(shí)取數(shù)值較大的一個(gè)作為計(jì) 算結(jié)果算結(jié)果( (特別是在測量數(shù)據(jù)較少時(shí)，按式特別是在測量數(shù)據(jù)較少時(shí)，按式(4-25)(4-25) 計(jì)算精度較低計(jì)算精度較低) )，但給出的精度估計(jì)偏于保守。，但給出的精

56、度估計(jì)偏于保守。 px s 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 加權(quán)算術(shù)平均值的加權(quán)算術(shù)平均值的擴(kuò)展不確定度擴(kuò)展不確定度為為 一般可認(rèn)為誤差服從正態(tài)分布，取一般可認(rèn)為誤差服從正態(tài)分布，取k k =3=3。 例例4-6 4-6 現(xiàn)對(duì)角現(xiàn)對(duì)角 進(jìn)行三次測量進(jìn)行三次測量, ,所得數(shù)據(jù)及標(biāo)準(zhǔn)所得數(shù)據(jù)及標(biāo)準(zhǔn) 差分別為：差分別為： , ; , , ; , ; , , ; , ,試求最后結(jié)果試求最后結(jié)果 及其標(biāo)準(zhǔn)差。及其標(biāo)準(zhǔn)差。 26)-(4 p p x x ksU 8042 1

57、 2 1 s31042 2 3 2 s 4042 3 3 3 s 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 解解 列表列表4-24-2計(jì)算如下計(jì)算如下 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (1)(1)確定各測量數(shù)據(jù)的權(quán)。由式確定各測量數(shù)據(jù)的權(quán)。由式(4-16)(4-16)得得 取取 =9， =4， =4。 (2)(2)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值計(jì)算加權(quán)

58、算術(shù)平均值 。取取 ，作，作 ，按簡便算法，則有，按簡便算法，則有 4:4:9 3 1 : 3 1 : 2 11 : 1 : 1 : 2222 3 2 2 2 1 321 sss ppp 1 p 2 p 3 p p 01042 0 0 ii 2 . 8042 17 30 01042 1 1 0 n i i n i ii p p p 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (3)(3)求求 的標(biāo)準(zhǔn)差。的標(biāo)準(zhǔn)差。 按式按式(4-24)(4-24) 按式按式(4-25)(4-

59、25) p 5 . 1 17 9 2 1 1 1 n i i p p ss p 2 . 2 172 08.163 1 1 1 2 n i i n i ii pn vp s p 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (4)(4)最后結(jié)果為最后結(jié)果為 例例4-7 4-7 根據(jù)文獻(xiàn)發(fā)表的結(jié)果，真空中的光速及根據(jù)文獻(xiàn)發(fā)表的結(jié)果，真空中的光速及 其標(biāo)準(zhǔn)差如表其標(biāo)準(zhǔn)差如表4-3(4-3(單位單位km/s)km/s)： 解解 列表列表4-44-4計(jì)算：計(jì)算： ;2 . 8042 0

60、 ;2 . 2 p s 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 表表4-44-4 與數(shù)據(jù)處理 Harbin Institute of Technology 121教研室教研室 第四章第四章 一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法一般測量問題中的數(shù)據(jù)處理方法 (1)(1)取各測量數(shù)據(jù)的權(quán)為取各測量數(shù)據(jù)的權(quán)為 , ,令令C C0 0=299792.0, ,=299792.0, ,則加權(quán)算術(shù)平均值為則加權(quán)算術(shù)平均值為 (2)(2)加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 ),1,2