2021-2022學年高中數(shù)學 第3章 三角恒等變換 3.1.2 第1課時 兩角和與差的正弦、余弦公式學案 新人教A版必修4

1、2021-2022學年高中數(shù)學 第3章 三角恒等變換 3.1.2 第1課時 兩角和與差的正弦、余弦公式學案 新人教a版必修42021-2022學年高中數(shù)學 第3章 三角恒等變換 3.1.2 第1課時 兩角和與差的正弦、余弦公式學案 新人教a版必修4年級：姓名：3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式第1課時兩角和與差的正弦、余弦公式學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.掌握用兩角差的余弦公式推導兩角和的余弦公式和兩角差與和的正弦公式(重點)2.會利用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數(shù)求值、化簡和證明(重點)3.熟練兩角和與差的正弦、余弦公式地靈活運用，了解公式的正用、逆用和變用等常用方法

2、(難點、易混點)1.借助用兩角差的余弦公式推導兩角和的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式，培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng).2.通過用兩角和與差的正弦、余弦公式進行化簡、求值，提升學生的數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式c()cos()cos cos sin sin ，r兩角和的余弦公式c()cos()cos cos sin sin ，r2.兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦公式s()sin()sin cos cos sin ，r兩角差的正弦公式s()sin()sin cos cos sin ，r思考：sin()sin sin 成立

3、嗎？你能舉出一例嗎？提示不一定成立，如sinsinsin.3兩角和余弦公式的推導由()，cos()cos()cos cos()sin sin()cos cossin sin .1sin 20cos 10cos 160sin 10()ab.cd.d原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30.2cos 57cos 3sin 57sin 3的值為()a0 b. c. dcos 54b原式cos(573)cos 60.3若cos ，是第三象限的角，則sin .cos ，是第三象限的角，sin ，sinsin cos .4.cos 15sin 15 .原式sin

4、30cos 15cos 30sin 15sin 45.給角求值問題【例1】(1)cos的值為()a.b.c. d(2)求下列各式的值：cos 75cos 15sin 75sin 195；sin 46cos 14sin 44cos 76；cos 15sin 15.(1)dcoscoscoscoscoscossinsin.(2)解cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60.sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin

5、44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，化分子、分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式提醒：在逆用兩角和與差的正弦和余弦公式時，首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點，其次注意角是否滿足要求1化簡求值：(

6、1)；(2)sin(75)cos(45)cos(15)解(1)原式sin 30.(2)設15，則原式sin(60)cos(30)cos cos 0.給值求值問題【例2】(1)已知sin ，cos ，且為第一象限角，為第二象限角，求sin()和sin()的值；(2)若是第二象限角且sin ，求cos(60)；(3)已知，cos()，sin()，求cos 2與cos 2的值思路點撥：(1)采用直接法：解(1)為第一象限角且sin ，cos .又為第二象限角且cos ，sin ，sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .(2)是第二象限角且sin ，co

7、s ，cos(60)cos sin .(3)，0，.又cos()，sin()，sin()，cos().cos 2cos ()()cos()cos()sin()sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().給值求值的方法(1)直接法：當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)常值代換：用某些三角函數(shù)代替某些常數(shù)，使之代換后能運用相關的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中特別要注意的是“1”的代換，如1sin2cos2，1tan 45，1sin 90等.1，等均可視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)使用.(3)角的

8、代換：將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式，像這樣的代換方法就是角的代換.,常見的有：()，()，2若sin，cos，且0，求sin()的值解0，0，又sin，cos，cos，sin.sin()coscos.給值求角【例3】已知cos ，sin()，0，0，求角的值思路點撥：解因為0，cos ，所以sin .又因為0，所以0.因為sin()sin ，所以，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因為0，所以.求解給值求角的關鍵兩點(1)求出所求角的某種三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍.一旦做好這兩個環(huán)節(jié)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象，便可求解.提醒：確定

9、所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目，結(jié)合所給角的范圍確定.3已知cos ，sin()，且，.求：(1)cos(2)的值；(2)的值解(1)因為，所以，又sin()0，所以0，所以sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin()，又因為，所以.輔助角公式的應用探究問題1能否將函數(shù)ysin xcos x(xr)化為yasin(x)的形式？提示：能ysin xcos xsin.2如何推導asin xbcos xsin(x)公式？提示：asin xbcos x，令cos ，sin ，則asin xbcos

10、 x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符號確定，角的值由tan 確定，或由sin 和cos 共同確定)【例4】(1)sincos .(2)已知a(，1)，b(sin x，cos x)，xr，f(x)ab，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間思路點撥：解答此類問題的關鍵是巧妙構(gòu)建公式c()、c()、s()、s()的右側(cè)，逆用公式化成一個角的一種三角函數(shù)值(1)原式2.法一：(化正弦)原式222sin2sin.法二：(化余弦)原式222cos2cos.(2)解f(x)sin xcos x222sin，t2，值域2,2由2kx2k，得遞增區(qū)間，kz.1

11、若將本例(2)中a(，1)改為a(1，)，其他條件不變，如何解答？解f(x)sin xcos x22cos，t2，值域為2,2，由2kx2k，得遞增區(qū)間，kz.2若將本例(2)中a(，1)改為a(m，m)其中m0，其他條件不變，應如何解答？解f(x)msin xmcos xmsin，t2，值域為m，m，由2kx2k，得遞增區(qū)間，kz.輔助角公式及其運用(1)公式形式：公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()將形如asin bcos (a，b不同時為零)的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式.(2)形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角的系

12、數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).提醒：在使用輔助角公式時常因把輔助角求錯而致誤.1公式的推導和記憶(1)理順公式間的邏輯關系c()c()s()s()(2)注意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律對于公式c()，c()可記為“同名相乘，符號反”；對于公式s()，s()可記為“異名相乘，符號同”(3)符號變化是公式應用中易錯的地方，特別是公式c()，c()，s()，且公式sin()sin cos cos sin ，角，的“地位”不同也要特別注意2應用公式需注意的三點(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，將

13、未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式(3)注意常值代換：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運用相關公式，其中特別要注意的是“1”的代換，如1sin2cos2，1sin 90，cos 60，sin 60等，再如：0，等均可視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)1下列說法不正確的是()a存在角，使得cos()cos cos sin sin b任意角，都有sin()sin cos cos sin c存在角，使sin()sin cos cos sin d存在角，使sin()sin cos cos sin ca對，當2k時，cos 1，sin 0，等式成立；b對，這是恒等式，對任意，均成立；c錯，sin()sin cos cos sin