信號(hào)分析與處理_第一章

1、X 信號(hào)分析與處理信號(hào)分析與處理_ _第一章第一章 重慶大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 2010.3 信號(hào)分析與處理 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析 周期信號(hào)的頻率分解周期信號(hào)的頻率分解 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻率分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻率分析 X 1.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析方法有三種連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析方法有三種 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 頻域分析法頻域分析法 復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法 時(shí)域分析：時(shí)域分析：將信號(hào)分解為具有不同延時(shí)的簡(jiǎn)單沖激 信號(hào)分量的疊加，并通過(guò)卷積的方法進(jìn)行系統(tǒng)的時(shí) 域分析 X 1.1.1 連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

2、 時(shí)域描述：時(shí)域描述：用一個(gè)時(shí)間函數(shù)式 表示信號(hào)隨時(shí)間而變化的特性 1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)的定義： 在所討論的時(shí)間內(nèi)，對(duì)于除了若干 個(gè)不連續(xù)點(diǎn)以外的任意時(shí)刻值都有定 義的信號(hào)，用x(t)表示 例如： Ot 1 tx 處，有間斷點(diǎn)在0 )0(0, 00 )( t atAe t tx at X 1.1.1 連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述 2.基本的連續(xù)信號(hào)基本的連續(xù)信號(hào) （5 5）單）單位階躍信號(hào)位階躍信號(hào) （1 1）指數(shù)信號(hào)）指數(shù)信號(hào) （2 2）正弦信號(hào)）正弦信號(hào) （3 3）復(fù)指數(shù)信號(hào)）復(fù)指數(shù)信號(hào)( (表達(dá)具有普遍意義表達(dá)具有普遍意義) ) （4 4） 抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)(Sampling Signal) tf函數(shù)

3、表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式 tf函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式 信號(hào)的表示信號(hào)的表示 波形波形 tf函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式 （6 6）單）單位沖激信號(hào)位沖激信號(hào) X 重要特性：重要特性：其對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式其對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。 （1）指數(shù)信號(hào) t Ktf e)( 單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào) 通常把通常把 稱為指數(shù)信號(hào)的稱為指數(shù)信號(hào)的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)，記作，記作 , ,代表信代表信 號(hào)衰減速度，具有時(shí)間的量綱。號(hào)衰減速度，具有時(shí)間的量綱。 1 l 指數(shù)衰減指數(shù)衰減, ,0 0 l l 指數(shù)增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)0 0 l 直流直流( (常數(shù)常數(shù)) ), ,0 K 0 O tf t 0e 00 t t

4、 tft Ot 1 tf X （2）正弦信號(hào) 振幅：振幅：K 周期：周期： 頻率：頻率：f 角頻率：角頻率： 初相：初相： f T 12 f2 0 0 0 0sine )( t ttK tf t )sin()( tKtf 衰減正弦信號(hào)：衰減正弦信號(hào)： Ot tf K T 2 2 X （2）正弦信號(hào) 正弦信號(hào)的性質(zhì)： 兩個(gè)振幅和初相位均不同的同頻率正弦信號(hào)相 加后，結(jié)果仍是原頻率的正弦信號(hào)； 若一個(gè)正弦信號(hào)的頻率是另一個(gè)正弦頻率的整 數(shù)倍，則它們的合成信號(hào)是另一個(gè)非正弦周期 信號(hào)，其周期等于基波的周期 正弦信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是同頻率的 正弦信號(hào) X （3）復(fù)指數(shù)信號(hào) 討論討論 衰減指數(shù)信

5、號(hào)衰減指數(shù)信號(hào) 升指數(shù)信號(hào)升指數(shù)信號(hào) 直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0 振蕩振蕩 衰減衰減 增幅增幅 等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)頻率為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)頻率 j s ,均為實(shí)常數(shù)均為實(shí)常數(shù) tKtK tKtf tt st sinejcose )( e)( rad/s /s1 的的量量綱綱為為，的的量量綱綱為為 X （4）抽樣信號(hào)(Sampling Signal) t tSa 1 2 3 O 性質(zhì)性質(zhì) ，偶偶函函數(shù)數(shù)ttSaSa 1)Sa(lim1)Sa(, 0 0 ttt t ，即即 3 , 2 , 1, 0)Sa( nntt， d sin , 2 d

6、sin 0 t t t t t t 0)Sa(lim t t tttsin)sinc( t t t sin )Sa( X （5）單位階躍信號(hào) 0 0 0 1 0 )( 0 01 00 )( tt tt ttu t t t tu處，函數(shù)值未定義 1 0 u(t) t 2 e)( t Etf 1 0 u(t) t 0 t X （6）單位沖激信號(hào) 1)( , 0)( 1)( 0, 0)( 0 00 dttt tttt dtt tt (1) 0t )(t (1) 0t )( 0 tt 0 t dt tdu ttu t t d t )( )()( 0, 1 0,0 )( 或 X （6）單位沖激信號(hào) 性質(zhì)

7、： 抽樣特性 加權(quán)特性 )()()()( )( )()()( )0()()0()()0()()( 000 txxdtx t txdttttxtt xdttxdttxdtttx t 的抽樣特性，又有根據(jù) 時(shí)，在 )()()()( )( , )()0()()( 000 0 tttxtttx tttx txttx 有時(shí)連續(xù)的普通函數(shù)，則是一個(gè)在類似，若 X （6）單位沖激信號(hào) 單位沖激信號(hào)為偶函數(shù) 尺度變換特性 單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)（又叫沖激偶） 是一個(gè)奇函數(shù) )()(tt )( 1 )(t a at dt td t )( )( )()()( )0()()( )()( 0 0 txdttttx xdt

8、ttx tt )()()()()()( )()0()()0()()( 00 0 00 tttxtttxtttx txtxttx 復(fù)指數(shù)信號(hào)和單位沖激信號(hào)是信號(hào)中用的最多的 X 1.1.2 連續(xù)信號(hào)的基本運(yùn)算 1 10 0 , , , 0 1 0 )( 1 10 0 , , , 1 0 )( 21 t t t tx t t t ttx 1 1 0 )( 2 tx 01 1 2 )()( 21 txtx 例子： 1.信號(hào)的相加與相乘信號(hào)的相加與相乘 信號(hào)相加和相乘是指兩個(gè)信號(hào)在任一時(shí)刻函數(shù)值之信號(hào)相加和相乘是指兩個(gè)信號(hào)在任一時(shí)刻函數(shù)值之 和或積。和或積。 0 1 1 )( 1 tx 1 1 0 )

9、()( 21 txtx t t 公式見教 科書p14 X 2.信號(hào)的微分與積分信號(hào)的微分與積分 1 10 )(tx t 與時(shí)間軸包圍的面積。 區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻處，是指在（或的積分記為 該處的跳變量。 出現(xiàn)沖激），大小為時(shí)，將有導(dǎo)數(shù)存在（即當(dāng)信號(hào)中含有不連續(xù)點(diǎn) 變化的變化率。是信號(hào)的函數(shù)值隨時(shí)間或的微分記為 )( -),()()( ),( )( )( )1( tx ttxdxtx tx dt tdx tx t 0 1 (1) )(tx t (1) 0 1 1 )( 1- tx 例如 X 3.信號(hào)的時(shí)移與翻褶信號(hào)的時(shí)移與翻褶 鏡像對(duì)稱波形上就是以信號(hào)的翻褶 信號(hào)的時(shí)移 0),()( )()( 0 t

10、txtx ttxtx 4.信號(hào)的尺度變換信號(hào)的尺度變換 ;/1)()(0 ;/1)()(10 ;/1)()(1 )()( atxatxa atxatxa atxatxa atxtx 擴(kuò)展至的波形沿時(shí)間軸壓縮或?qū)r(shí)，當(dāng) 原來(lái)的的波形沿時(shí)間軸擴(kuò)展至將時(shí)，當(dāng) 原來(lái)的的波形沿時(shí)間軸壓縮至將時(shí)， 尺度變換： 可見教科書P16例題 X 例題 O t )(tf 1 1 1 解解: : t )5( tf 6 1 4 5 O t )3( tf 1 3 1 O 3 1 t )53( tf 1 2 3 4 驗(yàn)證：驗(yàn)證： 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。 宗量宗量t 宗量宗量3t+5 函數(shù)值函數(shù)值 t=-13

11、t+5=-1，t=-21 t=03t+5=0，t=-5/31 t=13t+5=1，t=-4/30 計(jì)算特殊點(diǎn)計(jì)算特殊點(diǎn) X 時(shí)移 標(biāo)度 變換 標(biāo)度 變換 時(shí)移 X 1.1.3 連續(xù)信號(hào)的時(shí)域分解 可將一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為具有不同延時(shí)的沖激信號(hào)序列 tx t nx On , nt當(dāng) ,nx脈高： , 脈脈寬寬： 此窄脈沖可表示為此窄脈沖可表示為 )()(ntuntunx )()(ntuntu存在區(qū)間： X 任意信號(hào)可分解為出現(xiàn)分解為出現(xiàn) 在不同時(shí)刻的，不同強(qiáng)在不同時(shí)刻的，不同強(qiáng) 度的沖激函數(shù)的和。度的沖激函數(shù)的和。 疊加可表示為許多窄脈沖的到從)(,tx ）ntuntu nx ()( )( n n

12、tuntunxtx）()()()( d)()()( txtx所以 0 令令 t t tuntuntu d )(d()( lim 0 ） ,d X 1.1.4 連續(xù)信號(hào)的卷積 1.卷積的定義： 積分和設(shè)有兩個(gè)函數(shù)),()( 21 txtx d 21 txxty txtxtytxtxty 2121 )(或 ，記為的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積和稱為)()( 21 txtx 利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 d)(*)( txttxty 將上式改為 X 1.1.4 連續(xù)信號(hào)的卷積 1 0 X1(t)=u(t) 1 0 )()( 2 tuetx at 1 0 )( 2 x y

13、(t)就是信號(hào)x(t)的沖激信號(hào)序列的分解形式。卷積反應(yīng)了 線性系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，因此研究信號(hào)的卷積有十 分重要的意義。 1 0 )( 2 x t 1 0 t )()( 21 txx 1/a 0 t 圖解過(guò)程 2.卷積的圖解 X 1.1.4 連續(xù)信號(hào)的卷積 卷積的解析法： )()1 ( 1 )( )(*)()(0)( 0)(0 00 )( 212 1 tue a deedety txtxtytxt x at t aat t ta 則時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 中較小的。、分上線應(yīng)為 中較大的，積、，則積分下線應(yīng)為、終點(diǎn)分別為 ，、的起點(diǎn)分別為和確定幾分線原則：若 43 2143 2121 )()(

14、 txx X 1.1.4 連續(xù)信號(hào)的卷積 3.卷積性質(zhì) )(*)()(*)()( )(*)()(*)()( )(*)()(0)( )()()()( 4 )(*)()(*)()()(*)(3 )(*)(*)()(*)(*)(2 )(*)()(*)(1 )1( 12 )1()1( )1( 12 )1()1( 21 )1( )1()1( 3121321 321321 1221 21 21 txtxtxtxty txtxtxtxty txtxtyx dxtxtx dt d tx txtxtxtxtxtxtx txtxtxtxtxtx txtxtxtx t 。若其中 一次積分一階導(dǎo)數(shù) ）微積分性質(zhì)（ ）

15、分配律（ ）結(jié)合律（ ）交換律（ X 1.1.4 連續(xù)信號(hào)的卷積 3.卷積性質(zhì) 相當(dāng)于微分器 的卷積任意信號(hào)與沖激偶信號(hào) 積）任意信號(hào)與階躍的卷（ 的卷積）任意信號(hào)與沖激信號(hào)（ )()(*)( )7( )()(*)( 6 )()(*)(, )()(*)( 5 00 txttx dxtutx ttxtttxtxttx t 見P21例 X 1.2 周期信號(hào)的頻率分解周期信號(hào)的頻率分解 1.2.1 周期信號(hào)的描述 在時(shí)域中信號(hào)可分解為加權(quán)沖激信號(hào)之和，信號(hào)還 可以分解為頻率信號(hào)。例如：周期信號(hào)可用傅立葉 級(jí)數(shù)來(lái)表示，實(shí)質(zhì)就是把信號(hào)分解為了一系列不同 頻率的諧波分量之和。 一個(gè)連續(xù)信號(hào)在(-,)區(qū)間，

16、以T0為周期重復(fù)，表 達(dá)式： x(t)= x(t+T0) x(t+2T0) .x(t+nT0) T0為周期，頻率f01/ T0或角頻率0=2/T0， f0或0 稱為基本頻率或基本角頻率 X 1.2.1 周期信號(hào)的描述 T0T0 x(t) t 2T03T0 具有0的時(shí)間函數(shù)叫基波，2 0、 3 0稱為二次諧波、三次諧 波等。 兩個(gè)周期信號(hào)相加后是否是周期信號(hào)？ 如果在T1和T2之間存在一個(gè)最小公倍數(shù)T0，則 n1 T1 n2 T2 T1/ T2 = n1/ n2=有理數(shù)， n1，n2均為整數(shù) X 1.2.2 傅里葉級(jí)數(shù) 任何一個(gè)滿足任何一個(gè)滿足狄里赫利條件狄里赫利條件的的周期為周期為T的函的函

17、數(shù)數(shù)x(t)都可以用都可以用三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線 性組合來(lái)表示性組合來(lái)表示，即，即 0 10200 10200 ( )cos()cos(2)cos() 2 sin()sin(2)sin() n n a x tatatant btbtbnt X 1.2.2 傅里葉級(jí)數(shù) 條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。 條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有 限個(gè)。限個(gè)。 條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的 數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。數(shù)目應(yīng)是

18、有限個(gè)。 狄利克雷（Dirichlet）條件 X 例1 不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為8 8，它，它 是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的 一半。可見在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)一半。可見在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)8 8，但不連續(xù)，但不連續(xù) 點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。 f t O 1 8t8 1 2 X 例2 不滿足條件不滿足條件2 2的一個(gè)函數(shù)是的一個(gè)函數(shù)是 2 sin, 01f tt t f t O 1 1t1 對(duì)此函數(shù)，其周期為對(duì)此函數(shù)，其周期為

19、1 1，有，有 1 0 d1f tt X 在一周期內(nèi)，信號(hào)是在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的絕對(duì)可積的(T1為周期為周期) 1 d T f tt T 01 0 ( ) d tT t f tt 1 j 11 edd nt n TT Ff ttf tt TT 說(shuō)明 與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都都 是有限值，因?yàn)槭怯邢拗?，因?yàn)?n F X 例3 周期信號(hào)周期信號(hào) ，周期為，周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條件。 1 , 01f tt t f t O 1 212 t 1 X 1. 三角型傅里葉級(jí)數(shù) 滿足狄利克雷（Dirichlet）條件的

20、周期信號(hào) 都可以展開為三角型傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式： 0 00 1 ( )cos()sin()(1) 2 nn n a x tantbnt X 1. 三角型傅里葉級(jí)數(shù) （1）式中， 是常數(shù)，表示直流分量； 當(dāng)n=1時(shí)， 為基波； 當(dāng)n=2時(shí)， 為2次諧波； 表示n次諧波。 0 a 00 cossin nn antbnt 1010 cossinatbt 2020 cos 2sin 2atbt X 1. 三角型傅里葉級(jí)數(shù) 問題：如何求出各諧波分量的大小，即（1） 式中各常系數(shù)？ X 1. 三角型傅里葉級(jí)數(shù) 00 cos,sinntnt 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集 t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)

21、周期內(nèi)，n=0,1,. 0 00 0 cossin0, T ntmdtm n 任意 0 00 0 , sinsin()2 0, T T mn ntmt dt mn 由積分可知由積分可知 三角函數(shù)集 0 0 0 cos0 T nt dt （1） 0 0 0 sin0 T nt dt （2） （3） 0 00 0 , coscos()2 0, T T mn ntmt dt mn （4） （5） X 直流分量直流分量 0 0 /2 0 /2 0 2 ( )d T T ax tt T 余弦分量的幅度余弦分量的幅度 0 0 /2 0 /2 0 2 ( )cosd ,0,12, T n T ax tntt

22、 n T 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 0 0 /2 0 /2 0 2 ( )sind ,12 3 T n T bx tntt n T ， ， ， 1. 三角型傅里葉級(jí)數(shù) 根據(jù)上述正交三角函數(shù)集，可以計(jì)算（1）式中的常數(shù) 項(xiàng) X 例1-2-1 求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 0 2 00 02 2 ( )d0 T T ax tt T 0 0 2 0 02 2 ( )cosd0 T Tn ax tntt T 0 0 2 0 002 22 sind T Tn E btntt TT 1 2 ( 1) 1,2,3 n E n n 周期鋸齒波

23、的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 00 22 0sinsin2 2 EE f ttt 00 0 2 ( ) 22 TTE x ttt T 直流直流基波基波諧波諧波 t x t E E 0 /2T - -E E 0 0 0 0 2 T X 2. 指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù) 三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)有密切的關(guān)系，由歐拉公 式： 三角型和指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)質(zhì)上是同一種級(jí)數(shù) 的兩種不同表現(xiàn)形式。 00 0 cos() 2 jntjnt ee nt 00 0 sin() 2 jntjnt ee nt j X 2. 指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù) 將上述歐拉公式代入三角型傅里葉級(jí)數(shù)公 式： 令復(fù)系數(shù) 當(dāng)x(t)為實(shí)

24、信號(hào)時(shí)，有 ， 則 00 0 11 ( ) 222 jntjnt nnnn nn aajbajb x tee nn aa nn bb * 2 nn n ajb c 2 nn n ajb c X 2. 指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù) * 2 nn nn ajb cc 或 將 和 代入x(t)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得 上式即指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。 * nn cc n c * n c 00 00 00 * 0 11 1 0 1 0 ( ) () jntjnt nn nn jntjnt nn nn jntjnt n nn x tcc ece cc ec e c eXne X 2. 指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù) 說(shuō)明： 上式表明一個(gè)周

25、期信號(hào)可以由無(wú)限多個(gè)復(fù) 指數(shù)信號(hào)組成， 是基波頻率， 是n次諧 波頻率。 振幅和相位由 決定，且有 0 0 n n c 0 0 0 0 0 2 00 2 0 2 0 2 0 1 2 ( )cos()sin() 22 1 ( )() T nn Tn T jnt T ajb cx tntjnt dt T x t edtX n T X 例1.2.2 求下圖所示的矩形脈沖信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。求下圖所示的矩形脈沖信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 ( )x t O t 0 T E 0 T / 2/ 2 解：由題意，矩形脈沖信號(hào)表達(dá)式如下： ,/2/2 0, ( ) ET x t 其它 X 例1.2

26、.2 （續(xù)） 求得復(fù)系數(shù)為 故得x(t)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為 0 2 2 0 0 0 000 1 c() sin(/2) (/2) /2 jnt nn X nEedt T nEE Sa n TnT 00 0 0 ( )(/2) jntjnt n nn E x tc eSa ne T X 1.2.3 周期信號(hào)的頻率分析 通過(guò)上述對(duì)周期信號(hào)的時(shí)域分析表明，一 個(gè)周期信號(hào)可以利用正弦型信號(hào)或復(fù)指數(shù) 信號(hào)來(lái)準(zhǔn)確描述。 不同波形的周期信號(hào)的區(qū)別僅在于基頻 以及各組成諧波分量的幅度和相位不同。 0 X 1.2.3 周期信號(hào)的頻率分析 由于 是離散頻率 的復(fù)函數(shù)，有 其中： 模 反映了組成周期信號(hào)的不

27、同頻 率諧波分量的幅度隨頻率變化的特性，簡(jiǎn) 稱幅頻特性； 相角 反映了不同頻率分量的初相角隨 頻率變化的特性，簡(jiǎn)稱相頻特性。 0 () 00 () |()| jn X nX ne 0 ()X n 0 n 0 |()|X n 0 ()n X 1.2.3 周期信號(hào)的頻率分析 由上述分析知，任意波形的周期信號(hào)x(t)可 以由反映信號(hào)頻率特性的復(fù)指數(shù) 來(lái)描 述。二者存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即： 從信號(hào)x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式中， 提取了反映信號(hào)全貌的三個(gè)基本特征，即 基頻、各諧波的幅度和相位。這種用頻率 函數(shù)來(lái)描述或表征任意周期信號(hào)的方法稱 為周期信號(hào)的頻率分析。 0 ()X n 0 ( )()x tX

28、 n 0 ()X n X 1.2.3 周期信號(hào)的頻率分析 信號(hào)的頻譜圖：即用線條的長(zhǎng)短表示 的幅頻、相頻變化規(guī)律。 頻譜圖與時(shí)域波形變化規(guī)律的關(guān)系： 頻率的高低表示時(shí)域波形變化的快慢； 諧波幅度的大小反映時(shí)域波形取值的大小 相位的變化對(duì)應(yīng)到波形在時(shí)域出現(xiàn)的不同 時(shí)刻。 0 ()X n X 請(qǐng)畫出其幅度譜和相位譜。請(qǐng)畫出其幅度譜和相位譜。 例1.2.3 0 1c 0 0 1 52.236c 1 0.15 2 1c 2 0.25 化為余弦形式化為余弦形式 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖 111 ( )1 sin2coscos 2 4 f tttt 已知， 11 ( )15cos(0.15

29、)cos 2 4 f ttt 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù) X 1 1 c 0 c 2 c 1 2O 2.24 11 n c 1 2 0.25 0.15 O 1 n X 化為指數(shù)形式 11 11 11 jj 2j2j jj44 1 ( )1ee 2j 21 eeee 22 tt tnt tt f t 1111 jj jjj2j2 44 1111 ( )11e1ee eee 2 j2 j22 tttt f t 1 2 j 1 2 () e nt n F n 1)0( F j0.15 1 1 11.12e 2j F j0.15 1 1 11.12 2j Fe j

30、 4 1 1 2e 2 F j 4 1 1 2e 2 F 整理整理 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) X 譜線 0 (0)1FF 11 ()1.12FF 11 ()1.12FF 21 (2)0.5FF 21 ( 2)0.5FF 0 0 1 0.15 1 0.15 2 0.25 2 0.25 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖 1 2 0.5 O 1 1 1.12 1 2 1.12 0.51 1 F n 1 2 0.25 0.15 O 1 1 0.15 1 2 0.25 n X 三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對(duì)比 1 1 c 0 c 2 c 1 2O 2.24 11 n c 三角函

31、數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖 1 2 0.25 0.15 O 1 n 1 2 0.5 O 1 1 1.12 1 2 1.12 0.51 1 F n 1 2 0.25 0.15 O 1 1 0.15 1 2 0.25 n 這兩種頻譜表示方法是指是一樣的 ，不同之處 在于： 三角函數(shù)形式的頻譜圖每條譜 線代表一個(gè)分量的幅度； 指數(shù)形式的頻譜圖把每個(gè)分量 的幅度一份為二，在正負(fù)頻率相對(duì) 應(yīng)的位置一分為二。 需要指出的是負(fù)頻率的引入是 由于在進(jìn)行歐拉公式變換是自然生 成的，只是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，沒有 任何物理意義。 X 1.2.3 周期信號(hào)的頻率分析 由上述例題，

32、周期連續(xù)信號(hào)頻譜具有如下 特點(diǎn)： 1. 離散性：頻譜是由頻率離散的非周期性譜線組成 ，每個(gè)譜線代表一個(gè)諧波分量； 2. 諧波性：頻譜中的譜線只在基波頻率的整數(shù)倍處 出現(xiàn)； 3. 收斂性：頻譜中個(gè)譜線的幅度隨著諧波次數(shù)的增 加而逐漸衰減。 X 1.2.4 傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 1.線性性質(zhì) 兩個(gè)周期信號(hào)x1(t)，x2(t)的頻譜分別為： （1）若 ，則有 （2）若 ，但 的周期 與 的周期 存 在最小公倍數(shù)，即： 則有： 111 ( )()x tX n 222 ( )()x tXn 120 1 122110220 ( )( )()()a x ta x ta X na Xn 12 1( ) x t

33、2( ) x t 1 T 2 T 1221 /T Tnn 有理數(shù) 1 12 2111222 ( )( )()()ax ta x taX na X n X 0 ( )(),x tX n若 ;e )()( 0 j 0 t Fttf 則則 0 )(j 0 e)()( t Fttf 則則 2時(shí)移特性 0 0 00 ()() jnt x tteX n 則有 0 0 0 0 nt nt 0 左 時(shí)域左移或右移t ,相移 右 幅度頻譜無(wú)變化，只影響相位頻譜幅度頻譜無(wú)變化，只影響相位頻譜: X 3尺度變換性質(zhì) 0 ( )(),x tX n若 0 ()(),x atX naa則有為實(shí)常數(shù) 周期信號(hào)x(t)經(jīng)時(shí)間

34、尺度變換后，其各次諧波 的傅里葉系數(shù)仍然保持不變，但基波頻率變?yōu)?0 a X 4. 對(duì)稱性質(zhì) (1) 信號(hào)為實(shí)函數(shù) 實(shí)函數(shù)的頻譜信號(hào) 具有一定的對(duì)稱關(guān)系，即 當(dāng)周期信號(hào)x(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，其相應(yīng)的幅度頻譜關(guān)于 偶對(duì)稱，相位譜關(guān)于 奇對(duì)稱。 在計(jì)算 時(shí)只需要求出單邊頻譜。 0 X(n) 00 00 |X(n)| |X(-n)| (n)= - (-n) 0 n0 n 0 X(n) X 4. 對(duì)稱性質(zhì) （2）信號(hào)為實(shí)偶函數(shù)(偶對(duì)稱) 于是有 則 即：周期信號(hào)為實(shí)偶函數(shù)式，傅里葉級(jí)數(shù)展開式只含直流分 量和余弦分量，而不存在正弦項(xiàng)。 ( )()x txt 0 0 /2 00 /2 0 1 ()( )co

35、s() 2 0 T n T n a X nx tnt dt T b 0 0 1 ( )cos() 2 n n a x tant 是奇函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)積分為0。 0 ( )sin()x tnt X 4. 對(duì)稱性質(zhì) （3）信號(hào)為實(shí)奇函數(shù) 于是有 則 即：周期信號(hào)為實(shí)奇函數(shù)式，傅里葉級(jí)數(shù)展開式只含正弦項(xiàng)， 而不存在直流分量和余弦分量。 ( )()x txt 0 0 /2 00 /2 0 ()( )sin() 2 0 T n T n jbj X nx tnt dt T a 0 1 ( )sin() n n x tbnt X 4. 對(duì)稱性質(zhì) （4）半周期對(duì)稱 半周期偶對(duì)稱（半周期重疊） 半周期偶對(duì)稱：

36、即信號(hào)沿時(shí)間軸前后平移半周期仍等于原信號(hào)，滿足 周期信號(hào)x(t)的周期為 ，而基本周期為 ，因此，其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式除了 直流分量只有余弦偶次諧波分量。 半周期奇對(duì)稱（半周期鏡像） 半周期奇對(duì)稱：即信號(hào)沿時(shí)間軸前后平移半周期等于原信號(hào)的鏡像，滿足 周期信號(hào)x(t)的周期為 。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式只有正弦奇次諧波分量。 0 ()( ) 2 T x tx t 0 T 0 2 T 0 ()( ) 2 T x tx t 0 T X 4. 對(duì)稱性質(zhì) （4）半周期對(duì)稱 雙重對(duì)稱 信號(hào)除了具有半周期鏡像對(duì)稱外，同時(shí)還是時(shí)間的偶函數(shù)或奇函數(shù)，則前者 的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式只有余弦奇次諧波分量，后者只有正弦奇次諧波分

37、量。 由上三類信號(hào)的不同對(duì)稱關(guān)系，可以迅速判斷在傅里葉級(jí)數(shù)展開式中哪些 分量存在，從而減少不必要的計(jì)算。 X 5.時(shí)域微積分性質(zhì) 如果x(t)是周期 的周期信號(hào)，那么它的導(dǎo) 數(shù) 也是周期為 的周期信號(hào)，且它 們的頻譜有如下關(guān)系： 0 T () ()/x tdxt dt 0 T 0 00 ( )() ( )jn() x tX n x tX n 若 則 上述結(jié)論也可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)積分的情 況，即 ( ) 00 1 0 0 ( )()() () ( ),0 jn kk xtjnX n X n xtn X 1.3 非周期信號(hào)的頻譜 除了周期信號(hào)外，在自然界和實(shí)際工程領(lǐng) 域中還存在著一些非周期信

38、號(hào)，如語(yǔ)音信 號(hào)、爆炸產(chǎn)生的沖擊信號(hào)燈，這些非周期 信號(hào)能否分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)這 樣的周期信號(hào)？如果能，應(yīng)該怎么分解呢？ X 1.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 引出 任何周期信號(hào)都可以看成是一個(gè)非周期信號(hào)周期延拓而成的， 而周期信號(hào)則可以看成是周期信號(hào)當(dāng)期周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限 情況。 假設(shè) 是周期為T的周期信號(hào)， 中每個(gè)周期信號(hào)波形都相 同，記為 ，二者的關(guān)系為： ( ) T x t ( ) T x t ( )x t ( )() ( )lim( ) T n T T x tx tnT x tx t X 1.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 周期信號(hào) 可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)，有 ( )

39、 T x t 0 0 ( )() jnt T n xtX ne 其中 0 /2 0 /2 1 ()( ) T jnt T T X nx t edt T 將其代入上式，得到 00 00 /2 /2 /2 0 /2 1 ( )( ) ( ) 2 T jntjnt TT T n T jntjnt T T n xtxt edt e T xt edt e 當(dāng) 時(shí)， T X 1.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 0 (1)2 /Td ，即相鄰的兩根譜線間隔趨于無(wú)窮小； 0 (2) n ，即離散變量趨于連續(xù)變量； (3) ，即求和趨于積分。 則： 1 ( )( ) 2 j tj t x tx t edt e

40、d ()( ) j t X jx t edt ，稱為非周期信號(hào)的頻譜密 度函數(shù)。 X 1.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 頻譜密度函數(shù) 是連續(xù)頻率變量 的復(fù)函數(shù)，即 模 稱為幅度頻譜，幅角 稱為相位頻譜。 ( )X j () () |()| j X jX je |()|X j () X 1.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 傅里葉變換對(duì) ()( ) 1 ( )() 2 j t j t X jx t edt x tX jed X 1.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 非周期信號(hào)x(t)存在傅里葉變換的條件：滿 足狄利克雷（Dirichlet）條件。 條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。在

41、一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。 條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有 限個(gè)。限個(gè)。 條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的 數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。 X 1.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 小結(jié)： ( ) T x t：周期信號(hào)：周期信號(hào)非周期信號(hào)非周期信號(hào) 0 j 2 0 2 1 ()( )ed T nt TT F nx tt T 譜系數(shù) 連續(xù)譜，幅度無(wú)限小。連續(xù)譜，幅度無(wú)限小。離散譜離散譜 T 0 2 /T 譜線間隔 ( )x t d X 例1.3.1 求矩形脈沖信號(hào)的頻譜密

42、度， 并繪制出幅度頻譜和相位頻譜 E O f t t 22 解：由矩形脈沖信號(hào)圖， , 22 0, ( ) Et f t 其它 根據(jù)信號(hào)密度的定義是得 j 2 2 ed t FEt j 2 2 e j t E jj 22 ee . 2 j 2 E sin 2 2 E 2 Sa E X 例1.3.1 2 Sa EF幅度頻譜：幅度頻譜： 相位頻譜：相位頻譜： 2 21 4 0 0,1,2, 2 21 2 22 nn n nn X 21 f BB 或 例1.3.1 頻譜圖 Sa 2 FE 幅度頻譜幅度頻譜 相位頻譜相位頻譜 頻寬：頻寬： F E 2O42 204 2 F E 2O4 2 X 意義 傅

43、里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了 信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。 討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于： 了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；了解特性的內(nèi)在聯(lián)系； 用性質(zhì)求用性質(zhì)求x( )； 1.3.2 傅里葉變換的性質(zhì) X 1奇偶虛實(shí)性 (1) 偶信號(hào)的頻譜為偶函數(shù)，奇信號(hào)的頻譜為奇函數(shù) (2) 實(shí)信號(hào)的頻譜是共軛對(duì)稱函數(shù)，即其幅度頻譜和實(shí)部為 偶函數(shù)，相位頻譜和虛部位奇函數(shù) X 2線性性質(zhì) 1122 ( )(),( )()x tXjx tXj若 1 122112212

44、( )( )( )( ),c x tc x tc Xc Xc c 則為常數(shù) tu 上述性質(zhì)說(shuō)明，傅里葉變換時(shí)一種具有齊次性和疊加性的線 性運(yùn)算，即 （1）若信號(hào)增加a倍，頻譜也相應(yīng)增大a倍； （2）多個(gè)信號(hào)相加的頻譜等于各單獨(dú)信號(hào)頻譜的疊加。 X ( )()tX j若x2jtx則X 2x( )t 則X 3對(duì)偶性 1 1性質(zhì)性質(zhì) 2 2 意義意義 ( )( ) X tXt 若形狀與相同， ( ) , 2 tx tt 則X的頻譜函數(shù)形狀與形狀相同， 幅度差。 x t若為偶函數(shù) X 例1 1 t 即 1 ,t 21 tF 2 jt 則 2 sgn( ), j Ft 已知 例2 2sgn() )sgn

45、(j 相移全通相移全通 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) X 4時(shí)移特性 ( )()tX j若x 0 ,t且 為常數(shù)，則 0 0 ()() j t x ttX je 上式表明，時(shí)域的時(shí)移對(duì)應(yīng)頻域的相移。 X 5頻移特性 ( )()tX j若x 0 ,且為常數(shù)，則 0 0 0 ( )( () jt x t eX j 上式表明，信號(hào)頻譜沿頻率軸左移或右移 ，則 在時(shí)域上，信號(hào)乘 或 。 0 0 0 jt e 0 0 jt e 頻移特性又稱為調(diào)制特性，在實(shí)際應(yīng)用中，通常將信號(hào)x(t) 乘正弦或者余弦信號(hào)，則在時(shí)域上用x(t)（調(diào)制信號(hào)）改變 正弦或余弦（載波信號(hào)）的幅度，形成調(diào)幅信號(hào)，而在頻 域上使 產(chǎn)生左右平移。 ()X

46、 j X 例1-3-3 已知矩形調(diào)幅信號(hào)已知矩形調(diào)幅信號(hào) , cos 0t tGtf 試求其頻譜函數(shù)。試求其頻譜函數(shù)。脈寬為脈寬為 ，為為為矩形脈沖，脈沖幅度為矩形脈沖，脈沖幅度其中其中 , EtG 為為的的頻頻譜譜已已知知矩矩形形脈脈沖沖 GtG 2 Sa EG 解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?tt tGtf 00 jj ee 2 1 為為頻頻譜譜根根據(jù)據(jù)頻頻移移性性質(zhì)質(zhì)， Ftf 00 2 1 2 1 GGF t tf o 2 2 E (a)矩形調(diào)幅信號(hào)的波形(a)矩形調(diào)幅信號(hào)的波形 X 頻譜圖 2 Sa 22 Sa 2 2 1 2 1 00 00 EE GGF 0 二二，向向左左、右右各各平平移移將

47、將包包絡(luò)絡(luò)線線的的頻頻譜譜一一分分為為 2 0 0 O 0 2 E F (b)矩形調(diào)幅信號(hào)的頻譜(b)矩形調(diào)幅信號(hào)的頻譜 X 6尺度變換性質(zhì) 意義意義 1 ( )( ),x tXx atXa aa 若則為非零函數(shù) (1) 0a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。倍。 X 7卷積定理 1122 (),()x tXjxtXj若 1212 xtxtXjXj 則 1212 1 x 2 txtXjXj 則 倍。倍。各頻譜函數(shù)卷積的各頻譜函數(shù)卷積的時(shí)間函數(shù)的乘積時(shí)間函數(shù)的乘積21 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。 頻域卷積定理頻域卷積

48、定理 卷積定理揭示了卷積定理揭示了時(shí)間域時(shí)間域與與頻率域頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信的運(yùn)算關(guān)系，在通信 系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。 1122 (),()x tXjxtXj若 X 例1.3.3 111 ( )Sa 2 f tEf tftft F 已知，求的 頻譜密度函數(shù)。 222 11 Sa 2 Ff tFFE t 1( ) f t O 2 2 E 1 F E 2 04 2 o F 22 E 2 2 t 11 ftft 2 E O X X 8微分特性 ( )( )( )j( )x tXtX ，則x ( ) j() n n xtX一般情況下 ( )(

49、),x tX若 d j( ) d X tx t d j( ) d n n n X tx t 推廣推廣 （1）時(shí)域微分特性 （2）頻域微分特性 X 9時(shí)域積分性質(zhì) x tX若，則 00d j tX xx 時(shí)， 00dX 0 j tX Xx 時(shí)， X 時(shí)域積分性質(zhì)證明 j ded t t ft j ded t fu tt 變上限積分用帶時(shí)移的變上限積分用帶時(shí)移的 單位階躍的無(wú)限積分表單位階躍的無(wú)限積分表 示，成為示，成為 f tu t j edd t fu tt 交換積分順序交換積分順序 ， 即先求時(shí)移的單位階躍即先求時(shí)移的單位階躍 信號(hào)的傅里葉變換信號(hào)的傅里葉變換 t先 后 j 1 ed j f

50、 對(duì)積分變量而言為 常數(shù)，移到積分外 續(xù)續(xù) j 1 ed j f X j 1 ed j f 1 j F 1 j FF 0 j F F 則第一項(xiàng)為零則第一項(xiàng)為零如果如果,00 F 1 d0 jj tF fFF j 1 Ftutf 續(xù)續(xù) X 1.4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析 傅里葉變換要求信號(hào)應(yīng)滿足狄利克雷 （Dirichlet）條件，即描述信號(hào)的函數(shù)x(t) 在 上有定義，且絕對(duì)可積。 但一些重要的信號(hào)并不滿足這個(gè)條件，如： 指數(shù)增長(zhǎng)型信號(hào) 、功率非周期信號(hào)等， 難以用傅里葉分析法對(duì)它們進(jìn)行分析。 于是，將傅里葉分析從頻域推廣到復(fù)頻域， 構(gòu)造一種新變換，即拉普拉斯變換。 (,) (0) at e

51、a X 1從傅里葉變換到拉普拉斯變換 1 ( ) e t FFf t j ( )eed tt f tt : , )(e ),( 依傅氏變換定義依傅氏變換定義絕對(duì)可積條件絕對(duì)可積條件 后容易滿足后容易滿足為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)乘以衰減因子乘以衰減因子信號(hào)信號(hào) t tf 稱為復(fù)頻率。稱為復(fù)頻率。具有頻率的量綱具有頻率的量綱令令 , , j:s )j( F ttfsF ts de 則則 1拉普拉斯正變換 (j) ( ) ed t f tt X 2拉氏逆變換 j 1 eed 2 tt f tFj j 1 jed 2 t f tF j j : s對(duì)對(duì)積積分分限限：對(duì)對(duì) je的傅里葉逆變換的傅里葉逆變換是是

52、對(duì)于對(duì)于 Ftf t t e 以以兩兩邊邊同同乘乘 jdd ; j: ss則則取常數(shù)，取常數(shù)，若若其中其中 j j 1 e d 2 j s t f tF ss ttfsFttfF tst dedej j 所所以以 X 3拉氏變換對(duì) 起因信號(hào)：起因信號(hào)：考慮到實(shí)際信號(hào)都是有考慮到實(shí)際信號(hào)都是有 j 1 j ed 1 e d 2 j s t s t F sL f tf tt f tLf tF ss 正變換 逆變換 sFtf:記記作作 ,0 相相應(yīng)應(yīng)的的單單邊邊拉拉氏氏變變換換為為系系統(tǒng)統(tǒng)采采用用 0 j 1 j ed 1 e d 2j s t s t F sL f tf tt f tLf tF s

53、s 稱稱為為象象函函數(shù)數(shù)。稱稱為為原原函函數(shù)數(shù)，sFtf j 0 ed t F f tt 所所以以 X 2拉氏變換的收斂 0 0e)(limtf t t 收斂域：收斂域：使使F(s)存在的存在的s的區(qū)域稱為收斂域。的區(qū)域稱為收斂域。 記為：記為：ROC(region of convergence) 實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件； O j 0 收斂坐標(biāo) 收斂軸 收斂區(qū) X 例1.4.1 討論下列雙邊信號(hào)的拉普拉斯變換及其收 斂域 (1) (2) | | ( ) t x te 解: (1)由雙邊拉普拉斯變換的定義得 0 | | 0 (1)0(1) 0 ( ) 11 | 11 tsttsttst stst X seedte edte edt ee ss | | ( ) t x te 式中第一項(xiàng)積分的收斂域?yàn)?，第二項(xiàng)積分的收 斂域?yàn)?，則整個(gè)積分的收斂域是