2021-2022學年高中數學 第8章 函數應用 8.1 8.1.1 函數的零點學案 蘇教版必修第一冊

1、2021-2022學年高中數學 第8章 函數應用 8.1 8.1.1 函數的零點學案 蘇教版必修第一冊2021-2022學年高中數學 第8章 函數應用 8.1 8.1.1 函數的零點學案 蘇教版必修第一冊年級：姓名：8.1二分法與求方程近似解8.1.1函數的零點學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1理解函數的零點的概念以及函數的零點與方程根的關系(重點)2會求函數的零點(重點、難點)3掌握函數零點的存在定理并會判斷函數零點的個數(難點)1通過零點的求法，培養(yǎng)數學運算和邏輯推理的素養(yǎng)2借助函數的零點與方程根的關系，培養(yǎng)直觀想象的數學素養(yǎng).解方程的歷史方程解法時間圖東方方程解法時間圖西方知識點1函數的零點

2、的定義一般地，我們把使函數yf(x)的值為0的實數x稱為函數yf(x)的零點1.函數的零點是點嗎？提示不是，函數的零點是實數知識點2方程、函數、圖象之間的關系(1)函數yf(x)的零點就是方程f(x)0的實數解(2)函數yf(x)的零點就是它的圖象與x軸交點的橫坐標2.函數的零點是函數與x軸的交點嗎？提示不是，函數的零點是函數圖象與x軸交點的橫坐標1.函數f(x)2x4的零點是_2由2x40得x2，所以2是函數f(x)的零點知識點3零點存在定理若函數yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)0.答案(1)(2)(3) 類型1求函數的零點【例1】求下列函數的零點(1)f

3、(x)x3x；(2)f(x)2x8；(3)f(x)1log4x；(4)f(x)(ax1)(x2)(ar)解(1)f(x)x3xx(x21)x(x1)(x1)，令f(x)0，得x0,1，1，故f(x)的零點為x1，0,1.(2)令f(x)2x80，x3，故f(x)的零點為x3.(3)令f(x)1log4 x0，log4 x1，x4.故f(x)的零點為x4.(4)當a0時，函數為f(x)x2，令f(x)0，得x2.f(x)的零點為2.當a時，f(x)(x2)(x2)2，令f(x)0，得x1x22.f(x)有零點2.當a0且a時，令f(x)0，得x1，x22.f(x)的零點為，2.綜上，當a0時，f

4、(x)的零點為2；當a時，函數的零點為2；當a0且a時，f(x)的零點為，2.怎樣求函數的零點？提示求函數f(x)的零點時，通常轉化為解方程f(x)0，若方程f(x)0有實數根，則函數f(x)存在零點，該方程的根就是函數f(x)的零點；否則，函數f(x)不存在零點跟進訓練1(1)求函數f(x)的零點；(2)已知函數f(x)axb(a0)的零點為3，求函數g(x)bx2ax的零點解(1)當x0時，令x22x30，解得x3；當x0時，令2ln x0，解得xe2.所以函數f(x)的零點為3和e2.(2)由已知得f(3)0，即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax

5、(3x1)0，解得x0或x.所以函數g(x)的零點為0和. 類型2函數零點的證明【例2】證明函數f(x)ln(x1)在(1,2)上存在零點證明因為f(1)ln 220，且函數f(x)在區(qū)間(1,2)上的圖象是不間斷的，所以函數f(x)ln(x1)在(1,2)上存在零點若函數yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)0，則函數yf(x)在區(qū)間(a，b)上有零點跟進訓練2證明f(x)x33x1在區(qū)間(0,1)上有零點證明因為f(0)0330110，且函數f(x)在區(qū)間(0,1)上的圖象是不間斷的，所以函數f(x)x33x1在(0,1)上有零點 類型3判斷零點所在的區(qū)間【例

6、3】(1)二次函數f(x)ax2bxc的部分對應值如下表：x32101234y6m4664n6不求a，b，c的值，判斷方程ax2bxc0的兩根所在區(qū)間是()a(3，1)和(2,4)b(3，1)和(1,1)c(1,1)和(1,2) d(，3)和(4，)(2)f(x)exx2的零點所在的區(qū)間是()a(2，1) b(1,0)c(0,1) d(1,2)(1)a(2)c(1)易知f(x)ax2bxc的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，又f(3)f(1)6(4)240，所以f(x)在(3，1)內有零點，即方程ax2bxc0在(3，1)內有根，同理方程ax2bxc0在(2,4)內有根故選a.(2)法一：f(0)10

7、，f(x)在(0,1)內有零點法二：exx20，即ex2x，原函數的零點所在區(qū)間即為函數yex和y2x的圖象交點的橫坐標所在的區(qū)間如圖，由圖象可得函數yex和y2x的圖象交點所在的區(qū)間為(0,1)確定函數f(x)零點所在區(qū)間的常用方法解方程法當對應方程f(x)0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上零點存在定理首先看函數yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數yf(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點數形結合法通過畫函數圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷跟進訓練3根據表格中的數據，可以斷定方程ex(x3)0(e2.72)的一個根所在的區(qū)間是_

8、(填序號)x10123ex0.3712.727.4020.12x323456(1,0)；(0,1)；(1,2)；(2,3)設f(x)ex(x3)，由上表可知，f(1)0.3720，f(0)130，f(1)2.7240，f(3)20.1260，f(1)f(2)0，因此方程ex(x3)0的根在(1,2)內 類型4函數零點(方程不等實根)個數的判斷【例4】(1)函數f(x)ex3的零點個數為_(2)函數f(x)ln x的零點個數是_(3)已知關于x的一元二次方程(x1)(3x)ax(ar)，試討論方程實數根的個數(1)1(2)2(1)令f(x)0，ex30，xln 3，故f(x)只有1個零點(2)在

9、同一坐標系中畫出yln x與y的圖象，如圖所示，函數yln x與y的圖象有兩個交點，所以函數f(x)ln x的零點個數為2.(3)解法一：原方程化為x25x3a.令f(x)x25x3，g(x)a.作函數f(x)x25x3的圖象，拋物線的開口向下，頂點的縱坐標為，畫出如圖所示的簡圖：由圖象可以看出：當a時，方程沒有實數根；當a時，方程有兩個相等的實數根；當a時，方程有兩個不相等的實數根法二：原方程化為x25x3a0.254(3a)4a13.當0，即a時，方程沒有實數根；當0，即a時，方程有兩個相等的實數根；當0，即a時，方程有兩個不相等的實數根把本例(1)函數改為“y2x|logax|1(0a1

10、)”再判斷其零點個數解由2x|logax|10得|logax|x，作出yx及y|logax|(0a1)的圖象如圖所示，由圖可知，兩函數的圖象有兩個交點，所以函數y2x|logax|1有兩個零點判斷函數零點的個數的方法主要有：(1)可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助于函數的單調性判斷零點的個數(2)利用函數圖象交點的個數判定函數零點的個數跟進訓練4函數f(x)lg xsin x的零點有i(in*)個，記為xi，xi，kn*，則k構成的集合為_1,4,5由f(x)lg xsin x得lg xsin x，在同一坐標系中作出ylg x和ysin x的圖象，如下圖，由圖象知，函數f(x)

11、lg xsin x有三個零點x1，x2，x3，因為xi，kn*，所以k1,4,5，所以k構成的集合為1,4,51(多選題)下列圖象表示的函數中有零點的是()bcdb、c、d的圖象均與x軸有交點，故函數均有零點，a的圖象與x軸沒有交點，故函數沒有零點2函數f(x)2x3的零點所在的區(qū)間是()a(0,1)b(1,2)c(2,3) d(3,4)bf(1)2310，f(1)f(2)0，即函數f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)3設函數f(x)是定義在r上的奇函數，當x0時，f(x)exx3，則f(x)的零點個數為()a1b2c3 d4c因為函數f(x)是定義域為r的奇函數，所以f(0)0，所以0是函數f(x)的一個零點當x0時，令f(x)exx30，則exx3.分別畫出函數yex和yx3的圖象，如圖所示，有一個交點，所以函數f(x)在(0，)上有一個零點又根據對稱性知，當x0時函數f(x)也有一個零點綜上所述，f(x)的零點個數為3.應選c.4已知函數f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對應值表：x1234567f(x)136.13615.5523.9210.8852.488232.06411.238由表可知函數f(x)存在零點的區(qū)間有_個4f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(6)f(7)0，共有4個區(qū)間5函數f(x)x2ax1在區(qū)間上有零點，