傅里葉光學(xué)-上科大-1

1、傅 里 葉 光 學(xué) 主講：周常河主講：周常河 研究員研究員 Email： 助教：賈偉 Email: 電話2015年9月24日 傅里葉光學(xué)的重要性 o 理解光學(xué)原理，設(shè)計(jì)光學(xué)儀器的有力工具 o 光學(xué)設(shè)計(jì)：光線追跡法設(shè)計(jì)光學(xué)儀器 o 物理光學(xué)：光的折射、衍射、傳播等基本物理特性 o 激光原理：激光產(chǎn)生、放大、加工等、 o 激光干涉、散斑計(jì)量等 o 傅里葉光學(xué)：從傅里葉變換的角度看待光學(xué) o 經(jīng)典書：Goodman ：傅里葉光學(xué)導(dǎo)論 o 斯坦福大學(xué)公開課 http:/ e/fouriertransforms.html o 不僅講基礎(chǔ)，還講最新進(jìn)展。 o 強(qiáng)調(diào)自學(xué)能力，預(yù)習(xí)傅

2、立葉光學(xué)導(dǎo)論， 講課是概括性的，需要課后復(fù)習(xí)，理解消化 ，大量閱讀原始文獻(xiàn)，實(shí)際做，包括作業(yè)。 傅里葉光學(xué)簡介 Lord Kelvin o 傅里葉光學(xué)傅里葉光學(xué)數(shù)學(xué)工具經(jīng)典光學(xué) o 數(shù)學(xué)工具：傅里葉變換，級數(shù)，卷積，相關(guān) o 經(jīng)典光學(xué)：光波的傳播、干涉、衍射、成像、光學(xué) 信息的記錄與再現(xiàn)、光學(xué)信號的處理 幾何光學(xué) 物理光學(xué) 傅里葉光學(xué) 基本觀點(diǎn)： 光是射線 電磁波 光是信息 的載體 基本定理：費(fèi)瑪原理 光波的電磁場 線性系統(tǒng)理論 理論 成像、象差理論 光的傳播及 光學(xué)信息處理 基本內(nèi)容： 光與物質(zhì) 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì) 作用 第第1章章 二維信號與系統(tǒng)的分析二維信號與系統(tǒng)的分析 第第2章章 標(biāo)量衍射理

3、論基礎(chǔ)標(biāo)量衍射理論基礎(chǔ) 第第3章章 菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射 第第4章章 相干光學(xué)系統(tǒng)的波動光學(xué)分析相干光學(xué)系統(tǒng)的波動光學(xué)分析 第第5章章 光學(xué)成像系統(tǒng)的頻譜分析光學(xué)成像系統(tǒng)的頻譜分析 第第6章章 波前調(diào)制波前調(diào)制 第第7章章 模擬光學(xué)信息處理模擬光學(xué)信息處理 第第8章章 全息術(shù)全息術(shù) 課程內(nèi)容課程內(nèi)容 第1章 傅里葉光學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) ：傅里葉變換、線性不變系 統(tǒng)、二維抽樣定理 第2章 傅里葉光學(xué)的物理基礎(chǔ)：標(biāo)量衍射 第3章 衍射近似：菲涅耳近似、夫瑯禾費(fèi)近似 第4章 最基礎(chǔ)元件透鏡的傅里葉變換及成像特性 課程內(nèi)容課程內(nèi)容 第5章 線性不變系統(tǒng)成像系統(tǒng)的頻譜分析：相干及 非

4、相干系統(tǒng) 第6章 波前調(diào)制技術(shù)：照相膠片、空間調(diào)制器、衍射元件 第7章 光學(xué)信息處理技術(shù)：匹配濾波、模式識別、數(shù) 據(jù)處理 第8章 全息術(shù)：Gabor全息、計(jì)算全息、數(shù)字全息 傅里葉變換： 函數(shù) 平面波 傅里葉變換： 矩形孔 Sinc函數(shù) 圓孔 傅里葉變換： Bessel 函數(shù) 幾何光學(xué)觀點(diǎn)： 點(diǎn)光源 平行光線 衍射光學(xué)觀點(diǎn)： 點(diǎn)光源 非平行光線 衍射角 d 傅里葉變換： 矩形空 Sinc函數(shù) 各級頻譜 2 第1章 二維信號與系統(tǒng)的分析 o 1.1周期函數(shù)的周期函數(shù)的Fourier級數(shù)級數(shù) o 1.2Fourier變換變換 o 1.3幾種簡單的特殊函數(shù)幾種簡單的特殊函數(shù) o 1.4卷積卷積 o

5、1.5相關(guān)相關(guān) o 1.6線性系統(tǒng)的基本概念線性系統(tǒng)的基本概念 o 1.7線性系統(tǒng)的空間域分析線性系統(tǒng)的空間域分析 o 1.8線性不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)線性不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 1.1 周期函數(shù)的Fourier級數(shù) 正交完備系是可實(shí)現(xiàn)函數(shù)分解的基元函數(shù)正交完備系是可實(shí)現(xiàn)函數(shù)分解的基元函數(shù) 正交完備系：正交完備系： 余弦函數(shù)系余弦函數(shù)系 復(fù)指數(shù)函數(shù)系復(fù)指數(shù)函數(shù)系 ( ;)sin2 ( ;)cos2 x ffx x ffx ( ;)exp( 2)x fifx 一、周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開的幾種方法 1、余弦/正弦式周期函數(shù)展開 2、余弦相移式：周期函數(shù)g(x)可以表示為無 窮多個(gè)不同頻率余弦分量

6、的線性組合 )2cos( 2 )( 1 0 0 n n nxnxgfB a 0 00 1 ( )(cos2sin2) 2 nn n g xanf xbnf x a 3、復(fù)指數(shù)形式：函數(shù)看作不同頻率的復(fù)指 數(shù)分量的線性組合 g(x)=g(d+x) g(x)= f01/d n=0 零頻 n1 基頻 n2 高次頻 Cn 為頻率為nf0的函數(shù)（頻譜） n nxi neC f )(2 0 4、周期函數(shù)舉例： 光柵是一種具有周期性結(jié)構(gòu)的光學(xué)元件，復(fù)振 幅透過率為t(x)，可以通過傅立葉級數(shù)分解為 其中為光柵周期，Cm與光柵結(jié)構(gòu)有關(guān) ( )exp( 2/) m m t xCimx 0 2 ( )exp(2)

7、 m m Ct xix dx 1.2 Fourier變換 一、Fourier變換的定義 一維 g(t)G(f) 時(shí)間-頻率 二維 g(x,y)G(fx,fy) 空間坐標(biāo)-空間頻率 傅里葉變換的意義：將復(fù)雜信息分解成一系列基元的傅里葉變換的意義：將復(fù)雜信息分解成一系列基元的 加權(quán)和，在線性不變系統(tǒng)中，可以通過對這些基元加權(quán)和，在線性不變系統(tǒng)中，可以通過對這些基元 的簡單分析，得到復(fù)雜信息的輸出結(jié)果。的簡單分析，得到復(fù)雜信息的輸出結(jié)果。 (,)( , )exp(2 () ( , )(,)exp( 2 () xyxy xyxyxy G ffg x yif xf y dxdy g x yG ffixf

8、yfdf df 二、狹義傅氏變換存在條件（Diriehlet條件） 1、g(x,y)在整個(gè)平面絕對可積 2、g(x,y)有有限個(gè)間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大極小點(diǎn) 3、沒有無窮大間斷點(diǎn) 作為光學(xué)常用的點(diǎn)光源函數(shù)(x)不滿足3，如何 解決？廣義傅里葉變換。 三、廣義傅里葉變換 當(dāng)函數(shù)不嚴(yán)格滿足存在條件，但是函數(shù)可以表示成另 一個(gè)函數(shù)序列的極限，通過對函數(shù)序列進(jìn)行傅立葉變 換，并對變換后的序列求極限即為原函數(shù)的廣義傅立 葉變換。 四、 傅里葉變換定理 1.線性性質(zhì) 2.位移性質(zhì) 3.相似性質(zhì) 4.帕塞瓦爾(Parserval)等式 5.卷積定理 則 6.自相關(guān)定理 卷積及相關(guān)的定義在后面講解 7.微積分定理

9、 通過傅里葉變換，微積分算符消失，方便計(jì)算 五、FourierBessel變換 通過直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 可以得到 FourierBessel變換 其中 drrJrrgG R 0 0 )2()(2)( diaaJ 2 0 0 )cos(exp( 2 1 )( o o d x 在振幅變化緩慢時(shí)，可以通過位相求導(dǎo)得到局域頻率， 但更普適的方法是利用維格納分布進(jìn)行分析。 1.3 幾種簡單的特殊函數(shù) 一、階躍函數(shù)（開關(guān)函數(shù)）：描述直邊（刀口）的透過率 1 x0 step（x）= x=0 0 x0 sgn（x）= 0 x=0 -1 x0 sgn(x)=2step(x)-1 sgn( )x 1 1 x 0

10、 三、矩形函數(shù)（門函數(shù)）：表示狹縫、矩孔的透過率 1 |x|a/2 rect(x/a)= 0 其它 以原點(diǎn)為中心，寬為a，高為1 二維：rect(x/a)rect(y/b) ( ) x rect a 2 a 2 a 1 x 0 四、三角函數(shù)：描述光瞳為矩形的非相干成像，系統(tǒng)的光 學(xué)傳遞函數(shù)（OTF） 1-|x|/a |x|a tri(x/a)= 0 其它 函數(shù)以原點(diǎn)為中心、底邊寬為2a的三角形 二維：tri(x/a)tri(y/b) ( ) x tri a aa0 x 1 五、sinc函數(shù)：描述狹縫或矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射 sinc（x/a）= 零點(diǎn)在x=na 二維：sinc（x/a）sinc（y

11、/b） sin() x a x a -3a -2a -a a 2a 3a sin() x c a 六、高斯函數(shù)：描述激光器發(fā)出的高斯光束 2 2 22 2 ( )exp( ) 1 1,( )exp() ( )( )exp( )( ) ( )exp() xx Gaus aa aGaus xx xyxy GausGaus abab Gaus rr 原點(diǎn)值最大，曲線下面積為 二維： 極坐標(biāo)下： 1 x a-a () x G a u s a 七、圓域函數(shù)：描述圓孔的透過率 1 = 0 其它 極坐標(biāo)circ(r/r0) 22 1xy 22 0 () xy circ r 1 0 x y r0 22 0 (

12、) xy circ r 常用函數(shù)的傅里葉變換 1. ( )1 ( , )1 ( )exp()exp(0)1() x x y xifx dx 函數(shù) 一維： 二維： 篩選性質(zhì) 0 00 2. 1 1 ( )( )() 1 =exp( 2)exp( 2) n n nn f x g xCombxn Cinf xinf x 梳函數(shù)（周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)） 0 0 1 ( )exp( 2) 11 ()() =() 1 ( )() ( )( )()() n nn xy g xinf x n fnff combf x Combcombf comb x comb ycomb f comb f 一維： 二維：

13、 1 2 1 2 3. ( )exp(2) 1 exp()exp() 2 sin () sin ( ) ( )( )sin ()sin () xy rect xifx dx ifif if cf c f f rect x rect yc fc f 矩形函數(shù) 一維： 二維： 2 2 2 4. ( )exp()exp( 2) exp()1 ( )exp()( ) ( )( )()() xy Gaus xxfx dx d Gaus xfGaus f Gaus x Gaus yGaus f Gaus f 高斯函數(shù) 一維： 二維： 5. cos(2)cos(2)exp( 2) 1 exp( 2)exp(

14、2)exp( 2) 2 1 ()() 2 aa aa aa f xf xfx dx fffx dx ffff 余弦函數(shù) 一維： 2 6. ( )( )( ) ( ) ( )sin( ) tri xrect xrect x rect xrect xcf 三角函數(shù)（可看作為兩個(gè)矩形函數(shù)的卷積） 1 1 0 0 7. (2) ( )2(2) J B circ rrJrdr 圓域函數(shù)（傅立葉-貝塞爾變換） 常用傅里葉變換對表 1.4 卷積（convolution） 一、定義: 一維輸出 二維輸出 應(yīng)用：線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 相干成像：復(fù)振幅Ut=U0h(h為脈沖響應(yīng)) 非相干成像：光強(qiáng)It=I0

15、hI (hI為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)) ( )( ) ()( )( )g xfh xdf xh x 簡寫 ),(),(),(),(),(yxhyxfddyxhfyxg 二、一維簡單函數(shù)的卷積運(yùn)算的圖解法 例： f(x)=rect(x-1/2) h(x)= rect(x-1/2) 求解卷積 1 2 1 f(x) x1/21 1 x1/21 h(x) ( )( ) ()( )( )g xfh xdf xh x 求解步驟： 坐標(biāo)反轉(zhuǎn)： 平移： 相乘：計(jì)算 的乘積曲線下的面積 逐點(diǎn)積分 , ( )()xhh 換為翻轉(zhuǎn) 折疊 0 0 ()() x hh x 位移量為 0 ( ) ()fh x 1/ 2 0 x g(

16、x) 三、卷積的效應(yīng) 1、平滑化：被卷函數(shù)的細(xì)微結(jié)構(gòu)被消除，圓滑化，信 息高頻分量丟失，有模糊效應(yīng) 2、底邊加寬：卷積寬度為被卷函數(shù)寬度之和 四、卷積運(yùn)算的性質(zhì) （3）卷積的結(jié)合律： )()()()(*)()( 2121 ththtxththtx )()()()(txththtx )()()()()()()( 2121 thtxthtxththtx （1）滿足交換律： （2）滿足分配律： 1.5 相關(guān)(correlation) 一、互相關(guān) 1、定義（平移-共軛-相乘-積分） f(x) g(x)= 2、相關(guān)與卷積的關(guān)系 f(x) g(x)= 若 ，f(x) g(x)= dxfdxfgg)()()

17、()( ( )()f xx g ( )( )g xgx ( )()f xgx 二、自相關(guān) 1、定義 2、特點(diǎn) ( , )( , )(,) ( , ) ( , ) ff rx yffxy d d f x yf x y (1)( )() ( )( )() (3)( )(0) , ffff ffffff ffff rxrx rxrxrx rxr 復(fù)函數(shù)的厄米性 (2)為實(shí)函數(shù)時(shí)， 模在原點(diǎn)最大 三、應(yīng)用 線性不變系統(tǒng)的分析 psf：脈沖響應(yīng)函數(shù) OTF：光學(xué)傳遞函數(shù) 光學(xué)圖像目標(biāo)相關(guān)識別 兩個(gè)圖像越相像，互相關(guān)相對位置的值越大 一、基本概念：輸入/輸出關(guān)系滿足線性疊加原理 均勻 性，迭加性 系統(tǒng)系統(tǒng)

18、的定義： 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)需滿足： 光學(xué)中的線性疊加原理 波的迭加原理：矢量 相干光場：復(fù)振幅 非相干光場：光強(qiáng) 1 ()() n i i IpIp 1 () n i i UUp （p）= 12 ( )( )EE pEp 1.6 線性系統(tǒng)的基本概念 利用線性系統(tǒng)的特性來求輸入/輸出關(guān)系 “三步法則”： 第一步：將復(fù)雜輸入分解為簡單輸入函數(shù)之和 第二步：分別求出簡單函數(shù)的輸出 第三步：將簡單函數(shù)輸出加起來 問題：1、怎么樣分解為簡單函數(shù)？ 2、簡單函數(shù)的輸出如何求解？ 簡單函數(shù)：基本函數(shù)/基元函數(shù) 1、 函數(shù)描述物面上一點(diǎn)的復(fù)振幅分布 2、cos/sin周期函數(shù)（V(x)=f(x+d)=f(x)

19、） 光柵的復(fù)振幅透過率 3、 非周期函數(shù)的分解 傅里葉變換 1 0 )2sin()2cos( 2 )( i nn b n x a n xxfba e ix dffFxf e xfi 2 )()( 二、線性位移不變系統(tǒng)（LSI） 1、時(shí)間位移不變系統(tǒng) t時(shí)刻: s(t) s(t) : 不同時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)變換特征相同 2、空間位移不變系統(tǒng) )( )(tstst 時(shí)刻 )()( 00 xxgxxf)()(xgxf o 空間不變系統(tǒng) 3、實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng) 成完善像系統(tǒng)：無像差系統(tǒng)為線性不變系統(tǒng) 相干成像，非相干成像 實(shí)際成像系統(tǒng)：不是完善成像系統(tǒng)，有像差 近軸區(qū)內(nèi)：完善成像，線性不變系統(tǒng) 近軸區(qū)外，劃分

20、等暈區(qū)：等暈區(qū)內(nèi)為線性不變系統(tǒng) 1.7 線性系統(tǒng)的空間域分析 一、基元函數(shù)脈沖函數(shù) 1、 函數(shù)作用：點(diǎn)源模型的物理量 2、 函數(shù)的定義： 定義一： 函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù) 面積為1，坐標(biāo)原點(diǎn)值最大 0),(yx0 x0y 1),(dxdyyx ),(yx 0 yx 定義二： 函數(shù)與普通函數(shù)的關(guān)系 先構(gòu)造一個(gè)普通函數(shù)的序列，再求序列的極限 定義三： 篩選性質(zhì) ),(),(),a-(badxdyyxbyx 3、性質(zhì) 篩選性質(zhì) 比例變換性質(zhì) 由a1知 函數(shù)是偶函數(shù) 函數(shù)與普通函數(shù)的卷積 * ),(),(),( 0 0 0 0yxyxdxdyyxyx )( 1 )(x a ax )( a x rect a

21、xx x x0 x0 )(0 xx 00 00 ( ,)(,)(,)h x yxyh xy yy xx 二、輸入函數(shù)的分解（ 函數(shù)篩選特性） )(xf x0 x1x2x3 x )(xf dxxfxf dxxfxf dxxfxf dxxfxf xx xx xx xx nn)()()( . . . )()()( )()()( )()()( 22 11 00 一般為了形式上的可觀性 一維函數(shù)分解 二維函數(shù)分解 dfxdfxxf)()()()()( ddyxfyxf),(),(),( 三、脈沖響應(yīng) 1、系統(tǒng)的輸入是簡單的脈沖函數(shù)，則輸出是脈沖 響應(yīng) 輸入： 輸出： 響應(yīng)與輸入的位置有關(guān) ( ) ( )

22、 ( )( ,0)g xf xxh x ( )x 0 ( ,0)h x x () i x x 0ixix0 ( ,) i h x x ( )( )f xx 二維函數(shù)脈沖響應(yīng) 說明：脈沖響應(yīng)分布中心為集合象點(diǎn)位置 2、空間變系統(tǒng)的 與 不同，脈沖響應(yīng)與位置有關(guān)，為四維函數(shù) ( , ;0,0) ( , )h x yx y 分布以原點(diǎn)為中心 ( ,;,)(,)h x yxy ( , ;0,0)h x y( ,;,)h x y 3、空間不變線性系統(tǒng) 輸出響應(yīng)與輸入位置坐標(biāo)無關(guān)，離軸脈沖 響應(yīng)不變： 物面上任一點(diǎn)在像面上的響應(yīng)是相同的，唯一不 同的是位置 ( , )( , ; , ),h x yh x

23、yh 為二維函數(shù) 系統(tǒng)模型： （0，0） 00 ( ,)x y x y 物 面 像 面 x y ( , )h x y L 00 ( , ;,):h x y x y線性變系統(tǒng) 00 (,)h x x y y： 線 性 不 變 系 統(tǒng) （0，0） 00 ( ,)x y x y 前 焦 面 后 焦 面 x y L 四、輸出函數(shù)的求解 將f（x）分解為基元函數(shù)的迭加形式 基元函數(shù)的響應(yīng)：脈沖響應(yīng) 推廣至二維的線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系： dxfxf)()()( dxhfdxfxg),()()()()( ddyxhfyxg),;,(),(),( ( ) ( )g xf x 線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系：滿足卷積積分關(guān)系 一般線性系統(tǒng) 必須知道 f(x)、h(x,)的解析表達(dá)式 ( , )( , ) (,)( , )( , )g x yfh xyd df x yh x y ( )( ) ()g x