2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.1.1 等差數(shù)列課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.1.1 等差數(shù)列課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.1.1 等差數(shù)列課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版必修5年級(jí)：姓名：三等 差 數(shù) 列 (20分鐘35分)1.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,公差d=2,則a4等于()a.5b.6c.7d.9【解析】選c.a4=a3+d=a2+2d=a1+3d=1+32=7.2.(2020寶雞高二檢測(cè))在數(shù)列中a1=2,2an+1-2an=1,則a101的值為()a.52b.51c.50d.49【解題指南】由2an+1-2an=1,得到an+1-an=,進(jìn)而得到數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為的

2、等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求解,得到答案.【解析】選a.由題意,數(shù)列滿足2an+1-2an=1,即an+1-an=,又由a1=2,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為的等差數(shù)列,所以a101=a1+100d=2+100=52.3.已知等差數(shù)列an中各項(xiàng)都不相等,a1=2,且a4+a8=,則公差d=()a.0b.c.2d.0或【解析】選b.根據(jù)題意知d0,a4+a8=a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,則4+10d=(2+2d)2,解得d=或d=0(舍去).4.若an是等差數(shù)列,則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的有()|an|;an+1-an;pan+q(p,q為常數(shù));2an+n.

3、a.1個(gè)b.2個(gè)c.3個(gè)d.4個(gè)【解析】選c.設(shè)an=kn+b,則an+1-an=k,故為常數(shù)列,也是等差數(shù)列.pan+q=p(kn+b)+q=pkn+(pb+q),故為等差數(shù)列,2an+n=2(kn+b)+n=(2k+1)n+2b,故為等差數(shù)列.未必是等差數(shù)列,如an=2n-4,則|an|的前4項(xiàng)為2,0,2,4,故|an|不一定是等差數(shù)列.5.已知an為等差數(shù)列,a5+a7=4,a6+a8=-2,則該數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng).【解析】由已知得得所以an=-3n+20.令an0,解得n,即n=1,2,3,6,故該數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)共有6項(xiàng).答案:66.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,數(shù)列bn中,

4、bn=3an+4,則bn是否為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.【解析】bn是等差數(shù)列,理由如下:因?yàn)閍n是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,所以an+1-an=d,所以bn+1-bn=3an+1+4-3an-4=3(an+1-an)=3d.因?yàn)閐為常數(shù),所以3d也為常數(shù),所以bn是首項(xiàng)為b1=3a1+4,公差為3d的等差數(shù)列.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nn+)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【解析】設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d,則log2(a3-1)-log2(a1-1)=2d,代入a1=3,a3=9得,log28-log22=2d,所以d=1.所以lo

5、g2(an-1)=log2(a1-1)+(n-1)1=n.所以an-1=2n,所以an=2n+1. (30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在等差數(shù)列an中,若a1=-2,a5=2,則a20等于()a.15b.16c.17d.18【解析】選c.因?yàn)閍n為等差數(shù)列,a1=-2,a5=2,所以a5=a1+(5-1)d,即2=-2+4d,所以d=1,所以a20=a1+(20-1)d=-2+191=17.2.已知函數(shù)f(x)=cos x,x(0,2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x3,x4,若把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)m等于()a.b.

6、-c.d.-【解析】選d.若m0,則公差d=-=,顯然不成立,所以m0,則公差d=.所以m=cos=-.3.已知是等差數(shù)列,且a1=,a4=1,則a10=()a.-5b.-11c.-12d.3【解題指南】由是等差數(shù)列,求得an,進(jìn)而求出a10.【解析】選b.因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,設(shè)bn=,b1=,b4=,所以3d=-,d=-,所以bn=-,所以an=-1,故a10=-11.4.(2020荊州高一檢測(cè))張丘建算經(jīng)有一道題大意為:今有十等人,每等一人,宮賜金,以等次差(即等差)降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中間三人未到者,亦依等次更給,則每等人比下一等人多得斤?()a.b.

7、c.d.【解題指南】根據(jù)題意將每等人所得的黃金斤數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列,設(shè)公差為d,根據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組,求出公差d即可得到答案.【解析】選b.設(shè)第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,依次類推,第一等人得金a10斤,則數(shù)列an構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則每一等人比下一等人多得d斤金,由題意得,即,解得d=,所以每等人比下一等人多得斤金.5.(2020北京高考)在等差數(shù)列an中,a1=-9,a5=-1.記tn=a1a2an(n=1,2,),則數(shù)列tn()a.有最大項(xiàng),有最小項(xiàng)b.有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)c.無(wú)最大項(xiàng),有最小項(xiàng)d.無(wú)最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)【解析】選b.設(shè)公差為d,因?yàn)閍1=-9

8、,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,a50,所以t10,t30,t50,所以an=.答案:【誤區(qū)警示】本題由于不注意an0容易造成增根.7.一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為:a,2a-1,3-a.則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.【解析】因?yàn)閍+(3-a)=2(2a-1),所以a=.所以這個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為,.所以d=,an=+(n-1)=+1.答案:n+18.已知等差數(shù)列an中,a1a2an且a3,a6為x2-10x+16=0的兩個(gè)實(shí)根,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【解析】由題意,又因?yàn)閍1a2an,所以解得a3=2,a6=8,所以,a1=-2,d=2,從而an=-2+2(n-1),即an=2

9、n-4.答案:an=2n-4三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列an滿足a1=1,且an=2an-1+2n(n2,且n+).(1)求a2,a3;(2)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.【解析】(1)a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)因?yàn)閍n=2an-1+2n(n2,且nn+),所以=+1(n2,且nn+),即-=1(n2,且nn+),所以是首項(xiàng)為=,公差d=1的等差數(shù)列.(3)由(2)得=+(n-1)1=n-,所以an=2n.10.數(shù)列an滿足a1=2,an+1=(-3)an+2n(nn+).(1)當(dāng)a2=-1時(shí),求及a3的值;(2)是否存

10、在的值,使數(shù)列an為等差數(shù)列?若存在,求其通項(xiàng)公式;若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)閍1=2,a2=-1,a2=(-3)a1+2,所以=.所以a3=-a2+22,所以a3=.(2)因?yàn)閍1=2,an+1=(-3)an+2n,所以a2=(-3)a1+2=2-4,a3=(-3)a2+4=22-10+16.若an為等差數(shù)列,則a1+a3=2a2,即2-7+13=0.因?yàn)?49-4130,所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解,所以值不存在,所以不存在的值使an為等差數(shù)列.1.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著,書中有如下問(wèn)題:今有女子善織,日增等尺,七日織28尺,第二日、第五日、第八日所織之和為15尺,則第十四日所織尺數(shù)為()a.13b.14c.15d.16【解題指南】由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出第十四日所織尺數(shù).【解析】選b.設(shè)第