分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式

1、2021年年6月月27日日 回憶回憶 乘方的意義：乘方的意義： a0= 1 a-n= n a 1 ( a0,nN*). （a0） 零的零次冪沒有意義零的零次冪沒有意義 零的負(fù)整數(shù)次冪沒有意義零的負(fù)整數(shù)次冪沒有意義 a n = aaa a ( n N * ) n 個(gè)個(gè)a 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是： aman=am+n(m,nZ) (am)n=amn(m,nZ) (ab)n=an bn(nZ). 注意注意： -都要遵守零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的都要遵守零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的 底數(shù)不能等于底數(shù)不能等于0的規(guī)定的規(guī)定. 【練一練練一練】 1. 回答下列各題（口答）：回答下列各題（

2、口答）： a2a3= (b4)2= (m n)3=. a5 b8 m3 n3 164 2 底底 冪冪 指數(shù)指數(shù) ?4 2 乘方運(yùn)算乘方運(yùn)算 16? 2 開方運(yùn)算開方運(yùn)算 4和和- 4叫做叫做16的平方根的平方根 82 3 2叫做叫做8的立方根的立方根 9? 4 32? 5 要求：用語(yǔ)言描述式子的含義要求：用語(yǔ)言描述式子的含義 3 稱為稱為9的的四次方根四次方根 2稱為稱為-32的的五次方根五次方根 a n ? 描述：描述：次方等于次方等于n一個(gè)數(shù)的一個(gè)數(shù)的 a ，求這個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù) n開開次方次方 次方根定義：次方根定義：n 如果一個(gè)數(shù)的如果一個(gè)數(shù)的 次方等于次方等于n), 1( * Nnna

3、 那么這個(gè)數(shù)叫做那么這個(gè)數(shù)叫做 的的 方根方根an 數(shù)學(xué)符號(hào)表示：數(shù)學(xué)符號(hào)表示： 若若), 1( * Nnnax n ，則，則 叫做叫做 的的 次方根次方根xan 27 3 8 3 32 5 4 2 9 2 16 4 3 2 2 2 3 2 觀察思考：觀察思考：你能得到什么結(jié)論？你能得到什么結(jié)論？ 27 3 3 8 3 2 32 5 2 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng) 為為奇數(shù)奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的時(shí)，正數(shù)的 次方根是一個(gè)正次方根是一個(gè)正 數(shù)，負(fù)數(shù)的數(shù)，負(fù)數(shù)的 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)， 的的 次方根次方根 只有一個(gè)，記為只有一個(gè)，記為 nn nan n ax 3 273 3 82 5 322

4、 11 5 x 5 11x 4 2 2 9 2 3 16 4 2 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)n為為偶數(shù)偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們次方根有兩個(gè)，它們 互為相反數(shù)正數(shù)互為相反數(shù)正數(shù)a的正的正n次方根用符號(hào)次方根用符號(hào) 表示；負(fù)的表示；負(fù)的 n次方根用符號(hào)次方根用符號(hào) 表示表示,它們可以合并寫成它們可以合并寫成 的形式的形式 42 93 4 162 12 6 x n a n a 6 12x 負(fù)數(shù)沒有偶次方根負(fù)數(shù)沒有偶次方根 (0) n a a 特別注意：特別注意：0的 的 次方根等于次方根等于0.n 思考：思考： 1） 一定表示一個(gè)正數(shù)嗎？一定表示一個(gè)正數(shù)嗎？ n a n a 為奇數(shù)時(shí)，它可

5、為正、可為負(fù)、可為零為奇數(shù)時(shí)，它可為正、可為負(fù)、可為零n 為偶數(shù)時(shí)，它表示非負(fù)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它表示非負(fù)數(shù)n 2） 中的中的 一定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎？一定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎？ n a a 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，它有意義的條件是為偶數(shù)時(shí)，它有意義的條件是 ； 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，它有意義的條件是為奇數(shù)時(shí)，它有意義的條件是 n 0an Ra 2 )2( 33 )2( 55 )3( 2 )2( 3 3 5 4 4 )3( 2 23 253 nn a)(a nn a 為奇數(shù)為奇數(shù)n a 為偶數(shù)為偶數(shù)n |a 844 36 53 2561616 23227 ， ， 例例1：求下列各式的值。：求下列各式的值。 312510

6、 2 4 4 233 )()3( )10()8( a a ba 1.求下列各式的值 3 3 )8( 2 )10( 4 4 )3( 5 5 )3( 4 4 )(ba （） （） （） （）（） （） 510 a 412 a 練一練： )(ba 2.給出下列4個(gè)等式： ; ; .其中恒成立 的個(gè)數(shù)為( ) aa 2 aa 2 )( aa 33 aa 33 )( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.已知 ，則化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( ) 2 1 a 4 2 ) 12(a B. C. D. 12 a 12 a a21 a21 4.下列各式中，把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，正下列各式中，把根號(hào)外的因式移到根

7、號(hào)內(nèi)，正 確的是確的是( ) A. B. C. D. ab a b aa 時(shí)，0 ab a b aa 時(shí)，0 bab a a 1 0時(shí)， 2 )(0, 0baababbaba時(shí)， 2 4 4 )3()2(xx5.化簡(jiǎn)： 740740 規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義： ) 1, 0( nNnmaaa nm n m 且 規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義： ) 1, 0( 11 nNnma a a a nm n m n m 且 0的正數(shù)次冪等于的正數(shù)次冪等于0， 0的負(fù)數(shù)次冪無(wú)意義，的負(fù)數(shù)次冪無(wú)意義，0的的0次冪無(wú)意義。次冪無(wú)意義。 回顧：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義回顧：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義 例1、 求值求值： 、 3

8、 2 8 1 2 25 、 5 1 () 2 、 .) 81 16 ( 4 3 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn) 而推廣到有理數(shù)范圍：而推廣到有理數(shù)范圍： ),0,0()( ),0()( ),0( Qrbabaab Qsraaa Qsraaaa rrr rssr srsr 例例 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式: （式中（式中a0） 解解： aa 2 ) 1 ( 323 )2(aa aa)3( 3 11 3 2 3 3 2 3 aaaa = 2 5 2 1 2 2

9、1 2 aaaa = = aa 2 ) 1 ( 323 )2(aa aa)3( 4 3 2 1 2 3 2 1 2 1 )()(aaaa 題型一題型一 將根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式（a0,b0) 3 1. a a a 3 4 3 3 3 2. () 27 a b 3 4 3. ()ab 43 2 9 .4 ba 小結(jié)：1，當(dāng)有多重根式是，要由里向外層層轉(zhuǎn)化。 2、對(duì)于有分母的，可以先把分母寫成負(fù)指數(shù)冪。 3、要熟悉運(yùn)算性質(zhì)。 6 5 a 44 3 8 3 ba 4 3 )(ba 8 3 4 9 ba 4 3 a 7 3 x = 43 a （2） = (x0) 73 1 x (3

10、) = 4 3 )(ba ba 4 3 2 1 )()( baba 練習(xí)：用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式練習(xí)：用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式 練習(xí)練習(xí)2 3 2 32 xx 4 3 4 3 )()(baba(a+b0) 3 2 3 2 )()(nmnm 24 )()(nmnm ) 0( 2 5 356 pqpqp 2 5 2 1 3 3 mmm m m 1）2） 3）4） 5）6） 例 求值 求值： 、 3 2 8、 2 1 100 、 3 ) 4 1 ( .) 81 16 ( 4 3 10 1 )10( 1 100 1 2 1 2 2 1 = =4 3 2 8)1( 2 3 2 3 3 2 3 22)2

11、( = 2 1 100)2( = (2-2)-3 = 2(-2)(-3) = 26 = 64 3 ) 4 1 )(3( 4 3 ) 81 16 )(4( 8 27 ) 3 2 () 3 2 ( 3 ) 4 3 (4 題型二題型二 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 求值求值，先把a(bǔ)寫成 n m a n x 然后原式便化為 m n m n n m xxa)( （即：關(guān)鍵先求a的n次方根） 3 4 (1)10000 2 3 125 (2)() 27 3 2 36 (3)() 49 。 cbacba 的值求已知 23 10, 510, 310, 210 1000 1 25 9 343 216 9 40 小結(jié)小結(jié)

12、1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念（與整數(shù)指數(shù)冪對(duì)比，有何、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念（與整數(shù)指數(shù)冪對(duì)比，有何 差異，注意不能隨意約分）差異，注意不能隨意約分）. 2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而推廣到有理數(shù)指、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而推廣到有理數(shù)指 數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。 3、根式運(yùn)算時(shí)，先化為指數(shù)形式進(jìn)行運(yùn)算，原式、根式運(yùn)算時(shí)，先化為指數(shù)形式進(jìn)行運(yùn)算，原式 為根式的，再將結(jié)果化為根式。為根式的，再將結(jié)果化為根式。 注意三點(diǎn)：注意三點(diǎn)： 題型一題型一 將根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。（a0,b0) 1當(dāng)有多重根式是，要由里向外層層轉(zhuǎn)化。當(dāng)有多重根式是，要由里向外層層轉(zhuǎn)化。 2對(duì)于有分母的，可

13、以先把分母寫成負(fù)指數(shù)冪。對(duì)于有分母的，可以先把分母寫成負(fù)指數(shù)冪。 3要熟悉運(yùn)算性質(zhì)。要熟悉運(yùn)算性質(zhì)。 題型二題型二 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (不按計(jì)算器不按計(jì)算器)求值求值， n m a 關(guān)鍵先求關(guān)鍵先求a的的n次方根次方根 2,2 ( )f x 0 x ( )f x(1)( )fmf mm 例例3定義在定義在上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 單調(diào)遞減，且單調(diào)遞減，且成立，求實(shí)數(shù)成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。的取值范圍。 指數(shù) （3） 題型三題型三 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 1、系數(shù)先放在起運(yùn)算。 2、同底數(shù)冪 進(jìn)行運(yùn)算，乘的指數(shù) 相加，除的指數(shù)相減。 122111 333424 1.

14、( 2)(3)( 4)x yx yx y yyx24) 4(3) 2( 3 2 3 2 3 1 4 1 2 1 4 1 原式 2 0.5 3 2 0 37 3 48 710 (2 )(2)0.1 927 2. 100 23142 3.()( 4)(12)a ba ba b c 2 1 43 1 21 1 1 3 ( 4) 12abc ac 解：原式 例例4 計(jì)算（式中字母都是正數(shù)）：計(jì)算（式中字母都是正數(shù)）： )3()6)(2)(1 ( 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 bababa 31 84 8 (2)()m n 題型四題型四 根式運(yùn)算根式運(yùn)算，先把每個(gè)根式用分?jǐn)?shù)，先把每個(gè)根

15、式用分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪表示；題目便轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示；題目便轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪的運(yùn)算。指數(shù)冪的運(yùn)算。 注意：注意：結(jié)果可以用根式表示，也結(jié)果可以用根式表示，也 可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示. . 但同一但同一 結(jié)果中不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指結(jié)果中不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指 數(shù)冪，并且分母中不能含有負(fù)分?jǐn)?shù)冪，并且分母中不能含有負(fù)分 數(shù)指數(shù)冪數(shù)指數(shù)冪 2 34 32 (1)(2 51 2 5 )5 ( 2 )(0 ) a a aa 例例5 計(jì)算計(jì)算 364 (24) 3aabb 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)： 5 2 9 32 3 2 10)10()8( 2 1 題型五題型五 )()( 22 平方差公式babab

16、a )(2)( 222 完全平方公式bababa )()( 2233 立方公式babababa 利用代數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)： 111111 444422 1.()()()ababab 例例1 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)： 1111 2222 1111 2222 2. abab abab 1111 2424 3.(23)(23)xyxy 122 33 1.3,_, _. aaaa aa 已知?jiǎng)t7 18 題型六題型六 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪或根式中分?jǐn)?shù)指數(shù)冪或根式中x的定義域問題的定義域問題 4 (1) 1x 1 3 (2)(1)x 2 3 (3)(1)x 1 2 (4) x 3 2 4 (5)(32)xx 1 3 (6)(| 1

17、)x 例如 求下列各式中x的范圍： X1 X1 XR X0 (-3,1)X1 上面，我們 將指數(shù)的取值范 圍由整數(shù)推廣到 有理數(shù)。那么， 當(dāng)指數(shù)是無(wú)理數(shù) 時(shí)，又該如何解 釋？ 無(wú)理數(shù)指數(shù)冪哦！ 2 5 指數(shù)范圍終于指數(shù)范圍終于 擴(kuò)大到實(shí)數(shù)了，擴(kuò)大到實(shí)數(shù)了， 嘿嘿。嘿嘿。 3）根式又是如何定義的？有那些規(guī)定？）根式又是如何定義的？有那些規(guī)定？ 如果一個(gè)數(shù)的平方等于如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a ，則這個(gè)數(shù)叫做，則這個(gè)數(shù)叫做 a 的平方根；的平方根； 如果一個(gè)數(shù)的立方等于如果一個(gè)數(shù)的立方等于 a ，則這個(gè)數(shù)叫做，則這個(gè)數(shù)叫做 a 的立方根；的立方根； 如果一個(gè)數(shù)的如果一個(gè)數(shù)的 n 次方等于次方等于 a

18、，則這個(gè)數(shù)叫做，則這個(gè)數(shù)叫做 a 的的 n 次方次方 根；根； n a 根指數(shù)根指數(shù) 根式根式 被開方數(shù)被開方數(shù) a 0 4） 的運(yùn)算結(jié)果如何？的運(yùn)算結(jié)果如何？ 當(dāng)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， = a ； ( a R ) nn a 當(dāng)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，nn a = | a | a a 0 0 a a aa nn )( 00 n nn a 一、引入： 1、a10的5次方根是_ 2、a12的3次方根是_ 你發(fā)現(xiàn)了什么？ 10 10 2 5 5 a aa 1、 2、 12 124 3 3 aaa 規(guī)定規(guī)定 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 3553 * 1616,33 ) 1., 0(

19、) 1 ( 3 5 5 3 nNnmaaa nm n m 且 ) 1*, 0( 1 )2( nNnma a a n m n m 且 （3)0的正分?jǐn)?shù)的正分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪等于指數(shù)冪等于0， 0的負(fù)分?jǐn)?shù)的負(fù)分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪指數(shù)冪 沒有意義。沒有意義。 二，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義二，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義 例1、 求值求值： 、 3 2 8 1 2 25 、 5 1 () 2 、 .) 81 16 ( 4 3 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn) 而推廣到有理數(shù)范圍：而推廣到有理數(shù)范圍： ),0,0()( ),0()( ),0( Qrbabaab