2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 4 數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用教案 北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 4 數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用教案 北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 4 數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用教案 北師大版必修5年級：姓名：4數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.理解單利、復(fù)利的含義(數(shù)學(xué)抽象)2.能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題(數(shù)學(xué)建模)必備知識自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.數(shù)學(xué)中常見的定期存款利率計算方法有哪些?2.建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是什么?1.三種常見的應(yīng)用模型(1)零存整取:每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取,規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利(暫不

2、考慮利息稅).(2)定期自動轉(zhuǎn)存:例如,儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲戶不取出本利和,則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第2年的本金就是第1年的本利和.(3)分期付款:分期付款是購物的一種付款方式.即將所購物的款數(shù)在規(guī)定的期限內(nèi)按照一定的要求,分期付清.數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用主要有哪些?提示:零存整取,定期自動轉(zhuǎn)存,分期付款等.2.常用公式(1)復(fù)利公式:按復(fù)利計算的一種儲蓄,本金為p元,每期利率為r,存期為n,則本利和s=p(1+r)n.(2)產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為n,平均增長率為r,對于時間x的總產(chǎn)值y=n(1+r)x.(3)單利公式:利息按單利計算,本金為p元,每期利率為

3、r,存期為n,則本利和為s=p(1+nr).復(fù)利與單利的區(qū)別是什么?提示:(1)復(fù)利在第二次以后計算時,將上一次得到的利息也作為了本金,而單利每一次的計算都是將開始的本金作為本金計息.(2)單利和復(fù)利分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列作為模型,即單利的實質(zhì)是等差數(shù)列,復(fù)利的實質(zhì)是等比數(shù)列.1.辨析記憶(對的打“”,錯的打“”).(1)銀行的定期自動轉(zhuǎn)存是復(fù)利計息方式.()(2)企業(yè)對某一項目投資,每年比上一年遞增50萬元,則各年的投資額構(gòu)成等差數(shù)列.()(3)企業(yè)對某一項目投資,每年比上一年遞增10%,則各年的投資額也構(gòu)成等差數(shù)列.()提示:(1).(2).(3).應(yīng)是等比數(shù)列.2.某工廠生產(chǎn)總值連續(xù)兩

4、年的年平均增長率依次為p%,q%,則這兩年的平均增長率是()a. b.p%q%c.d. -1【解析】選d.設(shè)該工廠最初的產(chǎn)值為1,這兩年的平均增長率為r,則(1+p%)(1+q%)=(1+r)2.于是r=-1.3.我國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則.例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對二十四節(jié)氣的晷影長的記錄中,冬至和夏至的晷影長是實測得到的,其他節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的.下表為周髀算經(jīng)對二十四節(jié)氣晷影長的記錄,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).節(jié)氣冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)驚蟄(寒露)春分(秋分)晷影長(寸)135125.115.1105

5、.295.385.475.5節(jié)氣清明(白露)谷雨(處暑)立夏(立秋)小滿(大暑)芒種(小暑)夏至晷影長(寸)65.555.645.735.825.916.0已知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長為130.0寸,夏至晷影長為14.8寸,那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長應(yīng)為寸.【解析】設(shè)晷影長為等差數(shù)列an,公差為d,a1=130.0,a13=14.8,則130.0+12d=14.8,解得d=-9.6.所以a6=130.0-9.65=82.0.所以易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長是82.0寸.答案:82.04.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)2020年5月小劉在中國銀行存入10萬元定期存款,存期1年,年利率為2.25%,那

6、么10年后共得本息為萬元.(精確到0.001)【解析】10年后的本息a10=10(1+0.022 5)1012.492(萬元).答案:12.492關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一等差數(shù)列模型(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)【典例】我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到:凡八節(jié)二十四氣,氣損益九寸九分六分分之一;冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺六寸.意思是:一年有二十四個節(jié)氣,每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為99分;且“冬至”時日影長度最大,為1 350分;“夏至”時日影長度最小,為160分.則“立春”時日影長度為()a.953分b.1 052分c.1 151分d.1 250分【思路導(dǎo)引】首先“冬至”時日影長度最大,為1

7、350分,“夏至”時日影長度最小,為160分,即可求出d=-,進而求出立春”時日影長度為1 052分.【解析】選b.一年有二十四個節(jié)氣,每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為99分,且“冬至”時日影長度最大,為1350分;“夏至”時日影長度最小,為160分.所以1 350+12d=160,解得d=-,所以“立春”時日影長度為1 350+3=1 052(分).等差數(shù)列模型的判定(1)認真審題:解決實際應(yīng)用問題,首先要認真領(lǐng)會題意,根據(jù)題目條件,尋找有用的信息.(2)抓住關(guān)鍵:若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時,則這組數(shù)成等差數(shù)列.(3)常見問題:銀行的單利計息;出租車費用;電話計費等.某單位用分期付款

8、的方式為職工購買40套住房,共需1 150萬元,購買當(dāng)天先付150萬元,以后每月這一天都交付50萬元,并加付欠款利息,月利率為1%,若交付150萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月,問分期付款的第10個月應(yīng)付多少錢?全部按期付清后,買這40套住房實際花了多少錢?【解析】因購房時付150萬元,則欠款1 000萬元,依題意分20次付款,則每次付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列an.則a1=50+1 0001%=60,a2=50+(1 000-50)1%=59.5,a3=50+(1 000-502)1%=59,a4=50+(1 000-503)1%=58.5,所以an=50+1 000-50(n-1)1%=

9、60-(n-1)(1n20,nn+).所以an是以60為首項,-為公差的等差數(shù)列.所以a10=60-9=55.5.所以第10個月應(yīng)付55.5(萬元).a20=60-19=50.5.所以s20=(a1+a20)20=10(60+50.5)=1 105.所以實際共付1 105+150=1 255(萬元).類型二等比數(shù)列模型(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)【典例】(2020安福高一檢測)某學(xué)生家長為繳納該學(xué)生上大學(xué)時的教育費,于2018年8月20號從銀行貸款a元,為還清這筆貸款,該家長從2019年起每年的8月20號便去銀行償還相同的金額,計劃恰好在貸款的m年后還清,若銀行按年利率為p的復(fù)利計息(復(fù)利:即將一年

10、后的貸款利息也納入本金計算新的利息),則該學(xué)生家長每年的償還金額是()a.b.c.d.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題意建立方程a=x+x+x,再結(jié)合等比數(shù)列求和公式,即可求出x的值.【解析】選d.設(shè)每年償還的金額為x,則a=x+x+x+x,所以a=x,解得x=.等比數(shù)列模型的判定(1)復(fù)利的計算是把上期末的本利和作為下一期的本金,在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計算公式為:本利和=本金(1+利率)n.定期自動轉(zhuǎn)存(復(fù)利)是等比數(shù)列求和在經(jīng)濟方面的應(yīng)用.(2)在數(shù)列應(yīng)用題中,通過閱讀題目題意,發(fā)現(xiàn)an+1與an之間的關(guān)系滿足=q (q為常數(shù),且q0),則數(shù)列an為等比數(shù)列.所以這一類題目可用等比數(shù)列

11、的模型解決.某大學(xué)張教授年初向銀行貸款20萬元用于購房,銀行貸款的年利率為10%,按復(fù)利計算(即本年的利息計入次年的本金生息).若這筆款要分10次等額還清,每年年初還一次,并且在貸款后次年年初開始歸還,問:每年應(yīng)還多少萬元?(參考數(shù)據(jù):1.1102.594)【解析】設(shè)每年還款x萬元,則每年還款后的余額為:第一年:20(1+10%)-x,第二年:(201.1-x)1.1-x=201.12-(1.1+1)x,第三年:201.12-(1.1+1)x1.1-x=201.13-(1.12+1.1+1)x,第n年:201.1n-(1.1n-1+1.1n-2+1.1+1)x.an=201.1n-x=201.

12、1n-x,十年還清,即十年以后余額為零,所以201.110-x=0,x=3.255(萬元)答:如果10年還清,每年應(yīng)還約3.255萬元.類型三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)【典例】某企業(yè)進行技術(shù)改造,有兩種方案:甲方案,一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案,每年貸款1萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前年多獲利5千元.兩種方案,使用期限都是十年,到期一次性歸還本息,若銀行貸款利息按年息10%的復(fù)利計算,比較兩種方案,哪個獲利更多?(計算數(shù)據(jù)精確到千元,1.1102.594,1.31013.786)【思路導(dǎo)引】分清兩種方案分別

13、屬于什么數(shù)列模型,然后分別建立不同數(shù)列模型解決.【解析】方案甲:十年獲利中,每年獲利數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,首項為1,公比為1+30%,前10項和為s10=1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9,所以s10=42.62(萬元).又貸款本息總數(shù)為10(1+10%)10=101.11025.94(萬元),甲方案凈獲利42.62-25.9416.7(萬元).乙方案獲利構(gòu)成等差數(shù)列,首項為1,公差為,前10項和為t10=1+=32.50(萬元),而貸款本息總數(shù)為1.11+(1+10%)+(1+10%)9=1.117.53(萬元),乙方案凈獲利32.50-17.5315.0(萬元).比較兩方案可

14、得甲方案獲利較多.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題的注意事項(1)分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.(2)分清是求an,還是求sn,特別要準確確定項數(shù)n.(3)遞推關(guān)系的發(fā)現(xiàn)是數(shù)列建模的重要方式.甲、乙兩超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額為a萬元,由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為(n2-n+2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多a萬元.(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式,(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年?【解析】(1)設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an,bn.則有a1=

15、a,當(dāng)n2時,an=(n2-n+2)-(n-1)2-(n-1)+2=(n-1)a,所以an=bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=a(nn+).(2)易知bn3a,所以乙超市將被甲超市收購,由bnan,得a7,所以n7,即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半,乙超市將被甲超市收購.課堂檢測素養(yǎng)達標1.某工廠總產(chǎn)值月平均增長率為p,則年平均增長率為()a.pb.12pc.(1+p)12d.(1+p)12-1【解析】選d.設(shè)原有總產(chǎn)值為a,年平均增長率為r,則a(1+p)12=a(1+r),解得r=(1+p)12-1.2.通過測量知道,溫度每降低6,某電子元件的電子數(shù)目

16、就減少一半.已知在零下34時,該電子元件的電子數(shù)目為3個,則在室溫27時,該元件的電子數(shù)目接近()a.860個b.1 730個c.3 072個d.3 900個【解析】選c.由題設(shè)知,該元件的電子數(shù)目變化為等比數(shù)列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得a11=3210=3 072.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)根據(jù)市場調(diào)查,預(yù)測某種日用品從年初開始的n個月內(nèi)累計的需求量sn(單位:萬件)大約是sn=(n=1,2,12).據(jù)此預(yù)測,本年度內(nèi),需求量超過5萬件的月份是()a.5月、6月b.6月、7月c.7月、8月d.8月、9月【解題指南】現(xiàn)根據(jù)題意得到第n個月時的需求量,再由需求量大于5得到n的范圍,進而得到結(jié)果.【解析】選c.日用品從年初開始的n個月內(nèi)累計的需求量sn(單位:萬件)大約是sn