高二數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的幾何性質(zhì)課件(1)

1、1.橢圓的定義: 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù) （大于（大于|F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡）的點(diǎn)的軌跡(或集合或集合)叫做橢圓。叫做橢圓。 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是： 3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:a2=b2+c2 （焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程） （焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程) 溫故知新溫故知新 一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍 即即byax和 由由 22 22 1 xy ab 2 2 1 x a 2 2 1 y b 和 o x y x =-ax =a y = b y = -b 由 -axa , -byb y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a

2、2 2 b 二、橢圓的對稱性二、橢圓的對稱性 y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2

3、b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b 15:49:2715 y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b 15:49:2716 y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y xo F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a

4、 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o

5、 F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y

6、 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2

7、 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b 15:49:2855 y x o F1 F2 x 2 y 2 = 1 a 2 2 b 從圖形上看：從圖形上看： 橢圓既是以x軸，y軸為對稱軸的 軸對稱圖形 又是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中 心對稱圖形 橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 Y XO P（x，y） P2（-x，y） P3（-x，-y） P1（x，-y） 22 22 1(0) xy

8、a b ab 關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱 關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱 關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱 58 從方程上看：從方程上看： （1）把x換成-x，方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱； （2）把y換成-y，方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱； （3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，圖象 關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。 15:49:2859 三、橢圓的頂點(diǎn)三、橢圓的頂點(diǎn) )0(1 2 2 2 2 ba b y a x *頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸 共有四個交點(diǎn)，即共有四個交點(diǎn)，即A1，A2， B1，B2，這四個點(diǎn)叫做橢，這四個點(diǎn)叫做橢 圓的頂點(diǎn)。圓的頂點(diǎn)。 *長軸、短軸：線段長軸、短軸：線段A1A2叫叫

9、 做橢圓的長軸做橢圓的長軸，它的長等，它的長等 于于2a；線段線段B1B2叫做橢圓叫做橢圓 的短軸，的短軸，它的長等于它的長等于2b；a、 b分別叫做橢圓的長半軸長分別叫做橢圓的長半軸長 和短半軸長。和短半軸長。 o y B2 B1 A1 A2 F1F2c a b (0,b) (a，0) (0,-b) (-a，0) 令令 x=0，得，得 y=？說明橢圓與？說明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？ 令令 y=0，得，得 x=？說明橢圓與？說明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？ a2=b2+c2 四、橢圓的離心率四、橢圓的離心率 o x y a c e 橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比： 叫做

10、橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。 1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍： 2離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響： 1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，請問請問：此時橢圓的變化情況？此時橢圓的變化情況？ b就越小，此時橢圓就越扁。就越小，此時橢圓就越扁。 2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，請問請問：此時橢圓又是如何變化的？此時橢圓又是如何變化的？ b就越大，此時橢圓就越趨近于圓。就越大，此時橢圓就越趨近于圓。 3) 如果如果a=b，則，則c=0，兩個焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就變?yōu)閳A的方，兩個焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就變?yōu)閳A的方 程：程： 222 xy

11、a 離心率 反映橢 圓的圓 扁程度 離心率：離心率： 因?yàn)橐驗(yàn)?a c 0，所以，所以0 e 1 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x 根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形 1 1625 22 yx 1 425 22 yx （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 橢圓的簡單畫法：橢圓的簡單畫法： 橢圓四個頂點(diǎn)橢圓四個頂點(diǎn)連線成圖連線成圖 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖 象 范 圍 對 稱 性 頂點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)坐標(biāo) 半 軸 長 焦 距 a,b,c關(guān)系 離 心 率 2

12、2 22 1(0) xy ab ab |x| a,|y| b|x| b,|y| a 關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。 （ a ,0 ）,(0, b) （ b ,0 ）,(0, a) (c,0)(0, c) 長半軸長為a,短半軸長為b. 焦距為2c; a2=b2+c2 c e a )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì) 考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破 橢圓橢圓4x29y236的長軸長的長軸長_、短軸長、短軸長 _、焦距、焦距_、焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)_、 頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)_、離心率、離心率_ 6 452 )0 ,5( )2, 0(),0 , 3( 3 5

13、 練習(xí)1 求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐 標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率。 (1)x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1 利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)、Q(0,2)； 長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。 一焦點(diǎn)將長軸分成：的兩部分，且經(jīng)過點(diǎn)一焦點(diǎn)將長軸分成：的兩部分，且經(jīng)過點(diǎn) )4 ,23(p 22 1 94 xy 解：（1） 22 1 10064 xy 22 1 10064 yx 或 22 1 3632 xy 22 1 145290 49 yx 或 練習(xí)2 已知：橢圓的長軸是短軸的3倍，且過點(diǎn) A（3，0），并且以坐標(biāo)軸為對稱軸，求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解法一：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為 22 23 2 3 90 11 ab a b ab 解得 2 2 1 9 x y )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 由題意得： 橢圓的方程為 若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為 22 22 1(0) yx ab ab 22 23 2 9 09 31 ab a