2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題33 多角度破解多變?cè)秶鷨?wèn)題

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題33 多角度破解多變?cè)秶鷨?wèn)題【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】在近幾年的高考題目中，有些多變?cè)浚┐_定范圍問(wèn)題,一般地可利用已知條件進(jìn)行消元，從而將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，便于求得范圍(最值）,且消元的方法較多.另外，某些題目也可以利用數(shù)形結(jié)合法求解。本專題重點(diǎn)說(shuō)明從消元、數(shù)形結(jié)合等角度解答此類問(wèn)題.（一）消元法：1、消元的目的：若表達(dá)式所含變量個(gè)數(shù)較多,則表達(dá)式的范圍不易確定（會(huì)受多個(gè)變量的取值共同影響），所以如果題目條件能夠提供減少變量的方式，則通常利用條件減少變量的個(gè)數(shù),從而有利于求表達(dá)式的范圍（或最值)，消元最理想的狀態(tài)是將多元表達(dá)式轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，進(jìn)而可構(gòu)造函

2、數(shù)求得值域2、常見(jiàn)消元的方法：（1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用等式進(jìn)行消元，在消元的過(guò)程中要注意以下幾點(diǎn)： 要確定主元：主元的選取有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：一是主元應(yīng)該有比較明確的范圍(即稱為函數(shù)的定義域)；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜） 若被消去的元帶有范圍,則這個(gè)范圍由主元承擔(dān).例如選擇為主元，且有,則除了滿足自身的范圍外，還要滿足（即解不等式）（2）換元:常見(jiàn)的換元有兩種：整體換元：若多元表達(dá)式可通過(guò)變形，能夠?qū)⒛骋粋€(gè)含多變量的式子視為一個(gè)整體,則可通過(guò)換元轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，常見(jiàn)的如等，例如在中，可變形為，設(shè)，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的值域問(wèn)題注：在整體換

3、元過(guò)程中要注意視為整體的式子是否存在范圍,即要確定新元的范圍三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時(shí),可聯(lián)想到三角公式，從而將的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來(lái)求得范圍.因?yàn)槿呛瘮?shù)公式的變形與多項(xiàng)式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問(wèn)題，常見(jiàn)的三角換元有：平方和：聯(lián)想到正余弦平方和等于1,從而有：推廣：平方差：聯(lián)想到正割（) 與正切（）的平方差為1，則有，推廣：注：若有限定范圍時(shí),要注意對(duì)取值的影響，一般地，若的取值范圍僅僅以象限為界，則可用對(duì)應(yīng)象限角的取值刻畫(huà)的范圍3、消元后一元表達(dá)式的范圍求法：（1）函數(shù)的值域通過(guò)常見(jiàn)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)值域（2）均值不等式:若

4、表達(dá)式可構(gòu)造出具備使用均值不等式(等)的條件，則可利用均值不等式快速得到最值.（3）三角函數(shù)： 形如的形式:則可利用公式轉(zhuǎn)化為的形式解得值域（或最值） 形如：則可通過(guò)換元將其轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行求解 形如：，可聯(lián)想到此式為點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率,其中為單位圓上的點(diǎn),通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可解得分式范圍(二)放縮消元法1、放縮法求最值的理論基礎(chǔ)： 不等式的傳遞性：若，則 2、常見(jiàn)的放縮消元手段：(1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個(gè)變量間的不等關(guān)系,則可利用這個(gè)關(guān)系進(jìn)行放縮消元(2)配方法：通過(guò)利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式,然后令其等于0，達(dá)到消元的效果（3)均值不等式:構(gòu)造能使用均

5、值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元的效果(4)主元法：將多元表達(dá)式視為某個(gè)變量(即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果.3、放縮消元過(guò)程中要注意的地方：（1）在放縮過(guò)程中應(yīng)注意所求最值與不等號(hào)方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如：若求最小值,則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“”;若求最大值，則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“”。放縮的方向應(yīng)與不等號(hào)的方向一致（2）對(duì)進(jìn)行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值.放縮法求最值的基礎(chǔ)是不等式的傳遞性,所以在求最值時(shí)要滿足其不等號(hào)的方向一致.若將關(guān)于 的表達(dá)式進(jìn)行放縮消去,得到，例如,則下一步需要求出的最小值（記為）,即，通過(guò)不等式的傳遞

6、性即可得到.同理,若放縮后得到：,則需要求出的最大值（記為），即，然后通過(guò)不等式的傳遞性得到（3）在放縮的過(guò)程中，要注意每次放縮時(shí)等號(hào)成立的條件能夠同時(shí)成立，從而保證在不等式中等號(hào)能夠一直傳遞下去(三)數(shù)形結(jié)合法1、數(shù)形結(jié)合的適用范圍：(1)題目條件中含有多個(gè)不等關(guān)系，經(jīng)過(guò)分析后可得到關(guān)于兩個(gè)變量的不等式組（2）所求的表達(dá)式具備一定的幾何意義（截距，斜率，距離等）2、如果滿足以上情況,則可以考慮利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決3、高中知識(shí)中的“線性規(guī)劃即為數(shù)形結(jié)合求多變量表達(dá)式范圍的一種特殊情形，其條件與所求為雙變量的一次表達(dá)式4、有些利用數(shù)形結(jié)合解決的題目也可以使用放縮消元的方式進(jìn)行處理,這要看所

7、給的不等條件（尤其是不等號(hào)方向）是否有利于進(jìn)行放縮?！窘?jīng)典例題】例1. 已知函數(shù)，對(duì)任意的，存在,使得，則的最小值為（ ）a。 b. c. d。 【答案】d【解析】由已知，可得：，考慮進(jìn)行代入消元,但所給等式中無(wú)論用哪個(gè)字母表示另一個(gè)字母,形式都比較復(fù)雜不利于求出最值.所以可以考慮引入新變量作為橋梁，分別表示, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增答案:d。 例2. 若實(shí)數(shù)滿足條件，則的取值范圍是_【答案】【解析】思路一：考慮所求式子中可變?yōu)?，所以原式變形為：，可視為關(guān)于的二次函數(shù)，設(shè)，其幾何含義為與連線的斜率，則由雙曲線性質(zhì)可知該斜率的絕對(duì)值小于漸近線的斜率,即，則思路二：本題也可以考慮利用三角換元。設(shè)，

8、從而原式轉(zhuǎn)化為：，由可知的范圍為答案：例3. 對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)滿足且使最大時(shí)，的最小值是_【答案】 【解析】思路:首先要尋找當(dāng)最大時(shí),之間的關(guān)系,以便于求多元表達(dá)式的范圍從方程入手，向靠攏進(jìn)行變形，在利用取得最大值時(shí)的關(guān)系對(duì)所求進(jìn)行消元求最值.（等號(hào)成立條件： 最大值是，從而可得:解得：答案：的最小值為例4. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_【答案】 點(diǎn)睛:1.（)為均值不等式的變形： ；2。主元變?yōu)閍.例5?！?018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研（二）】已知為正實(shí)數(shù)，且,則的最小值為_(kāi)【答案】.【解析】分析：先通過(guò)結(jié)合基本不等式求出，再開(kāi)方得到的最小值。詳解：由題得，代入已知得，兩邊除以得當(dāng)且僅當(dāng)a

9、b=1時(shí)取等。所以即的最小值為。故答案為：點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在要考慮到通過(guò)變形轉(zhuǎn)化得到,再想到兩邊除以得，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯分析推理轉(zhuǎn)化的能力。例6.設(shè)集合中的最大元素與最小元素分別為，則的值為_(kāi)【答案】例7設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】思路：由可聯(lián)想到與的關(guān)系，即，所以，然后可利用進(jìn)一步放縮消元，得，在利用即可得到最大值:，所以的最大值為，其中等號(hào)成立條件為： 答案:點(diǎn)睛：本題也可從入手,進(jìn)行三角換元：，由可得,然后根據(jù)不等號(hào)的方向進(jìn)行連續(xù)放縮，消去 即可得到最值：.例8。 設(shè)，且，則的最大值是_ 【答案】12【解析】思路:本題雖然有3個(gè)變量，但可通過(guò)進(jìn)行消元，觀察所求式子項(xiàng)的次數(shù)

10、可知消去更方便，從而可得。然后可使用“主元法進(jìn)行處理，將視為主元，設(shè) 為的極小值點(diǎn) 其中設(shè)若 可得:。例9?！?018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研（二）】已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，滿足,則的最大值是_【答案】.存在實(shí)數(shù)abc，滿足f（a)=f(b）=f（c），a+b=6，af（a）+bf(b）+cf（c）=(a+b+c）f（c）=（c6)lnc,由函數(shù)圖象可知：ce2，設(shè)g（c）=（c6）lnc，則=lnc+1，顯然在（，e2上單調(diào)遞增，=20，=30，在（，e2上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為c0,在g（c）在(，c0）上單調(diào)遞減，在（c0，e2上單調(diào)遞增，又g（）=（6）0，g（e2）=2（e26）0，

11、g(c）的最大值為g(e2）=2e212故答案為:2e212點(diǎn)睛: （1）本題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，其一是能夠很熟練準(zhǔn)確地畫(huà)出函數(shù)的圖像;其二是從圖像里能發(fā)現(xiàn)a+b=6, ce2；其三是能夠想到構(gòu)造函數(shù)g（c）=（c6)lnc,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值。（2）本題要求函數(shù)的圖像和性質(zhì)掌握的比較好，屬于中檔題。例10.【2018屆衡水金卷信息卷四】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且實(shí)數(shù), 滿足不等式，則的取值范圍為（ ）a。 b。 c. d。 【答案】c又的幾何意義是表示平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)q（a，b）與定點(diǎn)p（2,3）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合易知最大， 最小，由方程組所以的取值范圍為，故選c。點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)

12、在于能夠數(shù)形結(jié)合，看到不等式要聯(lián)想到二元一次不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，看到不等式要聯(lián)想到二次不等式對(duì)應(yīng)的曲線區(qū)域.如果這個(gè)地方不能想到數(shù)形結(jié)合，本題突破就不容易。數(shù)學(xué)的觀察想象是數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要部分，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,要有意識(shí)的培養(yǎng)和運(yùn)用.【精選精練】1【2018屆四川省綿陽(yáng)市三診】若曲線的一條切線是，則的最小值是（ )a. 2 b。 c。 4 d。 【答案】c2?！?018屆安徽省“皖南八校第三次（4月）聯(lián)考】已知函數(shù)，若滿足,則的取值范圍是（ ）a. b。 c。 d. 【答案】c【解析】分析：由已知條件可得,函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),從而將題中的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二元一次不等式組，畫(huà)出相應(yīng)的可行域

13、，之后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定最優(yōu)解的位置,從而求得范圍。最小值，在點(diǎn)處取得最大值，而邊界值取不到，故答案是，故選c。點(diǎn)睛：該題屬于利用題的條件,求得約束條件，確定可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)是分式形式的，屬于斜率型的，結(jié)合圖形，求得結(jié)果。3【2018屆東北三省三校（哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)）三?！恳阎瘮?shù) ，函數(shù) 有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為 ， , ， ，則 的取值范圍為（ ）a. b。 c。 d。 【答案】a【解析】分析：先根據(jù)對(duì)稱性可得，且，再根據(jù)韋達(dá)定理可得,利用基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果.詳解：函數(shù) ，函數(shù) 的零點(diǎn)，就是的圖象與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程的兩根，關(guān)于對(duì)稱，且，只有選項(xiàng)符合

14、題意，故選a。點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及基本不等式求最值，屬于難題。 函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性非常熟悉;另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式:函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)在軸有交點(diǎn)方程有根函數(shù)與有交點(diǎn).4【遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2018年高三模擬】直線與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為( ）a. b。 c。 d。 2【答案】b【解析】分析：由可得，換元、配方后利用二次函數(shù)求解即可.詳解：因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn),設(shè),則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，故選b。點(diǎn)睛：本題主要考查曲直線與圓的位置關(guān)系以及

15、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題。求最值問(wèn)題往往先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍，首先確定函數(shù)的定義域,然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的最值即可。5【2018屆山西省榆社中學(xué)診斷】設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是( ）a. b。 c。 d. 【答案】b【解析】分析：不失一般性可設(shè)，利用，結(jié)合圖象可得的范圍及,，將所求式子轉(zhuǎn)化為的函數(shù),運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍。，則的范圍是，故選b點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)式取值范圍的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)

16、與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用6【2018屆安徽省“皖南八?！钡谌危?月)聯(lián)考】若均為任意實(shí)數(shù)，且，則 的最小值為（ ）a。 b。 c。 d. 【答案】d【解析】分析：該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問(wèn)題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問(wèn)題來(lái)解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.詳解：由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平點(diǎn)睛:解決該題的關(guān)鍵是分析清式子代表的意義，再者就是什么時(shí)候滿足距離最小，之后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求

17、得切線的斜率,應(yīng)用兩點(diǎn)斜率坐標(biāo)公式求得直線的斜率,兩條直線垂直，斜率乘積等于-1.從而求得結(jié)果.7【2018屆四川省南充市高三第三次聯(lián)合診】已知函數(shù)的兩個(gè)極值分別為， ，若, 分別在區(qū)間與內(nèi)，則的取值范圍是（ ）a. b。 c. d。 【答案】a【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根的分布建立a、b的約束條件，然后利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可詳解：函數(shù)的兩個(gè)根為， ， 分別在區(qū)間（0，1)與(1,2)內(nèi) 做出可行域如圖所示，令，平移直線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(1,0）時(shí), 最小為：2；經(jīng)過(guò)點(diǎn)b（3,1）時(shí),z最大為：7b2a(2,7)，故選a。點(diǎn)睛:解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，對(duì)于

18、二次函數(shù)的研究一般從以幾個(gè)方面研究：一是，開(kāi)口;二是，對(duì)稱軸，主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；四是,區(qū)間端點(diǎn)值。8【2018屆華大新高考聯(lián)盟4月檢測(cè)】對(duì),，則的最小值為( )a。 b。 c。 d. 【答案】c上恒成立，即函數(shù)在 上單調(diào)遞增，則的最小值為。故選c.9【2018屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研】已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為2,則的最小值是（ ）a。 10 b。 9 c。 8 d。 【答案】b所以的最小值為，故選b.10【2018屆陜西省延安市高三高考模擬】已知函數(shù)，若，且，則的最小值為_(kāi)【答案】9【解析】試題分析：已知函數(shù)的表達(dá)式,可求出再根據(jù)1 的妙用，為乘以，最終應(yīng)用均值不等式求得最值。詳解：已知函數(shù),所以，則+ 點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，以及雙變量的最值求法，即均值不等式中1的妙用.解決二元最值或者范圍問(wèn)題，常用的方法有:不等式的應(yīng)用，線規(guī)的應(yīng)用，二元化一元等方法.11【2018屆浙江省寧波市高三5月模擬】已知實(shí)數(shù)滿足：， 。則的最小值為_(kāi)【答案】6.【解析】分析： 不妨設(shè)是中的最小者，即,把已知轉(zhuǎn)化為，且，。再利用一元二次方程的