理論力學動力學普遍定理

1、理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院1 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院2 一、質點系的質心一、質點系的質心 iiiiii CCC m xm ym z xyz mmm ， 10-1 10-1 質點系的質心質點系的質心 內(nèi)力與外力內(nèi)力與外力 在均勻重力場中，質點系的質心與重心的位置重合?？刹捎么_定重心在均勻重力場中，質點系的質心與重心的位置重合。可采用確定重心 的各種方法來確定質心的位置。但是，質心與重心是兩個不同的概念，質的各種方法來確定質心的位置。但是，質心與重心是兩個不同的概念，質 心比重心具有更加廣泛的力學意義。心比重心具有更加廣泛的力學意義。

2、 y C x z O yC xC zC rC ri i () i mm 質心質心C點的位置點的位置： i ii i C i mm mm rr r CCCC xyz rijk 質點系的質量中心稱為質心。是表示質點系的質量中心稱為質心。是表示 質點系質量分布情況的一個重要概念。質點系質量分布情況的一個重要概念。 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院3 內(nèi)力：質點系內(nèi)各質點之間相互作用的力。內(nèi)力：質點系內(nèi)各質點之間相互作用的力。 對整個質點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，對整個質點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零， 內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩

3、恒等于零。即： (i)(i) 0 ()0 iOi ；FMF 二、質點系的內(nèi)力與外力二、質點系的內(nèi)力與外力 外力：質點系以外的物體作用于該質點系中各質點的力。外力：質點系以外的物體作用于該質點系中各質點的力。 (i)(i)(i) ()0()0()0 xiyizi MMM ，F(xiàn)FF 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院4 轉動慣量的計算轉動慣量的計算 1 22 2 2 1 d 12 l zl m Jxxml l 22 0 1 d 3 l z m Jxxml l 解解： 1、積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）、積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用） 例例均均質細直桿長

4、為質細直桿長為l ，質量為，質量為m。求桿。求桿對對z軸的轉動慣量軸的轉動慣量Jz 及對及對z1 軸的轉動慣量軸的轉動慣量Jz1 。 z dx x xO l 2 l z1 dxx x C 2 l 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院5 z R 222 zi ii JmrRmmR x y R r dr 222 0 1 d2d 2 R z JrmrrrmR 設細圓環(huán)的質量為設細圓環(huán)的質量為m，半徑為，半徑為R。則。則 均質薄圓環(huán)對于中心軸的轉動慣量均質薄圓環(huán)對于中心軸的轉動慣量 均質圓板對于中心軸的轉動慣量均質圓板對于中心軸的轉動慣量 設圓板的質量為設圓板的質量為m，半徑為，半

5、徑為R。將圓板分為無數(shù)。將圓板分為無數(shù) 同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質量為同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質量為dm= 2 rdr， =m/ R2，于是圓板轉動慣量為，于是圓板轉動慣量為 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院6 由所定義的長度由所定義的長度r rz稱為剛體對稱為剛體對 z 軸的回轉半徑。軸的回轉半徑。 z z J m r 2 zz Jmr 對于均質剛體，對于均質剛體，r rz僅與幾何形狀有關，與密度無關。對僅與幾何形狀有關，與密度無關。對 于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質剛體，其回于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質剛體，其回 轉半徑是相同的。轉半徑是相

6、同的。 在機械工程設計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已在機械工程設計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已 標準化的零件的轉動慣量和回轉半徑。書中列出幾種常見均質標準化的零件的轉動慣量和回轉半徑。書中列出幾種常見均質 剛體的剛體的Jz和和r rz，以供參考。，以供參考。 2、回轉半徑、回轉半徑 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院7 3、平行移軸定理、平行移軸定理 剛體對某軸的轉動慣量等于剛體對通過質心且與該軸平行剛體對某軸的轉動慣量等于剛體對通過質心且與該軸平行 的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離的平方之乘積。的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離的平方之乘積。

7、 2 zzC JJmd zCz y d x mi C O zi xi riCri yi xC yiC 222 () zCi iCiiiC Jmrm xy 222 22 () () zi iiii iiiC Jm rm xy m xyd 2222 ()()2 ziiiCiiiCzC Jm xym ddm yJmd 剛體對通過質心軸的轉動慣量具有最小值剛體對通過質心軸的轉動慣量具有最小值。 0 iiC m y 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院8 動能定理用能量法研究動力學問題。能量法不僅在機械運動能定理用能量法研究動力學問題。能量法不僅在機械運 動的研究中有重要的應用，而且

8、是溝通機械運動和其它形式運動的研究中有重要的應用，而且是溝通機械運動和其它形式運 動的橋梁。動能定理建立了與運動有關的物理量動的橋梁。動能定理建立了與運動有關的物理量動能和作用動能和作用 力的物理量力的物理量功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。 力的功是力沿路程累積效應的度量。力的功是力沿路程累積效應的度量。 cosWFs F s 時，正功；時，正功； 時，功為零；時，功為零； 時，負功。時，負功。 功的單位：焦耳（）；功的單位：焦耳（）； 2 2 2 1J1N m 一、常力的功一、常力的功( (力是常矢量力是常矢量) ) F M1 M2 s 12-11

9、2-1力的功力的功 功是代數(shù)量。功是代數(shù)量。 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院9 二、變力的功二、變力的功 力力F 在曲線路程中作功為在曲線路程中作功為 21M M 設質點設質點M在變力在變力F的作用下沿曲線運動，力的作用下沿曲線運動，力F在微小弧在微小弧 段上所作的功稱為力的段上所作的功稱為力的元功元功，記為記為d dW，于是有，于是有 cosdWFs 0 cos d s WFs 自然法表示的自然法表示的 功的計算公式功的計算公式 上兩式可寫成矢量點乘積形式上兩式可寫成矢量點乘積形式 dW Fr 2 1 d M M W Fr 矢徑法表示的矢徑法表示的 功的計算公式功的

10、計算公式 M M1 M2 ds M dr F ddd xyz WF xFyF z 2 1 (ddd ) M xyz M WF xFyF z 直角坐標法表示的功的計算公式，也稱為功的解析表達式。直角坐標法表示的功的計算公式，也稱為功的解析表達式。 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院10 三、常見力的功三、常見力的功 質點系質點系 1212 g()g() iiiiCC WWmzzmzz 質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重心質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重心 高度差的乘積，而與各質點運動的路徑無關。高度差的乘積，而與各質點運動的路徑無關。 00g

11、xyz FFFm ， 代入功的解析表達式得代入功的解析表達式得 2 1 1212 (g)dg() z z Wmzmzz 1、重力的功、重力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院11 22 11 00 d()d MM MM Wk rl Frrr 2 0 11 ddd()d()d 22 rr rrr r rrrr r 2 00 )(d 2 d)( 2 1 2 1 lr k rlrkW r r r r )()( 2 2 02 2 01 lrlr k 2222 12 ()() 22 kk Wdddd 末初 有限變形下彈性力的功只

12、與有限變形下彈性力的功只與 彈簧的初始變形和末變形有彈簧的初始變形和末變形有 關，與力作用點的路徑無關。關，與力作用點的路徑無關。 2、彈性力的功、彈性力的功 ( (指有限變形下彈性力的功，與彈簧兩端點位置無關指有限變形下彈性力的功，與彈簧兩端點位置無關) ) 彈簧原長彈簧原長l0 ，作用點的軌跡為圖示曲線，作用點的軌跡為圖示曲線A1A2。在彈性極限內(nèi)。在彈性極限內(nèi) k彈簧的剛性系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力彈簧的剛性系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力(N/m)。 00 ()k rl Fr 110 220 rl rl d d 初變形初變形 末變性末變性 A1 A2 r2 r1 d

13、d1 d d2 l0 O r0 r A d d F A0 dr 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院12 O z O1 A 設作用在定軸轉動剛體上設作用在定軸轉動剛體上A點的力為點的力為F， 將該力分解為將該力分解為Ft、Fn和和Fb 。 當剛體轉動時，轉角當剛體轉動時，轉角j j與弧長與弧長s的關系為的關系為 t cosFF ddsRj R為點為點A到軸的垂距。力到軸的垂距。力F 的元功為的元功為 tt d =ddd z WF sFRMjj Fr Ft F r Fb Fn 力力F在剛體從角在剛體從角j j1轉到轉到j j2所作的功為所作的功為 2 1 12 d z WM

14、j j j 3、作用于定軸轉動剛體上的力的功，力偶的功、作用于定軸轉動剛體上的力的功，力偶的功 作用面垂直轉軸的常力作用面垂直轉軸的常力 偶偶M，則力偶作的功為，則力偶作的功為 1221 ()WMjj 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院13 dd0 C t rv SS dd0 C Wtd FrFv 法向力法向力FN，靜摩擦力，靜摩擦力FS作用于瞬心作用于瞬心C處，而瞬心的位移處，而瞬心的位移 (2) 圓輪沿固定面作純滾動時，靜滑動摩擦力的功。圓輪沿固定面作純滾動時，靜滑動摩擦力的功。 (1) 動滑動摩擦力的功動滑動摩擦力的功 22 11 N dd MM MM WF sf

15、Fs FN=常量時，常量時，W= f FNs，與質點的路徑有關。，與質點的路徑有關。 圓輪沿固定面作純滾動時，圓輪沿固定面作純滾動時， 摩擦力是靜摩擦力，不作功摩擦力是靜摩擦力，不作功! ! 4、摩擦力的功、摩擦力的功 FN FS C P R w w O 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院14 5、質點系內(nèi)力的功、質點系內(nèi)力的功 只要只要A、B兩點間距離保持不變，內(nèi)力的元功和就等于零兩點間距離保持不變，內(nèi)力的元功和就等于零。 剛體內(nèi)力功之和等于零，不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等剛體內(nèi)力功之和等于零，不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等 于零于零，但變形體內(nèi)力功之和不為零，例如彈簧的功不

16、為零。但變形體內(nèi)力功之和不為零，例如彈簧的功不為零。 dd AB Wd FrFr dd AB FrFr d() AB Frr d BA Fr 6、任意運動剛體上力系的功、任意運動剛體上力系的功 結論結論1 1：任意運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力：任意運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力 作功的代數(shù)和。作功的代數(shù)和。 結論結論2 2：任意運動剛體上力系的功，也等于力系向任一點：任意運動剛體上力系的功，也等于力系向任一點 簡化所得的力與力偶作功之和。簡化所得的力與力偶作功之和。 ( (虛位移原理用虛位移原理用) ) O A B rA rB F F 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南

17、大學土木工程學院15 約束力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。約束力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。 4、柔性約束（不可伸長的繩索）、柔性約束（不可伸長的繩索） 拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。 RRRR dddd0Wd FrFrFrFr NN d0 (d )Wd FrFr 1、光滑固定面約束、光滑固定面約束 dr FN NNS () d0 C Wd FFr 3、剛體沿固定面作純滾動、剛體沿固定面作純滾動 FN FS C 四、理想約束力的功四、理想約束力的功 2、聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）、聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸） dr FRFR

18、 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院16 物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運 動強弱的又一種度量。動強弱的又一種度量。 瞬時量，恒為正，具有與功相同的量綱，單位也是瞬時量，恒為正，具有與功相同的量綱，單位也是J(焦耳焦耳)。 對于任一質點系：（對于任一質點系：（viC 為第為第i個質點相對質心的速度）個質點相對質心的速度） 22 11 22 CiiC Tmvmv 柯尼希定理柯尼希定理 2 2 1 mvT 一、質點的動能一、質點的動能 2 1 2 ii Tmv二、質點系的動能二、質點系的動能 12-212-2動動 能

19、能 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院17 2 1 2 P TJw （P為速度瞬心）為速度瞬心） 2 PC JJmd 22222 1111 () 2222 CCC Jm dmvJwww 2222 1111 () 2222 iiiC Tmvm vmvmv 2222 111 () 222 iii iz TmvmrJww 3、平面運動剛體、平面運動剛體 三、剛體的動能三、剛體的動能 2、定軸轉動剛體、定軸轉動剛體 1、平移剛體、平移剛體 只能對瞬心和質心用，對其它點不存在類似的公式。只能對瞬心和質心用，對其它點不存在類似的公式。 d w w 質心質心C 瞬心瞬心P 理論力學理論

20、力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院18 22 11 22 CC TmvJw 2 1 2 CC JmRvRw ， 2 4 3 C mvT C vRvw 22 11 () 22 C Tm vrJww 22 11 22 CC TmvJw 均質圓盤在平板上均質圓盤在平板上 作純滾動時的動能作純滾動時的動能 w w v C vC 均質圓盤在地面上均質圓盤在地面上 作純滾動時的動能作純滾動時的動能 C vC w w 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院19 P 為為AB桿的瞬心桿的瞬心 2 2 3 4 AA Tm v sin A v l w 2 1 1 3 P Jml 2 2

21、 1 2 1 26sin A ABPAB m v TJw 2 1 2 2 3 () 6sin4 A m Tm v A vPAw 解：解： AAB TTT 例例均質細桿長為均質細桿長為l，質量為，質量為m1，上端，上端B靠在光滑的墻上，下端靠在光滑的墻上，下端A用鉸鏈用鉸鏈 與質量為與質量為m2、半徑為、半徑為R且放在粗糙地面上的均質圓柱中心相連，圓柱作且放在粗糙地面上的均質圓柱中心相連，圓柱作 純滾動，桿與水平線的夾角為純滾動，桿與水平線的夾角為 ，若圓柱中心速度為，若圓柱中心速度為vA，求系統(tǒng)的動能。，求系統(tǒng)的動能。 vA A B C Pw wAB 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大

22、學土木工程學院20 解：解：AB桿作平面運動，其質心桿作平面運動，其質心C的速度為的速度為 CACA vvv 速度合成矢量圖如圖，由余弦定理有：速度合成矢量圖如圖，由余弦定理有： 222 22 222 11 22 1 4 2cos(180) ()2cos cos CACAA CA AA AA vvvv v vlvl vll v j wwj wwj 則桿的動能則桿的動能 22 22222 222 11 22 1111 242 12 11 23 (cos )() (cos ) CC AA AA TmvJ m vll vml m vll v w wwjw wwj 例例如圖滑塊如圖滑塊A以速度以速度v

23、A在滑道內(nèi)滑動，其上鉸接一質在滑道內(nèi)滑動，其上鉸接一質 量為量為m，長為，長為 l 的均質桿的均質桿AB，桿以角速度，桿以角速度ww繞繞A轉動。轉動。 試求當桿試求當桿AB與鉛垂線的夾角為與鉛垂線的夾角為jj時，桿的動能。時，桿的動能。 B j vA w w A B j vA w w A C vC vA vCA 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院21 1221 TTW 質點系動能定理的積分形式質點系動能定理的積分形式 在理想約束的條件下，質點系的約束力不作功，但質點系在理想約束的條件下，質點系的約束力不作功，但質點系 的內(nèi)力作功之和并不一定等于零，例如彈簧在系統(tǒng)內(nèi)作功。的

24、內(nèi)力作功之和并不一定等于零，例如彈簧在系統(tǒng)內(nèi)作功。 一、質點系的動能定理一、質點系的動能定理 質點系在一段運動過程中動能的改變量，等于作用于質質點系在一段運動過程中動能的改變量，等于作用于質 點系全部力在此過程中所作功的和。對理想約束，等于點系全部力在此過程中所作功的和。對理想約束，等于 全部主動力所作功的和。全部主動力所作功的和。當可以求出任意位置的動能和功的當可以求出任意位置的動能和功的 表達式時，利用上式求導可求加速度或角加速度。表達式時，利用上式求導可求加速度或角加速度。 12-312-3動能定理動能定理 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院22 例例已知均質圓盤質

25、量為已知均質圓盤質量為m，半徑為，半徑為R，摩擦因數(shù)為，摩擦因數(shù)為 f ，斜面傾角為，斜面傾角為j j 。求。求 純滾動時盤心的加速度。純滾動時盤心的加速度。 j j C FN mg vC w w FS 解：取系統(tǒng)為研究對象，假設圓盤中心向下解：取系統(tǒng)為研究對象，假設圓盤中心向下 產(chǎn)生位移產(chǎn)生位移 s 時速度達到時速度達到vC。 s 1 0T 力的功力的功： 12 sinWmgsj 由動能定理得：由動能定理得： 2 3 0sin 4 C mvmgsj 2 2 3 4 C Tmv jsin 3 2 ga 上式兩邊對時間求導得上式兩邊對時間求導得： 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木

26、工程學院23 w wII 解：取整個系統(tǒng)為研究對象解：取整個系統(tǒng)為研究對象 T1=0 22 222 12 22 111 23222 A mlm r Tm vww A A vl vl rr www ， 22 22222 12212 2 29 ()() 624 12 mlmm rmml Tll r wwww 12 WMj 根據(jù)動能定理，得根據(jù)動能定理，得 22 12 29 0 12 mm lMwj 將將式對式對t求導數(shù)，得求導數(shù)，得 2 12 6 (29) M mm l 12 23 29 M lmm j w 例例水平面上水平面上行星齒輪機構的曲柄行星齒輪機構的曲柄OA受力偶受力偶M作用而繞固定水平

27、軸作用而繞固定水平軸O轉動，轉動， 并帶動齒輪并帶動齒輪在固定齒輪在固定齒輪上滾動如圖所示。設曲柄上滾動如圖所示。設曲柄OA為均質桿，長為均質桿，長l、 質量為質量為m1；齒輪齒輪為均質圓盤，半徑為均質圓盤，半徑r 、質量為質量為m2。試求曲柄的角速度及試求曲柄的角速度及 角加速度。角加速度。P321，12-12 O A M w w vA 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院24 例例圖示系統(tǒng)中，均質圓盤圖示系統(tǒng)中，均質圓盤A、B各重各重P，半徑均為，半徑均為R，兩盤中心線為水平線，兩盤中心線為水平線， 重物重物D重重Q，盤，盤A上作用有常力偶矩上作用有常力偶矩M。問下落距

28、離。問下落距離h時重物的速度時重物的速度 與加速度。與加速度。(不可伸長的繩不計自重，盤不可伸長的繩不計自重，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止) AB CO M D 解：取系統(tǒng)為研究對象，設重物解：取系統(tǒng)為研究對象，設重物 速度為速度為 v，加速度為，加速度為a。 0 1 T 222 2 111 222 OACB Q TJvJ g ww 22222 22222 2 111 3 2 222 2 3 ()() 4242 (87 ) 16 AB PQP RvR ggg PvQPv RvR gRggR v QP g ww Q v a C 12 h WMQhMQh R j w wA

29、w wB 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院25 PQ hgQRM vhQ R M PQ g v 78 )/( 4 )(0)78( 16 2 87ddd 2() () 16ddd QPvMhh vQv gtRtt 8(/) 87 M RQ g a QP 上式兩邊求導得：上式兩邊求導得： 2112 TTW由動能定理由動能定理 Q v a AB CO M D C w wAw wB 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院26 解：選系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。解：選系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。 12 2sincos (2sincos ) Wmgsfmgs mgsf

30、 2222 12 11 11 0 22 22 TTmvmrmvw 運動學關系：運動學關系：wrv 2 2 4 5 mvT 由動能定理：由動能定理： 2 5 0(2sincos ) 4 mvmgsf對對求導，得求導，得 2 (2sincos ) 5 g af 例例均質圓盤均質圓盤A質量質量m，半徑，半徑r；滑塊；滑塊B質量質量m，通過通過質量不質量不計計、平行于斜面、平行于斜面 的的桿桿AB連接連接。斜面傾角為。斜面傾角為 ，動摩擦因數(shù)為，動摩擦因數(shù)為 f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜 止。求滑塊止。求滑塊B的加速度及桿的內(nèi)力。的加速度及桿的內(nèi)力。P326、綜、綜-21 A

31、 B mg FNA mg FNB FSA FB s 設設A移動移動s，則，則 桿的內(nèi)力用質心運動定理求解桿的內(nèi)力用質心運動定理求解 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院27 例例卷揚機如圖，鼓輪在常力偶卷揚機如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑 為為R1，質量為，質量為m1，質量分布在輪緣上；圓柱的半徑為，質量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質量為，質量為m2，質量，質量 均勻分布。設斜坡的傾角為均勻分布。設斜坡的傾角為 ，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運動，求，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運動，求 圓柱中心圓柱中心C經(jīng)過路

32、程經(jīng)過路程s 時的速度和加速度。時的速度和加速度。 M O C R1 R2 解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。 系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為 122 1 sin s WMm gs R 系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為 0 1 T 222 21122 111 222 CC TJm vJww FN m1g FOx FOy m2g FS 其中其中 2 111 Jm R 2 22 1 2 C Jm R 1 1 R vC w 2 2 R vC w w w1 w w2 理論力學理論力學中南大學土木工程學院

33、中南大學土木工程學院28 于是于是 )32( 4 21 2 2 mm v T C 由由 1212 WTT得得 2 122 1 (23)0sin 4 C vs mmMm gs R 解之得解之得 21 112 (sin ) 2 (23) C Mm gRs v Rmm M O C R1 R2 FN m1g FOx FOy m2g FS w w1 w w2 動能定理求導得動能定理求導得 21 121 2(sin ) (23) C Mm gR a mm R 由于斜面不一定通過由于斜面不一定通過O點，所以系統(tǒng)不能用對點點，所以系統(tǒng)不能用對點O的動量矩定理求解。的動量矩定理求解。 理論力學理論力學中南大學土

34、木工程學院中南大學土木工程學院29 A B 求下落時求下落時B的加速度的加速度 j j AB 求初瞬時桿的角加速度求初瞬時桿的角加速度 A F B C 求初瞬時兩桿的角加速度求初瞬時兩桿的角加速度 此類求加速度問題，之所以一般位置的動能及功的表達式不好列出，是此類求加速度問題，之所以一般位置的動能及功的表達式不好列出，是 因為這類問題是兩個因為這類問題是兩個“自由度自由度”的問題，而動能定理只有一個方程，無的問題，而動能定理只有一個方程，無 法求兩個自由度的問題。若補充其它動力學方程又會出現(xiàn)未知的約束力。法求兩個自由度的問題。若補充其它動力學方程又會出現(xiàn)未知的約束力。 對于一個自由度的問題，動

35、能定理一般可以求解！前面用動能定理求加對于一個自由度的問題，動能定理一般可以求解！前面用動能定理求加 速度的問題都是一個自由度的問題。兩個自由度的問題可用動量定理及速度的問題都是一個自由度的問題。兩個自由度的問題可用動量定理及 動量矩定理或達朗貝爾原理求解！動量矩定理或達朗貝爾原理求解！ 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院30 解：以任意位置的桿解：以任意位置的桿AB為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。 桿作平面運動，設任意位置時桿的角速度和桿作平面運動，設任意位置時桿的角速度和 角加速度分別為角加速度分別為w w和和 。 例例質量為質量為m長為長為l 的均質桿，

36、在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿的均質桿，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿 著鉛垂墻壁，從著鉛垂墻壁，從j j0角無初速地滑下，不計摩擦。求：角無初速地滑下，不計摩擦。求：(1)桿在任意位置時的桿在任意位置時的 角速度和角加速度；角速度和角加速度；(2)開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力；開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力；(3)桿桿 脫離墻時，桿與水平面所夾的角脫離墻時，桿與水平面所夾的角。P283，11-15，P326綜綜-18 O x y A B C j j FB mg FA w w 桿的動能，桿的動能，T1=0 2222 2 111 226 CC TmvJmlww

37、系統(tǒng)只有重力系統(tǒng)只有重力mg作功作功 120 (sinsin ) 2 l Wmgjj 由由 1212 WTT得得 0 3 (sinsin ) g l wjj 兩邊對時間求導，并注意兩邊對時間求導，并注意jw 可得可得 3 cos 2 g l j 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院31 解：取系統(tǒng)分析，則運動初瞬時的動能為解：取系統(tǒng)分析，則運動初瞬時的動能為 2 0 1 2 A Tmv 2v0 222 0 0 21 1 ()() 2 2 C v TMrMv r 22 00 1 (2)2 2 B Tmvmv 2 10 710 4 ABCD Mm TTTTTv 2222 0 0

38、0 11 13 ()() 22 24 D v TMvMrMv r 例例如圖，重物如圖，重物A和和B通過動滑輪通過動滑輪D和定滑輪和定滑輪C而而 運動。如果重物運動。如果重物A開始時向下的速度為開始時向下的速度為v0，試問，試問 重物重物A下落多大距離，其速度增大一倍。設重物下落多大距離，其速度增大一倍。設重物 A和和B的質量均為的質量均為m，滑輪，滑輪D和和C的質量均為的質量均為M， 半徑均為半徑均為r且為均質圓盤。重物且為均質圓盤。重物B與水平面的動與水平面的動 摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為f ，繩索質量忽略不計且不能伸長。，繩索質量忽略不計且不能伸長。 D A B v0 C 理論力學理論力學中南大

39、學土木工程學院中南大學土木工程學院32 D A B C 系統(tǒng)受力如圖所示，設重物系統(tǒng)受力如圖所示，設重物A下降下降h高高 度時，其速度增大一倍。在此過程中，所度時，其速度增大一倍。在此過程中，所 有的力所作的功為有的力所作的功為 12d 2 (1 2 ) WmghMghFh Mf m gh 由由 1212 WTT得得 2 0 3 (710 )(12 ) 4 Mm vMf m gh 解得解得 2 0 3(710 ) 4(12 ) Mm v h Mf m g 速度增大一倍時的動能為速度增大一倍時的動能為 2 20 (710 )TMm v mg Mg Mg mg FN Fd FCy FCx 如何求運

40、動過程中各段繩如何求運動過程中各段繩 的張力及的張力及C處的約束力？處的約束力？ 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院33 設重物設重物A下降任意位置下降任意位置 s 時的速度為時的速度為vA。 D A B C vA s 2 2 710 4 ABCDA Mm TTTTTv 系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的動能為 1 constT 在此過程中，所有的力所作的功為在此過程中，所有的力所作的功為 12d 2(12 )WmgsMgsFsMf m gs 并注意并注意 可求得可求得 dd 0 dd A AA vs av tt ， 2(12 ) 710 A Mf m ag Mm 加速度求得后，如何求力

41、？加速度求得后，如何求力？ 定軸轉定軸轉 動方程動方程 質心運質心運 動定理動定理 動量矩動量矩 定理定理 質心運質心運 動定理動定理由由 1212 WTT 上式兩邊對時間求導上式兩邊對時間求導 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院34 2、定軸轉動剛體、定軸轉動剛體 定軸轉動剛體對轉軸的動量矩等于定軸轉動剛體對轉軸的動量矩等于 剛體對轉軸的轉動慣量與角速度的乘積。剛體對轉軸的轉動慣量與角速度的乘積。 剛體動量矩的計算剛體動量矩的計算 1、平移剛體、平移剛體() zzC LMm v 平移剛體可視為質量集中于質心的平移剛體可視為質量集中于質心的 質點來計算對點（或軸）的動量矩

42、。質點來計算對點（或軸）的動量矩。 2 () zziii iz LMmmrJww v 對對定軸定軸 的動量矩的動量矩 vi vC rC ri x y z i C O p mivi Mi ri w w z 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院35 3、平面運動剛體、平面運動剛體 平面運動剛體對垂直于質量對稱平面某軸的動量矩，平面運動剛體對垂直于質量對稱平面某軸的動量矩， 等于剛體隨質心作平移時質心處的動量對該軸的動量矩等于剛體隨質心作平移時質心處的動量對該軸的動量矩 與繞質心轉動時的動量矩之和。與繞質心轉動時的動量矩之和。 C vC w w Jw w p=mvC A d1 d

43、2 B 1AzAC LLmv dJw 2BC Lmv dJw 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院36 12 2323 22 22 () O JJ LmmR v RR 1122222332 ()JJm v Rm v Rww OOAOBOC LL+L+L 解：系統(tǒng)對解：系統(tǒng)對O軸的動量矩等于三個物體軸的動量矩等于三個物體 對對O點動量矩的代數(shù)和。點動量矩的代數(shù)和。 w w1 w w2 112223 222RRvvww 由運動學知識可知有如下關系由運動學知識可知有如下關系 例例已知滑輪系統(tǒng)中滑輪已知滑輪系統(tǒng)中滑輪A的質量的質量m1和半徑和半徑R1，對，對O的轉動慣量的轉動慣量J

44、1。 滑輪滑輪B的質量的質量m2和半徑和半徑R2， 對對B的轉動慣量的轉動慣量J2 ，且，且 R1=2R2。 物體物體 C的質量的質量m3和速度和速度v3。求系統(tǒng)對。求系統(tǒng)對O軸的動量矩。軸的動量矩。 O A M R1 B C R2 v3 v2 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院37 質點系的動量矩定理質點系的動量矩定理 (e) d () d O O t L MF 質點系對質點系對固定點固定點的動量矩定理的動量矩定理 (e) d () d z z L M t F 上式稱為質點系對上式稱為質點系對固定軸固定軸的動量矩定理。即質點系對任的動量矩定理。即質點系對任 一固定軸的動

45、量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質點系上所有一固定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質點系上所有 外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。 一個剛體一個剛體繞定軸轉動，其轉動微分方程為繞定軸轉動，其轉動微分方程為 (e) d ()() d zzz JJM t w F 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院38 例例已知滑輪系統(tǒng)中滑輪已知滑輪系統(tǒng)中滑輪A的質量的質量m1和半徑和半徑R1，對，對O的轉動慣量的轉動慣量J1，其上作，其上作 用力偶矩為用力偶矩為M的力偶?；喌牧ε??；咮的質量的質量m2和半徑和半徑R2

46、， 對對B的轉動慣量的轉動慣量J2 ，且，且 R1=2R2。 物體物體C的質量的質量m3，求物體，求物體C的加速度。的加速度。 O A M R1 B C R2 v 解：取整個系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖示。解：取整個系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖示。 (e) 232 ()()g O MMmmR F 由動量矩定理由動量矩定理 (e) d () d O O L MF t 12 232 22 22 () OC JJ LmmR v RR 23 12 23 22 22 ()g () C Mmm a JJ mm RR Fx Fy m1g m2g m3g a 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工

47、程學院39 取質心取質心C為動系原點，則平面運為動系原點，則平面運 動可分解為動可分解為隨質心隨質心C的平移的平移和和繞繞質心質心 C的轉動的轉動，可分別通過可分別通過質心運動定理質心運動定理 和和相對質心的動量矩定理相對質心的動量矩定理來確定。來確定。 r r d d C CCCC L LJJJ t wj， 11-611-6剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程 設平面運動剛體具有質量對稱平面，力系設平面運動剛體具有質量對稱平面，力系F1，F(xiàn)2 Fn可以可以 簡化為該對稱平面內(nèi)的一個平面力系。取質量對稱平面為平面簡化為該對稱平面內(nèi)的一個平面力系。取質量對稱平面為平面 圖形圖形S，其質心一定

48、位于，其質心一定位于S內(nèi)。內(nèi)。 j y x x y O C D F1 F2 F3 Fn S (e)(e) () CCC mJM aFF， 剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院40 上述方程稱為（單個）上述方程稱為（單個）剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程。 應用時，前一式取其投影式。即應用時，前一式取其投影式。即 (e)(e) () CCC mJM aFF， (e) (e) (e) () CxCx CyCy CCC mamxF mamyF JJMj F 剛體平面運剛體平面運 動微分方程動微分方程 平面運動微分方程只用于一個作平

49、面運動的剛體，平面運動微分方程只用于一個作平面運動的剛體， 不能用于多剛體系統(tǒng)。對于多剛體系統(tǒng)，可用多剛體不能用于多剛體系統(tǒng)。對于多剛體系統(tǒng)，可用多剛體 系統(tǒng)的質心運動定理和對系統(tǒng)的質心運動定理和對固定軸固定軸的動量矩定理。的動量矩定理。 (e)(e) d () d z iiCz L mM t aFF， 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院41 動力學普遍定理動力學普遍定理 動量定理動量定理 動量矩定理動量矩定理 動能定理動能定理 矢量形式，投影求解。矢量形式，投影求解。 標量形式標量形式 綜合應用綜合應用 根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當?shù)亩ɡ砀鶕?jù)問題的已知條件和待求

50、量，選擇適當?shù)亩ɡ?求解，包括各種守恒定理的應用。求解，包括各種守恒定理的應用。 比較復雜的問題，根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)比較復雜的問題，根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián) 合求解。一般可用動能定理求運動有關的量（速度、合求解。一般可用動能定理求運動有關的量（速度、 加速度），用質心運動定理或對定軸的動量矩定理、加速度），用質心運動定理或對定軸的動量矩定理、 對質心的動量矩定理求力。對質心的動量矩定理求力。 求解過程中，往往要正求解過程中，往往要正 確進行運動分析，確進行運動分析， 提供提供 正確的運動學補充方程。正確的運動學補充方程。 平面運動速度和平面運動速度和 加速度的分析。加速度的分析。 1

51、2-612-6動力學普遍定理及綜合應用動力學普遍定理及綜合應用 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院42 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用 例例置于光滑水平面上的兩均質桿置于光滑水平面上的兩均質桿AC和和BC各重為各重為P，長為，長為l，在，在C處光滑鉸處光滑鉸 接，初始靜止，接，初始靜止，C點高度為點高度為h，求鉸，求鉸C到達地面時的速度。到達地面時的速度。C h AB C 解：整體分析受力如圖。因為解：整體分析受力如圖。因為 ， 且初始靜止，所以水平方向質心位置守恒。且初始靜止，所以水平方向質心位置守恒。 (e) 0 x F 動量守恒定理動能定理求解。動

52、量守恒定理動能定理求解。 計算動能時，利用平面運動的運動學關系。計算動能時，利用平面運動的運動學關系。 12 2 2 h WPPh 0 1 T 2222 2 3 1 2 3 1 2 1 wwl g P l g P T 代入動能定理：代入動能定理：ghvPhv g P CC 3 0 3 1 2 2 2 3 1 CC v g P Tlvw PP FNAFNB vC w ww w 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院43 O B A 解解：取單個物體為研究對象。：取單個物體為研究對象。 分別以物塊分別以物塊A、B和滑輪為研究對象，受力如圖。和滑輪為研究對象，受力如圖。 由質心運動

53、定理和定軸轉動的微分方程，得由質心運動定理和定軸轉動的微分方程，得 21 ()(3) 2 AB mrFFr m1g FA a m2g FB a 例例物塊物塊A和和B的質量分別為的質量分別為m1、m2，且，且 m1m2，分別系，分別系 在繩索的兩端，繩跨過一定滑輪，如圖?；喌馁|量為在繩索的兩端，繩跨過一定滑輪，如圖?；喌馁|量為m， 并可看成是半徑為并可看成是半徑為r的均質圓盤。假設不計繩的質量和軸的均質圓盤。假設不計繩的質量和軸 承摩擦，繩與滑輪之間無相對滑動，試求物塊承摩擦，繩與滑輪之間無相對滑動，試求物塊A的加速度的加速度 和軸承和軸承O的約束力。的約束力。A B O r 11 (1)

54、A m am gF 22 (2) B m aFm g 0(4) Ox F 0(5) OyAB FFFmg FB FA FOx FOy mg 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院44 由以上方程聯(lián)立求解得：由以上方程聯(lián)立求解得： 12 12 2() 2() mm ag mmm 0 Ox F 2 12 12 12 2() () 2() Oy mm Fmmm gg mmm ar注意到注意到 解解：用動能定理和質心運動定理。以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，：用動能定理和質心運動定理。以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖， 運動分析如圖。系統(tǒng)動能為運動分析如圖。系統(tǒng)動能為 22222 12

55、12 111 11 ()( )(22) 222 24 v Tm vm vmrmmm v r 12 1 d(22) d 2 Tmmm v v 所有力的元功為所有力的元功為 1212 () d()d i Wmmgsmmgv t 1212 1 (22) d()d 2 mmm v vmm gv t 由微分形式由微分形式 的動能定理得的動能定理得 于是可得于是可得 12 12 2() 2() mm ag mmm B A m1g v m2g v O mg w w FOx FOy 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院45 于是可得于是可得 2 12 12 12 2() () 2() Oy

56、 mm Fmmm gg mmm 2112 () Oy m amaFmmm g 得得 0 Ox F 考慮剛體系統(tǒng)的質心運動定理考慮剛體系統(tǒng)的質心運動定理 (e) iiCxx maF (e) iiCyy maF B A m1g a m2g a O mg FOx FOy 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院46 解解：用動量矩定理和質心運動定理：用動量矩定理和質心運動定理 解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖， 運動分析如圖。系統(tǒng)對定軸的動量矩為運動分析如圖。系統(tǒng)對定軸的動量矩為 2 12 12 1 () 2 1 (22) 2 O Lmvrm v

57、rmr mmm vr w 1212 d 1 (22)() 2 d v mmm rmm gr t 然后按解然后按解的方法即可求得軸承的方法即可求得軸承O的約束力。的約束力。 由由得得 (e) d () d OO LM t F 12 12 2()d d2() mmv ag tmmm B A m1g v m2g v O mg w w FOx FOy 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院47 解：解：用動能定理求角加速度。用動能定理求角加速度。由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力， 倒下過程中質心將鉛直下落。設桿運動到與水平方向夾角為倒下過程中質心

58、將鉛直下落。設桿運動到與水平方向夾角為 時時 的角速度為的角速度為w w，則桿的動能為，則桿的動能為 22 22222 111 ( cos ) (cos) 22 12283 P mllml TJmwww 初動能為零，此過程只有重力作功，由初動能為零，此過程只有重力作功，由 2 22 1 (cos)(1 sin ) 832 mll mgw 當當 =0時解出時解出 l g3 w 2112 TTW vA 動能定理兩邊對時間求導可求角加速度動能定理兩邊對時間求導可求角加速度 2 22 1 2cos ( sin )(cos)2( cos ) 832 mlmgl www =0代入上式，便得到特定位置代入上式，便得到特定位置時的角加速度時的角加速度 3g 2l 例例均質桿長為均質桿長為l，質量為，質量為m，靜止直立于光滑水平面上。當桿受微小干，靜止直立于光滑水平面上。當桿受微小干 擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和角加速度及地面的約束力。擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和角加速度及地面的約束力。 A C w w vC P 理論力學理論力學中南大學土木工程學院中南大學土木工程學院48 A C A C