高三數(shù)學(xué)解三角形應(yīng)用舉例

1、第8課時 解三角形應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理 1有關(guān)概念有關(guān)概念 (1)仰角與俯角：與目標(biāo)視線在同仰角與俯角：與目標(biāo)視線在同 一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線 的夾角目標(biāo)視線在水平視線上方時的夾角目標(biāo)視線在水平視線上方時 叫叫 ，目標(biāo)視線在水平視線下方，目標(biāo)視線在水平視線下方 時叫時叫 仰角仰角 俯角俯角 如圖所示如圖所示 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理 (2)方位角：從正方位角：從正 方向沿順時方向沿順時 針到目標(biāo)方向線的水平角叫方位角針到目標(biāo)方向線的水平角叫方位角 (3)坡角：坡面與坡角：坡面與 面的夾角面的夾角 叫坡角叫坡角 (4)坡比：坡面的鉛直高度與

2、水平坡比：坡面的鉛直高度與水平 長度之長度之 叫做坡比叫做坡比 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理 比比 水平水平 北北 2解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用 解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用非常解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用非常 廣泛，如測量、航海、幾何、物理等廣泛，如測量、航海、幾何、物理等 方面都要用到解三角形的知識解題方面都要用到解三角形的知識解題 的一般步驟是：的一般步驟是： (1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意分分析題意，準(zhǔn)確理解題意分 清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中 的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、 俯角、方位角等俯角、方位角等 (

3、2)根據(jù)題意畫出示意圖根據(jù)題意畫出示意圖 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理 (3)將需求解的問題歸結(jié)到一個或?qū)⑿枨蠼獾膯栴}歸結(jié)到一個或 幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定 理、余弦定理等有關(guān)知識正確求理、余弦定理等有關(guān)知識正確求 解演算過程中，要算法簡練，計(jì)算解演算過程中，要算法簡練，計(jì)算 正確，并作答正確，并作答 (4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際 意義，對解進(jìn)行取舍意義，對解進(jìn)行取舍 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理 1兩座燈塔兩座燈塔A和和B與海岸觀察站與海岸觀察站 C的距離相等，燈塔的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東在觀察站北偏東 40，燈塔，燈塔B

4、在觀察站南偏東在觀察站南偏東60， 則燈塔則燈塔A在燈塔在燈塔B的的() A北偏東北偏東10 B北偏西北偏西10 C南偏東南偏東10 D南偏西南偏西10 答案：答案：B 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 2在某次測量中，在在某次測量中，在A處測得處測得 同一半平面方向的同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是點(diǎn)的仰角是60， C點(diǎn)的俯角為點(diǎn)的俯角為70，則，則BAC等于等于( ) A10 B50 C120 D130 答案：答案：D 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 3如圖所示，為了測量如圖所示，為了測量 某障礙物兩側(cè)某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，間的距離， 給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定 A、B間距離

5、的是間距離的是() A，a，b B，a Ca，b， D，b 答案：答案：A 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 4我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西 50相距相距12海里的海里的B處，發(fā)現(xiàn)處，發(fā)現(xiàn) 敵艦正由島敵艦正由島A沿北偏西沿北偏西10的的 方向以方向以10海里海里/小時的速度航行，小時的速度航行， 我艦要用我艦要用2小時追上敵艦，則小時追上敵艦，則 需要的最小速度為需要的最小速度為_ 答案：答案：14海里海里/小時小時 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 5如圖，為了測量如圖，為了測量 河的寬度，在一岸邊選定河的寬度，在一岸邊選定 兩點(diǎn)兩點(diǎn)A，B望對岸的標(biāo)記望對岸的標(biāo)記 物物C，測得，測得CAB30， CB

6、A75，AB120 m，這條河的寬度為，這條河的寬度為 _ 答案：答案：60 m 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 有關(guān)距離測量問題，主要是測量從有關(guān)距離測量問題，主要是測量從 一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不能到達(dá)的點(diǎn)之一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不能到達(dá)的點(diǎn)之 間的距離問題，如海上、空中兩點(diǎn)測量，間的距離問題，如海上、空中兩點(diǎn)測量， 隔著某一障礙物兩點(diǎn)測量等由于該問隔著某一障礙物兩點(diǎn)測量等由于該問 題不能采取實(shí)地測量，解決它的方法是題不能采取實(shí)地測量，解決它的方法是 建立數(shù)學(xué)模型，即構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為建立數(shù)學(xué)模型，即構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為 解三角形問題通常是根據(jù)題意，解三角形問題通常是根據(jù)題意， 課堂互動講練課堂互動講

7、練 考點(diǎn)一考點(diǎn)一測量距離測量距離 從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角 形，然后通過解這些三角形，得到所形，然后通過解這些三角形，得到所 求的量，從而得到實(shí)際問題的解解求的量，從而得到實(shí)際問題的解解 題時應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇定題時應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇定 理，使解題過程簡捷理，使解題過程簡捷 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 (2009年高考遼年高考遼 寧卷寧卷)如圖，如圖，A、B、 C、D都在同一個與都在同一個與 水平面垂直的平面水平面垂直的平面 內(nèi)，內(nèi)，B、D為兩島上為兩島上 的兩座燈塔的塔的兩座燈塔的塔 頂測量船于水頂測量船于水 課

8、堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 【規(guī)律小結(jié)】【規(guī)律小結(jié)】求距離問題一般求距離問題一般 要注意：要注意： (1)基線的選取要準(zhǔn)確恰當(dāng)基線的選取要準(zhǔn)確恰當(dāng)(在測在測 量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的 線段叫做基線，如例線段叫做基線，如例1中的中的CD) (2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定選定或創(chuàng)建的三角形要確定 (3)利用正弦定理還是余弦定理要利用正弦定理還是余弦定理要 確定確定 課堂互動講練課堂互動講練 測量高度問題一般是利用地面上測量高度問題一般是利用地面上 的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)的觀測點(diǎn)，通過測量仰角、俯角等數(shù)

9、 據(jù)計(jì)算物體的高度；這類問題一般用據(jù)計(jì)算物體的高度；這類問題一般用 到立體幾何知識，先把立體幾何問題到立體幾何知識，先把立體幾何問題 轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解三角轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解三角 形加以解決形加以解決 課堂互動講練課堂互動講練 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 測量高度測量高度 課堂互動講練課堂互動講練 某人在山頂某人在山頂P處觀察地面上相處觀察地面上相 距距2500 m的兩個目標(biāo)的兩個目標(biāo)A、B，測得目，測得目 標(biāo)標(biāo)A在南偏西在南偏西57，俯角為，俯角為30， 同時測得目標(biāo)同時測得目標(biāo)B在南偏東在南偏東78，俯，俯 角是角是45，求山高，求山高(設(shè)設(shè)A、B與山底與山底 在同一平面上，計(jì)算結(jié)果

10、精確到在同一平面上，計(jì)算結(jié)果精確到0.1 m) 課堂互動講練課堂互動講練 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】結(jié)合題意 結(jié)合題意 畫出圖形畫出圖形 用山高用山高h(yuǎn)表示表示 底面三角形未底面三角形未 知邊長度知邊長度 在底面三角形在底面三角形 中借助余弦定中借助余弦定 理列方程理列方程 解方程解方程 求出高求出高h(yuǎn) 【解】【解】畫出示意圖畫出示意圖 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 【規(guī)律小結(jié)】【規(guī)律小結(jié)】(1)依據(jù)題意畫圖依據(jù)題意畫圖 是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵本例中，是解決三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵本例中， 既有方位角既有方位角(它是在水平面上所成的它是在水平面上所成的

11、 角角)，又有俯角，又有俯角(它是鉛垂面上所成的它是鉛垂面上所成的 角角)，因而本例的圖形是一個立體圖形，因而本例的圖形是一個立體圖形， 因此在畫圖時，可畫立體圖形和平面因此在畫圖時，可畫立體圖形和平面 圖形兩個圖，以對比分析求解；圖形兩個圖，以對比分析求解； 課堂互動講練課堂互動講練 (2)由本例可知，方位角是相對于由本例可知，方位角是相對于 在某地而言的，因此在確定方位角時，在某地而言的，因此在確定方位角時， 必須先弄清是哪一點(diǎn)的方位角從這必須先弄清是哪一點(diǎn)的方位角從這 個意義上來說，方位角是一個動態(tài)角，個意義上來說，方位角是一個動態(tài)角， 在理解題意時，應(yīng)把它看活，否則在在理解題意時，應(yīng)把

12、它看活，否則在 理解題意時將可能產(chǎn)生偏差理解題意時將可能產(chǎn)生偏差 課堂互動講練課堂互動講練 測量角度問題也就是通過解三角測量角度問題也就是通過解三角 形求角問題，求角問題可以轉(zhuǎn)化為求形求角問題，求角問題可以轉(zhuǎn)化為求 該角的函數(shù)值；如果是用余弦定理求該角的函數(shù)值；如果是用余弦定理求 得該角的余弦，該角容易確定，如果得該角的余弦，該角容易確定，如果 用正弦定理求得該角的正弦，就需要用正弦定理求得該角的正弦，就需要 討論解的情況了討論解的情況了 課堂互動講練課堂互動講練 考點(diǎn)三考點(diǎn)三測量角度測量角度 課堂互動講練課堂互動講練 速度追截走私船此時，走私船正以速度追截走私船此時，走私船正以 10 n m

13、ile/h的速度從的速度從B處向北偏東處向北偏東30 方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最 快追上走私船？快追上走私船？ 課堂互動講練課堂互動講練 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】本例考查正弦、本例考查正弦、 余弦定理的建模應(yīng)用如圖所示，注余弦定理的建模應(yīng)用如圖所示，注 意到最快追上走私船且兩船所用時間意到最快追上走私船且兩船所用時間 相等，若在相等，若在D處相遇，則可先在處相遇，則可先在 ABC中求出中求出BC，再在，再在BCD中求中求 BCD. 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 【名師點(diǎn)評】【名師點(diǎn)評】首先應(yīng)明確方位首先應(yīng)明確

14、方位 角的含義，在解應(yīng)用題時，分析題意，角的含義，在解應(yīng)用題時，分析題意， 分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫 出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一 步，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成步，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成 可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題時也可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題時也 要注意體會正、余弦定理要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂聯(lián)袂”使使 用的優(yōu)點(diǎn)用的優(yōu)點(diǎn) 課堂互動講練課堂互動講練 1利用正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)利用正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn) 三角形中的邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即三角形中的邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即a 2RsinA，b2RsinB，c2Rsin

15、C. 2要熟記三角形的面積公式要熟記三角形的面積公式 課堂互動講練課堂互動講練 考點(diǎn)四考點(diǎn)四解三角形的綜合問題解三角形的綜合問題 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】(1)不能正確表示不能正確表示 b，c.(2)忽略了忽略了x的取值范圍的取值范圍(3)不能不能 利用三角函數(shù)的單調(diào)性利用三角函數(shù)的單調(diào)性 課堂互動講練課堂互動講練 (本題滿分本題滿分12分分)已知向量已知向量a(sin， cos)，b(6sincos，7sin 2cos)，設(shè)函數(shù)，設(shè)函數(shù)f()ab. (1)求函數(shù)求函數(shù)f()的最大值；的最大

16、值； 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 課堂互動講練課堂互動講練 1解三角形的一般步驟解三角形的一般步驟 (1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意分析題意，準(zhǔn)確理解題意 分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)分清已知與所求，尤其要理解應(yīng) 用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、 仰角、俯角、方位角等仰角、俯角、方位角等 (2)根據(jù)題意畫出示意圖根據(jù)題意畫出示意圖 規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié) (3)將需求解的問題歸結(jié)到一個或?qū)⑿枨蠼獾膯栴}歸結(jié)到一個或 幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定 理、余弦定理等有關(guān)知識正確求理、余弦定理等有關(guān)知識正確求 解演算過程中，要算法簡練，計(jì)算解演算過程中，要算法簡練，計(jì)算 正確，并作答正確，并作答 (4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際 意義，對解進(jìn)行取舍意義，對解進(jìn)行取舍 規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié) 2解斜三角形實(shí)際應(yīng)用舉例解斜三角形實(shí)際應(yīng)用舉例 (1)常見的幾種題型常見的幾種題型 測量距離問題、測量高度問題、測量距離問題、測量高度問題、