電動力學(xué)chapter5

1、l難點難點 矢勢的展開和電偶極輻射公式的導(dǎo)出矢勢的展開和電偶極輻射公式的導(dǎo)出 1 1、電磁場的矢勢和標(biāo)勢的引入、規(guī)范不變性、電磁場的矢勢和標(biāo)勢的引入、規(guī)范不變性 2 2、達朗貝爾方程，推遲勢及其物理意義、達朗貝爾方程，推遲勢及其物理意義 3 3、矢勢的展開和電偶極輻射、矢勢的展開和電偶極輻射 l 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射 變化的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。電磁場以變化的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。電磁場以 波的形式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。波的形式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。 本章主要研究給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射。本章

2、主要研究給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射。 一一. . 電磁輻射電磁輻射 與靜電場引入標(biāo)勢、靜磁場引入矢勢相似，為了便于求與靜電場引入標(biāo)勢、靜磁場引入矢勢相似，為了便于求 解普適的場方程，在變化情況下仍然可以引入勢的概念。解普適的場方程，在變化情況下仍然可以引入勢的概念。 但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、標(biāo)勢與但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、標(biāo)勢與 靜場情況有很大的不同。靜場情況有很大的不同。 二二. . 引入矢勢和標(biāo)勢求解電磁輻射問題引入矢勢和標(biāo)勢求解電磁輻射問題 變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場，電磁場又反過來影變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場，電磁場又反過來影 響電荷、電流

3、分布?？臻g電磁場的分布就是在這一對矛響電荷、電流分布?？臻g電磁場的分布就是在這一對矛 盾相互制約下形成的。變化的電荷電流分布一般具有邊盾相互制約下形成的。變化的電荷電流分布一般具有邊 界，因此在求解時要考慮它們的邊界條件和邊值關(guān)系。界，因此在求解時要考慮它們的邊界條件和邊值關(guān)系。 但是，一般情況下這種的邊界很復(fù)雜，使得電荷、電流但是，一般情況下這種的邊界很復(fù)雜，使得電荷、電流 分布無法確定，因此使得求解問題無法進行。在本章我分布無法確定，因此使得求解問題無法進行。在本章我 們僅討論電荷、電流分布為已知的輻射問題。們僅討論電荷、電流分布為已知的輻射問題。 三輻射問題的本質(zhì)也是邊值問題三輻射問題的

4、本質(zhì)也是邊值問題 本節(jié)從電磁場滿足的麥克斯韋方程出發(fā)引入矢勢、標(biāo)勢，本節(jié)從電磁場滿足的麥克斯韋方程出發(fā)引入矢勢、標(biāo)勢， 然后討論電磁輻射問題（僅討論均勻介質(zhì)）。然后討論電磁輻射問題（僅討論均勻介質(zhì)）。 由于由于 ，與靜磁場相同，可以引入矢量勢函數(shù)（矢，與靜磁場相同，可以引入矢量勢函數(shù)（矢 勢）勢） ，使得，使得 0 B A AB 一用勢描述電磁場一用勢描述電磁場 （1 1）矢勢的引入）矢勢的引入 注意：注意： 與靜磁場不同，引入的矢勢與時間有關(guān)；與靜磁場不同，引入的矢勢與時間有關(guān)； 意義與靜磁場情況相同，即：意義與靜磁場情況相同，即： LS SdBldA 在變化電磁場情況，在變化電磁場情況，

5、，不能象靜電場那樣，不能象靜電場那樣 直接引入標(biāo)量勢函數(shù)。直接引入標(biāo)量勢函數(shù)。 0 t B E （2 2）標(biāo)勢的引入）標(biāo)勢的引入AB t A A t E 0)( t A E t A E 引入標(biāo)量勢函數(shù)引入標(biāo)量勢函數(shù) t A E 與靜場相同，對于給定的電磁場其矢勢和標(biāo)勢不唯一，與靜場相同，對于給定的電磁場其矢勢和標(biāo)勢不唯一， 可以有不同的矢勢和標(biāo)勢描述同一個電磁場?？梢杂胁煌氖竸莺蜆?biāo)勢描述同一個電磁場。 1 1矢勢和標(biāo)勢的不唯一性矢勢和標(biāo)勢的不唯一性 規(guī)范：給定一組規(guī)范：給定一組 稱為一種規(guī)范；稱為一種規(guī)范；),(A 2 2規(guī)范變換規(guī)范變換 兩種規(guī)范間變換關(guān)系兩種規(guī)范間變換關(guān)系： AA t 規(guī)

6、范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換。規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換。 和和 對應(yīng)同一個電磁場對應(yīng)同一個電磁場),(A ) ,( A E t A A ttt A )()( AA t ：在規(guī)范變換下物理規(guī)律滿足的動力學(xué)方程保持在規(guī)范變換下物理規(guī)律滿足的動力學(xué)方程保持 不變的性質(zhì)。不變的性質(zhì)。 規(guī)范場規(guī)范場：具有規(guī)范不變性的場稱為規(guī)范場。具有規(guī)范不變性的場稱為規(guī)范場。 BAAA )( 當(dāng)勢作規(guī)范變換時，場量當(dāng)勢作規(guī)范變換時，場量E E、B B均保持不變，即場具有均保持不變，即場具有 “規(guī)范不變性規(guī)范不變性”。場量。場量E E、B B不變意味著電磁場中所有物不變意味著電磁

7、場中所有物 理量和物理規(guī)律都保持不變，也就是說，理量和物理規(guī)律都保持不變，也就是說，“客觀規(guī)律與勢客觀規(guī)律與勢 的特殊規(guī)范選擇無關(guān)的特殊規(guī)范選擇無關(guān)”。 經(jīng)典電動力學(xué)中，勢是作為描述電磁場的一種方法而引入經(jīng)典電動力學(xué)中，勢是作為描述電磁場的一種方法而引入 的，規(guī)范不變性是對這種描述方法所加的要求，而在量子的，規(guī)范不變性是對這種描述方法所加的要求，而在量子 力學(xué)中，規(guī)范不變性是一條重要的原理，因而勢的地位遠(yuǎn)力學(xué)中，規(guī)范不變性是一條重要的原理，因而勢的地位遠(yuǎn) 比在經(jīng)典電動力學(xué)中重要。比在經(jīng)典電動力學(xué)中重要。 不僅在電磁相互作用中，而且在其它基本相互作用中，規(guī)不僅在電磁相互作用中，而且在其它基本相互

8、作用中，規(guī) 范不變性是決定相互作用形式的一條基本原理。傳遞這些范不變性是決定相互作用形式的一條基本原理。傳遞這些 相互作用的場稱為相互作用的場稱為“規(guī)范場規(guī)范場”，電磁場是人們熟知的一種，電磁場是人們熟知的一種 較為簡單的規(guī)范場。較為簡單的規(guī)范場。 為了減少勢函數(shù)選取的任意性，對為了減少勢函數(shù)選取的任意性，對 的取值加以限制，的取值加以限制， 作為確定勢的輔助條件稱為規(guī)范的條件。在不同的問題中作為確定勢的輔助條件稱為規(guī)范的條件。在不同的問題中 可采用不同的輔助條件。可采用不同的輔助條件。 A 規(guī)范條件：規(guī)范條件： 0 A 3 3兩種規(guī)范兩種規(guī)范 在庫侖規(guī)范下，電場表達式中在庫侖規(guī)范下，電場表達

9、式中 為橫場，為橫場， 縱場?？v場。 因此，電場的橫場部分完全由因此，電場的橫場部分完全由 決定，而縱場部分則完全決定，而縱場部分則完全 由由 決定。在這種情況下，決定。在這種情況下， 由電荷的瞬時分布求解，與由電荷的瞬時分布求解，與 靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。 t A A 庫侖規(guī)范下庫侖規(guī)范下 滿足的方程滿足的方程：0 2 0AA 0 2 證明：證明： l 洛侖茲規(guī)范洛侖茲規(guī)范 規(guī)范條件：規(guī)范條件：0 1 2 tc A 后面將看到洛侖茲規(guī)范下，后面將看到洛侖茲規(guī)范下， 所滿足的方程具有高度的所滿足的方程具有高度的 對稱性，這種對稱性將滿足相對論的協(xié)變

10、性，有很重要的對稱性，這種對稱性將滿足相對論的協(xié)變性，有很重要的 理論意義。理論意義。 ,A 洛侖茲規(guī)范下洛侖茲規(guī)范下 滿足的方程滿足的方程： 0 1 2 2 2 2 tc 0) 1 () 1 ( 2 2 2 2 2 tctc A 0 1 2 2 2 2 tc 2 2 222 111 tctc A tc A 證明：證明： 2 2 0 222 2 0 11 () () A AAJ tctc A t 將將 ， 代入麥克斯韋方程代入麥克斯韋方程AB t A E 0 000 , EJ t E B 三達朗貝爾方程三達朗貝爾方程 1 1 真空中的真空中的勢函數(shù)滿足的勢函數(shù)滿足的方程方程 AAA 2 )()

11、(并利用：并利用： 得到勢函數(shù)滿足的方程得到勢函數(shù)滿足的方程 2 2 0 222 2 0 11A AJ tctc 可見可見 滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的 在在 時刻時刻 的值由電荷在時刻的值由電荷在時刻 的分布給出，其解為庫侖勢。的分布給出，其解為庫侖勢。 tt 2 2 庫侖規(guī)范下的勢函數(shù)方程庫侖規(guī)范下的勢函數(shù)方程 3 3洛侖茲規(guī)范下的洛侖茲規(guī)范下的勢函數(shù)方程勢函數(shù)方程 22 22 0 2222 0 11A AJ ctct 以上方程稱為達朗貝爾方程以上方程稱為達朗貝爾方程 洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它洛侖茲規(guī)范下的達

12、朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它 們求出的們求出的 及及 均為波動形式，反映了電磁均為波動形式，反映了電磁 場的波動性。場的波動性。 ),(A ),(BE l 反映了電磁場的波動性反映了電磁場的波動性 l 兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立 求出一個解，另一個解就迎刃而解。在下一節(jié)我們將看到，求出一個解，另一個解就迎刃而解。在下一節(jié)我們將看到， 洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需 要時間?；谶@些考慮，在研究輻射問題時，一般都是采用要時間。基于這些考慮，在研究輻射問題時，一般都是采用 洛侖

13、茲條件下的達朗貝爾方程。洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。 例：例：求單色平面電磁波的勢。求單色平面電磁波的勢。 1) 洛侖茲規(guī)范下：洛侖茲規(guī)范下： 單色平面電磁波在沒有電荷，電流分布的自由空間中傳播，單色平面電磁波在沒有電荷，電流分布的自由空間中傳播， 因而洛侖茲規(guī)范下的勢方程（達朗貝爾方程）變?yōu)辇R次波因而洛侖茲規(guī)范下的勢方程（達朗貝爾方程）變?yōu)辇R次波 動方程：動方程： 2 2 22 2 2 22 1 0 1 0 ct A A ct 其平面波其平面波解為：解為：（A0、 0為常數(shù)）為常數(shù)） 0 0 ( ) ( ) i k xt i k xt e e 則由洛侖茲規(guī)范則由洛侖茲規(guī)范： 2 22 11

14、0() 2 0 (a ) AikAi ctc c kA 222 2 2 2 22 2 2 ()() ( ()() k k c k A ke A iki A t cc ikk Ai Aik k AA c cc i E c k k Ak AikkA c c ikkA cBekB 電場和磁場為：電場和磁場為： ; (, ) () (b) AAAkk AikAikABAAik 即使對即使對A加上任意縱向部分加上任意縱向部分A ，也不會影響，也不會影響E、B的值的值 這說明對平面波，即使有洛倫茲條件后，這說明對平面波，即使有洛倫茲條件后，A和和 仍非仍非 唯一確定，還剩下一些規(guī)范變換自由度。對此規(guī)范自由

15、唯一確定，還剩下一些規(guī)范變換自由度。對此規(guī)范自由 度，我們可選擇最簡單的規(guī)范條件，即取度，我們可選擇最簡單的規(guī)范條件，即取A只有橫向部只有橫向部 分分A ， （垂直于波矢量（垂直于波矢量k ） BAikAikA AA EiAiA tt 此時有：此時有： 自由空間的平面波電磁場只依賴于矢勢自由空間的平面波電磁場只依賴于矢勢A的橫向分量的橫向分量A 2 00 c kAkAkA 則則 上式表明，實際上只要給定上式表明，實際上只要給定A ，就可確定單色平面電磁波。，就可確定單色平面電磁波。 2 2 2 222 0 11 0 A A ctct 若采用庫侖規(guī)范條件若采用庫侖規(guī)范條件 ，自由空間中勢方程為：

16、，自由空間中勢方程為：0A 當(dāng)全空間沒有電荷分布時，庫侖場的標(biāo)勢當(dāng)全空間沒有電荷分布時，庫侖場的標(biāo)勢 =0，則矢勢：，則矢勢： 2 2 22 1 0 A A ct 將將A代入庫侖規(guī)范，得到代入庫侖規(guī)范，得到 庫侖規(guī)范下庫侖規(guī)范下A的勢方程仍是齊次波動方程，其解的形式為：的勢方程仍是齊次波動方程，其解的形式為： () 0 i k xt AA e 0(d)Aik A BAikAikA AA EiAiA tt 上式說明，上式說明，A只取橫向分量只取橫向分量A = A 即可即可 以上說明，取庫侖規(guī)范后，以上說明，取庫侖規(guī)范后，A只有橫向部分只有橫向部分A = A ， 縱向部分縱向部分A 為零為零。 通

17、過上面的例子可看到：通過上面的例子可看到： n 庫侖規(guī)范的特點是：標(biāo)勢庫侖規(guī)范的特點是：標(biāo)勢 描述庫侖作用，可直接由電荷描述庫侖作用，可直接由電荷 分布分布 求出；矢勢求出；矢勢A只取橫向分量即可，恰好足夠描述輻射只取橫向分量即可，恰好足夠描述輻射 電磁波的兩種獨立偏振。場量只依賴于矢勢電磁波的兩種獨立偏振。場量只依賴于矢勢A就可算出。就可算出。 1) 洛侖茲規(guī)范的特點是：標(biāo)勢洛侖茲規(guī)范的特點是：標(biāo)勢 和矢勢和矢勢A構(gòu)成的勢方程具有對構(gòu)成的勢方程具有對 稱性。矢勢稱性。矢勢A的縱向的縱向部分和標(biāo)勢部分和標(biāo)勢 的選擇還可有任意性，即的選擇還可有任意性，即 存在多余的自由度。存在多余的自由度。 盡

18、管如此，盡管如此，洛侖茲規(guī)范洛侖茲規(guī)范在相對論中顯示出協(xié)變性，為在相對論中顯示出協(xié)變性，為 后面四維空間電磁場矢勢與標(biāo)勢的統(tǒng)一，以及理論探討和后面四維空間電磁場矢勢與標(biāo)勢的統(tǒng)一，以及理論探討和 實際計算都提供了很大方便。因此，本書以后都采用洛侖實際計算都提供了很大方便。因此，本書以后都采用洛侖 茲規(guī)范。茲規(guī)范。 0 2 2 2 2 1 tc 方程中方程中 為已知。若為已知。若 較復(fù)雜，直接得到一較復(fù)雜，直接得到一 般解比較困難。本節(jié)先從一個點電荷出發(fā)，然后由迭加原般解比較困難。本節(jié)先從一個點電荷出發(fā)，然后由迭加原 理得到解。理得到解。 ),( tx ),(tx 一一. . 標(biāo)勢和矢勢滿足的達朗

19、貝爾方程的解標(biāo)勢和矢勢滿足的達朗貝爾方程的解 標(biāo)勢的達朗貝爾方程標(biāo)勢的達朗貝爾方程 1. 1. 點電荷在空間激發(fā)的標(biāo)勢點電荷在空間激發(fā)的標(biāo)勢 )()(),(xtQtx )()( 11 0 2 2 2 2 xtQ tc ),(tr , 2 2 222 0 11( ) ( ) () Q tr r rrrct r tru tr ),( ),( 22 222 1 0 uu rct 這類似于一維波動方程，其解可以表示為：這類似于一維波動方程，其解可以表示為： )()(),( c r tg c r tftru 0r 2 2 22 11 ()0r rrrct 2 r r c r tf)( r c r tg)

20、( 代表向外傳播的球面波代表向外傳播的球面波 代表向內(nèi)收斂的球面波代表向內(nèi)收斂的球面波 r c r tg r c r tf tr )()( ),( )0( r 與點電荷電勢類比有：與點電荷電勢類比有： r c r tQ tr 0 4 )( ),( 0)( c r tg 若點電荷不在原點而在空間若點電荷不在原點而在空間 點：點： x r c r txQ tx 0 4 ),( ),( 可以證明上述解的形式滿足可以證明上述解的形式滿足式式 2. 2. 連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢 0 ( ,) ( , ) 4 V r x t c x tdV r 3. 3. 矢勢矢勢 的解

21、的解A Vd r c r txJ txA V ),( 4 ),( 0 由于由于 滿足的方程形式上與滿足的方程形式上與 滿足的方程一樣，類比滿足的方程一樣，類比 得到得到 的解：的解： A A 二二. . 證明證明 、 滿足洛侖茲條件滿足洛侖茲條件 A 2 1 0A tc 證：令證：令( , ,) r ttt t x x c A Vd r txJ V ),( 4 0 0 11 ( , )( , ) 4 J x tJ x tdV rr ( , )1( , )1( , ) ( , ) J x tJ x tJ x t J x ttrr tctct r r (, ) (, )(, ) 1(, ) (,

22、) tc tc J x t J x tJ x tt t J x t J x tr ct ),(),(),(txJtxJtxJ ct 22 0 111( , ) 4 V x tt dV trttcc 0 1( , ) 4 V x t dV rt t c A 2 1 0 1( , ) ( , )0 4 tc x t J x tdV rt 0 電荷守恒定律電荷守恒定律 0 1 ( , ) 4 tc J x tdV r A 0 1 ( , ) 4tc J x tdV r 11 ( , )( , )J x tJ x tdV rr ( , )( , ) 0 S J x tJ x t dVdS rr 1 1

23、推遲勢推遲勢 勢函數(shù)在空間勢函數(shù)在空間 點，點， 時刻的值依賴于時刻的值依賴于 時刻的電荷、時刻的電荷、 電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了 。具有。具有 這樣特性的勢稱為推遲勢。這樣特性的勢稱為推遲勢。 x t c r t c r 三推遲勢及其物理意義三推遲勢及其物理意義 空間點空間點 ， 時刻的電磁場由時刻的電磁場由 時刻的電荷、電流時刻的電荷、電流 分布決定。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的物理作用在經(jīng)歷分布決定。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的物理作用在經(jīng)歷 了時間了時間 后才到達觀察點，即場的傳遞需要時間，而相后才到達觀察點，即場的傳遞需要時間，而相 互

24、作用的傳播速度在真空中為互作用的傳播速度在真空中為C C。 c r x t c r t 2 2電磁相互作用需要時間電磁相互作用需要時間 l 本節(jié)僅討論電荷分布以一定頻率做周期運動，且電荷本節(jié)僅討論電荷分布以一定頻率做周期運動，且電荷 體系線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電荷到觀測點的距離的情況。體系線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電荷到觀測點的距離的情況。 l 電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀上，電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀上， 主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上， 一個做變速運動的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。一個做變速運動的帶電粒子即可產(chǎn)生輻

25、射。 計算輻射場的一般計算公式計算輻射場的一般計算公式 r tt c 若電流是一定頻率若電流是一定頻率 的交變電流的交變電流 0 0 (,) ( , ) 4 V r Jx t c A x td r V () 000 (,)()() iti krt JxtJxeJxe () 00 00 () (, ) 4 () () 4 i krt V ikr itit V Jxe A x td r Jxe deA x e r V V 當(dāng)電流分布給定時，計算當(dāng)電流分布給定時，計算 輻射場的基礎(chǔ)是推遲勢：輻射場的基礎(chǔ)是推遲勢： 0JJJi tt 上式表示一種時諧波。與穩(wěn)恒電流磁場相比，上式表示一種時諧波。與穩(wěn)恒電

26、流磁場相比，A(x)附加了一附加了一 個因子個因子e ikr ，稱為推遲相因子，它表示電磁波傳到場點時有相，稱為推遲相因子，它表示電磁波傳到場點時有相 位滯后位滯后kr。 2 2 1 0AcA ttc 由洛侖茲條件，可求出標(biāo)勢由洛侖茲條件，可求出標(biāo)勢 ： 由此可見，由矢勢由此可見，由矢勢A可完全確定電磁場?？赏耆_定電磁場。 或由電荷守恒定律，對一定頻率的交變電流情形有：或由電荷守恒定律，對一定頻率的交變電流情形有： 00 () (, )(),() 4 ikr it V Jxe A x tA x eA xd r V 這時電磁場也是時諧電磁場：這時電磁場也是時諧電磁場： (, )() (, )(

27、) it it A x tA x e x tx e () ( (, ) ()() (, ) ()()() )() ()() iti it itit i t itt it i t B x t A xeB x e E x t x AA x e A x eA xe tt x e iA xeE x ix e e A BA A E t 矢勢的展開式矢勢的展開式 展開需注意三個線度：展開需注意三個線度： 在電流、電荷分布區(qū)域以外，在電流、電荷分布區(qū)域以外， =J =0 n 電荷分布區(qū)域的線度電荷分布區(qū)域的線度l ，它決定積分區(qū)域內(nèi)，它決定積分區(qū)域內(nèi) 的大小的大小 n 波長波長 =2 /k 的線度的線度 n

28、 源區(qū)到場點的距離源區(qū)到場點的距離 r | |x 000022 2 ()() 1 itit E E x eiE x eiE tt EEi BJE tctc icic EBB k n 感應(yīng)區(qū)（過渡區(qū)）：感應(yīng)區(qū)（過渡區(qū)）：r ，電磁場的行為很復(fù)雜，一般不詳電磁場的行為很復(fù)雜，一般不詳 細(xì)研究這一區(qū)域。細(xì)研究這一區(qū)域。 本節(jié)研究小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射。本節(jié)研究小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射。 所謂小區(qū)域是指：所謂小區(qū)域是指： l ，l ，電磁波脫離了場源后的傳播區(qū)域，電磁波脫離了場源后的傳播區(qū)域， 通常接收電磁波的地方離發(fā)射系統(tǒng)很遠(yuǎn)，這類問題屬于遠(yuǎn)場，通常接收電磁波的地方離發(fā)射系統(tǒng)很遠(yuǎn)，這類問題屬于

29、遠(yuǎn)場， 我們主要討論這一區(qū)域。我們主要討論這一區(qū)域。 這一區(qū)域內(nèi)變化電磁場與靜場性質(zhì)類似。 n 近場區(qū)（似穩(wěn)區(qū)）：近場區(qū)（似穩(wěn)區(qū)）：r 2 ,1 ikR Re k r r n 遠(yuǎn)場矢勢的一般展開式遠(yuǎn)場矢勢的一般展開式 選坐標(biāo)原點在電流分布區(qū)域內(nèi)，選坐標(biāo)原點在電流分布區(qū)域內(nèi)， 則則 與與l 同數(shù)量級。由圖可知：同數(shù)量級。由圖可知：| | x |, , | R x Rxerxx x 2 22 22 1 22 2 |2 2 2 1 R R rr rxxx x RxRex xex rR RR exp()exp()exp()exp() RR ikrik RexikRikex 1 1 22 2 2 22

30、111 RRR R xexexex rRRR RRRR Rex 因為因為 ，所以分母中的，所以分母中的 可以舍去，但是可以舍去，但是 要注意，相因子中的要注意，相因子中的 不能輕易舍去。不能輕易舍去。 R xe R xe R eRx 原因：原因： 2 RR R eexx kx R e 2 () exp()1 1!2! RR R ikexikex ikex n電偶極輻射電偶極輻射 近似公式可以僅取積分中的第一項，有：近似公式可以僅取積分中的第一項，有： VdxJ R e xA ikR )( 4 )( 0 電偶極輻射公式電偶極輻射公式 () 00 0 () ( )() 44 ()(1) 4 R R ik RxikR ikx ikR e e R R J x ee A xdVJ x edV RxR e J xikxdV R e e 展開式各項對應(yīng)于各級電磁多極輻射。展開式各項對應(yīng)于各級電磁多極輻射。 0 ( , ) 4 ikR e A x tp R 3 1111 ()() ikR ikRikRi