第3章自動控制原理(胡壽松)第五版

1、 分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模，分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模， 一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就可以采用幾種不同的方法一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就可以采用幾種不同的方法 去分析系統(tǒng)的性能。去分析系統(tǒng)的性能。 線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)： 時域分析法，時域分析法，根軌跡法，根軌跡法，頻率法頻率法 非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)： 多輸入多輸出系統(tǒng)：多輸入多輸出系統(tǒng)： 描述函數(shù)法描述函數(shù)法， 相平面法相平面法 采樣系統(tǒng)：采樣系統(tǒng)：Z Z 變換法變換法 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法 s 1 1(t)LR(s)1(t) 1A 0t0 0tA r(t) 1. 記記為為 稱稱單單位位階階躍躍函函數(shù)數(shù)，令令

2、 階階躍躍函函數(shù)數(shù)（位位置置函函數(shù)數(shù)） 動態(tài)性能，靜態(tài)性能。動態(tài)性能，靜態(tài)性能。 動態(tài)性能動態(tài)性能需要通過其對輸入信號的響應(yīng)過程來評價。因此在分需要通過其對輸入信號的響應(yīng)過程來評價。因此在分 析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，需要一個對系統(tǒng)的性能進行比較的基準(zhǔn)析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，需要一個對系統(tǒng)的性能進行比較的基準(zhǔn)- 典型輸入信號典型輸入信號。條件：。條件：1 能反映實際輸入能反映實際輸入；2 在形式上盡可能簡在形式上盡可能簡 單，便于分析單，便于分析；3 使系統(tǒng)運行在最不利的工作狀態(tài)使系統(tǒng)運行在最不利的工作狀態(tài)。 t f(t) 0 1 00 0 )( t tAt tr 2 1 )( 1 s ttL t f(

3、t) 0 00 0 2 1 )( 2 t tAt tr )( 1 2 1 2 tt 3 2 1 1 2 1 )( s ttLsR t f(t) 0 1)()( tLsR 00 0 t t t 并并有有 1 dtt 及及 t (t) 0 tttttt1 2 1 11 2 求導(dǎo)求導(dǎo) 積分積分 求導(dǎo)求導(dǎo) 積分積分 求導(dǎo)求導(dǎo) 積分積分 tAtr sin 22 sin)( s A tALsR % )( )()( %100 c ctc M p p )(limtee t ss 凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。 )()( )( trtc dt tdc

4、 T 1 1 )( )( )( TssR sC s R C r(t) c(t) 1 Ts + R(s)C(s) 1 Ts+1 R(s)C(s) t c(t) T 2T 3T 4T 當(dāng)輸入信號當(dāng)輸入信號r(t)=1(t)時，系統(tǒng)的響應(yīng)時，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。稱作其單位階躍響應(yīng)。 01 t ec(t) T t T s ssTs sRssC 1 111 1 1 )()()( 響應(yīng)曲線在響應(yīng)曲線在0， ） 的時間區(qū)間中始終不會的時間區(qū)間中始終不會 超過其穩(wěn)態(tài)值，把這樣超過其穩(wěn)態(tài)值，把這樣 的響應(yīng)稱為的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)非周期響應(yīng)。 無振蕩無振蕩 0.632 0.950.9820.86

5、5 1.0 定義：定義：c(ts) 1 = ( 取取5%或或2%) T ts e %)2(4 %)5(3 Tt Tt s s 可以用時間常數(shù)可以用時間常數(shù)T去度量去度量 系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。 T 2T 3T 4T t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 T反映了系統(tǒng)的反映了系統(tǒng)的 慣性。慣性。 T越小慣性越小，越小慣性越小， 響應(yīng)快！響應(yīng)快！ T越大，慣性越越大，慣性越 大，響應(yīng)慢。大，響應(yīng)慢。 01 t ec(t) T t r(t) = t T s T s T ssTs sC 1 11 1 1 22 )( )0( )( / tTeTttc Tt t

6、 c(t) 0 r(t)= t c(t) = t T + Te t/T 是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時間上是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時間上 遲后了一個時間常數(shù)遲后了一個時間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。的斜坡函數(shù)。 T T 穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤 項+常值） 暫態(tài)分量 Ttc )( 表明過渡過程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位表明過渡過程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位 置上仍有誤差，一般叫做置上仍有誤差，一般叫做。 在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而減小，在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而減小， 最終趨于最終趨于0 0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，

7、響應(yīng)曲線的斜率也，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也 最大；最大； 在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而增大， 最終趨于常值最終趨于常值T T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等 于于0 0。 0 t c(t) 1.0 t c(t) 0 r(t)= t T T R(s)=1 1 1 )( Ts sC 它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這 時輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)時輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng) 函數(shù)，以函數(shù)，以h(t)標(biāo)志。標(biāo)志。 T t e T tCt

8、h 1 )()( 脈沖 )()(tC dt d tC 斜坡階躍 )()(tC dt d tC 階躍脈沖 )()(tr dt d tr 斜坡階躍 )()(tr dt d tr 階躍脈沖 對應(yīng)對應(yīng) T 2T 3T t h(t) 0 1/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T )()()(sRsGsC B )()()( )( )()( 1 ssCssRsG dt tdr LsGsC BB dt tdc tc )( )( 1 2. )( 1)( )()()()( 2 sC ss sR sGdttrLsGsC BB dttyty)()( 2 1. 。 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 標(biāo)準(zhǔn)

9、化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為： 閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 22 2 2 2 2 )2( 1 )2( )( nn n n n n n ss ss ss s 二階系統(tǒng)有兩個結(jié)構(gòu)參數(shù)二階系統(tǒng)有兩個結(jié)構(gòu)參數(shù) ( (阻尼比阻尼比) )和和 n n( (無阻尼振蕩頻無阻尼振蕩頻 率率) ) 。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個參數(shù)表示的。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個參數(shù)表示的。 s(s+2 n) R(s)C(s) n2 + 微分方程式為：微分方程式為： )()( )()( 2 2 trtc dt tdc RC dt tcd LC 22 2 22 212 1 )( )(

10、)( nn n ssTssTsR sC s 零零初初條條件件 LCT L CR 2 T n /1 例如例如: RLC電路電路 R C r(t)c(t) L j 0 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即 s 2 + 2 n s + n2 = 0 其兩個特征根為：其兩個特征根為：1 2 2, 1 nn s 上述二階系統(tǒng)的特征根表達式中，隨著阻尼比上述二階系統(tǒng)的特征根表達式中，隨著阻尼比 的不同取值，的不同取值， 特征根有不同類型的值，或者說在特征根有不同類型的值，或者說在s s平面上有平面上有 不同的分布規(guī)律。分述如下：不同的分布規(guī)律。分述如下： s1 s2 1 時，特征根為一對不

11、等值時，特征根為一對不等值 的負實根，位于的負實根，位于s 平面的負實平面的負實 軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為 過阻尼過阻尼的。的。 (3) 0 1 時，特征根為一對具有負實部的共軛復(fù)根，位于時，特征根為一對具有負實部的共軛復(fù)根，位于s平面平面 的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼欠阻尼的。的。 (2) =1時，特征根為一對等值的負實根，位于時，特征根為一對等值的負實根，位于s 平面的負實軸上，平面的負實軸上， 使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼臨界阻尼的。的。 j 0 s1= s2 = n n s1 s2 j d n

12、 j 0 1 2 2, 1 nn s j 0 (4) (4) =0 =0 時，特征根為一對幅值相等的虛根，位于時，特征根為一對幅值相等的虛根，位于s s平面的虛軸上，平面的虛軸上， 使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無阻尼的使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無阻尼的等幅振蕩等幅振蕩過程。過程。 j n j 0 (5) 1 = 1 0 1 = 0 22 2 2 )( nn n ss s 由式由式 ，其輸出的拉氏變換為其輸出的拉氏變換為 sss sRssC nn n 1 2 )()()( 22 2 )( )( 21 2 sssss sC n 式中式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個閉環(huán)特征根。是系統(tǒng)的兩個閉環(huán)特征根。 對上式兩端取拉氏

13、反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達對上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達 式。式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時，二階系統(tǒng)的特征根在阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時，二階系統(tǒng)的特征根在s s 平面上平面上 的位置不同，二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運動規(guī)律的位置不同，二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)對應(yīng)有不同的運動規(guī)律。下面分。下面分 別加以討論。別加以討論。 （1 1）欠阻尼情況）欠阻尼情況 0 0變化率為正，變化率為正，c(t) 單調(diào)上升；單調(diào)上升； t ，變化率趨于，變化率趨于0。整個過程不出現(xiàn)振蕩，無超調(diào)，整個過程不出現(xiàn)振蕩，無超調(diào)， 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差0。 )0( )(11)( ttetc

14、 n t n ss sC n n 1 2 2 )( )( t c(t) 0 1 nn n sss 11 2 )( （4 4）過阻尼情況）過阻尼情況 1 引入等效時間常數(shù)1 2 2, 1 nn s 響應(yīng)特性包含響應(yīng)特性包含， 且它們的代數(shù)和不會超過且它們的代數(shù)和不會超過1，因而響應(yīng)是，因而響應(yīng)是非振蕩非振蕩的。的。調(diào)節(jié)速度慢調(diào)節(jié)速度慢。 （不同于一階系統(tǒng)不同于一階系統(tǒng)）【單調(diào)函數(shù)滿足疊加原理單調(diào)函數(shù)滿足疊加原理】 1/1/ 1)( 21 / 12 / 21 TT e TT e tc TtTt )1( 1 2 1 n T )1( 1 2 2 n T sTsTs sC n 1 11 21 2 )/)

15、(/( )( )/)(/()/)(/( 221112 11 1 11 11 TsTTTsTTs 0 t c(t) 1.0 ts （5 5）不穩(wěn)定系統(tǒng)）不穩(wěn)定系統(tǒng) 0 穩(wěn)定系統(tǒng)定義：有界輸入有界輸出（穩(wěn)定系統(tǒng)定義：有界輸入有界輸出（BIBO） 2021-7-1 總結(jié)：總結(jié)： 1時，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢；時，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢； 0時，無過渡過程，直接進入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩；時，無過渡過程，直接進入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩； 1.01時，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時間短，合時，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時間短，合 理理選擇可使既快又平穩(wěn)，工程上把選擇可使

16、既快又平穩(wěn)，工程上把0.707的二階系統(tǒng)的二階系統(tǒng) 稱為稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)二階最優(yōu)系統(tǒng)； Mp 1. 1.欠阻尼欠阻尼 用用tr , tp , Mp , ts 四個性能指標(biāo)來衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。四個性能指標(biāo)來衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。 c(t) t 0 1 0.5 0.05 或或 0.02 tr tp tstd d n r t 2 1 arccos (1) 上升時間上升時間tr ：從零上升至：從零上升至第一次第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時到達穩(wěn)態(tài)值所需的時 間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr 越小，響應(yīng)越快。越小，響應(yīng)越快。 (2) 峰值時間峰值時間tp：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達第

17、一個峰值所需：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，到達第一個峰值所需 的時間。的時間。 1)sin( 1 1 1)( 2 r n ttd t r tetc 0)sin( r ttdt 0 )( p tt dt tdc 1)(k ktr d 2 sin+- 1-sin+0 =cos sin0 d pd p d pd p tt ttk ， d n p t 2 1 0)cos( 1 )sin( 1 22 pd t d pd t n tete pnpn (3) ：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比 表示。表示。 %100 )( )()( c ctc M p p %100)sin(

18、1 1 2 pd t te pn %100 2 1 eMt pp 代代入入 Mp只是只是 的函數(shù)，其大小與自然頻率的函數(shù)，其大小與自然頻率n無關(guān)無關(guān)。 Mp (4) 調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts ：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過5% 所需要的時間。所需要的時間。 c(t) c( ) c( ) ( t ts ) )( )sin( 1 1 2 sd t ttte n 1)sin( t d 工程上，當(dāng)工程上，當(dāng)0.1 0.9 時，通常用下列二式近似計時，通常用下列二式近似計 算調(diào)節(jié)時間。算調(diào)節(jié)時間。 n s t 4 n s t 3 ) ( 1 1 2 s t tte n

19、= 5% c() = 2% c() 總結(jié)：總結(jié)： (1) n 一定，使一定，使tr tp 使使 ts ( 一定范圍一定范圍 ) 必須必須 必須必須 必須 (2) 一定，使一定，使 tr tp ts n (3) Mp 只由只由 決定決定 必有必有 n s t 4 n s t 3 d n p t 2 1 %100 2 1 eM p d n r t 2 1 arccos 例例3-1單位負反饋隨動系統(tǒng)如圖所示單位負反饋隨動系統(tǒng)如圖所示 解解: (1) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與典型二階系統(tǒng)比較可得：與典型二階系統(tǒng)比較可得： K/T= n2 1/T = 2n TKTss TK KsTs

20、 K s / / )( 22 s(Ts+1) R(s)C(s)K + (2) K = 16，T = 0.25時時 )/(8/sradTK n 25. 0 2 1 KT )(24. 0 25. 018 25. 0arccos 2 str )(41. 0 25. 018 2 st p )(5 . 1 25. 08 33 st n s %47%100 2 25. 01 25. 0 eM p ( =0.05 ) K/T= n2 1/T = 2n 例例3-2已知已知單位單位負反饋系統(tǒng)的負反饋系統(tǒng)的 單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示， 試求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。試求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 解

21、：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時 間。間。 Mp = 30% tp = 0.1 3 . 0%100 2 1 e 1 . 0 1 2 n 求解上述二式，得到求解上述二式，得到 = 0.357， n= 33.65(rad/s)。 于是二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為于是二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )24( 31.11 )65.33357. 02( 65.33 )2( )( 22 ssssss sG n n 1 c(t) t 0 1.3 0.1 G(s)，H(s) 一般是復(fù)變量一般是復(fù)變量s 的多項式之比，故上式可記為的多項式之比，故上式

22、可記為 控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示?？刂葡到y(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。 )()(1 )( )( )( )( sHsG sG sR sC s 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s) R(s) C(s) + H(s) 式中式中0 k 0 ( i, j =1,2, , n) 即，即，。 如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿 足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因為上式僅是必要條件。下面足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因為上式僅是必要條件。下面 給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。 1. 1. 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 勞斯

23、表中第一列元素符號改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位 于右半于右半s平面上根的個數(shù)。平面上根的個數(shù)。 表中：表中：1 1）最左一列元素按）最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識作的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識作 用，不參與計算。用，不參與計算。 2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3 3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計算得到。）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計算得到。 aa2 a4 aa3 a5 bb2 b3 an sn sn1 sn2 s1 s0 1 3

24、021 1 a aaaa b 1 5041 2 a aaaa b 0 1 2 2 1 10 nn nnn asasasasasD)( 2. 2.勞斯判據(jù)的應(yīng)用勞斯判據(jù)的應(yīng)用 例例3-3 設(shè)有下列特征方程設(shè)有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，試用勞試用勞 斯判據(jù)判別該特征方程的正實部根的數(shù)目。斯判據(jù)判別該特征方程的正實部根的數(shù)目。 解解：勞斯表勞斯表 第一列元素第一列元素 符號改變了符號改變了2次，次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s 右半平右半平 面有面有2個根。個根。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 5 2 4 6 15 5 例例3-4 系

25、統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 D(s) = s3 3s + 2 = 0 試用勞斯判據(jù)確定正實數(shù)根的個數(shù)。試用勞斯判據(jù)確定正實數(shù)根的個數(shù)。 解：系統(tǒng)的勞斯表為解：系統(tǒng)的勞斯表為 ：勞斯表中某勞斯表中某 行的第一列元素為零，而其余行的第一列元素為零，而其余 各項不為零，或不全為零。對各項不為零，或不全為零。對 此情況，可作如下處理：此情況，可作如下處理： s3 s2 s1 s0 1 3 0 2 用一個很小的正數(shù)用一個很小的正數(shù) 來代替第一列為零的項，從而使勞來代替第一列為零的項，從而使勞 斯表繼續(xù)下去。斯表繼續(xù)下去。 可用因子可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可為任意正

26、數(shù)，可為任意正數(shù)， 再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。 32 1 b 0+時，時，b1 0，勞斯表，勞斯表 中第一列元素符號改變了兩中第一列元素符號改變了兩 次次 系統(tǒng)有兩個正根，不穩(wěn)定。系統(tǒng)有兩個正根，不穩(wěn)定。 用（用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為：）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0 s3 s2 s1 s0 1 3 0() 2 2 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 6 例例3-5 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)

27、特征方程為 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解:該系統(tǒng)的勞斯表如下該系統(tǒng)的勞斯表如下 勞斯表中某行元素全為零。此時，特征勞斯表中某行元素全為零。此時，特征 方程中存在關(guān)于原點對稱的根（實根，共軛虛根或共軛復(fù)方程中存在關(guān)于原點對稱的根（實根，共軛虛根或共軛復(fù) 數(shù)根）。對此情況，可作如下處理：數(shù)根）。對此情況，可作如下處理： s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 1 1 2 2 0 0 由于勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次，由于勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次，系統(tǒng)有兩個正系統(tǒng)有兩個正 根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通

28、過解輔助方程可求出關(guān)于原點對稱的根：根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過解輔助方程可求出關(guān)于原點對稱的根： s1=1 和和 s2= 1 。 對本例題，可用長除法求出另二個根，分別為對本例題，可用長除法求出另二個根，分別為 s3=1 和和 s4= 2 。 用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程，對輔助用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程，對輔助 方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 1 1 2 2 4 2 F(s) = 2s2+ 2 F (s)= 4s 例例3-6 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時已

29、知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時K 的取值范圍。的取值范圍。 解：系統(tǒng)特征方程式解：系統(tǒng)特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第 一列元素均大于零。一列元素均大于零。 0 K 6 s3 s2 s1 s0 1 2 3 K (6 K)/3 K s(s+1)(s+2) R(s) C(s) K + 例例3-7 檢驗多項式檢驗多項式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在是否有根在s 右半平面，并檢驗有幾個根在垂直線右半平面，并檢驗有幾個根在垂直線 s = 1 的右邊？的右邊？ 解：解：1) 勞斯表中第一列元素均勞

30、斯表中第一列元素均 為正為正 系統(tǒng)在系統(tǒng)在s 右半平面沒有右半平面沒有 根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2) 令令 s1 = s 1 坐標(biāo)平移，坐標(biāo)平移， 得新特征方程為得新特征方程為 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0 s3 s2 s1 s0 2 13 10 4 12.2 4 -1 sS1 勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號 改變了一次，故系統(tǒng)在改變了一次，故系統(tǒng)在s1 右半平面有一個根。因此，系右半平面有一個根。因此，系 統(tǒng)在垂直線統(tǒng)在垂直線 s = 1的右邊有一個根。的右邊有一個根。 s13 s12 s11 s10 2

31、 1 4 1 0.5 1 3.6 1. 1. 誤差的定義誤差的定義 誤差的定義有兩種：誤差的定義有兩種： 從系統(tǒng)輸入端定義，從系統(tǒng)輸入端定義， 即即 E(s)=R(s) B(s) 從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為 Eo(s)=R(s) C(s) 2.2.兩種定義的關(guān)系兩種定義的關(guān)系 G(s) R(s) C(s) + H(s) E(s) B(s) ?)( s E 誤差傳遞函數(shù) 由圖可知，由圖可知， 。因而，。因而， E(s)是從輸出端定義的非是從輸出端定義的非 單位控制系統(tǒng)的誤差。單位控制系統(tǒng)的誤差。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s) )()(

32、 )( 1 )()()(sCsR sH sCsRsE G(s)H(s) R(s) C(s) 1 H(s) E (s)R(s) + )( )( 1 )()()( )( 1 sE sH sCsHsR sH 3.3.穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess 定義：定義： )(lim)( lim s ssEtee t ss 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為： Ts sG 1 )( Ts s TssG s sR sE e /1/11 1 )(1 1 )( )( )( 當(dāng)當(dāng) r(t) = t2/2 R(s) =1/s3 解法一：解法一： 3 1 /1 )( sTs s sE sTs ssEe

33、ss ss 1 /1 1 lim)(lim 00 試求當(dāng)輸入信號分別為試求當(dāng)輸入信號分別為r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 時時，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：解： 解法二解法二： Ts T s T s T sTs s sE /1 1 /1 )( 22 23 e(t) = T(tT) + T2 e t/T )(lim)(teee ss t ssss (2)當(dāng)當(dāng) r(t) = 1(t) R(s) =1/s sTs s sR sG sE 1 /1 )( )(1 1 )( 0)(lim 0 ssEe s ss (3)當(dāng)

34、當(dāng) r(t) = t R(s) =1/s2 2 1 /1 )( sTs s sE T sTs s sEse ss ss 1 /1 lim)(lim 00 22 1 )( ss s sE T 222222 1 22 1 1 1 s c s s T T sT T T t T T t T T e T T te T t sin 1 cos 11 )( 22 22 2222 )sin(cos 1 )( 22 tTt T T tess 0)( ss e)sin( 1 22 t T T T tg 1 1 (4)當(dāng)當(dāng)r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2) 不失一般性，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可

35、寫為：不失一般性，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為： = 0 稱為稱為 0 型系統(tǒng)；型系統(tǒng)； = 1 稱為稱為型系統(tǒng)；型系統(tǒng)； = 2 稱為稱為型系統(tǒng)。等等型系統(tǒng)。等等 在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為： )( )(1 1 )()()(sR sG sRssE k e )( )1( )1( )( )( )()()( 0 1 1 sG s K sT s s K sN sM sHsGsG vvn i i m j j v k )()(lim1)()(1 1 lim 0 0 sHsG A s A sHsG se s s ss 令令)()(lim 0 sHsGK s p

36、p ss K A e 1 0 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Kp = K ess = A/ (1+ K) 型及型及型以上系統(tǒng)：型以上系統(tǒng)： Kp = ess = 0 )( )1( )1( )( )( )()()( 0 1 1 sG s K sT s s K sN sM sHsGsG vvn i i m j j v k )()(tAltr )()(lim)()(1 lim 0 2 0 sHssG B s B sHsG s e s s ss 令令 1 00 lim)()(lim v ss v s K sHssGK v ss K B e 0 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：Kv = 0 ess = ，0型系統(tǒng)無法跟蹤斜坡輸入型

37、系統(tǒng)無法跟蹤斜坡輸入 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：Kv = K ess = B/ K， 有差跟蹤有差跟蹤 型及型及型以上系統(tǒng)：型以上系統(tǒng)： Kv = ess = 0， 無差跟蹤無差跟蹤 )( )1( )1( )( )( )()()( 0 1 1 sG s K sT s s K sN sM sHsGsG vvn i i m j j v k )()(tBtltr )()(lim)()(1 lim 2 0 3 0 sHsGs C s C sHsG s e s s ss 令令 2 0 2 0 lim)()(lim v ss a s K sHsGsK a ss K C e 0 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Ka = 0 ess

38、 = 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Ka = 0 ess = 型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： Ka = K ess = C/ K 型及型及型以上系統(tǒng)：型以上系統(tǒng)：Ka = ess = 0 )( )1( )1( )( )( )()()( 0 1 1 sG s K sT s s K sN sM sHsGsG vvn i i m j j v k 2/ )()( 2 tlCttr r(t)=B t 系統(tǒng)系統(tǒng) 型別型別 ess=B/Kv 0 02 B/K 1 例例3-9 已知兩個系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入已知兩個系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入 r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，試分別求出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。試分別求出兩個系統(tǒng)

39、的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：圖（解：圖（a），型系統(tǒng)型系統(tǒng) Kp = ， Kv =10/4 ，Ka = 0 avp ss KKK e 66 1 4 1 圖（圖（b），型系統(tǒng)型系統(tǒng) Kp = ， Kv = ，Ka = 10/4 4 . 2 4/10 66 1 4 2 ss e 10 s(s+4) R(s)C(s)E(s) （a） + 10(s+1) s2(s+4) R(s) C(s) E(s) （b） + 所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號作用外，還經(jīng)常處于各種擾所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號作用外，還經(jīng)常處于各種擾 動作用之下。因此，系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系動作用之下。因此，系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系 統(tǒng)的抗干擾能力。統(tǒng)的抗干擾能力。 G1(s) R(s)