高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 1.4 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介練習(xí) 4-4

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介課后篇鞏固探究a組1.已知點(diǎn)a的球坐標(biāo)為3,2,2，則點(diǎn)a的直角坐標(biāo)為（）a.（3，0，0）b。（0,3，0）c.(0，0，3)d。(3，3，0）解析設(shè)點(diǎn)a的直角坐標(biāo)為（x，y，z)，則x=3sin2cos2=0，y=3sin2sin2=3，z=2cos2=0，所以直角坐標(biāo)為(0,3，0）.答案b2。若點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為（-1,3，3）,則它的柱坐標(biāo)是()a。2,3,3b。2,23,3c。2,43,3d。2,53,3解析設(shè)點(diǎn)m的柱坐標(biāo)為（，z)，則=(-1)2+(-3)2=2,=43，z=3，所以點(diǎn)m的柱坐標(biāo)為2,43,3,故選c。答案c3.在球

2、坐標(biāo)系中，方程r=3表示空間中的()a。以x軸為中心軸,底面半徑為3的圓柱面b.以y軸為中心軸,底面半徑為3的圓柱面c。以z軸為中心軸，底面半徑為3的圓柱面d。以原點(diǎn)為球心,半徑為3的球面答案d4.導(dǎo)學(xué)號(hào)73574021已知點(diǎn)m的球坐標(biāo)為4,4,34，則點(diǎn)m到oz軸的距離為（）a。22b.2c.2d.4解析設(shè)點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為（x，y，z），因?yàn)?r,，）=4,4,34,所以x=rsincos=4sin4cos34=-2,y=rsinsin=4sin4sin34=2,z=rcos=4cos4=22,即m（2,2，22).故點(diǎn)m到oz軸的距離為(-2)2+22=22。答案a5。在空間直角坐標(biāo)系ox

3、yz中,下列柱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面yoz內(nèi)的是（)a.1,2,2b。2,3,0c.3,4,6d.3,6,2解析由點(diǎn)p的柱坐標(biāo)(,z)知,當(dāng)=2時(shí)，點(diǎn)p在平面yoz內(nèi),故選a.答案a6.若點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為(2,6，3),則它的柱坐標(biāo)是。答案22,3,37.已知在柱坐標(biāo)系oxyz中，點(diǎn)m的柱坐標(biāo)為2,3,5,則|om|=.解析設(shè)點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為（x,y，z)，且x2+y2=2=4，故om|=x2+y2+z2=4+5=3.答案38。若點(diǎn)m的球坐標(biāo)為2,3,54,o為原點(diǎn),則點(diǎn)m到原點(diǎn)的距離為,om與平面xoy所成的角為.答案269.建立適當(dāng)?shù)那蜃鴺?biāo)系,求棱長為1的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)的球坐標(biāo).解以正方體的

4、頂點(diǎn)o為極點(diǎn)，以此頂點(diǎn)處的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸,建立如圖所示的球坐標(biāo)系。則有o(0,0，0),a1,2,0，b2,2,4,c1,2,2,d（1,0，0），e2,4,0,f3,40,2,且cos=33,g2,4,2.10.（1)將下列各點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：p5,6,3,q4,23,-3.(2)將下列各點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：a4,2,53，b8,34,，c0,6,5。解（1）設(shè)點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，則x1=cos =5cos6=532=152,y1=sin =5sin6=512=52,z1=3，故點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為152,52,3.設(shè)點(diǎn)q的直角坐標(biāo)為（x2，y2，z2)，則

5、x2=4cos23=-2，y2=4sin23=23，z2=3,故點(diǎn)q的直角坐標(biāo)為(-2，23,3).（2）設(shè)點(diǎn)a的直角坐標(biāo)為（x1,y1，z1),則x1=rsin cos =4sin2cos53=4112=2,y1=rsin sin =4sin2sin53=41-32=-23，z1=rcos =4cos2=0,故點(diǎn)a的直角坐標(biāo)為(2,-23,0）.設(shè)點(diǎn)b的直角坐標(biāo)為(x2，y2，z2），則x2=8sin34cos =822(1)=-42,y2=8sin34sin =0，z2=8cos34=8-22=-42。故點(diǎn)b的直角坐標(biāo)為（42,0,-42).設(shè)點(diǎn)c的直角坐標(biāo)為（x3,y3，z3），因?yàn)閞=

6、0，所以x3=0，y3=0,z3=0，即點(diǎn)c的直角坐標(biāo)為(0，0，0）.11.導(dǎo)學(xué)號(hào)73574022在直三棱柱abc a1b1c1中，|ca=cb|=1，bca=90，棱|aa1|=2，m是線段a1b1的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求點(diǎn)m的直角坐標(biāo)和柱坐標(biāo).解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)m作底面xcy的垂線mn。因?yàn)閍bc - a1b1c1是直三棱柱,所以點(diǎn)n在線段ab上。過點(diǎn)n分別作x軸、y軸的垂線ne，nf，根據(jù)已知,可得abc是等腰直角三角形，所以ne|=nf|=12.故點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為12,12,2.由于點(diǎn)m在平面xcy上的射影為點(diǎn)n,連接cn,cn=22,ecn=4,故點(diǎn)m的柱坐標(biāo)

7、為22,4,2.b組1.在柱坐標(biāo)系中，方程z=c（c為常數(shù)）表示()a.圓b.與xoy平面垂直的平面c.球面d.與xoy平面平行的平面答案d2。已知在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，點(diǎn)m在平面yoz內(nèi)，若m的球坐標(biāo)為（r,），則應(yīng)有（)a.=2b.=2c.=2或32d。=2或32解析由點(diǎn)m向平面xoy作垂線，垂足n一定在直線oy上，由極坐標(biāo)系的意義知=2或32.答案d3。在柱坐標(biāo)系中,滿足=1,02,0z2的動(dòng)點(diǎn)m(,，z)圍成的幾何體的體積為.解析根據(jù)柱坐標(biāo)系與點(diǎn)的柱坐標(biāo)的意義可知滿足=1，02，0z2的動(dòng)點(diǎn)m（,z）的軌跡是以直線oz為軸，軸截面為正方形的圓柱面，其底面半徑r=1，高h(yuǎn)=2，故v

8、=sh=r2h=2.答案24.導(dǎo)學(xué)號(hào)73574023在柱坐標(biāo)系中,長方體abcd-a1b1c1d1的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a1（8,0,10）,c16,2,10,則該長方體外接球的體積為。解析由題意知長方體的長、寬、高分別為8，6，10,則其外接球的半徑為52。故其外接球的體積為43(52）3=1 00023。答案1 000235。如圖,點(diǎn)p為圓柱的上底面與側(cè)面交線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)p的柱坐標(biāo)為6,4,5,求該圓柱的體積。解過點(diǎn)p作pp垂直于底面,垂足為p，因?yàn)閜6,4,5,所以點(diǎn)p的柱坐標(biāo)為6,4,0.因此圓柱的底面半徑為6，高為5。故圓柱的體積為v=625=180.6.一個(gè)圓形

9、體育場(chǎng)，自正東方向起,按逆時(shí)針方向等分為十六個(gè)扇形區(qū)域,順次記為一區(qū)，二區(qū)十六區(qū),我們?cè)O(shè)圓形體育場(chǎng)第一排與體育場(chǎng)中心的距離為200 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺(tái)的高度為0.7 m,現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置a，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹鴺?biāo)系，把點(diǎn)a的柱坐標(biāo)求出來.解以圓形體育場(chǎng)中心o為極點(diǎn)，選取以o為端點(diǎn)且過正東入口的射線ox為極軸,在地面上建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)a與體育場(chǎng)中軸線oz的距離為203 m，極軸ox按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)1716，就是oa在地平面上的射影，a距地面的高度為2。8 m，因此我們可以用柱坐標(biāo)203,1716,2.8來表示點(diǎn)a的準(zhǔn)確位置.所以點(diǎn)a的柱坐標(biāo)為203,1716,2.8.7.導(dǎo)學(xué)號(hào)73574024建立適當(dāng)?shù)闹鴺?biāo)系,表示棱長為3的正四面體(棱長都相等的三棱錐）的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。分析建系以盡量過最多點(diǎn)為宜，找到相應(yīng)坐標(biāo).解以正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)b為極點(diǎn)o,選取以o為端點(diǎn)且與bd垂直的射線ox為極軸,過點(diǎn)o且與平面bcd垂直的直線為z軸，建立如圖所示的柱坐標(biāo)系.過點(diǎn)a作aa垂直于平面bcd,垂足為a，連接ba,則|b