高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.1 等比數(shù)列（一）學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3.1等比數(shù)列(一)學(xué)習(xí)目標1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會簡單應(yīng)用.2。掌握等比中項的概念并會應(yīng)用。3。掌握等比數(shù)列的通項公式了解其推導(dǎo)過程知識鏈接下列判斷正確的是_（1）從第2項起，每一項與它前一項的差等同一個常數(shù)的數(shù)列是等差數(shù)列；(2）從第2項起，每一項與它前一項的比等同一個常數(shù)的數(shù)列是等差數(shù)列；（3)等差數(shù)列的公差d可正可負，且可以為零；(4)在等差數(shù)列中，anam（nm）d(n，mn)答案（1）（3）(4）預(yù)習(xí)導(dǎo)引1等比數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)q（q0）,那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列2等比中項如果三個數(shù)a

2、、g、b組成等比數(shù)列,則g叫做a與b的等比中項根據(jù)定義得g2ab，g，只有同號的兩個數(shù)才有等比中項,等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)這一點與等差數(shù)列不同3等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列an的通項公式為ana1qn1，其中a1與q均不為0.要點一等比數(shù)列通項公式的基本量的求解例1在等比數(shù)列an中，（1)a42，a78,求an；（2）a2a518,a3a69，an1,求n；(3）a32，a2a4，求an。解（1)由得q34，從而q,而a1q32，于是a1,ana1qn1.(2)方法一由得q，從而a132,又an132(）n11，即26n20，n6.方法二a3a6q(a2a5)，q.由a1qa1q418，

3、知a132.由ana1qn11，知n6.（3）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q0.a2，a4a3q2q，2q，解得q1，q23.當q時，a118，an18(）n1233n.當q3時，a1，an3n123n3.綜上,當q時，an233n；當q3時，an23n3。規(guī)律方法a1和q是等比數(shù)列的基本量,只要求出這兩個基本量,其他量便可迎刃而解此類問題求解的通法是根據(jù)條件,建立關(guān)于a1和q的方程（組),求出a1和q。跟蹤演練1（1)若等比數(shù)列an的首項a1，末項an，公比q,求項數(shù)n.(2）在等比數(shù)列an中，已知a5a115，a4a26，求an。解（1)由ana1qn1，得(）n1，即(）n1()3，得n

4、4。(2）因為由得q或q2.當q時，a116;當q2時，a11.an16（）n1或an2n1.要點二等比中項的應(yīng)用例2在等差數(shù)列an中,公差d0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則等于多少?解由題意知a3是a1和a9的等比中項，aa1a9，（a12d)2a1（a18d），得a1d，。規(guī)律方法由等比中項的定義可知:g2abg.這表明只有同號的兩項才有等比中項，并且這兩項的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)反之，若g2ab，則，即a，g，b成等比數(shù)列所以a，g，b成等比數(shù)列g(shù)2ab（ab0)跟蹤演練2已知a，b,，c這五個數(shù)成等比數(shù)列,求a,b,c的值解由題意知b2（)（)（）6，b.當b時，ab()2

5、，解得a；bc（)2(）10，解得c（)7。同理,當b時，a，c（)7。綜上所述，a,b，c的值分別為，()7或，（)7.要點三等比數(shù)列的判定例3數(shù)列an滿足a11,且an3an12n3（n2，3,）（1）求a2，a3，并證明數(shù)列ann是等比數(shù)列;(2)求an.解(1)a23a12234，a33a223315。下面證明ann是等比數(shù)列：3（n1,2，3,）又a112，ann是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知ann23n1,ann23n1.規(guī)律方法判斷一個數(shù)列是否是等比數(shù)列的常用方法有:（1）定義法：q（q為常數(shù)且不為零）an為等比數(shù)列(2）等比中項法：aanan2(nn且an0

6、）an為等比數(shù)列（3)通項公式法：ana1qn1（a10且q0)an為等比數(shù)列跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項和sn2an1，求證an是等比數(shù)列，并求出通項公式解sn2an1，sn12an11。an1sn1sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an，又s12a11a1，a110。又由an12an知an0，2，an是等比數(shù)列an12n12n1.要點四由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求通項例4已知數(shù)列an的前n項和為sn，數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1(n2）,且ansnn。（1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列;（2)求數(shù)列bn的通項公式（1)證明ansnn,an1sn1n1.得an

7、1anan11，2an1an1,2（an11)an1，,首項c1a11，又a1a11.a1，c1，又cnan1，q。cn是以為首項，公比為的等比數(shù)列(2)解由(1）可知cn（)（)n1（)n，ancn11（)n.當n2時,bnanan11（）n1（）n1（)n1(）n()n.又b1a1代入上式也符合，bn（）n。規(guī)律方法(1)已知數(shù)列的前n項和，或前n項和與通項的關(guān)系求通項，常用an與sn的關(guān)系求解(2）由遞推關(guān)系an1aanb(a,b為常數(shù)，且a0，a1)求an時，由待定系數(shù)法設(shè)an1a（an)可得，這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列an跟蹤演練4在數(shù)列an中，a11，an1，bn，求數(shù)列bn的通項公式解

8、an122，2，即bn14bn2，bn14（bn)又a11，故b11，所以bn是首項為,公比為4的等比數(shù)列,所以bn4n1,bn.1在等比數(shù)列an中，a18，a464,則a3等于()a16 b. 16或16c. 32 d. 32或32答案c解析由a4a1 q3，得q38，即q2，所以a3a1q28432.2若等比數(shù)列的首項為4,末項為128，公比為2，則這個數(shù)列的項數(shù)為（）a4 b6 c5 d32答案b解析由等比數(shù)列的通項公式，得12842n1,2n132，所以n6。3已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7等于（)a64 b81 c128 d243答案a解析an為等比數(shù)列，q2.又

9、a1a23，a11.故a712664。445和80的等比中項為_答案60或60解析設(shè)45和80的等比中項為g,則g24580，g60.5一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項解設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么，得q，將q代入，得a1.因此，a2a1q8。綜上，這個數(shù)列的第1項與第2項分別是與8.1等比數(shù)列定義的理解(1)由于等比數(shù)列的每一項都可能作分母，故每一項均不能為零，因此q也不可能為零（2）均為同一常數(shù)，由此體現(xiàn)了公比的意義，同時應(yīng)注意分子、分母次序不能顛倒（3)如果一個數(shù)列不是從第2項起,而是從第3項或第4項起每一項與它的前一項之比是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列不是等比數(shù)列2等比中項的理解（1）當a，b同號時，a,b的等比中項有兩個;當a，b異號時，沒有等比中項(2)在一個等比數(shù)列中,從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項(3）“a,g，b成等比數(shù)列”等價于“g2ab”(a,b均不為0），可以用它來判斷或證明三個數(shù)是否成等比數(shù)列3等比數(shù)列的通項公式（1）已知