高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習(xí)題課 數(shù)列求和學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精習(xí)題課數(shù)列求和學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能由簡單的遞推公式求出數(shù)列的通項公式.2。掌握數(shù)列求和的幾種基本方法預(yù)習(xí)導(dǎo)引1基本求和公式（1）等差數(shù)列的前n項和公式:snna1d.（2)等比數(shù)列前n項和公式：當(dāng)q1時，snna1；當(dāng)q1時，sn.2數(shù)列an的an與sn的關(guān)系數(shù)列an的前n項和sna1a2a3an,則an3拆項成差求和經(jīng)常用到下列拆項公式（1)。（2）(）（3)。要點一分組分解求和例1求和：sn（x）2(x2)2（xn）2。解當(dāng)x1時，sn（x)2(x2）2(xn)2（x22）(x42）（x2n2）（x2x4x2n)2n(）2n2n；當(dāng)x1時，sn4n。綜上知,sn規(guī)律方法

2、某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和跟蹤演練1求數(shù)列an：1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n項和sn（其中a0）解當(dāng)a1時,則ann，于是sn123n。當(dāng)a1時，an(1an)snn(aa2an）n.sn要點二錯位相減法求和例2已知等差數(shù)列an的前3項和為6，前8項和為4。(1)求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)bn(4an）qn1（q0,nn）,求數(shù)列bn的前n項和sn.解(1）設(shè)an的公差為d,則由已知得即解得a13，d1，故an3（n1)4n。(2）由（1)知，bnnqn1，于是sn1q02q13

3、q2nqn1，若q1,上式兩邊同乘以q.qsn1q12q2（n1）qn1nqn，兩式相減得：（1q)sn1q1q2qn1nqn nqn。sn.若q1,則sn123n,sn規(guī)律方法用錯位相減法求和時，應(yīng)注意:（1）要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;（2）在寫出“sn”與“qsn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“snqsn”的表達(dá)式若公比是個參數(shù)(字母），則應(yīng)先對參數(shù)加以討論,一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和跟蹤演練2數(shù)列an的前n項和為sn，a11，an12sn（nn）(1)求數(shù)列an的通項an；（2）求數(shù)列nan的前n項和tn.解(1)a

4、n12sn,sn1snan12sn，sn13sn.又s1a11，數(shù)列sn是首項為1,公比為3的等比數(shù)列sn3n1（nn)當(dāng)n2時,an2sn123n2，且a11，an（2)tna12a23a3nan，當(dāng)n1時,t11；當(dāng)n2時，tn14306312n3n2，3tn34316322n3n1，得2tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1,tn（n）3n1(n2)，又t1a11也滿足上式，tn（n）3n1（nn）要點三裂項相消求和例3求和：，n2.解(），原式(1)（)（）（)(1)。規(guī)律方法如果數(shù)列的通項公式可轉(zhuǎn)化為f(n1)f（n)的形式，常采用裂項求和法跟蹤演練3求

5、和：1.解an2()，sn2（1).要點四奇偶并項求和例4求和：sn1357(1）n(2n1）解當(dāng)n為奇數(shù)時，sn（13)(57）(911)（2n5)(2n3）（2n1）2（2n1）n。當(dāng)n為偶數(shù)時，sn（13）(57）(2n3)（2n1）2n。sn（1）nn(nn）跟蹤演練4已知數(shù)列1,4，7，10，,（1）n(3n2），求其前n項和sn。解n為偶數(shù)時，令n2k(kn），sns2k14710（1)2k（6k2)（14）（710)（6k5)（6k2）3kn;當(dāng)n為奇數(shù)時，令n2k1（kn)sns2k1s2ka2k13k（6k1）。sn1數(shù)列an的前n項和為sn，若an，則s5等于()a1b.c

6、.d。答案b解析an，s5(1）(）()1。2數(shù)列1,2,3，4，的前n項和為()a。(n2n2) b.n(n1)1c。（n2n2） d。n(n1)2(1）答案a解析123(n）(12n）(）（n2n）1(n2n2）。3數(shù)列an的通項公式an，若前n項的和為10，則項數(shù)為（)a11 b99 c120 d121答案c解析an，sn110，n120。4若數(shù)列an的前n項和為snan，則數(shù)列an的通項公式是an_。答案(2）n1 解析當(dāng)n1時，a1s1a1,解得a11。當(dāng)n2時，ansnsn1（an)（an1)anan1,整理可得anan1，即2，故數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an(2）n1。求數(shù)列前n項和，一般有下列幾種方法1錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和2分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列3拆項相消:有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和4奇偶并項：當(dāng)數(shù)列通項中出現(xiàn)(1）n或（1）n1時，常常需要對n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論5倒序相加：例