高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.1 等差數(shù)列（一）學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2。1等差數(shù)列（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的定義,掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。2。會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問題.3。掌握等差中項(xiàng)的概念，深化認(rèn)識(shí)并能運(yùn)用知識(shí)鏈接第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算這樣舉行奧運(yùn)會(huì)的年份數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列有什么特征呢？這個(gè)數(shù)列叫什么數(shù)列呢?預(yù)習(xí)導(dǎo)引1等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差2等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)x、a、y組成等差數(shù)列，那么a叫做x與

2、y的等差中項(xiàng),且a.3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)ana1(n1)d。4等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列an中，若公差d0，則數(shù)列an為遞增數(shù)列；若公差d0，則數(shù)列an為遞減數(shù)列。要點(diǎn)一 等差數(shù)列的概念例1若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an10lg 2n,試說明數(shù)列an為等差數(shù)列解因?yàn)閍n10lg 2n10nlg 2，所以an1an10(n1）lg 2(10nlg 2）lg 2(nn)所以數(shù)列an為等差數(shù)列規(guī)律方法判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列,就是判斷an1an（n1)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)跟蹤演練1數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n5，則此數(shù)列()a是公差為2的等差數(shù)列 b是公差為5

3、的等差數(shù)列c是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列 d是公差為n的等差數(shù)列答案a解析an1an2(n1）5(2n5)2,an是公差為2的等差數(shù)列要點(diǎn)二等差中項(xiàng)及其應(yīng)用例2（1）在1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列（2）已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq（nn，p,q為常數(shù))，且x1、x4、x5成等差數(shù)列求:p，q的值解（1）1,a，b，c，7成等差數(shù)列，b是1與7的等差中項(xiàng)b3.又a是1與3的等差中項(xiàng),a1.又c是3與7的等差中項(xiàng)，c5。該數(shù)列為1,1，3,5,7。（2）由x13，得2pq3,又x424p4q,x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，即

4、q1，將代入，得p1。規(guī)律方法在等差數(shù)列an中,由定義有an1ananan1（n2，nn)，即an,從而由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)跟蹤演練2若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)解由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m2n8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2mn10.兩式相加，得mn6。m和n的等差中項(xiàng)為3.要點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用例3(1)若an是等差數(shù)列,a158，a6020，求a75.(2)已知遞減等差數(shù)列an的前三項(xiàng)和為18，前三項(xiàng)的乘積為66。求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷34是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？解（1)設(shè)an的公差

5、為d，首項(xiàng)為a1.由題意知解得所以a75a174d7424.(2)依題意得解得或數(shù)列an是遞減等差數(shù)列,d0。故取a111，d5.an11(n1）(5)5n16.即等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an5n16。令an34，即5n1634,得n10.34是數(shù)列an的第10項(xiàng)規(guī)律方法在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1,d的方程（組)求解，但是要注意公式的變形及整體計(jì)算,以減少計(jì)算量跟蹤演練3已知an為等差數(shù)列，分別根據(jù)下列條件寫出它的通項(xiàng)公式：(1）a35，a713；（2)前三項(xiàng)為a,2a1,3a。解(1）設(shè)首項(xiàng)為a1

6、，公差為d，則解得ana1(n1)d1(n1）22n1。(2)由等差中項(xiàng)公式得2(2a1)a（3a），a，首項(xiàng)為a,公差為2a1aa11，an(n1）1。1已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an32n,則它的公差d為（）a2 b3 c2 d3答案c解析由等差數(shù)列的定義,得dan1an32(n1)（32n）2.2在abc中，三內(nèi)角a、b、c成等差數(shù)列,則角b等于()a30 b60 c90 d120答案b解析因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以b是a，c的等差中項(xiàng)，則有ac2b，又因abc180，所以3b180，從而b60。3一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a，x，b,2x，則等于()a。 b. c。 d。答案c解析b是x,2x的等差中項(xiàng)，bx，又x是a， b的等差中項(xiàng)，則2xab,a,.4在等差數(shù)列an中,已知a1，a2a54，an33，求n的值解a2a5(a1d）（a14d)2a15d4,d.an（n1)n。由ann33,解得n50.1判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法有:(1）an1and（d為常數(shù)，nn）an是等差數(shù)列；（2）2an1anan2(nn）an是等差數(shù)列；(3)anknb（k，b為常數(shù)，nn）an是等差數(shù)列但若要說明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個(gè)反例即可2由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1）d可以看出，只要知道首項(xiàng)a1和公差d，就可以求出通項(xiàng)公式；反過來(lái)，在a1、d、n、an四個(gè)